ANALISI VETTORIALE COMPITO PER CASA DEL 6/12/ y x 2 + y 2 dxdy =

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1 ANALII VTTORIAL COMPITO PR CAA DL 6// sercizio Calcolare l integrale y x + y dxdy dove è l intersezione del cerchio del piano di centro l origine e raggio con il semipiano dato da y x. Risposta In questo dominio conviene usare il passaggio in coordinate polari Φ : x ρ cosθ), y ρ sin θ, per cui Φ[, 7 π] [, ]). Quindi y x + y dxdy 7 sinθ) dθ 7 ρ sinθ)ρρ dρ dθ ρ dρ. sercizio Dato {x, y) R : x + y, y, x }, calcolare l integrale xye x dx dy. Risposta Trattandosi di una parte di corona circolare conviene usare nuovamente il passaggio Φ in coordinate polari. In questo caso Φ[, π ] [, ]), per cui xye x dx dy [ ρ ] π cos θ) eρ π dρ ρ sinθ) cosθ)e ρ cos θ) dθ dρ ρe ρ ) dρ e e ). sercizio Dato {x, y) R : x + y, x y }, calcolare l integrale x y x + y) dxdy. Risposta In questo caso è utile considerare il cambio di variabile lineare u x + y, v x y, la cui inversa Φ è data da x u + v, y u v. Dunque Φ[, ] [, ]), e J Φ u, v) det ).

2 Ne segue x y x + y) dxdy [ v ] u log u ) dv v v u u dv log)dv log). sercizio Calcolare l area e il baricentro dell insieme {x, y) R : x y x, x y x}. Risposta Il dominio dato suggerisce un cambio di variabile tale che u y, v y x x. i tratta di un applicazione ben definita e invertibile, con inversa Φ : x v u, y v u, differenziabile, in, + ), + ). Dunque Φ[, ] [, ]), e Ne segue che J Φ u, v) v det dxdy u u v v u u J φ u, v) dv ) v u. 6 [v ] [u ] 8 ), x b x dxdy v v u u dv [v ] [u ] 7 8 ), y b y dxdy v v u u dv 5 [v5 ] [u ] ). v u dv sercizio 5 ia l insieme del piano x, y) determinato dalle disuguaglianze x y x, y x y. e y/x x dx dy. y Risposta La regione, delimitata da quattro archi di parabole, puó essere descritta anche al modo seguente: y x, x y,

3 da cui viene naturalmente suggerito il cambiamento di coordinate y x u, x y v, e nque { u, v da cui, ricavando x e y, si ha La matrice jacobiana è pertanto la seguente u 5/ v x u v, y uv. u / v / u / v / uv 5/ e quindi il suo determinante vale Ju, v) u v Dalla regola del cambiamento delle coordinate negli integrali doppi segue pertanto e y/x x dx dy y e u e e. ) u v e u u v dv sercizio 6 ia l insieme del piano x, y) delimitato dalle seguenti quattro rette y x, y x, y + x, y + x. logx) y dx dy. Risposta seguente Le condizioni che determinano l insieme possono essere anche scritte nella forma y x che suggerisce il cambio di coordinate, y x u y x, v y x, e nque { u, v

4 Da tale scelta si ricavano e quindi x u + v, y u u + v logx) y dx dy log u + v Ju, v) u + v) ) u dv ) u + v) log u + v u u + v) dv u log) logu + v)) dv u + ) logu + ) u + ) logu + ) + + log) u )) 8 + log 6. 5/8 7. /8. sercizio 7 ia l insieme del piano x, y) delimitato dalle seguenti quattro curve y + x, y + x, y x, y x. x + y) dx dy. Risposta Indicate le limitazioni che definiscono come y + x, y x si riconosce il cambio di coordinate collegato { u y + x, v y x, e nque { u, v che proce : { y + u + u v, x + + u v : { y + u + + u v, x + u v La prima coppia di funzioni : stabilisce un cambiamento di coordinate tra, la parte più bassa di, e il quadrato [, ] [, ] del piano u, v). La seconda coppia di funzioni : stabilisce un cambiamento di coordinate tra +, la parte più alta di, e il quadrato [, ] [, ] del piano u, v).

5 Le e matrici jacobiane delle trasformazioni e sono uv+ uv+ uv+ uv+ Il molo del loro determinante è lo stesso e vale Ju, v) uv+ + uv+ + uv+ uv+ u v + La formula del cambiamento delle coordinate negli integrali doppi fornisce pertanto, indicate con ed + la parte inferiore e la parte superiore di x + y) dx dy x + y) dx dy + x + y) dx dy + da cui, per linearità, + + u + u v ) + u v dv+ + u + + u v ) + u v dv + u dv ). + u v 5 5