CALCOLO INTEGRALE IN PIÙ VARIABILI REALI

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1 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI NTONIO INNIZZOTTO Sommario. Misura secondo Peano-Jordan in R n. Integrali doppi e tripli: funzioni integrabili secondo Riemann, formule di riduzione, domini normali, domini regolari, cambiamento di variabili. Calcolo di aree e volumi: solidi di rotazione. Integrali generalizzati. Queste note sono un mero supporto didattico, senza alcuna pretesa di completezza, originalità o precisione. Indice 1. Misura in R n 1. Integrali doppi 4 3. Integrali tripli 4. Integrali generalizzati 3 Riferimenti bibliografici 33 Versione del 18 maggio Misura in R n La scultura si prefigge la ricostruzione astratta dei piani e dei volumi che determinano le forme, non il loro valore figurativo. U. Boccioni La teoria dell integrazione secondo Riemann (non è l unica serve innanzitutto a determinare l estensione di un oggetto in uno spazio euclideo. Tale estensione corrisponde nello spazio di dimensione alla nozione geometrica di area, e nello spazio di dimensione 3 a quella di volume. Più in generale, mediante un integrale si calcola la quantità totale di una grandezza diffusa in una regione spaziale con densità variabile da punto a punto. Per i dettagli e alcune dimostrazioni, rimandiamo a [1]. Per definire rigorosamente il concetto di estensione, stabiliamo una teoria della misura (secondo Peano-Jordan in R n, che generalizza quella per R introdotta in [3]. In analogia col caso bidimensionale, chiameremo rettangoli gli insiemi del tipo R n [a i, b i ], dove a 1,... a n, b 1,... b n R e a i b i per ogni i {1,... n}. La misura di R è definita da R i1 n (b i a i. i1 1

2 . INNIZZOTTO Figura 1. Un pluri-rettangolo è un insieme P R n che si può esprimere nella forma k P R j, j1 dove R 1,... R k R n sono rettangoli t.c. R j R h per ogni j, h {1,... k}, j h. Denotiamo P la famiglia dei pluri-rettangoli di R n. La misura di P è definita da k P R j j1 (per ragioni formali, assumiamo anche P con. Sia ora R n un insieme limitato. Definiamo due famiglie di pluri-rettangoli: σ {P P : P }, Σ {Q P : Q} (ved. figura 1. Chiaramente si ha sup P inf Q. P σ Q Σ Diremo che è misurabile se sup P inf Q m, P σ Q Σ e in tal caso la sua misura è definita da m. Infine, se R è illimitato, diremo che è misurabile se [ k, k] n è misurabile per ogni k N, e porremo sup [ k, k] n k N (può essere +. La famiglia degli insiemi misurabili in R n si denota M(R n. Nel caso n la misura di un insieme è anche detta area, nel caso n 3 volume. La misura gode di alcune proprietà formali, analoghe a quelle viste in [3]: Lemma 1.1. Siano, B M(R n. llora B, B, \ B M(R n. Inoltre:

3 (i ; (ii B + B ; (iii B + B B ; (iv se B, B + B ; (v se B, B ; (vi se B, B \ B. CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 3 Osserviamo che non tutti i sottoinsiemi di R n sono misurabili. Esempio 1.. (Insieme di Dirichlet Sia {(x, y R : x, y Q}. Si vede facilmente che non contiene alcun pluri-rettangolo di misura positiva, mentre ogni pluri-rettangolo Q contenente contiene anche l insieme cl( [, 1], così che Q 1. Dunque si ha in questo caso sup σ, inf Σ 1 e non è misurabile. Inoltre, esistono insiemi compatti non misurabili (insieme di Smith-Volterra-Cantor, dalla complessa costruzione. Insomma, la teoria della misura qui introdotta non è del tutto soddisfacente sul piano astratto, tuttavia essa è sufficiente per gli scopi della presente trattazione. Una famiglia importante di insiemi misurabili: Lemma 1.3. Siano R n compatto, misurabile, f : R continua. llora gr(f è misurabile e gr(f. Dimostrazione. Per semplicità supponiamo f(x per ogni x. Per ogni ε > esiste un pluri-rettangolo Q R n, rappresentato come k Q R i, i1 dove R 1,... R k sono rettangoli t.c. R i R j per ogni i j, verificante le seguenti condizioni: Q Q \ < ε; posto per ogni i {1,... n}, Poniamo m i min R i f, M i max R i f, si ha M i m i < ε (quest ultima proprietà segue dal fatto che f è uniformemente continua, per il Teorema di Cantor-Heine, ved. [5]. Q k (R i [m i, M i ]. Dunque Q è un pluri-rettangolo in R n+1 t.c. gr(f Q e i1 Q < ε Q. Poiché ε è arbitrario, deduciamo che gr(f è misurabile e gr(f.

4 4. INNIZZOTTO Osservazione 1.4. Come visto nel Lemma 1.3, il grafico di una funzione di n variabili abbastanza regolare è un sottoinsieme di R n+1 di misura nulla. Similmente vedremo che una curva in R e una superficie in R 3 hanno, rispettivamente, area e volume nulli. Infatti la misura funziona come un indicatore di dimensione: un oggetto geometrico di dimensione intrinseca n si può pensare come sottoinsieme di R m per qualsiasi intero m n, ma può avere misura diversa da solo in R n. Il calcolo della lunghezza di una curva o dell area di una superficie non rientrano nella teoria della misura, ma vengono realizzati con tecniche diverse che tengono conto della curvatura (ved. [7]. Esercizio 1.5. Dimostrare il Lemma 1.1. Esercizio 1.6. (Difficile Sia R un insieme compatto e misurabile. Dimostrare che è misurabile con.. Integrali doppi Introduciamo ora l integrale di Riemann in R. Consideriamo inizialmente un rettangolo R [a, b] [c, d] (a, b, c, d R, a b, c d e una funzione limitata f : R R. Per ogni n N decomponiamo R in n rettangoli ponendo per ogni i, j {1,... n} x i a + b a n i, y j c + d c n j, R i,j [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], così che R i,j è un rettangolo di misura Poiché f è limitata, esistono finiti R i,j (b a(d c n. m i,j inf R i,j f, M i,j sup R i,j f. Dunque definiamo le somme integrali (inferiore e superiore ponendo n n s n m i,j R i,j, S n M i,j R i,j. i,j1 Le successioni (s n, (S n sono limitate, e ovviamente si ha s n S n per ogni n N. In più si dimostra che gli insiemi delle somme inferiori e superiori sono separati (ved. []. i,j1 Definizione.1. La funzione f : R R è detta integrabile se e in tal caso il suo integrale è sup s n inf S n l, n N n N R f(x, y dx dy l. Una condizione necessaria e sufficiente per l integrabilità di una funzione: Teorema.. (Criterio di Riemann Siano R R un rettangolo, f : R R limitata. llora le seguenti condizioni sono equivalenti: (i f è integrabile; (ii per ogni ε > esiste n N t.c. S n s n < ε.

5 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 5 Figura. Dimostrazione. Dimostriamo che (i implica (ii. Fissato ε >, l integrabilità di f implica che esistono n, m N t.c. S n s m < ε. Sia dunque l mn. Si vede facilmente che ogni rettangolo della decomposizione indotta dal numero n è unione di m rettangoli della decomposizione indotta da l, e similmente ogni rettangolo della decomposizione indotta da m è unione di n rettangoli della decomposizione indotta da l. Pertanto si ha s m s l S l S n, da cui S l s l < ε. Dimostriamo che (ii implica (i. Poiché ε è arbitrario in (ii, si ha cioè f è integrabile. sup n N s n inf n N S n, L integrale della Definizione.1 è detto integrale doppio. Il suo significato geometrico è espresso dal seguente risultato (e dalla figura : Teorema.3. Sia f : R R integrabile t.c. f(x, y per ogni (x, y R. llora l insieme è misurabile e Dimostrazione. Poniamo T f {(x, y, z R 3 : (x, y R, z f(x, y} T f R R f(x, y dx dy. f(x, y dx dy l. Fissato ε >, per il Teorema. esiste n N t.c. l ε < s n S n < l + ε. È facile vedere che esistono due pluri-rettangoli P n, Q n in R 3 t.c. P n T f Q n, P n s n e Q n S n. Poiché ε > è arbitrario ne segue che T f è misurabile e T f l. In alcuni casi un integrale doppio si può calcolare direttamente:

6 6. INNIZZOTTO Esempio.4. Siano R R un rettangolo, c R, e f(x, y c una funzione costante. llora si ha per ogni n N, i, j {1,... m} che m i,j M i,j c, da cui s n S n c R. Pertanto f è integrabile e f(x, y dx dy c R. Esempio.5. Siano R [, 1] e f : R R definita da { 1 se y x f(x, y se y < x. R Fissato n N, il quadrato R è decomposto in n quadrati di area 1 n, così ripartiti: in n n quadrati si ha m i,j M i,j 1 in n n quadrati si ha m i,j M i,j nei restanti n quadrati si ha m i,j e M i,j 1. Pertanto s n n n n, S n n + n n. Per n entrambe le somme integrali tendono a 1, dunque f è integrabile e f(x, y dx dy 1. Esempio.6. (Funzione di Dirichlet Siano R [, 1] e f : R R definita da { 1 se x, y Q f(x, y se x / Q o y / Q. Fissato n N, per ogni i, j {1,... n} si ha m i,j e M i,j 1, da cui Pertanto f non è integrabile. Una condizione sufficiente per l integrabilità: R s n, S n 1. Lemma.7. Siano R R un rettangolo, f : R R continua. llora f è integrabile. Dimostrazione. Osserviamo che R è compatto. Per il Teorema di Weierstaß f è limitata, inoltre per il Teorema di Cantor-Heine essa è uniformemente continua (ved. [5]: fissato ε >, esiste δ > t.c. per ogni (x 1, y 1, (x, y R con d((x 1, y 1, (x, y < δ si ha f(x 1, y 1 f(x, y < Fissato n N abbastanza grande e decomposto come sopra R nei rettangoli R 1,1,... R n,n, si ha diam(r i,j < δ per ogni i, j {1,... n}, da cui M i,j m i,j < ε R. ε R. Questo implica S n s n < ε, così che f risulta integrabile per il Teorema..

7 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 7 L Esempio.5 prova che la condizione del Lemma.7 non è necessaria: osserviamo che in tale esempio l insieme dei punti di discontinuità della funzione integranda (ovvero la diagonale di R ha misura nulla. Invece, nell Esempio.6 l insieme dei punti di discontinuità è l intero quadrato R. In generale, infatti, vale il seguente risultato che estende il Lemma.7 (per la dimostrazione ved. [1]: Teorema.8. Siano R R un rettangolo, f : R R limitata t.c. l insieme D R dei punti di discontinuità di f sia misurabile con D. llora f è integrabile. Un modo efficace di calcolare un integrale doppio è quello di scomporlo in due integrali semplici, mediante le seguenti formule di riduzione: Lemma.9. Siano R [a, b] [c, d] un rettangolo, f : R R continua: (i posto per ogni x [a, b] si ha (ii posto per ogni y [c, d] si ha R R ϕ(x d c f(x, y dx dy ψ(y b a f(x, y dx dy f(x, y dy, b a f(x, y dx, d c ϕ(x dx; ψ(y dy. Dimostrazione. Proviamo (i (la dimostrazione di (ii è analoga. Per ogni x [a, b] la funzione f(x, è continua e quindi integrabile in [c, d], dunque ϕ è ben definita e a sua volta continua. Fissato n N e definiti x <... < x n, y <... < y n come sopra, per ogni i {1,... n} esiste ξ i [x i 1, x i ] t.c. xi ϕ(x dx ϕ(ξ i (x i x i 1 x i 1 n yj f(ξ i, y dy (x i x i 1 y j 1 Dunque si ha e similmente Pertanto si ha e si conclude. b a ϕ(x dx R i,j1 j1 n inf f (x i x i 1 (y j y j 1. R i,j j1 n inf f (x i x i 1 (y j y j 1 s n, R i,j b a ϕ(x dx S n. f(x, y dx dy b a ϕ(x dx,

8 8. INNIZZOTTO Esempio.1. Calcoliamo [,] [,1] (x y xy dx dy. Integriamo prima in y, ottenendo per ogni x [, ] [ x ϕ(x (x y xy y dy quindi applichiamo il Lemma.9: (x y xy dx dy [,] [,1] ( x x 3 xy3 ] 1 3 x x 3, dx [ x 3 x 6 ] 3. In particolare, se esistono g : [a, b] R, h : [c, d] R t.c. f(x, y g(xh(y per ogni (x, y R, le formule del Lemma.9 diventano b d (.1 f(x, y dx dy g(x dx h(y dy. Esempio.11. Calcoliamo R [,1] [1,] a e x y dx dy. Possiamo decomporre e x y e x e y e quindi applicare (.1: ( e 1. e x y dx dy [e x ] 1 [ e y ] 1 e [,1] [1,] Consideriamo ora domini di integrazione più generali: siano R compatto, f : R limitata. llora esiste un rettangolo R R t.c. R. Sia dunque f : R R definita per ogni (x, y R da { f(x, y se (x, y (. f(x, y se (x, y /. Definizione.1. La funzione f : R è detta integrabile se f : R R è integrabile, e in tal caso si pone f(x, y dx dy f(x, y dx dy. Osserviamo che l integrale definito sopra è indipendente dalla scelta di R. I Teoremi.,.3,.8 e il Lemma.7 si estendono facilmente al caso di un arbitrario dominio compatto. Inoltre valgono le seguenti proprietà, analoghe a quelle viste in [3]: Lemma.13. Siano R compatto, f, g : R integrabili: (i per ogni α, β R si ha ( αf(x, y + βg(x, y dx dy α (ii se f(x, y g(x, y per ogni (x, y, f(x, y dx dy R c f(x, y dx dy + β g(x, y dx dy; g(x, y dx dy;

9 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 9 (iii se B C, B, C R compatti misurabili t.c. B C, f(x, y dx dy f(x, y dx dy + f(x, y dx dy; (iv se, B f(x, y dx dy. In particolare, quindi, se f(x, y per ogni (x, y si ha f(x, y dx dy, e se f è positiva in un sottoinsieme di di misura non nulla la precedente diseguaglianza diventa stretta. Inoltre, se f è integrabile si ha f(x, y dx dy f(x, y dx dy. Esempio.14. L integrabilità di f non assicura quella di f. Per esempio, sia f : [, 1] R definita da { 1 se x, y Q f(x, y 1 se x / Q o y / Q. La funzione f non è integrabile, mentre f(x, y 1 ovviamente sì. Teorema.15. (Media integrale Siano R compatto e misurabile, f : R integrabile. llora si ha inf f f(x, y dx dy sup f. Dimostrazione. Dal Lemma.13 (ii, applicato alla funzione f e alle costanti inf f, sup f. Corollario.16. Siano R compatto, connesso e misurabile, f : R continua. llora esiste (x, y t.c. f(x, y dx dy f(x, y. Dimostrazione. Segue dal Teorema.15 e dal Teorema dei valori intermedi (ved. [5]. Mediante gli integrali forniamo una caratterizzazione della misurabilità in R : Lemma.17. Sia R compatto. llora le seguenti condizioni sono equivalenti: (i è misurabile; (ii la costante 1 è integrabile in. In tal caso si ha 1 dx dy. Dimostrazione. Proviamo che (i implica (ii. La costante 1 è continua, quindi per il Teorema.15 essa è integrabile in e vale l eguaglianza della tesi. Proviamo che (ii implica (i. Poniamo 1 dx dy m. C

10 1. INNIZZOTTO Figura 3. Sia R R un rettangolo t.c. R. Fissato ε >, per ogni n N introduciamo la decomposizione di R mediante i rettangoli R i,j (i, j {1,... n}. Per n abbastanza grande, si ha m ε < s n S n < m + ε. Denotiamo P l unione dei rettangoli R i,j contenuti in, e Q l unione di quelli che hanno con intersezione non vuota, così che P, Q sono plurirettangoli, P Q e m ε < P Q < m + ε. Poiché ε > è arbitrario, questo implica che è misurabile e m. Ovviamente il Lemma.9 non si applica direttamente a un dominio di forma arbitraria. Occorre definire alcune classi speciali di domini: Definizione.18. Sia R compatto. L insieme è detto (i dominio normale rispetto a x se esistono a, b R, a < b, e due funzioni continue g 1, g : [a, b] R t.c. g 1 (x g (x per ogni x [a, b] e {(x, y R : x [a, b], g 1 (x y g (x}; (ii dominio normale rispetto a y se esistono c, d R, c < d, e due funzioni continue h 1, h : [c, d] R t.c. h 1 (y h (y per ogni y [c, d] e {(x, y R : y [c, d], h 1 (y x h (y}; (iii dominio regolare se esistono k N, 1,... k R domini normali t.c. k i, i j per ogni i j. i1 Esempio.19. L insieme {(x, y R : x [, ], x y ex} è un dominio normale rispetto a x (ved. figura 3. Esempio.. L anello {(x, y R : 1 x + y 4} non è normale rispetto a x né rispetto a y. Tuttavia, possiamo decomporlo i 4 sottoinsiemi: 1 {(x, y : x 1}, {(x, y : 1 x 1, y },

11 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 11 Figura 4. 3 {(x, y : x }, 4 {(x, y : 1 x 1, y }, che sono tutti domini normali ( 1 e 3 rispetto a y, e 4 rispetto a x e tali che i j per ogni i j (ved. figura 4. Lemma.1. Siano R un dominio regolare, f : R continua. llora f è integrabile. Dimostrazione. Per semplicità supponiamo che sia un dominio normale del tipo (i. Poniamo c min [a,b] g 1, d max [a,b] g, così che è contenuto nel rettangolo R [a, b] [c, d]. Sia f : R R definita come in (., allora l insieme dei punti di discontinuità di f è gr(g 1 gr(g, misurabile con misura nulla per il Lemma 1.3. Dal Teorema.8 segue che f è integrabile, cioè f è integrabile (Definizione.1. In particolare, dunque, ogni dominio regolare è misurabile (Lemma.17. Inoltre, se è un dominio normale, vale la seguente estensione del Lemma.9: Lemma.. Siano R un dominio normale, f : R continua. llora: (i se (ii se si ha {(x, y R : x [a, b], g 1 (x y g (x}, ϕ(x f(x, y dx dy b a ϕ(x dx; {(x, y R : y [c, d], h 1 (y x h (y}, ψ(y g (x g 1 (x h (y h 1 (y f(x, y dy, f(x, y dx,

12 1. INNIZZOTTO si ha f(x, y dx dy d c ψ(y dy. Dimostrazione. Dimostriamo (i (la dimostrazione di (ii è analoga. Definiamo R e f come nella dimostrazione del Lemma.1. Sappiamo che f e f sono integrabili nei rispettivi insiemi di definizione. Per la Definizione.1 e il Lemma.9 si ha f(x, y dx dy f(x, y dx dy il che conclude la dimostrazione. Esempio.3. Siano R b a b a b a ( d c ( g (x g 1 (x ϕ(x dx, f(x, y dy dx f(x, y dy dx {(x, y R : x [, 1], x y x}, (ved. figura 5 e f : R definita da f(x, y 1 + xy. llora si ha, applicando la formula di riduzione (i, 1 ( x f(x, y dx dy (1 + xy dy dx x 1 ( x x + x3 x5 dx Esempio.4. Siano [ x 5 4. x3 3 + x4 8 x6 1 {(x, y R : x [, π], y sin(x}, (ved. figura 6 e f : R definita da f(x, y x y. llora si ha, applicando più volte la formula di integrazione per parti, π ( sin(x f(x, y dx dy x y dy dx π x sin(x dx [ x 3 1 x sin(x cos(x 4 π3 1 π 8. + x sin(x 4 ] 1 x 8 sin(x cos(x ] π + 8

13 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 13 Figura 5. Figura 6. Esempio.5. Siano R il parallelogramma di vertici (,, (1,, (1, 1, (, 1 e sia f : R definita da f(x, y cos(x + y. Il dominio è regolare in quanto possiamo decomporlo come 1, dove 1 {(x, y R : x 1, y x}, {(x, y R : 1 x, x 1 y 1} sono domini normali rispetto a x. Dunque si ha f(x, y dx dy f(x, y dx dy + f(x, y dx dy 1 1 ( x ( 1 (cos(x + y dy dx + 1 (x cos(x + x [x sin(x + cos(x + x3 6 cos(1 cos( 1. dx + La scelta fra le formule di riduzione (i e (ii non è indifferente: Esempio.6. Siano ] x 1 (cos(x + y dy dx (( x cos(x x + x dx [ + ( x sin(x cos(x x3 6 + x {(x, y R : x 1, x y 1}, e f : R definita da f(x, y sin(y 3. Il dominio è normale sia rispetto a x che rispetto a y (ved. figura 7. Tuttavia, la formula di riduzione (i produce un integrale alquanto complicato: f(x, y dx dy 1 ( x pplichiamo invece (ii, rappresentando il dominio come sin(y 3 dy dx... {(x, y R : y 1, x y } ] 1

14 14. INNIZZOTTO Figura 7. e ottenendo f(x, y dx dy [ 1 1 ( y sin(y 3 y dy cos(y3 3 1 cos(1. 3 sin(y 3 dx dy ] 1 Esempio.7. Calcoliamo l area dell insieme R delimitato dalle rette y, x 3, x e dalla curva y x ln(x 1 (ved. figura 8. Conviene decomporre in due domini normali: 1 {(x, y R : } 3 x 1, x ln(x 1 y, {(x, y R : 1 x, y x ln(x 1 y }, quindi calcolare le due aree separatamente. Si ha 1 ( 1 x ln(x [( 4x dy dx x ln(x 1 dx ln(3. ln(x 1 x + x 4 ] 3 1

15 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 15 Figura 8. Similmente si ricava da cui 15 8 ln(3 1, ln( Quando il dominio o la funzione integranda non permettono una facile rappresentazione, il metodo di integrazione per riduzione non è molto efficace. In questo caso si ricorre a un cambiamento di variabili, regolato dal seguente risultato: Teorema.8. Siano, B R domini regolari, f : R continua e integrabile, g : B un diffeomorfismo. llora la funzione (u, v (f g(u, v detj g (u, v è integrabile in B e f(x, y dx dy (f g(u, v detj g (u, v du dv. B Dimostrazione. Ci limitiamo a un caso speciale. Siano B [a, b] [c, d] un rettangolo (a < b, c < d e g : B R una trasformazione lineare definita da una matrice invertibile M R, cioè sia per ogni (u, v B [ ] u g(u, v M. v Sappiamo da [4] e [6] che g C 1 (B, R con matrice jacobiana J g (u, v M per ogni (u, v B, quindi per il Teorema di inversione locale g è un diffeomorfismo. L insieme g(b è un parallelogramma in R. Fissiamo una decomposzione di B mediante i punti a u <... < u n b, c v <... < v n d, ponendo R i,j [u i 1, u i ] [v j 1, v j ] (i, j 1,... n. Questa induce una decomposizione di in parallelogrammi P i,j g(r i,j, t.c. P i,j det M R i,j per ogni i, j {1,... n}. Sia ora f : R continua. Per il Corollario.16, per ogni i, j {1,... n} esiste ( x i,j, ȳ i,j P i,j t.c. P i,j f(x, y dx dy f( x i,j, ȳ i,j P i,j.

16 16. INNIZZOTTO Poiché g è suriettiva, esiste (ū i,j, v i,j R i,j t.c. ( x i,j, ȳ i,j g(ū i,j, v i,j, da cui P i,j f(x, y dx dy (f g(ū i,j, v i,j det M R i,j. ncora per il Corollario.16, per ogni i, j {1,... n} esiste (ũ i,j, ṽ i,j R i,j t.c. R i,j (f g(u, v det M du dv (f g(ũ i,j, ṽ i,j det M R i,j. Sia ora ε >. Poiché la funzione (f g det M è uniformemente continua in B (Teorema di Cantor-Heine, ved. [5], esiste δ > t.c. (f g(u, v det M (f g(u, v det M < ε per ogni (u, v, (u, v B con d((u, v, (u, v < δ. Scelto n N abbastanza grande nella decomposizione di, si ha diam(r i,j < δ per ogni i, j {1,... n}. Dunque, dalle relazioni precedenti abbiamo f(x, y dx dy (f g(u, v det M du dv n i,j1 B (f g(ūi,j, v i,j (f g(ũ i,j, ṽ i,j det M Ri,j ε det M B. L arbitrarietà di ε permette a questo punto di dedurre f(x, y dx dy (f g(u, v det M du dv, B concludendo. Nel caso di un dominio generico R e di una trasformazione non lineare g : B, il procedimento descritto sopra viene così adattato: (1 approssimiamo B con una famiglia (R h m h1 di rettangoli, in modo che l insieme B \ m h1 R h abbia misura piccola; ( per ogni h {1,... m} denotiamo (u h, v h il centro di R h, (x h, y h g(u h, v h e P h g(r h, quindi applichiamo a g la formula di Taylor centrata in (u h, v h e arrestata al primo ordine, approssimando g con la funzione lineare [ ] u uh g(u, v g(u h, v h + J g (u h, v h ; v v h (3 per ogni h {1,... m} applichiamo il metodo esposto sopra e otteniamo f(x, y dx dy (f g h (u, v det J g (u h, v h du dv; P h R h

17 (4 sommiamo tutti gli integrali ottenendo CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 17 m f(x, y dx dy f(x, y dx dy h1 P h m (f g h (u, v det J g (u h, v h du dv h1 R h m (f g(u, v det J g (u, v du dv h1 R h (f g(u, v det J g (u, v du dv. B La scelta della trasformazione g deve essere ponderata caso per caso, in modo da semplificare la forma del dominio. Di solito, scriveremo la trasformazione nella forma { x g 1 (u, v, (u, v B. y g (u, v Esempio.9. Siano il quadrato in R di vertici (1,, (, 1, ( 1,, (, 1 e f : R definita da f(x, y x. Poniamo B [ 1, 1] [ 1, 1] e x u + v y u v, (u, v B. Si vede facilmente che g : B è un diffeomorfismo con determinante jacobiano det J g (u, v 1/ 1/ 1/ 1/ 1. Per il Teorema.8 abbiamo f(x, y dx dy Esempio.3. Siano B 1 ( u + v 1 du dv ( u + du 3 1 {(x, y R : 1 x + y 4, y } (ved. figura 9 e f : R definita da f(x, y x + y. Poniamo B [1, ] [, π] e { x ρ cos(θ, (ρ, θ B y ρ sin(θ (si tratta della trasformazione da coordinate polari a coordinate cartesiane, già vista in [4] e in [6]. Si vede facilmente che g : B è un diffeomorfismo con determinante jacobiano det J g (ρ, θ ρ.

18 18. INNIZZOTTO Figura 9. Per il Teorema.8 f(x, y dx dy B π (ρ cos(θ + ρ sin(θρ dρ dθ ( 15 4 cos(θ sin(θ dθ [ 15 8 (θ + sin(θ cos(θ 7 ] π 3 cos(θ 15 8 π Esempio.31. Siano {(x, y R : x + y x, x 1} e f : R definita da f(x, y y x. Poniamo B [, 1] [ π, 3 π] e { x 1 + ρ cos(θ, (ρ, θ B. y ρ sin(θ Come sopra si ricava (y x dx dy B 3π π [ 3 π. (ρ sin(θ ρ cos(θ 1ρ dρ dθ ( sin(θ cos(θ 1 3 cos(θ + sin(θ 3 θ ] 3π π dθ

19 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 19 Esempio.3. Calcoliamo l area del dominio R delimitato dall ellisse Per il Lemma.17 si ha x 4 + y 1. 1 dx dy. Per calcolare l integrale poniamo B [, 1] [, π[ e { x ρ cos(θ, (ρ, θ B. y ρ sin(θ Si vede facilmente che g : B è un diffeomorfismo e det J g (ρ, θ ρ. Dunque 1 dx dy ρ dρ dθ π (in generale, la regione delimitata da un ellisse di semiassi a, b > ha area πab. Osserviamo che in questo caso B non è compatto, quindi non stiamo applicando il Teorema.8 alla lettera, ma una sua estensione (ved. [1]. Esercizio.33. Ricalcolare l integrale dell Esempio.5 usando la seguente rappresentazione di : {(x, y R : y [, 1], y x y + 1}. Esercizio.34. Calcolare l integrale cos(x + y dx dy, {(x, y R : x, y x, x + y }. Esercizio.35. Calcolare l integrale xy x + y dx dy, {(x, y R : x + y 1, y x}. Esercizio.36. Calcolare l integrale x + y 1 + x + y dx dy, {(x, y R : x + y 1, y x}. Esercizio.37. (Difficile Calcolare l integrale y dx dy, {(x, y R : y x, x + y x }. Esercizio.38. Calcolare l integrale xy dx dy, {(x, y R : x + 4y 1, y x }. Esercizio.39. Calcolare l area dell insieme R delimitato dalle rette x, x 1 e dalle curve y 1 x 1, y x +. B

20 . INNIZZOTTO Figura Integrali tripli In questa sezione trattiamo gli integrali del tipo f(x, y, z dx dy dz, dove R 3 è un insieme compatto e f : R è una funzione. La teoria è simile a quella svolta per il caso n, quindi non la ripetiamo: basti sapere che se f è continua e è di forma abbastanza regolare, allora f è integrabile. Ci concentriamo invece sull interpretazione geometrica e sulle tecniche di calcolo. Supponiamo f(x, y, z per ogni (x, y, z. Piuttosto che come misura in R 4 dell insieme T f {(x, y, z, w R 4 : (x, y, z, w f(x, y, z} come nel Teorema.3, conviene interpretare l integrale di f in come la massa di un corpo occupante la regione dello spazio R 3, e avente densità variabile espressa da f(x, y, z per ogni punto (x, y, z. Esempio 3.1. Sia {(x, y, z R 3 : x + y 1, z 1 x y } e f : R definita da f(x, y, z z. llora l integrale 1 dx dy dz rappresenta il volume di, mentre z dx dy dz rappresenta la massa totale del corpo con una densità crescente verso l alto (ved. figura 1.

21 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 1 In particolare, se f(x, y, z 1 per ogni (x, y, z, tale massa equivale al volume di : f(x, y, z dx dy dz. Le formule di riduzione per gli integrali tripli sono di due tipi: nella formula di riduzione per segmenti si considerano domini di integrazione normali rispetto al piano x y. Lemma 3.. Siano R un dominio regolare, g 1, g : R continue t.c. g 1 (x, y g (x, y per ogni (x, y, e f : R continua. llora: (i f è integrabile; (ii posto per ogni (x, y {(x, y, z R 3 : (x, y, g 1 (x, y z g (x, y} ϕ(x, y g (x,y g 1 (x,y f(x, y, z dz, la funzione ϕ : R è integrabile e f(x, y, z dx dy dz ϕ(x, y dx dy. Dimostrazione. naloga a quella del Lemma. (i. Esempio 3.3. Siano {(x, y, z R 3 : x + y + z 1, z }, e f : R definita da f(x, y, z xy z. Innanzitutto rappresentiamo in forma normale rispetto al piano x y, ponendo {(x, y R : x + y 1}, e per ogni (x, y g 1 (x, y, g (x, y 1 x y. Per il Lemma 3. abbiamo f(x, y, z dx dy dz ( 1 x y (xy z dz dx dy ( xy 1 x y + x + y 1 dx dy π 1 (ρ cos(θ sin(θ ρ ρ ρ dρ dθ ( π ( 1 cos(θ sin(θ dθ ρ ρ dρ + π (ρ 3 ρ dρ π 4, dove abbiamo usato il Teorema.8 e la formula (.1. Nella formula di riduzione per strati si considerano invece domini di integrazione normali rispetto all asse z:

22 . INNIZZOTTO Figura 11. Lemma 3.4. Siano c, d R, c < d, z R un dominio regolare per ogni z [c, d], e f : R continua. llora: {(x, y, z R 3 : z [c, d], (x, y z }, (i f è integrabile; (ii posto per ogni z [c, d] ψ(z f(x, y dx dy, z la funzione ψ : [c, d] R è integrabile e d f(x, y, z dx dy dz ψ(z dz. Dimostrazione. naloga a quella del Lemma. (ii. Esempio 3.5. Siano {(x, y, z R 3 : z [, 1], x + (y z 1} (ved. figura 11 e f : R definita da f(x, y, z 1 z. Posto per ogni z [, 1] per il Lemma 3.4 si ha f(x, y, z dx dy dz z {(x, y R : x + (y z 1}, 1 ( (1 z dx dy dz π z c 1 (1 z dz π. Ovviamente esistono versioni dei Lemmi 3., 3.4 per domini normali rispetto agli altri piani e assi coordinati. nche il metodo di integrazione per cambiamento di variabili si estende al caso n 3:

23 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 3 Teorema 3.6. Siano, B R 3 domini regolari, f : R continua e integrabile, g : B un diffeomorfismo. llora la funzione (u, v, w (f g(u, v, w det J g (u, v, w è integrabile in B e f(x, y, z dx dy dz B (f g(u, v, w det J g (u, v, w du dv dw. Quando il dominio di integrazione e la funzione integranda presentano una simmetria radiale, si può ricorrere alle coordinate polari sferiche (ved. [4]: x ρ sin(ϕ cos(θ y ρ sin(ϕ sin(θ z ρ cos(ϕ che definiscono una trasformazione g : (], + [ [, π] [, π[ (R 3 \ {} con determinante jacobiano sin(ϕ cos(θ ρ cos(ϕ cos(θ ρ sin(ϕ sin(θ det J g (ρ, ϕ, θ sin(ϕ sin(θ ρ cos(ϕ sin(θ ρ sin(ϕ cos(θ cos(ϕ ρ sin(ϕ ρ sin(ϕ. Esempio 3.7. Calcoliamo il volume della palla di raggio R > : {(x, y, z R 3 : x + y + z R }. Passando alle coordinate sferiche abbiamo 1 dx dy dz π ( π ( R π [ cos(ϕ ] [ π ρ πr3. ρ sin(ϕ dρ dϕ dθ Invece, se si ravvisa una simmetria assiale, si può ricorrere alle coordinate cilindriche: ] R x ρ cos(θ y ρ sin(θ z ζ che definiscono una trasformazione g : (], + [ [, π[ R (R 3 \ z con determinante jacobiano cos(θ sin(θ det J g (ρ, θ, ζ ρ sin(θ ρ cos(θ 1 ρ.,,

24 4. INNIZZOTTO Figura 1. Figura 13. Esempio 3.8. Calcoliamo l integrale dell Esempio 3.1: z dx dy dz π π π π ( 1 ( 1 ρ [ ζ ρ ] 1 ρ dρ (ρ ρ 3 + ρ 5 dρ ρζ dζ dρ dθ In generale, la trasformazione va scelta in base alla forma del dominio: Esempio 3.9. Calcoliamo il volume dell insieme R 3 delimitato dall ellissoide x + y 4 + z 9 1 (ved. figura 1. I semiassi dell ellissoide sono 1,, 3, dunque usiamo la trasformazione x ρ sin(ϕ cos(θ y ρ sin(ϕ sin(θ z ρ cos(ϕ,

25 con determinante jacobiano 6ρ sin(ϕ: 1 dx dy dz CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 5 π ( π ( 1 1π [ cos(ϕ ] [ π ρ 3 3 8π 6ρ sin(ϕ dρ dϕ dθ (in generale, se i semiassi sono a, b, c >, il volume è 4 3 πabc. Esempio 3.1. Calcoliamo il volume dell insieme delimitato dal piano x + z e dal paraboloide z 1 x y (ved. figura 13. In primo luogo troviamo una descrizione analitica di. L intersezione del piano e del paraboloide è un ellisse giacente sul piano, di equazione { x + y x 1 x + z, la cui proiezione sul piano x y è la circonferenza di equazione di centro ( 1, e raggio 5. Dunque poniamo e abbiamo la rappresentazione ] 1 x + y x 1, {(x, y R : x + y x 1 } {(x, y, z R 3 : (x, y, x z 1 x y }. Ora possiamo calcolare il volume usando le formule di riduzione e le coordinate polari (con centro opportuno: 1 dx dy dz Esempio Calcoliamo dove ( 1 x y 1 dz dx dy x (1 x x y dx dy π [ 5ρ π 5 3 π. ( 5 8 ρ4 4 ( 5 4 ρ + ρ3 dρ dθ ] 5 x dx dy dz, {(x, y, z R 3 : y 1 x, z y}.

26 6. INNIZZOTTO Poniamo {(x, y R : 1 x 1, y 1 x }. Bisogna applicare due volte le formule di riduzione: ( x y dx dy dz x dz dx dy x y dx dy x ( 1 x y dy dx 1 (x x 4 + x 6 dx 1 1 [ x 3 3 x5 5 + x7 ] Se un insieme R 3 rappresenta un corpo di densità f : R, il suo baricentro è il punto P di coordinate xf(x, y, z yf(x, y, z zf(x, y, z x dx, dy dz, y dx, dy dz, z dx, dy dz. Esempio 3.1. Consideriamo il cono {(x, y, z R 3 : x + y 1, z 1 x + y }, con densità f(x, y, z 1 z. Il volume di è 1 dx dy dz π 3. Calcoliamo inoltre Dove abbiamo posto x(1 z dx dy dz x(1 x + y dx dy π 1, {(x, y R : x + y 1}. ρ (1 ρ cos(θ dρ dθ Similmente y(1 z dx dy dz.

27 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 7 Infine z(1 z dx dy dz π 3 π 1 π. 1 ( (1 x + y (1 x + y 3 3 ( (1 ρ (1 ρ3 ρ dρ dθ 3 (ρ 3ρ 3 + ρ 4 dρ dx dy Dunque il baricentro è (,, 3. Consideriamo ora il caso particolare dei solidi di rotazione. Con questa espressione si indica l insieme delimitato (dalla superficie descritta dalla rotazione di una curva γ (ved. [7] intorno a una retta: per semplicità supponiamo che γ abbia parametrizzazione x f(t (3.1 y, t [a, b], z t dove a < b e f : [a, b] [, + [ è continua, e che la rotazione avvenga intorno all asse z. Vale in merito il seguente risultato: Teorema (Guldino Siano γ la curva di parametrizzazione (3.1 e llora {(x, y, z R 3 : z [a, b], x + y f(z}. π b Dimostrazione. Passiamo alle coordinate cilindriche: 1 dx dy dz da cui la conclusione. π π b a a f(t dt. ( b ( f(ζ a f(ζ dζ, ρ dρ dζ dθ Esempio Calcoliamo il volume dell insieme R 3 delimitato dalla rotazione intorno all asse z della curva di parametrizzazione x e t y, t [, ln(] z t (ved. figura 14. Si ha per il Teorema 3.13 π ln( e t dt 3 π.

28 8. INNIZZOTTO Figura 14. Figura 15. Il metodo descritto dal Teorema 3.13 si adatta in modo elementare ad altre rotazioni: Esempio Calcoliamo il volume dell insieme R 3 l insieme delimitato dalla rotazione intorno all asse x della curva di parametrizzazione x t y cosh(t, t [ 1, 1] z (ved. figura 15. Ragionando come nel Teorema 3.13, si ha: π 1 1 cosh(t dt [ t + cosh(t sinh(t π π (e 1 4 e + π. Quando è possibile utilizzare più metodi, l attenta osservazione dei dati consente in genere di scegliere il più adatto (ved. [8]. Esempio Calcoliamo il volume dell insieme {(x, y, z R 3 : x + y z x y }. Non conviene rappresentare come un solido di rotazione, in quanto la parametrizzazione della curva sarebbe assai complicata. È meglio porre ] 1 1 {(x, y R : x + y 1}

29 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 9 e poi calcolare il volume mediante le formule di riduzione e le coordinate polari: 1 dx dy dz ( x y x + y dx dy π ( 1 (ρ ρ 3 ρ dρ dθ π [ρ ρ4 4 ρ π. Esercizio Calcolare il volume dell insieme delimitato dal piano x + y z e dal paraboloide x + y + z 3/4. Esercizio Calcolare il volume dei seguenti insiemi: {(x, y, z R 3 : x + 4y 4, z y }, {(x, y, z R 3 : y 1 x, z x }, {(x, y, z R 3 : x 1, y 1, z ln(1 + x + y}, {(x, y, z R 3 : x + y 1, z xy}. Esercizio Calcolare il volume dell insieme delimitato dal piano z e dal paraboloide z x + y, che si proietta sull anello circolare Esercizio 3.. Calcolare ] 1 {(x, y R : 1 x + y 4}. z dx dy dz, dove R 3 è l insieme delimitato dai piani z, z y + 1 e dal cilindro x + y 1. Esercizio 3.1. Sia R 3 la sfera di centro (,, e raggio 1, con densità e (x +y +z 3. Calcolarne la massa. Esercizio 3.. Sia R 3 la sfera di centro (,, e raggio 1, con densità z 1. Calcolarne la massa e il baricentro. Esercizio 3.3. (Difficile Calcolare il volume dell insieme {(x, y, z R 3 : z [, π], x + (y sin(z π z}. Esercizio 3.4. (Difficile Calcolare il volume dell insieme delimitato dalla rotazione della curva dell Esempio 3.15 intorno all asse x.

30 3. INNIZZOTTO 4. Integrali generalizzati In questa sezione forniamo alcuni cenni sugli integrali di funzioni illimitate, o estesi a domini illimitati, in R n. Per semplicità, ci limitiamo al caso n (ved. [1] per un esposizione completa. Faremo uso della nozione di successione di insiemi, definita come una famiglia ( k t.c. per ogni k N k R. Definizione 4.1. (Integrale generalizzato del primo tipo Siano R illimitato, f : [, + [, ( k una successione di insiemi t.c. (i k1 k ; (ii k è un dominio regolare per ogni k N ; (iii f è integrabile in k per ogni k N ; (iv lim k k f(x, y dx dy l (l R {+, }. llora f è detta integrabile e si pone f(x, y dx dy l. Se l R diremo che l integrale converge. La Definizione 4.1 si estende come segue al caso di funzioni di segno variabile: se f : R, poniamo per ogni (x, y f + (x, y max{f(x, y, }, f (x, y max{ f(x, y, }, così che f ± : R sono funzioni non-negative. Diremo che f è integrabile se lo sono f ± e in tal caso porremo f(x, y dx dy f + (x, y dx dy f (x, y dx dy. Esempio 4.. (Funzione di Gauß in R Sia f : R R definita da f(x, y e x y. Poniamo k B k (, per ogni k N, quindi calcoliamo π ( k dx dy e ρ ρ dρ dθ Per k otteniamo x y e k x y e R [ π e ρ π(1 e k. ] k dx dy π. Questo notevole risultato permette di calcolare l integrale della funzione di Gauß anche in dimensione 1 (che non si può determinare con strumenti elementari, ved. [3]. Infatti si ha + ( + 1 ( + 1 e x dx e x dx e y dy ( π x y e R dx dy 1 (per svolgere questi calcoli, occorre però sapere che l integrale in questione è finito.

31 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 31 Definizione 4.3. (Integrale generalizzato del secondo tipo Siano R, f : [, + [ illimitata, ( k una successione di insiemi verificanti le condizioni (i - (iv della Definizione 4.1. llora f è detta integrabile e si pone f(x, y dx dy l. La Definizione 4.3 si estende alle funzioni di segno variabile come la 4.1. Esempio 4.4. Siano {(x, y R : < x + y 1} e f : R definita da f(x, y ln(x + y. Per ogni k N poniamo { k (x, y R 1 } : k < x + y 1, quindi calcoliamo π ( 1 f(x, y dx dy ln(ρ ρ dρ dθ 1 k k [ ρ ] 1 π (ln(ρ 1 1 k ( π 1 ln(k + 1 k. Per k otteniamo f(x, y dx dy π. Per sapere se l integrale converge, senza calcolarlo, si usano delle funzioni campione: Esempio 4.5. Siano e f : R n R definita da Per ogni intero k poniamo quindi consideriamo tre casi: se α > si ha da cui per k {(x, y R : x + y 1}, 1 f(x, y (x + y α (α >. k {(x, y R : 1 x + y k }, k f(x, y dx dy π ( k 1 ] k [ ρ α π α 1 π k α 1 α, f(x, y dx dy ρ 1 α dρ dθ π α ;

32 3. INNIZZOTTO se α < si ha come sopra da cui per k se α si ha da cui per k Esempio 4.6. Siano k f(x, y dx dy π k α 1 α, k f(x, y dx dy f(x, y dx dy + ; π ( k 1 π [ ln(ρ ] k 1 π ln(k, f(x, y dx dy +. 1 ρ dρ dθ {(x, y R : < x + y 1}, e f : R n R definita come nell Esempio 4.5. Come si vede facilmente, la situazione si capovolge: π se α ], [ f(x, y dx dy α + se α. La convergenza di un integrale generalizzato può talvolta essere stabilita mediante confronto con le funzioni degli Esempi 4.5, 4.6. Esempio 4.7. Sia f : R R definita da f(x, y x + y x 4 + y La funzione f è continua, quindi integrabile in B 1 (,. Si ha per ogni α ], 3[ lim f(x, y(x + y α. x +y Sappiamo (Esempio 4.5 che la funzione (x, y (x + y α è integrabile in R \ B 1 (,, dunque f(x, y dx dy R. R Esempio 4.8. Siano {(x, y R : < x + y 1} e f : R definita da 1 f(x, y sin(x + y. Per sapere se f è integrabile, calcoliamo il limite lim (x,y (, x + y sin(x + y 1.

33 CLCOLO INTEGRLE IN PIÙ VRIBILI RELI 33 Dunque esiste c > t.c. per ogni (x, y c f(x, y x + y, e la seconda funzione ha integrale divergente in, come visto nell Esempio 4.6. Dunque f(x, y dx dy +. Osservazione 4.9. La teoria degli integrali generalizzati in R n (n 3 è analoga a quella in R. La differenza più importante da tenere a mente è che l esponente critico per la funzione campione f(x 1 (α > x α è n, ovvero f è integrabile in R 3 \ B 1 ( se e solo se α > n, mentre è integrabile in B 1 ( \ {} se e solo se α < n. Esercizio 4.1. Fare i calcoli dell Esempio 4.6. Esercizio Stabilire se convergono i seguenti integrali sull insieme sin(xy ln(x + y R x 4 + y 4 dx dy, dx dy + 1 R e x +y (attenzione ai cambiamenti di segno. Riferimenti bibliografici [1] M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, nalisi matematica, Zanichelli (9. 1, 7, 19, 3 []. Iannizzotto, Insiemi numerici (15. 4 [3]. Iannizzotto, Calcolo integrale (15. 1,, 8, 3 [4]. Iannizzotto, Spazi euclidei (16. 15, 17, 3 [5]. Iannizzotto, Funzioni di più variabili reali (16. 3, 6, 9, 16 [6]. Iannizzotto, Calcolo differenziale in più variabili reali (16. 15, 17 [7]. Iannizzotto, Curve e superfici (16. 4, 7 [8] S. Salsa,. Squellati, Esercizi di analisi matematica, Zanichelli (11. 8 Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli Studi di Cagliari Viale L. Merello 9, 913 Cagliari, Italy address: antonio.iannizzotto@unica.it