Integrali superficiali e teorema della divergenza

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1 Integrali superficiali e teorema della divergenza Data una superficie regolare = ϕ(k), con ϕ : K R R 3, e una funzione continua f : R, definiamo integrale di ϕ su f dσ := (f ϕ) ϕ u ϕ v dudv = f(ϕ(u, v)) (ϕ u ϕ v )(u, v) dudv. K imbolicamente K dσ := ϕ u ϕ v dudv. Osservazione: nel caso f = si ottiene l area Area() = dσ = ϕ u ϕ v dudv. Def.: una funzione F da un sottoinsieme A R 3 in R 3 si dice campo vettoriale. e A è aperto e F C (A, R 3 ) definiamo la divergenza di F come F := x F + y F + z F 3 dove F i sono le componenti di F = (F, F, F 3 ). Consideriamo un aperto limitato e connesso R 3 tale ce la sua frontiera si possa scrivere come unione di un numero finito (diciamo m) di superfici regolari i = ϕ (i) (K i ) tali ce ϕ (i) (Int(K i )) ϕ (j) (Int(K j )) =, per i < j m, ovvero K =... m =:. Esempi: sfera (con m = ), cilindro di altezza finita (con m = 3), cono di altezza finita (con m = ), parallelepipedo (con m = 6) etc... Def: si ciama normale esterna ν = ν(x) nel punto x = (x, y, z) quello tra i due versori normali a nel punto x ce punta verso l esterno 3. Ovvero, se si sceglie bene l immersione 4 ν(ϕ(u, v)) = ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v () edi Def. 5.4 del Giusti; ϕ si ciama, talvolta, immersione. Nel caso = =... m,di cui sopra, tali versori sono definiti solo nei punti x ϕ (i) (Int(K i )) per un certo i m. 3 Rigorosamente: se esiste ɛ > tale ce x + ɛν / per ogni < ɛ ɛ. 4 Altrimenti basta scambiare l ordine di u e v.

2 Def. Dato un campo vettoriale F : R 3 continuo definiamo il flusso (uscente) di F attraverso come 5 F νdσ = m i= i F νdσ = m i= K i ( ) F (ϕ (i) (u, v)) (ϕ (i) u ϕ v (i) ) dudv. () Integrali di volume in R 3 Ricordiamo ce una funzione f : E R 3 R si dice integrabile se 6 sup ψ fϕ E, ψ semplice ψ = sup ϕ fϕ E, ϕ semplice ϕ =: f. e E è normale rispetto a z, ovvero se esistono U R, e due funzioni g, continue su U, tali ce 7 E = {(x, y, z) R 3 t. c. g(x, y) z (x, y), (x, y) U}. e poi ance U è normale rispetto a, per esempio, y, ovvero, per opportune funzioni continue α e β, E U = {(x, y) R t. c. α(x) y β(x), a x b}, allora E = {(x, y, z) R 3 t. c. g(x, y) z (x, y), α(x) y β(x), a x b}. In tal caso, dal Teorema di Fubini, ( b ( β(x) ) ) (x,y) f = f(x, y, z) dz dy dx. E a α(x) g(x,y) Teorema della divergenza ia come sopra 8 e sia F un campo vettoriale continuo su e C su. Allora F ν dσ = F dxdydz. 5 A rigore dovremmo scrivere ϕ (i) (Int(K F νdσ invece di i)) i F νdσ. 6 In R 3 le funzioni semplici sono quelle costanti sui parallelepipedi (mentre in R sui rettangoli). 7 I possono essere, eventualmente, sostituiti da <. 8 A rigore bisognerebbe far vedere ce è misurabile, ovvero ce a misura nulla.

3 Esempi Grafici di funzioni Un caso importante è quando la superficie è il grafico di una funzione g : K R R, cioè 9 Abbiamo ϕ(x, y) := (x, y, g(x, y)). ϕ x ϕ y = ( g x, g y, ) con ϕ x ϕ y = + g x + g y, quindi dσ = + g x + g y dxdy. Nel caso in cui la superficie rappresenti una porzione superiore della frontiera di un certo dominio, allora la normale esterna è ν = ( g x, g y, ) ; + g x + gy se invece stiamo considerando una porzione inferiore di allora la normale esterna è ν = (g x, g y, ). + g x + gy Infatti nel primo caso la terza componente del vettore è positiva e, quindi, il vettore punta verso l alto; nel secondo caso avviene il contrario. fera di raggio R centrata nell origine. ia la palla (piena) di centro l origine e raggio R e = la sfera di centro l origine e raggio R. appiamo ce = Ψ(K) con Ψ(ϑ, ϕ) := RΦ(ϑ, ϕ) dove e Φ(ϑ, ϕ) := (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ) K = {(ϑ, ϕ) : ϑ π, ϕ π} = [, π] [, π]. i vede subito ce Ψ ϑ Ψ ϕ = R sin ϑ Φ(ϑ, ϕ) ed essendo Φ =, abbiamo ce Ψ ϑ Ψ ϕ = R sin ϑ e dσ = R sin ϑ dϑdϕ 9 Denotando le variabili (x, y) invece di (u, v). 3

4 e la normale esterna è ν(x, y, z) = (x, y, z) R ovvero nelle coordinate angolari ν Ψ = Φ. Esercizio : calcolare il flusso uscente dalla sfera di raggio R centrata nell origine del campo F (x) := x x 3, dove x = (x, y, z). volgimento. Facciamo prima il conto nelle coordinate x = (x, y, z), ce, in questo caso, risulta più semplice. Ricordando ce x = R (siamo sulla sfera di raggio R!), si a ν(x) = x da cui F ν = R /R. Per cui F νds = /R ds = Area() = 4π. R Facciamo ora il conto nelle coordinate (ϑ, ϕ), ovvero usando l ultima espressione in () (qui m = ): π π = = π π π π notando ce Φ = Φ Φ =. Ψ(ϑ, ϕ) Ψ(ϑ, ϕ) (Ψ 3 ϑ Ψ ϕ ) dϑdϕ sin ϑ Φ(ϑ, ϕ) Φ(ϑ, ϕ) 3 sin ϑ dϑdϕ = 4π, Φ(ϑ, ϕ) dϑdϕ Esercizio : calcolare il flusso uscente dalla sfera di raggio centrata nell origine del campo F (x) := x x x x 3, con x := (,, ). Risultato:. uggerimento: si usi il teorema della divergenza. Cono con vertice nell origine, asse di simmetria lungo l asse z, altezza e raggio di base R. E il campo gravitazionale (elettrico) generato da una massa (carica) posta nell origine (ponendo uguale a la costante moltiplicativa). 4

5 Per la superficie laterale lat, possiamo usare come immersione con K = [, π] [, R]. Allora e quindi ϕ(ϑ, r) := (r cos ϑ, r sin ϑ, r) (3) R ϕ ϑ ϕ r = r( R cos ϑ, sin ϑ, ), R ϕ La normale esterna è ν = dσ = r R + dϑdr. ( cos ϑ, sin ϑ, R). + R ϑ ϕ r = r R + Alternativamente, essendo lat il grafico della funzione g : K R g(x, y) := (x, y), R possiamo usare come immersione ance ϕ(x, y) := (x, y, g(x, y)), K := {(x, y) R x + y R }. In questo caso dσ = R + dxdy e la normale esterna (ce punta verso il basso) è ν = + R ( x (x, y), y (x, y), R). Riguardo alla superficie superiore sup del cono, essa è il grafico su K := {(x, y) R, x + y } della funzione g(x, y) =, per cui dσ = dxdy e la normale esterna è ν = (,, ). Esercizio. erificare il teorema della divergenza con = cono e il campo F = (x z, yx, z). i a F = xz + x +, per cui F dxdydz = (xz+x+)dxdydz = dxdydz = olume() = π 3 R, 5

6 usando il fatto ce la funzione xz+x è dispari in x e è simmetrico rispetto ad x. Riguardo al flusso F νdσ = F νdσ + lat F νdσ. sup Consideriamo prima la lat. Usiamo l immersione in (3). (r cos ϑ, r sin ϑ, r) R da cui (F ν) ϕ(ϑ, r) = lat F νdσ = R π = R + R ( R π Osserviamo ce ( ) + R R r3 cos 3 ϑ + r cos ϑ sin ϑ r, ) R r3 cos 3 ϑ + r cos ϑ sin ϑ r r R + dϑdr r dϑdr = π 3 R. Consideriamo ora sup. u tale superficie, essendo z =, abbiamo ce F ν = z =. Per cui F νdσ = dσ = Area( sup ) = πr. sup sup In conclusione F νdσ = F νdσ + F νdσ = π lat sup 3 R + πr = 3 πr. 6