FISICA. Lezione n. 2 (2 ore) Gianluca Colò Dipartimento di Fisica sede Via Celoria 16, Milano

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1 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna FISICA Lezione n. 2 (2 ore) Gianluca Colò Dipartimento di Fisica sede Via Celoria 16, Milano web page: gianluca.colo@mi.infn.it Carlo Pagani Dipartimento di Fisica Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, Segrate (Milano) web page: carlo.pagani@unimi.it

2 Posizione di un Punto - 1 Per descrivere la posizione di un punto nello spazio, è necessario disporre di un sistema di coordinate rispetto al quale la posizione del punto è definita Lo spazio in cui un problema è descritto può essere a 1, 2 o 3 dimensioni: 1-D, 2-D, 3-D Il sistema di coordinate più comune e intuitivo è quello cartesiano Sistema di coordinate cartesiane: 1-D O og > 0 Oggetto Origine delle Coordinate (posizione dell osservatore) og Oggetto og < 0 O og Origine delle Coordinate (posizione dell osservatore) Gianluca Colò & Carlo Pagani 2

3 Posizione di un Punto - 2 Sistemi di coordinate 2-D Cartesiane Polari y y y P P P ( P,y P ) y P P (r,θ) r y P O O θ P P Relazioni tra coordinate cartesiane e polari P( P,y P ) = P(,y) = P(r,θ) = r cosθ r = 2 + y 2 y = r sinθ θ = arctan(y/) Gianluca Colò & Carlo Pagani 3

4 Posizione di un Punto - 3 Sistemi di coordinate 3-D z Cartesiane z Polari Sferiche y P P( P,y P,z P ) P P(r,θ,φ) z P θ r 0 y P z P y 0 y P φ r sin(θ) P( P,y P,z P ) = P(,y,z) = P(r,θ,φ) = r sin(θ) cos(φ) r = 2 + y 2 +z 2 y = r sin(θ) sin(φ) θ = arccos(z/r) z = r cos(θ) φ = arctan(y/) Gianluca Colò & Carlo Pagani 4

5 Posizione di un Punto - 4 Sistemi di coordinate 3-D z Cartesiane z Polari Cilindriche y P P( P,y P,z P ) P P(r,θ,z) z P 0 y P z P y 0 y P θ r P( P,y P,z P ) = P(,y,z) = P(r,θ,z) = r cos(θ) r = 2 + y 2 y = r sin(θ) z = z z = z θ = arctan(y/) Gianluca Colò & Carlo Pagani 5

6 Grandezze Scalari e Vettoriali Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte è sufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo non è sufficiente, serve anche una direzione e un verso (vettoriale) Massa, lunghezza, temperatura: grandezze scalari Spostamento, velocità, accelerazione: grandezze vettoriali Quanto è veloce? Modulo (lunghezza del segmento) In quale direzione si muove? Direzione (retta su cui giace) Con quale verso? Verso (orientamento) Una grandezza vettoriale è caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso direzione V verso modulo V V Notazione vettoriale vettore: V, V, V modulo: V, V, V Gianluca Colò & Carlo Pagani 6

7 Rappresentazione grandezze vettoriali Così come le informazioni fornite da una grandezza scalare possono venire rappresentate mediante un punto su una retta, le informazioni fornite da una grandezza vettoriale possono venire rappresentate mediante un punto nello spazio z P 0 P 0 V y I vettori, rappresentazione matematica di una grandezza vettoriale, sono segmenti orientati (dall origine del sistema al punto) Secondo la natura del problema possono essere a 2 dimensioni (2D) o a 3 dimensioni (3D) Gianluca Colò & Carlo Pagani 7

8 Vettori in 2D e loro somma Esempio: lo spostamento di un punto su un piano Spostamenti da A a B e poi da B a C: vettore a e vettore b Somma = spostamento da A a C: vettore a + vettore b = vettore s Regola del parallelogramma Lo spostamento non dipende dalla traiettoria La somma vettoriale gode delle proprietà della somma algebrica a + b = b + a a + b + c = a+(b+c) = b+(a+c)= c+(a+b) Gianluca Colò & Carlo Pagani 8

9 Vettore 2D sul piano Un vettore 2D si può definire attraverso le sue componenti, che dipendono dal sistema di coordinate (cartesiane o polari) e dal loro orientamento ma non dalla posizione dell origine a e a y sono le componenti di a in coordinate cartesiane a e θ sono le sue coordinate polari Gianluca Colò & Carlo Pagani 9

10 Coordinate cartesiane e polari Poiché le componenti di un vettore non dipendono dal punto di applicazione, si determinano posizionando il vettore all origine del sistema di coordinate scelto Componenti di un vettore in coordinate cartesiane e polari Coordinate cartesiane a, a y a(a,a y ) Coordinate polari a, θ a( a,θ) y Le equazioni sono le stesse di quelle viste per la posizione! a = a cosθ a 2 = a 2 +a y 2 a = a 2 +a y 2 a y = a sinθ θ = arctan (a y / a ) Nota: a si ottiene applicando il teorema di Pitagora Θ si ottiene dividendo a y per a Gianluca Colò & Carlo Pagani 10

11 Riassunto per il caso 3D E tutto uguale ma le componenti del vettore sono 3 La posizione di un punto P è definita da 3 coordinate I sistemi di coordinate sono a 3 dimensioni I 3 sistemi di coordinate più importanti Cartesiane:, y, z = distanza dal piano yz y = distanza dal piano z z = distanza dal piano y Polari Sferiche: r, θ, φ = r sin(θ) cos (φ) y = r sin(θ) sin (φ) z = r cos(φ) Polari Cilindriche: r, θ, z = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z V 0 z V z V V P V y y P(,y,z) V(V,V y,v z ) P (r,θ,z) P (r,θ,φ) V ( V,θ,φ) V ( V,θ, V z ) Gianluca Colò & Carlo Pagani 11

12 Significato di sferiche e cilindriche P(r,θ,φ) V( V,θ,φ) P(r,θ, z) V( V,θ, V z ) V V Gianluca Colò & Carlo Pagani 12

13 Alcune considerazioni Le componenti di un vettore dipendono dall orientamento del sistema di coordinate, ma la grandezza espressa da un vettore non cambia La somma di vettori si può fare graficamente o analiticamente, applicando le semplici relazioni trigonometriche dei triangoli rettangoli. Disegnati i vettori uno di seguito all altro si chiude il poligono, stando attenti al verso del vettore risultante Si sommano le componenti e le componenti y tra loro, ottenendo la componente e la componente y del vettore somma (attenti ai segni) Gianluca Colò & Carlo Pagani 13

14 Operazioni con i vettori Con i vettori sono possibili operazioni di somma e moltiplicazione La matematica chiama questo capitolo algebra vettoriale Somma: ne esiste un solo tipo possibile: somma algebrica: vettore + vettore Risultato: vettore Prodotto: ne esistono 4 tipi possibili: 1) Vettore per un numero puro: scalare per vettore Risultato: vettore 2) Prodotto Scalare vettore vettore Risultato: scalare 3) Prodotto Vettoriale vettore vettore Risultato: vettore 4) Prodotto Tensoriale vettore vettore Risultato: tensore Gianluca Colò & Carlo Pagani 14

15 Esempi di somma di vettori Esempio di costruzione geometrica a b c a + b + c = s a s b c Esempio di calcolo del vettore somma y s = a + b + c b β α a s y = a y + b y + c y Partendo dai moduli e dagli angoli si ha: c γ a = a cosα > 0 a y = a sinα > 0 b = b cosβ < 0 b y = b sinβ > 0 c = c cosγ > 0 c y = c sin γ < 0 Gianluca Colò & Carlo Pagani 15

16 Prodotto di un vettore per un numero Ha come risultato un vettore Si ottiene moltiplicando le componenti cartesiane del vettore per il numero k B(B,B y ) = k A(A,A y ) B = k A B y = k A y Se si hanno le coordinate polari: si moltiplica il modulo per il numero (NON l angolo) B( B,θ Β ) = k A( A,θ Α ) B = k A θ Β = θ Α Le operazioni di somma vettoriale e di prodotto di un vettore per un numero ci permettono di introdurre una nuova rappresentazione dei vettori, usando i versori I versori sono vettori unitari (modulo = 1) con direzione e verso conformi agli assi del sistema di coordinate cartesiane di riferimento Gianluca Colò & Carlo Pagani 16

17 Rappresentazione con i versori In un sistema 3-D i versori sono 3, hanno modulo unitario, sono diretti secondo gli assi cartesiani e si indicano con la seguente notazione B A i i e j j e y k k e z A(A, A y, A y ) = A i + A y j + A z k B(B, B y, B y ) = B i + B y j + B z k In un sistema 2-D i versori sono solo 2: i e j Nota: Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare Gianluca Colò & Carlo Pagani 17

18 Versori associati alle coordinate polari : e i P(r,θ,φ) V( V,θ,φ) P(r,θ, z) V( V,θ, V z ) V V Gianluca Colò & Carlo Pagani 18

19 Prodotto Scalare - 1 Il Prodotto Scalare di due vettori, A e B, ha come risultato uno scalare. E il prodotto tra i moduli dei due vettori per il coseno dell angolo compreso, OVVERO il prodotto della proiezione del primo vettore sulla direzione del secondo per il modulo del secondo (o viceversa). A (A,A y ) B (B,B y ) B A B A B cos θ = A ( B cos θ) = ( A cos θ) B = B Α Ma vale anche: A B = (A B ) + (A y B y ) = C = scalare (dimostriamo questa affermazione nella prossima trasparenza). A θ Gianluca Colò & Carlo Pagani 19

20 Prodotto Scalare - 2 A (A,A y ) B (B,B y ) (A B ) + (A y B y ) = = ( A cos(θ A ) B cos(θ B )) + ( A sin(θ A ) B sin(θ B )) = = A B (cos(θ A ) cos(θ B ) + sin(θ A ) sin(θ B )) = = A B cos(θ A -θ B ) = A B cos(θ B -θ A ) L equivalenza è dimostrata Le due formule sono ambedue utili Conseguenze: A θ Α B θ Β Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo! Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli Gianluca Colò & Carlo Pagani 20

21 Prodotto Vettoriale (o Vettore) Il risultato del Prodotto Vettoriale tra 2 vettori, A e B, è un vettore, C, ortogonale al piano formato dai vettori A e B. A X B = AΛB= C modulo: C = A B sin θ direzione: al piano dei vettori verso: regola della mano destra, o (meglio!) verso uscente se per portare il primo sul secondo devo ruotare in senso antiorario A φ B C Note Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo C è massimo per φ = ± π/2 A B = - B A (non è commutativo!) Gianluca Colò & Carlo Pagani 21

22 P. V. in Coordinate Cartesiane A X B = AΛB = C A (A,A y, A z ) B (B, B y, B z ) C (C,C y, C z ) A=A i +A y j +A z k B=B i +B y j +B z k C=C i +C y j +C z k C = (A y B z A z B y ) C y = (A z B A B z ) C z = (A B y A y B ) i j k A A y A z B B y B z C=(A y B z A z B y ) i +(A B z A z B ) j + (A B y A y B ) k Esempio A (1,1,1) B (2,2,0) C (0-2,0-2,2-2) = C (-2,2,0) C=-2 i +2 j +0 k = -2 i +2 j z A B C y Gianluca Colò & Carlo Pagani 22

23 Obiettivi esercizi Cap. 3 (RHW) Cap. 3 Saper passare da un vettore (modulo e direzione) alle sue componenti e dalle componenti al vettore. Saper compiere le operazioni fondamentali con i vettori (somma, prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettore). Gianluca Colò & Carlo Pagani 23