corso di laurea triennale in Matematica (F7X) ANALISI MATEMATICA prof.m.vignati versione a

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1 corso di laurea triennale in Matematica (F7X ANALISI MATEMATICA prof.m.vignati versione a Durata della prova: 10 minuti. Va fornita giustificaione del procedimento seguito. 1a] (6 punti Siano f n : [0, + R, n N, definite come f n (x := x3 nx 1 + nx i Determinare l insieme di convergena puntuale di {f n }, e la funione limite f. ii Discutere la convergena uniforme di {f n } ad f, relativamente agli intervalli (0, 1, (1,, (, +. a] (6 punti Quante, e quali, tra le soluioni di y 4y + 5y = 4 (cos x + sin x soddisfano contemporaneamente le condiioni y (0 = 0 e y ( π = 0? 3a] (6 punti i Trovare la soluione locale del problema di Cauchy y = ex xy (P C x y y (1 = ii Determinare l insieme di definiione della soluione massimale. 4a] (6 punti Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale ( F (x, y, := x, 1 y, 1 lungo la curva ϕ (t := ( t, 1 + t, t t 1, t : 1. 5a] (6 punti i Verificare che la relaione ( ( x + y 1 e x+y + cos y = 1 permette di definire, in un intorno V di y = 0, un unica funione implicita x = ψ (y di classe C (V che soddisfa ψ (0 = 1. ii Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ψ, arrestato al II ordine. iii Rappresentare graficamente, in un intorno di (0, 0, il luogo dei punti (x, y che soddisfano (. 1

2 c.l. in Matematica (F7X - Analisi Matematica 3 - prof. M.Vignati II prova in itinere versione a (Per tutti i problemi va fornita giustificaione del procedimento seguito. 1a] (6 punti Per α (0, + è dato il problema di Cauchy (P C α { y y = 4/3 y (1 = α. i Determinarne la soluione locale. ii Esistono valori α per i quali la soluione massimale è definita almeno per ogni x 0? a] (6 punti Quante, e quali, tra le soluioni di y 4y + 5y = 4 (cos x + sin x soddisfano contemporaneamente le condiioni y (0 = 0 e y ( π = 0? 3a] (6 punti i Trovare la soluione locale del problema di Cauchy y = ex xy (P C x y y (1 = ii Determinare l insieme di definiione della soluione massimale. 4a] (6 punti Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale ( F (x, y, := x, 1 y, 1 lungo la curva ϕ (t := ( t, 1 + t, t t 1, t : 1. 5a] (6 punti Sia α R, e sia ω α : A = R \ {(0, 0} ( R la forma differeniale definita da ω α (x, y := i Per quali α R la ω α è chiusa in A? ( 1 log ( x + y 4 + αx x + y 4 dx + xy3 x + y 4 dy. ii Per quali α R la ω α è esatta in A? iii Calcolare, per ogni α R, il valore di γ ω α, dove γ è la frontiera del rettangolo di vertici (±1, 1 e ( ±1, 1/ 4 3 percorsa, una sola volta, in senso antiorario.

3 corso di laurea triennale in Matematica (F7X ANALISI MATEMATICA prof.m.vignati versione b Durata della prova: 10 minuti. Va fornita giustificaione del procedimento seguito. 1b] (6 punti Siano g n : (0, + R, n N, definite come g n (x := 1 nx x 3 + nx i Determinare l insieme di convergena puntuale di {g n }, e la funione limite g. ii Discutere la convergena uniforme di {g n } a g, relativamente agli intervalli (0,, (, 5, (5, +. b] (6 punti Quante, e quali, tra le soluioni di y + y + y = cos x + sin x soddisfano contemporaneamente le condiioni y ( π = 0 e y (π = 0? 3b] (6 punti i Trovare la soluione locale del problema di Cauchy y = ex xy (P C x y y (3 = 1 ii Determinare l insieme di definiione della soluione massimale. 4b] (6 punti Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale ( F (x, y, := x, 1 y, 1 lungo la curva ϕ (t := ( t 1, 3t 4 t, t, t : 3. 5b] (6 punti i Verificare che la relaione ( ( x + y 1 e x+y + cos y = 1 permette di definire, in un intorno V di y = 0, un unica funione implicita x = ψ (y di classe C (V che soddisfa ψ (0 = 1. ii Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ψ, arrestato al II ordine. iii Rappresentare graficamente, in un intorno di (0, 0, il luogo dei punti (x, y che soddisfano (. 3

4 c.l. in Matematica (F7X - Analisi Matematica 3 - prof. M.Vignati II prova in itinere versione b (Per tutti i problemi va fornita giustificaione del procedimento seguito. 1b] (6 punti Per β (0, + è dato il problema di Cauchy (P C α { y y = y (1 = β. i Determinarne la soluione locale. ii Esistono valori β per i quali la soluione massimale è definita per almeno per ogni x 0? b] (6 punti Quante, e quali, tra le soluioni di y + y + y = cos x + sin x soddisfano contemporaneamente le condiioni y ( π = 0 e y (π = 0? 3b] (6 punti i Trovare la soluione locale del problema di Cauchy y = ex xy (P C x y y (3 = 1 ii Determinare l insieme di definiione della soluione massimale. 4b] (6 punti Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale ( F (x, y, := x, 1 y, 1 lungo la curva ϕ (t := ( t 1, 3t 4 t, t, t : 3. 5b] (6 punti Sia β R, e sia ω β : A = R \ {(0, 0} ( R la forma differeniale definita da ω β (x, y := i Per quali β R la ω β è chiusa in A? ( 1 log ( x + y 4 + βx x + y 4 dx + xy3 x + y 4 dy. ii Per quali β R la ω β è esatta in A? iii Calcolare, per ogni β R, il valore di γ ω β, dove γ è la frontiera del rettangolo di vertici (±1, 1 e ( ±1, 4 3 percorsa, una sola volta, in senso antiorario. 4

5 corso di laurea triennale in Matematica (F7X ANALISI MATEMATICA prof.m.vignati versione c Durata della prova: 10 minuti. Va fornita giustificaione del procedimento seguito. 1c] (6 punti i Trovare la soluione locale del problema di Cauchy y = ex xy (P C x y y (1 = ii Determinare l insieme di definiione della soluione massimale. c] (6 punti Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale ( F (x, y, := x, 1 y, 1 lungo la curva ϕ (t := ( t, 1 + t, t t 1, t : 1. 3c] (6 punti i Verificare che la relaione ( ( x + y 1 e x+y + cos y = 1 permette di definire, in un intorno V di y = 0, un unica funione implicita x = ψ (y di classe C (V che soddisfa ψ (0 = 1. ii Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ψ, arrestato al II ordine. iii Rappresentare graficamente, in un intorno di (0, 0, il luogo dei punti (x, y che soddisfano (. 4c] (6 punti Siano f n : [0, + R, n N, definite come f n (x := x3 nx 1 + nx i Determinare l insieme di convergena puntuale di {f n }, e la funione limite f. ii Discutere la convergena uniforme di {f n } ad f, relativamente agli intervalli (0, 1, (1,, (, +. 5c] (6 punti Quante, e quali, tra le soluioni di y 4y + 5y = 4 (cos x + sin x soddisfano contemporaneamente le condiioni y (0 = 0 e y ( π = 0? 5

6 c.l. in Matematica (F7X - Analisi Matematica 3 - prof. M.Vignati II prova in itinere versione c (Per tutti i problemi va fornita giustificaione del procedimento seguito. 1c] (6 punti i Trovare la soluione locale del problema di Cauchy y = ex xy (P C x y y (1 = ii Determinare l insieme di definiione della soluione massimale. c] (6 punti Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale ( F (x, y, := x, 1 y, 1 lungo la curva ϕ (t := ( t, 1 + t, t t 1, t : 1. 3c] (6 punti Sia α R, e sia ω α : A = R \ {(0, 0} ( R la forma differeniale definita da ω α (x, y := i Per quali α R la ω α è chiusa in A? ( 1 log ( x + y 4 + αx x + y 4 dx + xy3 x + y 4 dy. ii Per quali α R la ω α è esatta in A? iii Calcolare, per ogni α R, il valore di γ ω α, dove γ è la frontiera del rettangolo di vertici (±1, 1 e ( ±1, 1/ 4 3 percorsa, una sola volta, in senso antiorario. 4c] (6 punti Per α (0, + è dato il problema di Cauchy (P C α { y y = 4/3 y (1 = α. i Determinarne la soluione locale. ii Esistono valori α per i quali la soluione massimale è definita almeno per ogni x 0? 5c] (6 punti Quante, e quali, tra le soluioni di y 4y + 5y = 4 (cos x + sin x soddisfano contemporaneamente le condiioni y (0 = 0 e y ( π = 0? 6

7 corso di laurea triennale in Matematica (F7X ANALISI MATEMATICA prof.m.vignati versione d Durata della prova: 10 minuti. Va fornita giustificaione del procedimento seguito. 1d] (6 punti i Trovare la soluione locale del problema di Cauchy y = ex xy (P C x y y (3 = 1 ii Determinare l insieme di definiione della soluione massimale. d] (6 punti Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale ( F (x, y, := x, 1 y, 1 lungo la curva ϕ (t := ( t 1, 3t 4 t, t, t : 3. 3d] (6 punti i Verificare che la relaione ( ( x + y 1 e x+y + cos y = 1 permette di definire, in un intorno V di y = 0, un unica funione implicita x = ψ (y di classe C (V che soddisfa ψ (0 = 1. ii Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ψ, arrestato al II ordine. iii Rappresentare graficamente, in un intorno di (0, 0, il luogo dei punti (x, y che soddisfano (. 4d] (6 punti Siano g n : (0, + R, n N, definite come g n (x := 1 nx x 3 + nx i Determinare l insieme di convergena puntuale di {g n }, e la funione limite g. ii Discutere la convergena uniforme di {g n } a g, relativamente agli intervalli (0,, (, 5, (5, +. 5d] (6 punti Quante, e quali, tra le soluioni di y + y + y = cos x + sin x soddisfano contemporaneamente le condiioni y ( π = 0 e y (π = 0? 7

8 c.l. in Matematica (F7X - Analisi Matematica 3 - prof. M.Vignati II prova in itinere versione d (Per tutti i problemi va fornita giustificaione del procedimento seguito. 1d] (6 punti i Trovare la soluione locale del problema di Cauchy y = ex xy (P C x y y (3 = 1 ii Determinare l insieme di definiione della soluione massimale. d] (6 punti Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale ( F (x, y, := x, 1 y, 1 lungo la curva ϕ (t := ( t 1, 3t 4 t, t, t : 3. 3d] (6 punti Sia β R, e sia ω β : A = R \ {(0, 0} ( R la forma differeniale definita da ω β (x, y := i Per quali β R la ω β è chiusa in A? ( 1 log ( x + y 4 + βx x + y 4 dx + xy3 x + y 4 dy. ii Per quali β R la ω β è esatta in A? iii Calcolare, per ogni β R, il valore di γ ω β, dove γ è la frontiera del rettangolo di vertici (±1, 1 e ( ±1, 4 3 percorsa, una sola volta, in senso antiorario. 4d] (6 punti Per β (0, + è dato il problema di Cauchy (P C α { y y = y (1 = β. i Determinarne la soluione locale. ii Esistono valori β per i quali la soluione massimale è definita per almeno per ogni x 0? 5d] (6 punti Quante, e quali, tra le soluioni di y + y + y = cos x + sin x soddisfano contemporaneamente le condiioni y ( π = 0 e y (π = 0? 8