Funzioni a valori vettoriali Differenziabilità e regola della catena

Transcript

1 e regola della catena Analisi Matematica A Secondo modulo Corso di Laurea in Matematica Università di Trento 4 aprile 2019

2 o: le curve o: F : R 2 R 2 Sia E R n. Una funzione a valori vettoriali f : E R n R m si identifica con una m-upla di funzioni a valori reali f i : E R: f 1 (x) f 2 (x) x f(x) :=. = m f i (x) e i i=1 f m (x) f i : E R sono le componenti di f. Definizione Una funzione a valori vettoriale f : E R m è continua in E (o continua in un punto x 0 E) se tutte le componenti f i sono continue in E (o continue in x 0 E).

3 o: le curve o: F : R 2 R 2 Sia I R un intervallo e r : I R m r(t) := r 1 (t) r 2 (t). r m (t). Se r : I R m è continua in I si dice che r è una curva in R m. Il sottoinsieme immagine: r(i) R m si chiama supporto della curva (o sostegno o orbita della curva)

4 o: le curve o: F : R 2 R 2 r : [0, 2π] R 2 è definita da r(t) := ( cos t sin t ). Figure: Il supporto di r. Figure: Il grafico di r.

5 o: le curve o: F : R 2 R 2 s : [0, 2π] R 2 è definita da s(t) := ( cos(10t) sin(10t) ). Figure: Il supporto di s. Figure: Il grafico di s.

6 o: le curve o: F : R 2 R 2 ( cos t r : [0, 2π] R 2 3 è definita da r(t) := sin t 3 ). Figure: Il sostegno di r. Figure: Il grafico di r.

7 o: le curve o: F : R 2 R 2 Se r : I R 3 possiamo disegnare solo il supporto di r. r(t) := t 2 /5 t cos(t 2 ) 2t sin(t 2 ) r(t) := 2 cos(t)(1+cos(5t)/2) 2 sin(t)(1+cos(5t)/2) sin(5t)/2

8 o: le curve o: F : R 2 R 2 Azione della funzione lineare L(x) := [ ] ( x1 x 2 ) L

9 o: le curve o: F : R 2 R 2 Azione della funzione affine [ 1 2 L(x) := ] ( x1 x 2 ) ( ) L

10 o: le curve o: F : R 2 R 2 Azione della funzione ( ) F1 (x, y) F(x) := := F 1 (x, y) ( x y x + y 2 ) L

11 o: le curve o: F : R 2 R 2 Definizione Sia A aperto in R n. f : A R m si dice differenziabile in x A se ogni componente f i è differenziabile in x. Se f 1,...,f m sono differenziabili in x f 1 (x+h) = f 1 (x)+ f 1 (x), h +o 1 ( h ). f m (x+h) = f m (x)+ f m (x), h +o m ( h ) che, scritto in forma vettoriale, diventa f(x+h) = f(x)+j f (x) h+o( h ).

12 o: le curve o: F : R 2 R 2 J f (x), detta matrice Jacobiana di f, è la matrice m n 1 f 1 (x)... n f 1 (x) 1 f 2 (x)... n f 2 (x) J f (x) :=.. 1 f m (x)... n f m (x)

13 o: le curve o: F : R 2 R 2 Si ottiene quindi la Definizione equivalente di differenziabilità f : A R n R m è differenziabile in x A se la matrice Jacobiana J f (x), è tale che, per h 0 f(x+h) f(x) = J f (x) h+o( h ). Il differenziale di f in x è la funzione lineare df x : R n R m : y df x (y) := J f (x) y.

14 o: le curve o: F : R 2 R 2 Example (g : R R) g : I R R è differenziabile in t I se g(t + h) = g(t)+g (t)h+o(h) per h 0. In questo caso J g (t) = g (t).

15 o: le curve o: F : R 2 R 2 Example (f : R 2 R) f : R 2 R è differenziabile in x R 2 se e f(x+h) = f(x)+ f(x), h +o( h ) per h 0. ( ) h1 f(x), h = ( x1 f(x), x2 f(x)) h 2 J f (x) = ( x1 f(x), x2 f(x)) = ( f(x)) T.

16 o: le curve o: F : R 2 R 2 Example (ancora le curve) ( ) Sia r : I R R 2 r1 (t) definita da r(t) =. r 2 (t) La curva r è differenziabile in t 0 se, per h 0, r 1 (t 0 + h) = r 1 (t 0 )+r 1 (t 0)h+o 1 (h) r 2 (t 0 + h) = r 2 (t 0 )+r 2 (t 0)h+o 2 (h) che, scritto in forma vettoriale, r(t 0 + h) = r(t 0 )+r (t 0 )h+o(h), e: J r (t 0 ) = r (t 0 ) := [ r 1 (t 0 ) r 2 (t 0) ].

17 o: le curve o: F : R 2 R 2 Se r (t 0 ) 0, il vettore r (t 0 ) è il vettore tangente al supporto della curva r nel punto r(t 0 ) e la funzione s r(t 0 )+sr (t 0 ) è una rappresentazione parametrica della retta tangente al supporto di r nel punto r(t 0 ). Vettore tangente e retta tangente al supporto di r(t) := (cos t, sin t) nel punto r(2π/3).

18 o: le curve o: F : R 2 R 2 Example (F : R 2 R 2 ) Sia F : A R 2 R 2 e F(x) := F è differenziabile in x A se ( F1 (x) F 2 (x) ). F 1 (x+h) = F 1 (x)+ F 1 (x), h +o 1 ( h ) per h 0 F 2 (x+h) = F 2 (x)+ F 2 (x), h +o 2 ( h ) per h 0 e, in forma vettoriale, F(x+h) = F(x)+J F (x) h+o( h ) per h 0. In questo caso J F (x) = [ x1 F 1 (x) x2 F 1 (x) x2 F 1 (x) x2 F 2 (x) ]

19 Coordinate polari Parametrizzazione di una superficie Coordinate cilindriche Paralleli e meridiani Le coordinate polari piane P : [0,+ ) R R 2 sono definite ( ) ( ) ( ) r P1 (r,θ) r cosθ P(r,θ) = :=. θ P 2 (r,θ) r sinθ P è differenziabile in ogni punto di (0,+ ) R. La matrice Jacobiana J P è la matrice 2 2 [ ] cosθ r sinθ J P (r,θ) =. sinθ r cosθ

20 Coordinate polari Parametrizzazione di una superficie Coordinate cilindriche Paralleli e meridiani P Figure: Dominio [0, + ) R Figure: Codominio R 2 Osservazione La restrizione P : (0,+ ) [0, 2π) R 2 \{0} è biunivoca.

21 Coordinate polari Parametrizzazione di una superficie Coordinate cilindriche Paralleli e meridiani Example (F : R 2 R 3 ) F : A R 2 R 3 x F(x) = F 1 (x) F 2 (x) F 3 (x) Se F è differenziabile in x A allora J F (x) è la matrice 3 2 J F (x) = 1 F 1 (x) 2 F 1 (x) 1 F 2 (x) 2 F 2 (x) 1 F 3 (x) 2 F 3 (x)

22 Coordinate polari Parametrizzazione di una superficie Coordinate cilindriche Paralleli e meridiani R 2 x F(x) = (R + r cos x 2 ) cos x 1 (R + r cos x 2 ) sin x 1 r sin x 2 R 3. F Figure: Dominio: [0, 2π] [0, 2π] Figure: Immagine: superficie toroidale in R 3

23 Coordinate polari Parametrizzazione di una superficie Coordinate cilindriche Paralleli e meridiani Le coordinate cilindriche C : R R R 3 sono ( ) C θ 1 (θ, z) cosθ C z 2 (θ, z) := sinθ C 3 (θ, z) z. C è differenziabile in ogni punto di R R e la matrice Jacobiana è la matrice 3 2 sinθ 0 J C (θ, z) = cosθ

24 Coordinate polari Parametrizzazione di una superficie Coordinate cilindriche Paralleli e meridiani C Figure: Dominio: R R Figure: Cilindro contenuto in R 3 Osservazione La restrizione C : [0, 2π) R {cilindro} R 3 è biunivoca.

25 Coordinate polari Parametrizzazione di una superficie Coordinate cilindriche Paralleli e meridiani Sia S : [0, 2π) ( π/2,π/2) R 3 definita da ( θ φ ) S(θ,φ) = S 1 (θ,φ) S 2 (θ,φ) S 3 (θ,φ) := cosθ cosφ sinθ cosφ sinφ. S è differenziabile in (0, 2π) ( π/2,π/2); la matrice Jacobiana è la matrice 3 2 sinθ cosφ cosθ sinφ J S (θ,φ) = cosθ cosφ sinθ sinφ. 0 cosφ

26 Coordinate polari Parametrizzazione di una superficie Coordinate cilindriche Paralleli e meridiani S Figure: Dominio: [0, 2π) ( π/2,π/2) Figure: Superficie sferica di raggio 1 in R 3 Osservazione La restrizione S : [0, 2π) ( π/2, π/2) {superficie sferica meno i poli} R 3 è biunivoca.

27 Example (Derivazione di funzioni composte: esempio) Se g : R R, h : R R sono derivabili allora g f : R R è differenziabile e d dx (g h)(x) = g (h(x))h (x). Example ( Derivazione di funzioni composte: esempio) Se f : R 2 R e h : R R sono differenziabili allora h f : R 2 R è differenziabile e (h f)(x) = h (f(x)) f(x)

28 Example ( Derivazione di funzioni composte: esempio) Se f : R 2 R e r : R R 2 sono differenziabili, allora r f : R 2 R 2 ( ) r1 (f(x)) (r f)(x) := r 2 (f(x)) è differenziabile perché entrambe le componenti lo sono e [ ] 1 (r J r f (x) = 1 f)(x) 2 (r 1 f)(x) 1 (r 2 f)(x) 2 (r 2 f)(x) [ r = 1 (f(x)) 1 f(x) r 1 (f(x)) ] 2f(x) r 2 (f(x)) 1f(x) r 2 (f(x)) 2f(x) ( ) r = 1 (f(x)) r 2 (f(x)) ( 1 f(x), 2 f(x)) = J r (f(x)) J f ((x)

29 Teorema: la regola della catena Siano F : R n R p, G : R p R m tali che sia definita G F : R n R m. Se F è differenziabile in x 0 R n e se G è differenziabile in y 0 := F(x 0 ) R p allora G F è differenziabile in x 0 R n e J G F (x 0 ) = J G (F(x 0 ))J F (x 0 ).