1 Vettori. LeLing4: Vettori.

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1 LeLing4: Vettori. Ārgomenti svolti: Vettori. Prodotto scalare, angolo, lunghezza e proiezzione. Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare. Equazione della retta, del piano e dell iperpiano. Ēsercizi consigliati: Geoling 4. Vettori Il modo classico di rappresentare un vettore v del piano e quello di usare due numeri a, R come ( nel seguente grafico: a Dunque possiamo usare una colonna per indicare il vettore v. Di solito la somma v + w di due vettori si definisce tramite la regola del parallelogramma ( come si vede nel disegno. Usando le colonne, cioe a v = e ( a w =, si trova che la colonna della somma w + ( a v e + a. Dunque per + sommare i vettori si sommano le loro corrispondenti colonne. Un vettore v dello spazio si rappresenta anche come una freccia a cui si associa una a colonna. La somma di due vettori dello spazio corrisponde alla somma delle loro c corrispondenti colonne. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing4 Geometria

2 . Prodotto scalare. Prodotto scalare Il prodotto scalare v w di due vettori e un numero che si calcola facilmente usando le colonne. Se v v = v 2 e w v = w 2 allora v w = v w + v 2 w 2 + v 3 w 3. v 3 Esempio.. Sia v = 2 3 w 3 e v = allora v. w =.( = 2. Usando il teorema di Pitagora si vede che la lunghezza del vettore v e v v. La lunghezza si denota come v. Oltre che per il calcolo delle lunghezze il prodotto scalare si usa per determinare se due vettori sono perpendicolari o in generale per il calcolo dell angolo θ tra due vettori e della proiezione p( v : v w = cos(θ v w, p( v = ( v w w w. 2 Proposizione.2. I vettori w e v scalare e zero, cioe v w =. sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto Ecco il significato del segno del prodotto scalare: Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing4 2 Geometria

3 .2 Il prodotto scalare e i-lineare..2 Il prodotto scalare e i-lineare. Ecco l elenco delle proprieta del prodotto scalare: v w = w v, (c v w = v (c w = c( v w, ( v + u w = v w + u w. Notare che il vettore nullo e l unico vettore che ha lunghezza nulla..3 Disuguaglianze: di Cauchy-Schwarz e triangolare La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz afferma che la lunghezza della proiezione p( v e minore o uguale della lunghezza di v : p( v v. Allora p( v = ( v. w w w 2 = ( v. w w. Teorema.3. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ( v. w v w. La disugualianza del triangolo A + B C si ottiene come applicazione. Infatti, se A, B, C si pensano come vettori possiamo scrivere C = A + B. Partendo dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: A.B A B, 2A.B + A 2 + B 2 2 A B + A 2 + B 2, A + B 2 ( A + B 2, C A + B. Teorema.4. Disuguaglianza del triangolo v + w v + w. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing4 3 Geometria

4 2 L equazione della retta e del piano Usando il prodotto scalare possiamo( scrivere facilmente l equazione della retta l (del x piano passante per il punto X = e perpendicolare al vettore ( a N =. y Eccola qui: N X = N X oppure dove X = ( x y. ax + y = ax + y, perpen- Esempio 2.. Ecco l equazione della retta passante per il punto X = dicolare al vettore ( 2 N = : 3 2x + 3y =. ( In modo analogo si puo scrivere l equazione del piano π (dello spazio passante per x il punto X = y perpendicolare al vettore a N =. Eccola qui: z c N X = N X oppure dove X = x y z. ax + y + cz = ax + y + cz, Osservare che l equazione N X = N X e la stessa tanto per la retta del piano come per il piano nello spazio. Si chiama iperpiano l insieme definito come le soluzioni di una equazione N X = N X, dove adesso N, X, X sono colonne con n elementi. Dunque un iperpiano e l insime delle soluzioni del sistema lineare (con una sola equazione: { a x + a 2 x a n x n = Inoltre, notare che la X e una soluzione particolare delle equazione N X = N X. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing4 4 Geometria

5 3 Base ortogonale e componenti Nella fisica si chiama versore un vettore unitario, cioe di lunghezza. Inoltre si indicano con i, j, k i versori canonici, cioe perpendicolari tra di loro e unitari. I versori permetteno di scrivere ogni vettore v come loro cominazione lineare, cioe : v = v i + v2 j + v3 k Se dice che i versori ( i, j, k sono una ase ortogonale dello spazio. Notare che v i e la proiezione di v su i. Dunque il numero v si chiama prima componente di v. In modo analogo si definiscono la seconda e terza componente. Dal punto di vista delle colonne i versori i, j, k corrispondono a : Dunque i = v = v i + v2 j + v3 k = v 4 Piano tangente j = + v 2 k = + v 3 = Sia f(x, y una funzione a due variaili. Il grafico (x, y, f(x, y e una superficie di R 3. Il vettore N := ( f, f, e normale al grafico di f nel punto P = (x, y, f(x, y. x y Dunque un punto Q R 3 appartiene al piano tangente di f nel punto P = (x, y, f(x, y se e solo se N.(P Q = v v 2 v 3. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing4 5 Geometria