UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari. (c) e5 e 4 e (2x 3y) dx + (1 + x)dx +

Transcript

1 UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari Risposte (sintetiche) agli esercizi del 5.XI.7. Gli integrali richiesti valgono: (a) + ( e ) (b) (c) e5 e e + (d) e + e (e) 5.. (a) (b) (c) (d) (e) (f) x x+ x y+ ( xy) ( oppure (x y) 9 (x y) + x sen x (x + y) x x y+ y y x+ x ( + x) + ( + x) + (x y) (y + x ) x oppure x y+ y y+ y ( xy) ) (x y) 9. (cos x ) ( + x) 8, oppure ( + x) 8. (y y + ) ( 5 + x + 5x + x ) (g) Scrivendo come insieme normale in coordinate cartesiane si trova: ( x ) y (x + y) oppure (x + y) 6 y. oppure, più rapidamente, usando le coordinate polari: (h) (i) dρ /x +x ρ (cos θ + sen θ) (x + xy) 6 + ln. (x y) 5. ρ dρ 6

2 (j) (k) (l) x (x y) + x x+ x x ) ( x + x + x + x x (y + ) x (y x) 6. 6 arctan ln 5. x x 8 x + y 5 (9 ) 6 ( ).. Per trovare il baricentro vanno calcolati tre integrali su (talvolta alcuni possono essere dedotti da proprietà di simmetria); indichiamo l impostazione solo nel caso del calcolo dell area. Usiamo la notazione per l area di e ( x, ȳ) per il baricentro. (a) ( 6, ( x, ȳ), ). (b) (c) y +, ( x, ȳ) y 5 x /x (ricordiamo che 5 ( ) 6 5,. ( arcsin arcsin ) ( ) ln, ( x, ȳ) 5 5,. a x x a a x + arcsin x ). a (d) è la differenza di due semicerchi di raggio e di raggio. Ricordando la formula per l area del cerchio, troviamo dapprima (). La coordinata x è nulla per simmetria. Per calcolare ȳ possiamo scrivere come dominio normale, al modo seguente ( ) ( x ) x ȳ y y 8 9, oppure, più rapidamente, usando le coordinate polari, ȳ ρ sen θ dρ 7 8 sen θ 9.. Per rispondere alla domanda dobbiamo trovare l area di e l integrale di x e di y su. L area di è evidentemente pari a Per trovare il valore degli integrali di x e di y dobbiamo prima ricostruire il loro valore su e. Indicando con ( x i, ȳ i ) le coordinate del baricentro di i, per i,, abbiamo che i x i i i x i x i.

3 Pertanto x x + x x + x Analogamente si trova che l integrale di y vale Le coordinate del baricentro sono quindi ( 5 7, 5 7 ). (NB Non sono la somma delle coordinate dei baricentri di e, bensì una media pesata). 5. Risolviamo gli integrali passando in coordinate polari. In tutti gli esercizi considerati, è possibile invertire l ordine di integrazione tra ρ e θ senza sostanziali differenze nella lunghezza del calcolo. (a) ρ (cos θ + sin θ) dρ. (b) (c) (d) (e) NB è sbagliato mettere come estremi (ρ cos θ ρ cos θ) dρ 8 +. oppure. ( ρ cos θ sin θ)ρ dρ ρ (cos θ + sin θ) ( + ). (ρ + ρ sin θ)ρdρ 65. (f) Usando coordinate polari centrate in (, ), cioè x + cos θ, y + sin θ, si ottiene ( + ρ(cos θ + sin θ))ρ dρ. (g) Usiamo coordinate polari centrate in (x, y ), cioè x x + ρ cos θ, y y + ρ sin θ: (x + ρ cos θ y ρ sin θ)ρdρ (x y ) 6. (a) Conviene scrivere come differenza di un settore circolare e di un triangolo: ρ dρ y (x + y ) 8 y. (b) Conviene scrivere come differenza di un quarto di cerchio e di un triangolo: / (ρ cos θ + ρ sen θ) ρdρ x (x + y) 8

4 (c) Scriviamo come unione di un settore circolare e di un triangolo, usando coordinate polari centrate in (, ) per il settore circolare: (ρ ( + cos θ sen θ) + ρ (cos θ + sen θ) + ρ)dρ ( y) (y) (x + y) (d) Scriviamo come unione di un settore circolare e di un triangolo, usando coordinate polari centrate in (, ) per il settore circolare: (ρ ρ sen θ)dρ + y (x + y ) y (e) (cf. l es.. (a) di Marcellini-Sbordone) Il dominio è meno semplice dei precedenti da scrivere in coordinate polari: conviene dividerlo in due parti e scrivere l intervallo dei valori di ρ in dipendenza da θ, come segue: / / cos θ dρ + / / / sen θ + dρ ln. (notare che la funzione integranda si semplifica con lo jacobiano delle coordinate polari). Si può anche scrivere il dominio come differenza di un quadrato e di un quarto di cerchio, ma in questo modo è lungo il calcolo dell integrale di f sul quadrato. (f) (cf. l esempio. (a) di Bertsch-Dal Passo -Giacomelli) Usando coordinate polari centrate in (, ) (non in (, ) che è il centro del cerchio) si trova / / cos θ ρ dρ Il tetraedro può essere descritto come insieme normale rispetto all asse z, al modo seguente {(x, y, z) : (x, y) T, z x y}, dove abbiamo indicato con T il triangolo di vertici (, ), (, ) e (, ) nel piano. T a sua volta si può scrivere come T {(x, y) : x [, ], y x}. (a) Calcoliamo dapprima il volume: x x x y ( x y) ( x) 6.

5 (oppure si può usare la nota proprietà che il volume di un tetraedro è dato dall area della base per l altezza diviso tre). Pertanto x 6 6 x 6 x x x( x y) x y x x( x). Con un calcolo analogo si trova che anche le coordinate ȳ e z valgono / (come si può dedurre anche dalla simmetria del dominio). (b) Troviamo f(x, y, z) x ( ) cos (x + y) x x y ( ) sin (x + y + z) ( sin ) x ( ). 8. Conviene integrare sulla piramide per strati. Lo strato di altezza z è il triangolo di vertici ( + z,, ), (, + z, ) e ( z,, ), che si può scrivere come: { z (x, y) : y [z, ], y + z x z + y }, z [, ]. Calcolando i rispettivi integrali si trova che il baricentro ha coordinate (,, ). L integrale della funzione vale invece y + z ( ) f(x, y, z) sen (x + y + z) 8 z z [ sen y cos ] z ( sen ) z + + y+z (z ) cos z (a) {(x, y, z) : x + y + z R }. (b) {(x, y, z) : x + y + z R, z }. (c) {(x, y, z) : x + y R, z h}. (d) {(x, y, z) : x + y [ R h (z h)], z h}. (e) {(x, y, z) : x + y ( R h z), z h}.. Nelle risposte usiamo la notazione C(r) per indicare il cerchio di centro (, ) e raggio r. (i) (b) {(x, y, z) : (x, y) C(R), z R x y } (c) {(x, y, z) : (x, y) C(R), z h} { } h (e) (x, y, z) : (x, y) C(R), R x + y z h.

6 (ii) (b) z C( R z ), per z R (c) z C(R), per z [, h], (e) z C ( R h z), per z [, h]. (iii) (b) z [, R], θ [, ], ρ [, R z ] oppure ρ [, R], θ [, ], z [, R ρ ], (c) z [, h], θ [, ], ρ [, R], (e) z [, h], θ [, ], ρ [, R h z] oppure ρ [, R], θ [, ], z [ h R ρ, h]. (iv) Il volume vale rispettivamente (b) R, (c) R h, (e) R h. (v) Il baricentro ha coordinate rispettivamente (b) (,, 8 R), (c) (,, h ), (e) (,, h). (vi) Il momento d inerzia vale rispettivamente (b) 5 R5, (c) R h, (e) R h.. In tutti i casi ρ varia in [, ], mentre θ e φ hanno le seguenti limitazioni. (i) θ [/, /], φ [, ] (ii) θ [, ], φ [/, ] (iii) θ [ /, ], φ [, ] (iv) θ [/, /], φ [, /] (v) θ [, /], φ [, /]. NB sono corrette anche le risposte ottenute aggiungendo a entrambi gli estremi un multiplo intero di ; tutte le altre sono sbagliate (ad es., se la risposta giusta è θ [ /, ], va ugualmente bene θ [/, ], mentre risposte quali θ [, /], o θ [/, ] o ancora θ [ /, ] sono sbagliate); l unica eccezione è naturalmente il caso di θ [, ] dove [, ] può essere sostituito da un qualunque altro intervallo della stessa ampiezza.. Indichiamo con δ la densità (costante) del cilindro e con h la sua altezza (che non sono note, ma si vedrà che il loro valore non influirà sul risultato finale). Si trova che la massa del cilindro vale 5δh e il momento d inerzia 65 δh. D altra parte sappiamo che la massa vale, quindi δh /5, da cui si deduce che il momento d inerzia vale 5.. Si ha che z C( z ) (cerchio di centro l origine e raggio z ) per z [, ], quindi la massa di si può calcolare al modo seguente ( + x + y + z ) z ( + ρ + z )ρ dρ C( z ) ( + x + y + z ) ( z z + ) 7. Oppure si può scrivere come unione di un settore sferico e in un cono, usando coordinate sferiche su ( + x + y + z ) dφ dρ ( + ρ )ρ sen φ 6 5,

7 e cilindriche su ( + x + y + z ) z ( + ρ + z )ρ dρ 5. Sommndo i contributi, si ottiene il risultato di 7 già ottenuto con l altro metodo.. In coordinate sferiche il dominio è descritto dalle limitazioni ρ [, ], θ [, ], φ [, ]. Pertanto il momento d inerzia è dato da / (x + y ) dρ (ρ sin φ)(ρ sin φ) dφ ρ dρ oppure in coordinate cilindriche 5 6. / z z ρ dρ (6 8z ) Conviene usare le coordinate sferiche, rispetto alle quali il dominio corrisponde a ρ [, ], θ [, /], φ [, /]. Pertanto la massa è data da / / ( + x + y) dρ dφ ( + ρ sin φ(cos θ + sin θ))(ρ sin φ) / dρ dφ / ( ρ + ρ) dρ 7 8. ( ρ sin φ + ρ sin φ) dφ 6. Osserviamo che il dominio è simmetrico rispetto a tutti i piani coordinati, in particolare rispetto a x e a z, quindi i termini x e z hanno integrale nullo perché funzioni dispari. E sufficiente quindi integrare il solo termine y. E possibile integrare per strati: y z ρ sen θ dρ [ ( z ) ] 5. In alternativa, è possibile scrivere il dominio come \ dove si scrive in coordinate sferiche come { (ρ, θ, φ) : ρ, θ, φ } mentre si scrive in coordinate cilindriche come Gli integrali valgono rispettivamente 5 { (ρ, θ, z) : z, θ, z ρ y sen φ dφ, dφ }. ρ sen φ dρ

8 y ( z ) 5. z ρ sen θ dρ Sottraendo i due risultati si trova il valore dell integrale su. 7. Sia δ(x, y, z) la densità di e sia m la sua massa. Dalla definizione di baricentro segue che a x + bȳ + c z (ax + by + cz)δ(x, y, z). m Per ipotesi, ax + by + cz > A su tutti i punti di, e quindi vale anche (ax + by + cz)δ(x, y, z) > Aδ(x, y, x) perché δ è positiva essendo una densità. Abbiamo quindi a x + bȳ + c z > A δ(x, y, z) A m m m A. 8. Osserviamo che è simmetrico rispetto ai piani x e y (ma non rispetto a z ). Pertanto funzioni dispari rispetto a x e/o rispetto a y hanno integrale nullo. Funzioni positive (risp. negative) su tutto hanno invece sicuramente integrale positivo (risp. negativo). Per brevità, nelle risposte chiamiamo positive su anche funzioni che valgono zero su un sottoinsieme di misura nulla e sono strettamente positive sul resto di (es. la funzione x). Troviamo nei vari casi (i) Ha integrale positivo, pari al volume di. (ii) Ha integrale nullo (è dispari rispetto a x). (iii) Ha integrale positivo (perché z è positiva su ). (iv) Ha integrale positivo (perché y è positiva su ). (v) Ha integrale nullo (è dispari rispetto a x). (vi) Ha integrale positivo, perché x z è positiva su. (vii) Ha integrale nullo (è dispari rispetto a x). (viii) Ha integrale nullo (è dispari rispetto a y). (ix) Ha integrale positivo, perché xy è compreso tra e su, e il coseno di una quantità tra e è positivo. (x) La funzione non è dispari né rispetto a x né rispetto a y; tuttavia soddisfa f( x, y) f(x, y), cioè cambia segno rispetto alla trasformazione (x, y) ( x, y). Poiché è invariante rispetto a questa trasformazione, cioè vale (x, y, z) se e solo se ( x, y, z), si ha che l integrale è nullo. (xi) Il termine x è dispari e quindi dà contributo nullo all integrale. Il termine z z è invece negativo per z [, ], come avviene nei punti di. L integrale di f quindi è negativo. (xii) La funzione non è dispari né rispetto a x né rispetto a y; tuttavia soddisfa f(y, x) f(x, y), cioè cambia segno rispetto alla trasformazione (x, y) (y, x). Poiché è invariante rispetto a questa trasformazione, cioè (x, y, z) se e solo se (y, x, z), l integrale è nullo.