Note per il corso di Geometria e algebra lineare Laurea in Ing.Inform. e Com., Ing.Info.Gest.Imp., Informatica. 1 Vettori geometrici 1.

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1 1 Note per il corso di Geometria e algebra lineare Laurea in Ing.Inform. e om., Ing.Info.Gest.Imp., Informatica 1 Vettori geometrici 1.1 I prodotti cartesiani R R = R 2 e R R R = R 3, costituiti dalle coppie e terne ordinate di numeri reali, vengono utilizzati in geometria analitica per rappresentare i punti del piano e dello spazio, mediante l'introduzione di un sistema di coordinate cartesiane. In R 2 e in R 3 si possono introdurre due operazioni, la somma e la moltiplicazione per scalare (cioe per un numero reale k ), denite componente per componente: (a 1 ; a 2 ) + (b 1 ; b 2 ) = (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ); k(a 1 ; a 2 ) = (ka 1 ; ka 2 ): Similmente per le terne (a 1 ; a 2 ; a 3 ) 2 R 3. Denizione 1. Per ogni coppia = (x ; y ), = (x ; y ) di punti del piano, il vettore geometrico e l'elemento di R 2 avente le componenti (x x ; y y ). nalogamente per una coppia di punti dello spazio: D Due vettori geometrici = (x x ; y y ; z z ) 2 R 3. e D coincidono se e solo se = e = D oppure 6=, 6= D e i segmenti e D hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza. Nell'insieme dei vettori geometrici e possibile denire due operazioni. La somma di due vettori geometrici e D del piano e il vettore geometrico + D= (x x + x D x ; y y + y D y ) Similmente per i vettori dello spazio. Per ogni scelta dei punti ; ;, vale sempre + =. Nel caso in cui i due vettori geometrici vengano rappresentati da segmenti con uguale punto iniziale (vettori applicati in ), l'operazione di somma corrisponde alla \regola del parallelogramma": + = D, con D parallelogramma. D D La somma di vettori geometrici ha alcune proprieta fondamentali: e associativa: ( + ) + D = + ( + D) per ogni ; ; ; D.

2 1.2 Rette 2 esiste un elemento neutro: il vettore nullo O = (qualunque sia il punto ) ha la proprieta: + O = O + = per ogni ;. per ogni ;, esiste il vettore opposto di + = + = O e commutativa: + D= D +, il vettore per ogni ; ; ; D. =, tale che ome vedremo, questo signica che l'insieme V 2 dei vettori geometrici del piano e un gruppo commutativo rispetto alla somma di vettori. Vale lo stesso risultato per l'insieme V 3 dei vettori geometrici dello spazio. Il prodotto del numero reale t per il vettore geometrico del piano e il vettore geometrico t avente le componenti (tx tx ; ty ty ). nalogamente per i vettori geometrici dello spazio. (t>0) (t<0) Il prodotto t ha la seguente interpretazione geometrica: t e il vettore 0 con punto nale 0 sulla semiretta se t > 0, sulla semiretta opposta uscente da se t < 0, e tale che il segmento 0 abbia lunghezza jtj volte la lunghezza di. d esempio, ( 1) =. Se t = 0 oppure = O, poniamo t = O. In particolare, t = 0 se e solo se i punti ; ; 0 sono allineati. I vettori geometrici consentono di rappresentare in forma parametrica le rette nel piano e le rette e i piani nello spazio. 1.2 Rette Dati due punti distinti P 1 ; P 2 di una retta r nel piano, ogni altro punto P della retta r verica la condizione P 1 P = t P 1 P 2, con t 2 R. Posto P 1 = (x 1 ; y 1 ) e P 2 = (x 2 ; y 2 ), le coordinate (x; y ) di P soddisfano quindi le equazioni parametriche: { x = x 1 + t(x 2 x 1 ) y = y 1 + t(y 2 y 1 ) Eliminando t della forma dalle equazioni parametriche, si ottiene un'equazione cartesiana della retta, ax + by = c: Similmente, le coordinate (x; y ; z) di un punto P sulla retta nello spazio passante per P 1 = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) e P 2 = (x 2 ; y 2 ; z 2 ), soddisfano le equazioni: x = x 1 + t(x 2 x 1 ) y = y 1 + t(y 2 y 1 ) z = z 1 + t(z 2 z 1 ) L'eliminazione del parametro t in questo caso porta a due equazioni lineari in x; y ; z, della forma ax + by + cz = d : la retta e intersezione di due piani non paralleli (non univocamente determinati).

3 1.3 Piani 3 Esempio. La retta per P 1 = (1; 3; 1) e P 2 = (2; 0; 0) ha vettore direzione ed equazioni parametriche x = 1 + t y = 3 3t z = 1 t P 1 P 2 = (1; 3; 1) Eliminando t = x 1, si ottiene y = 3 3(x 1), z = 1 (x 1). La retta e intersezione dei piani di equazione 3x + y = 6 e x + z = 2: 1.3 Piani Sia il piano passante per tre punti non allineati P 1 ; P 2 ; P 3 nello spazio. Un punto P appartiene a se e solo se esistono numeri reali s; t tali che P 1 P = s P 1 P 2 +t P 1 P 3 (in tal caso, si dice che il vettore P 1 P e combinazione lineare dei vettori P 1 P 2 e P 1 P 3 ). Infatti, P sta sul piano se e solo se e quarto vertice di un parallelogramma con vertice in P 1 e lati paralleli ai segmenti P 1 P 2 e P 1 P 3. Dunque le coordinate (x; y ; z) di P soddisfano le equazioni parametriche: x = x 1 + s(x 2 x 1 ) + t(x 3 x 1 ) y = y 1 + s(y 2 y 1 ) + t(y 3 y 1 ) z = z 1 + s(z 2 z 1 ) + t(z 3 z 1 ) dove P 1 = (x 1 ; y 1 ; z 1 ), P 2 = (x 2 ; y 2 ; z 2 ), P 3 = (x 3 ; y 3 ; z 3 ). Esempio. Determiniamo le equazioni parametriche e un'equazione cartesiana del piano passante per i punti P 1 = (1; 3; 1), P 2 = (2; 0; 0) e P 3 = (0; 1; 1). Essendo P 1 P 2 = (1; 3; 1) e P 1 P 3 = ( 1; 2; 0), otteniamo x = 1 + s t r : y = 3 3s 2t (s; t; 2 R) z = 1 s Per ottenere l'equazione cartesiana basta eliminare s e t : x = 1 + (1 z) t y = 3 3(1 z) 2t s = 1 z ) 2x y + 5z 4 = 0: ) t = x z + 2 y = 3z 2( x z + 2) s = 1 z 1.4 Lunghezza e prodotto scalare Denizione 2. La lunghezza di un vettore geometrico v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ) e la lunghezza di un qualunque segmento che rappresenta v : se v =, la lunghezza di j v j = jj: Per il Teorema di Pitagora, se il riferimento cartesiano ssato nel piano o nello spazio e ortogonale (assi a due a due perpendicolari), vale la formula j v j = v1 2 + v 2 2 nel piano e j v j = v1 2 + v v 3 2 nello spazio,

4 1.4 Lunghezza e prodotto scalare 4 dove v 1 ; v 2, (e v 3 ) sono le componenti di v. Dati due vettori non nulli v = (v1 ; v 2 ; v 3 ) e = ( 1 ; 2 ; 3 ), diamo una formula per il coseno dell'angolo convesso formato dai due vettori (compreso tra 0 e radianti). Sia u = v. Nel caso dei vettori dello spazio (per il piano la formula e analoga) si ha j u j 2 = (v 1 1 ) 2 + (v 2 2 ) 2 + (v 3 3 ) 2 = j v j 2 + j j 2 2 (v v v 3 3 ): u=v θ v D'altra parte, e anche j u j 2 = (j j sin ) 2 + (j v j j j cos ) 2 = j v j 2 + j j 2 2 j v jj j cos e quindi si ha l'uguaglianza v v v 3 3 = j v jj j cos ; da cui la formula cos = v v v 3 3 : j v jj j L'espressione a numeratore e il prodotto scalare di : v = v1 1 + v v 3 3 ; che si annulla quando i due vettori sono ortogonali ( = =2 ). La stessa formula denisce il prodotto scalare se (almeno) uno dei due vettori e il vettore nullo. In tal caso v = 0. Per la proprieta distributiva del prodotto rispetto alla somma, il prodotto scalare e lineare rispetto ad entrambi gli argomenti (si dice che e bilineare): ( u + v ) = u + v e u ( v + ) = u v + u k( v ) = (k v ) = v (k ) 8k 2 R: Si puo anche esprimere la lunghezza di un vettore v mediante il prodotto scalare: j v j 2 = v v v 2 3 = v v Osservazione. La formula dell'angolo permette di dare un signicato geometrico ai coecienti a; b dell'equazione cartesiana ax + by = c di una retta r nel piano. Siano P 1 e P 2 punti di r. Si ha ax 1 + by 1 = c e ax 2 + by 2 = c; da cui, sottraendo, a(x 2 x 1 ) + b(y 2 y 1 ) = 0. Quindi il prodotto scalare tra il vettore n = (a; b) e il vettore direzione n e un vettore ortogonale (o normale) alla retta r. nalogamente, un piano di equazione cartesiana ax + by + cz = d ha vettore normale n = (a; b; c) o un qualunque suo multiplo non nullo. P 1 P 2 e nullo. Dunque

5 1.5 ree, volumi e prodotto vettoriale 5 Esercizio. Determinare equazioni della retta passante per l'origine e perpendicolare al piano di equazione cartesiana 2x 3y + z = 2. Un vettore direzione della retta richiesta e n = (2; 3; 1). Dunque la retta ha equazioni parametriche x = 2t y = 3t z = t 1.5 ree, volumi e prodotto vettoriale Siano v = (v 1 ; v 2 ) e = ( 1 ; 2 ) due vettori del piano. Il parallelogramma di lati area il cui quadrato e uguale a ha 2 = j v j 2 j j 2 j sin j 2 = j v j 2 j j 2 (1 cos 2 ) = j v j 2 j j 2 ( v ) 2 Dunque = jv 1 2 v 2 1 j. = (v v 2 2 )( ) (v v 2 2 ) 2 = (v 1 2 v 2 1 ) 2 θ v Nello spazio vale ancora la formula per l'area del parallelogramma denito dai vettori (v 1 ; v 2 ; v 3 ) e = ( 1 ; 2 ; 3 ) : v = 2 = (v v v 2 3 )( ) (v v v 3 3 ) 2 Si ha = j j, dove = (v 1 2 v 2 1 ) 2 + (v 1 3 v 3 1 ) 2 + (v 2 3 v 3 2 ) 2 : = (v2 3 v 3 2 ; v 3 1 v 1 3 ; v 1 2 v 2 1 ) e il prodotto vettoriale di. Proprieta del prodotto vettoriale 1. v =. 2. j j = area del parallelogramma di lati. 3. = ~0 se e solo se sono vettori proporzionali (infatti = 0, l'angolo tra e nullo o piatto oppure uno dei due vettori e nullo). 4. e ortogonale a a. (il prodotto scalare v ( ) si annulla... )

6 1.5 ree, volumi e prodotto vettoriale 6 5. Il verso del prodotto vettoriale e determinato dalla regola della mano destra (o della vite destrorsa). 6. Il valore assoluto del prodotto misto u ( ) di tre vettori dello spazio e uguale al volume V del parallelepipedo di lati u ; v ;. Infatti j u ( )j = j j(j u jj cos j) = h = V dove e l'angolo tra u h = j u jj cos j e l'altezza corrispondente. e, e l'area della base denita dai vettori e v x φ u Esercizio. Il tetraedro con lati deniti dai vettori v u ; v ; ha volume 1 6 j u ( )j (infatti e una piramide con base di area =2 ( area del parallelogramma denito da p )). Il tetraedro regolare di lato 1 ha volume Per calcolarlo, possiamo considerare il tetraedro T di vertici = (0; 0; 0), = (1; 1; 0), = (1; 0; 1), D = (0; 1; 1), i cui lati sono quattro diagonali di facce di un cubo di lato 1. T e un tetraedro regolare di lato p 2, con volume 1=3, come si ottiene dalla formula precedente ponendo u = = (1; 1; 0); v = = (1; 0; 1); = D= (0; 1; 1): Osservando che se il latopaumenta di un fattore a il volume aumenta di un fattore a 3, si ottiene il volume p ( 2) = del tetraedro regolare di lato 1.