Misura e integrazione in più variabili

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1 Misura e integrazione in più variabili 15 novembre 2011 In queste note si vuole introdurre la nozione di insieme misurabile in R n e di integrale in più variabili secondo Riemann. 1 Rettangoli e plurirettangoli in R n Iniziamo con la definizione di rettangolo in R n. Definizione 1.1 Un sottoinsieme R di R n si dice un rettangolo se è prodotto cartesiano di n intervalli. In tal caso si definisce misura di R (e si indicherà con mis(r) o R ) il prodotto delle lunghezze degli intervalli che costituiscono il rettangolo R. Osservazione 1 Si noti che l insieme vuoto e l insieme contenente un solo punto sono rettangoli di R n. Esempio 1.2 I seguenti insiemi sono dei rettangoli in R R = [1,2] ]3,6[. In questo caso mis(r) = R =]1,2[ [3,7]. In questo caso mis(r) = R = {1} [0,1]. In questo caso mis(r) = 0. Lemma 1.3 Siano R ed S due rettangoli di R n. Allora R S è un rettangolo di R n. 1

2 Dimostrazione. Per ipotesi esistono n intervalli reali I 1,...,I n tali che R = I 1 I n. Inoltre esistono n intervalli reali J 1,...,J n tali che S = J 1 J n. Si vede facilmente che R S = (I 1 J 1 ) (I n J n ). Ora l intersezione di due intervalli reali è un intervallo reale, se si considera l insieme vuoto come un intervallo. Pertanto R S è un intervallo. Definizione 1.4 Due rettangoli A e B di R n si dicono essenzialmente disgiunti se inta intb =, dove int denota la parte interna di un insieme. Definizione 1.5 Un sottoinsieme P di R n si dice un plurirettangolo se è unione finita di rettangoli di R n. Denotiamo con P l insieme dei plurirettangoli di R n. Osservazione 2 Si noti che un plurirettangolo di R n si può sempre scrivere come unione finita di rettangoli a due a due essenzialmente disgiunti. Proposizione 1.6 Sia P un plurirettangolo di R n e sia P = m 1 i=1 R i = m 2 j=1 S j con R i rettangoli a due a due essenzialmente disgiunti e S j rettangoli a due a due essenzialmente disgiunti. Allora m 1 i=1 m 2 R i = S j. (1.1) j=1 Dimostrazione. Si considerino, per ogni i {1,...,m 1 } e j {1,...,m 2 }, gli insiemi T i,j = R i S j, vedi Figura 1. Per il Lemma 1.3, gli insiemi T i,j sono tutti rettangoli, alcuni dei quali potrebbero essere l insieme vuoto. Dato che gli S j sono a due a due essenzialmente disgiunti si deduce che, per ogni i {1,...,m 1 }, m 2 m 2 R i = R i S j = T i,j. j=1 j=1 2

3 Dato che gli R i sono a due a due essenzialmente disgiunti si deduce che, per ogni j {1,...,m 2 }, m 1 m 1 S j = R i S j = T i,j. i=1 i=1 Pertanto m 1 da cui la conclusione. m 1 m 2 m 2 m 1 m 2 R i = T i,j = T i,j = S j, i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 Grazie alla precedente proposizione, è possibile definire la misura di un plurirettangolo nel modo seguente. Definizione 1.7 Sia P un plurirettangolo di R n e sia P = m j=1 R j con R j rettangoli a due a due essenzialmente disgiunti. Allora si definisce la misura di P come m mis(p) = P := R j. La Proposizione 1.6 implica che la Definizione 1.7 è una buona definizione, cioè che la misura di un plurirettangolo è indipendente dalla scelta dei rettangoli costituenti, a patto che siano a due a due essenzialmenti disgiunti. Enunciamo ora alcuni risultati generali sui plurirettangoli di R n. Proposizione 1.8 Siano A e B plurirettangoli di R n. Allora A B, A B e A\ B sono plurirettangoli. Inoltre j=1 A B A + B. Dimostrazione. Dimostriamo solo che A B, A B e A\B sono plurirettangoli. Dato che A e B sono plurirettangoli, allora A = R 1 R n e B = S 1 S m, dove R i e S j sono rettangoli. Si vede facilmente che A B = R 1 R n S 1 S m, A B = i=1,...n,j=1,...,m (R i S j ), 3

4 R 2 R 5 S 3 S 4 R 1 R 3 S 2 R 4 S 1 S 5 T 24 T 34 T 54 T 13 T 33 T 53 T 12 T 32 T 42 T 11 T 45 Figura 1: Possibili suddivisioni di un plurirettangolo in rettangoli. e quindi, grazie al Lemma 1.3, si conclude che A B e A B sono plurirettangoli. Infine si noti che, se R è un rettangolo, allora il suo complementare R n \R è un plurirettangolo. Inoltre A\B = A (R\B) e quindi si conclude che A\B è un plurirettangolo. Proposizione 1.9 Siano A e B plurirettangoli di R n tali che A B. Allora A B. Dimostrazione. Sia A = R 1 R n una decomposizione di A mediante rettangoli a due a due essenzialmente disgiunti. Per la Proposizione 1.8, A\B è un plurirettangolo e pertanto sia A\B = S 1 S m una sua decomposizione mediante rettangoli a due a due essenzialmente disgiunti. Pertanto A = R R n R R n + S S m = B, 4

5 in quanto B = A (B \A) = R 1 R n S 1 S m e i rettangoli della decomposizione di B sono a due a due essenzialmente disgiunti. Introduciamo ora la nozione di insieme misurabile. Definizione 1.10 Sia A un sottoinsiemedi R n limitato. A si dice misurabile se sup P = inf. (1.2) P P,P A P P,A P P In tal caso si pone Vale il seguente lemma. A = sup P = inf. (1.3) P P,P A P P,A P P Lemma 1.11 Sia A un sottoinsieme limitato di R n. A è misurabile se e solo se per ogni ε > 0 esistono due plurirettangoli P,P P tali che P A P e P P ε. Dimostrazione. Supponiamo A sia misurabile e fissiamo ε > 0. Dato che A = sup P P,P A P < + esiste P P tale che A ε 2 < P. Analogamente, dato che A = inf P P,A P P > esiste P P tale che A + ε 2 > P. Allora P P < A + ε 2 A + ε 2 = ε, e quindi vale la condizione del lemma. Supponiamo invece che valga la condizione: per ogni ε > 0 esistono P,P P tali che P A P e P P ε. Si vede facilmente che sup P = inf P P,P A P P,A P P e quindi A è misurabile e il lemma dimostrato. 5

6 Valgono le seguenti proprietà per gli insiemi misurabili. Proposizione 1.12 Siano A e B due sottoinsiemi di R n misurabili. Allora A B + A B = A + B. (1.4) Inoltre se A B, allora A B. 2 Funzioni integrabili secondo Riemann In questa sezione introduciamo la nozione di integrabilità per funzioni di più variabili. Iniziamo definendo le funzioni a scala su R n. Definizione 2.1 Una funzione f : R n R si dice semplice (o a scala o costante a tratti) se esistono m N, dei rettangoli R 1,...,R m a due a due essenzialmente disgiunti e delle costanti c 1,...,c m R tali che f(x) = c 1 se x IntR 1, c 2 se x IntR 2,.. c m se x IntR m, 0 se x (R 1 R m ). (2.1) DenoteremoconS l insieme dituttelefunzioniascalain R n. Per funzioni a scala si può dare la seguente intuitiva definizione di integrale. Definizione 2.2 Sia f una funzione a scala. Allora f = f(x)dx := m c j R j. (2.2) Provare che la Definizione 2.2 è una buona definizione, nel senso che il valore dell integrale non dipende dalla rappresentazione (2.1) della funzione. Lemma 2.3 Siano f e g due funzioni a scala tali che f g. Allora f(x)dx g(x)dx. 6 j=1

7 La dimostrazione è facile una volta che si osserva il fatto seguente. Date due funzioni a scala, è possibile trovare un insieme finito di rettangoli a due a due essenzialmente disgiunti in modo che sia f che g sono costanti su ciascun rettangolo. Definizione 2.4 Sia K un insieme limitato di R n e sia f una funzione da R n in R limitata e tale che f(x) = 0 per ogni x R n \ K. Si dice che f è integrabile secondo Riemann se sup g = inf h. (2.3) g S,g f R n h S,h f R n In tal casi si pone f = f(x)dx := sup g. (2.4) g S,g f R n Osservazione 3 Una funzione definita in R n che si annulla nel complementare di un insieme limitato si dice a supporto limitato o compatto. Lemma 2.5 Sia f una funzione limitata a supporto compatto. f è integrabile secondo Riemann se e solo se per ogni ε > 0 esistono due funzioni a scala g e h tali che g f h e h g ε. (2.5) La dimostrazione è analoga a quella del Lemma Enunciamo ora senza dimostrazione alcune proprietà delle funzioni integrabili. 1. Se f è integrabile, allora λf è integrabile per ogni λ R e vale λf = λ f. (2.6) 2. Se f 1 e f 2 sono integrabili, allora f 1 +f 2 è integrabile e vale (f 1 +f 2 ) = f 1 + f 2. (2.7) R n 7

8 3. Se f 1 e f 2 sono integrabili e f 1 f 2, allora f 1 f 2. (2.8) 4. Se f è integrabile, allora f +, f e f sono integrabili. Inoltre f(x)dx f(x) dx. (2.9) R R n n Dimostriamo invece il seguente teorema. Teorema 2.6 Siano f 1 e f 2 due funzioni definite in R n a valori in R limitate e a supporto compatto. Sia D := {x R n : f 1 (x) f 2 (x)} (2.10) e supponiamo che D sia misurabile e D = 0. Allora f 1 è integrabile se e solo se f 2 è integrabile. In tal caso si ha che f 1 = f 2. (2.11) Dimostrazione. Supponiamo che f 2 sia integrabile. Possiamo scrivere f 1 = f 2 + (f 1 f 2 ). Se dimostriamo che f 1 f 2 è integrabile, allora otteniamo che f 1 è integrabile per (2.7). Per ipotesi (limitatezza di f 1 e f 2 ) esiste una costante M > 0 tale che f 1 (x) f 2 (x) M per ogni x R n. Fissiamo ε > 0. Dato che D = 0 esiste un plurirettangolo P tale che D P e P < ε 1. Definiamo ora le seguenti funzioni a scala 2M { M, se x IntP, g(x) = 0, se x IntP, e h(x) = 1 verificare che sono funzioni a scala. { M, se x IntP, 0, se x IntP. 8

9 Inoltre per costruzione risulta che g(x) f 1 (x) f 2 (x) h(x) per ogni x R n 2 e h g = 2M P < ε. Allora,perilLemma2.5, seguechef 1 f 2 èintegrabileequindif 1 integrabile. Vale inoltre ε 2 R < g (f 1 f 2 ) h < ε n R n R 2, n da cui segue, per l arbitrarietà di ε > 0, che (f 1 f 2 ) = 0 R n e quindi f 1 = f 2. Il caso di f 1 integrabile è analogo. Supponiamo ora di avere una funzione f definita su un insieme misurabile AdiR n avalorireali. Possiamodefinireun estensionedif nelmodoseguente: f(x) = { f(x), se x A, 0, altrimenti. (2.12) Diamo ora la definizione di integrabilità di una funzione definita su un insieme misurabile di R n. Definizione 2.7 Una funzione f si dice integrabile su A se la sua estensione f è integrabile su R n. In tal caso f := f. (2.13) A R n 2 basta distinguere i casi x D e x D. 9

10 Proposizione 2.8 Siano A e B insiemi misurabili di R n e f : A B R una funzione limitata. Allora f è integrabile su A B se e solo se f è integrabile su A e su B. Se vale A B = 0, allora f = f + f. (2.14) A B Valgono anche i seguenti risultati importanti, di cui non diamo una dimostrazione. Teorema 2.9 Siano A un insieme misurabile di R n e f : A R una funzione limitata. Se l insieme dei punti di discontinuità di f ha misura nulla, allora f è integrabile. Teorema 2.10 Sia f : R m R n R una funzione integrabile. Supponiamo che per ogni y R n la funzione x f(x,y) sia integrabile in R m. Allora la funzione y f(x,y)dx R m (2.15) è integrabile su R n e vale ( ) f(x,y)dxdy = R m f(x,y)dx dy. R m (2.16) Osservazione 4 Il ruolo di x e di y nel Teorema 2.10 è simmetrico A 3 Cambiamento di variabile per integrali multipli In questa sezione enunciamo (senza dimostrazione) il teorema di cambio di variabili per integrali multipli e diamo alcuni esempi importanti. Teorema 3.1 Siano A e B due aperti di R n e ϕ : B A un diffeomorfismo di classe C 1. Sia f una funzione integrabile su A. Allora la funzione f ϕ è integrabile su ϕ 1 (A) e f(x)dx = (f ϕ)(y) detϕ (y) dy, (3.1) A ϕ 1 (A) dove ϕ (y) indica la matrice Jacobiana di ϕ. 10 B

11 y ρ θ x Figura 2: Coordinate polari in R 2. Vediamo ora alcuni esempi significativi. Esempio 3.2 (Coordinate polari in R 2.) Le coordinate polari in R 2 sono date da { x = ρcosθ, (3.2) y = ρsinθ, dove ρ indica la distanza dall origine di un generico punto di R 2 e θ è l angolo formato dal semiasse delle x positive e dal segmento congiungente l origine e il generico punto del piano; vedi Figura 2. La matrice Jacobiana del cambio di variabile è data da ( ) cosθ ρsinθ (3.3) sinθ ρcosθ e quindi il suo determinante in valore assoluto vale ρ. Esempio 3.3 (Coordinate polari in R 3.) Le coordinate polari in R 3 sono date da x = ρsinϕcosθ, y = ρsinϕsinθ, (3.4) z = ρcosϕ, 11

12 z ϕ ρ θ y x Figura 3: Coordinate polari in R 3. dove ρ indica la distanza dall origine di un generico punto di R 3 e ϕ [0,π], θ [0,2π] sono angoli; vedi Figura 3. La matrice Jacobiana del cambio di variabile è data da sinϕcosθ ρsinϕsinθ ρcosϕcosθ sinϕsinθ ρsinϕcosθ ρcosϕsinθ cosϕ 0 ρsinϕ e quindi il suo determinante in valore assoluto vale ρ 2 sinϕ. (3.5) Esempio 3.4 (Coordinate cilindriche in R 3.) Le coordinate cilindriche in R 3 sono date da x = ρcosθ, y = ρsinθ, (3.6) z = z, dove ρ è una lunghezza e θ [0,2π] un angolo; vedi Figura 4. La matrice Jacobiana del cambio di variabile è data da cosθ ρsinθ 0 sinθ ρcosθ 0 (3.7)

13 z θ ρ y x Figura 4: Coordinate cilindriche in R 3. e quindi il suo determinante in valore assoluto vale ρ. 4 Esercizi Esercizio 1 Calcolare l integrale dove A = [0,1] [ 2,2]. Esercizio 2 Calcolare l integrale dove A A x 2 ydxdy ydxdy A = { (x,y) R 2 : y 0,1 y < x 2 < 4 y }. 13

14 Esercizio 3 Calcolare l integrale dove A 1dxdydz A = { (x,y,z) R 3 : x + y + z < 2, x < 1, y < 1 }. Esercizio 4 Per ogni n N si consideri l insieme { } A n = (x,y) R 2,x n 1 +y 2n 1 < 2 2n 1. Calcolare A cosa tende I n per n +? I n = 1dxdy. A n Riferimenti bibliografici [1] G. De Marco, Analisi Due, Teoria ed esercizi, Decibel Zanichelli, Padova, [2] G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di Analisi due, Decibel Zanichelli, Padova, [3] G. Gilardi, Analisi Due, McGraw-Hill, Milano,