(x) = F 1 x 1. (x)+ F 2. cioè è la traccia (cioè la somma degli elementi della diagonale principale) della matrice jacobiana J F (x).

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1 Teorema della divergenza Richiami di teoria Operatori divergenza e di Laplace R n un insieme aperto, x = (x 1, x 2,..., x n ). Divergenza Consideriamo un campo vettoriale F : R n R n differenziabile in (cioè F = (F 1,..., F n ) e per ogni i = 1,..., n le funzioni F i : R sono differenziabili in ogni punto di ). L operatore divergenza di F è definito da div F (x) = n i=1 F i x i (x) = F 1 x 1 (x)+ F 2 x 2 (x)+...+ F n x n (x), x, cioè è la traccia (cioè la somma degli elementi della diagonale principale) della matrice jacobiana J F (x). Notare che l operatore divergenza fa passare da un campo vettoriale F : R n R n a un campo scalare div F : R. Laplaciano Consideriamo un campo scalare f : R n R f C 2 (). L operatore Laplaciano di f è definito da f(x) = div ( f) (x) = n i=1 2 f (x) x 2 i = 2 f x 2 (x) + 2 f 1 x 2 (x) f (x), x, 2 x 2 n

2 cioè è la traccia della matrice hessiana Hf(x). Data f = f(x, y) C 2 (), sia f = f(ρ, ϑ) = f(ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ)) la funzione corrispondente a f in coordinate polari. L operatore corrispondente al Laplaciano in coordinate polari è f f = 2 f ρ + 1 f 2 ρ ρ f ρ 2 ϑ 2.

3 Regolarità di insiemi aperti Un aperto R n si dice di classe C 1 se soddisfa le seguenti condizioni è limitato si rappresenta localmente come grafico di una funzione di classe C 1, cioè x B r (x) f : T R n 1 R, T insieme aperto e f C 1 (T ), tali che B r (x) = graf(f) = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : (x 1,..., x n 1 ) T, x n = f(x 1,..., x n 1 )}. Analogamente si da la definizione di aperto di classe C k, k 1.

4 Versore normale esterno Sia R n un aperto di classe C 1. Allora per ogni x è ben definito il versore (di R n ) normale a in x, diretto verso l esterno di, che denotiamo come ν(x) versore normale esterno in x. Chiamiamo normale esterna il campo vettoriale ν : R n, che è di classe C 0 su. Esempi: se n = 2, R 2, quindi è una curva regolare (di classe C 1 ) allora ν(x) è il versore normale alla curva in x, diretto verso l esterno di se n = 3, R 3, quindi è una superficie regolare di R 3 e ν(x) è il versore normale alla superficie in x, diretto verso l esterno di

5 Superficie e integrali di superficie Sia S una superficie regolare di R 3 data in forma cartesiana, cioè S è il grafico di una funzione f : T R 2 R classe C 1 : S = { (x, y, z) R 3 : z = f(x, y), (x, y) T }. Allora per ogni P = (x, y, z) = (x, y, f(x, y)) S il versore normale a S nel punto P è ν(p ) = ν(x, y, f(x, y)) = 1 + f data una funzione 1 2 x (x, y) 2 y (x, y) + f g : S R limitata su S, g = g(x, y, z) l integrale di superficie di g su S è = ove S g ds T g(x, y, f(x, y)) ds = ( f ) (x, y), f x y (x, y), 1 ( ) f 2 ( ) f 2 x (x, y) + y (x, y) dxdy ( ) f 2 ( ) f 2 x (x, y) + y (x, y) dxdy è l elemento infinitesimo di area della superficie.

6 Sia F : S R 3 di classe C 1. Il flusso di F attraverso S è F ν ds S con il prodotto scalare. Quindi usando la rappresentazione cartesiana della superficie (e osservando che la quantità 1 + f x si elide) si ha la formula per il flusso di una campo vettoriale attraverso una superficie cartesiana F ν ds 2 + f 2 y = S T F (x, y, f(x, y)) ( f x (x, y), f y (x, y), 1 ) dxdy

7 Il teorema della divergenza (o teorema di Gauss) Sia n = 2 o n = 3 sia R n un aperto di classe C 1 sia F : R n un campo vettoriale con F C 0 () C 1 () cioè F è continuo sulla chiusura di e di classe C 1 in sia ν : R n la normale esterna al bordo. Allora div F dx = F ν ds. Riduzione dimensionale: Si passa da un integrale in R n (n = 2, 3) a un integrale in R n 1! se n = 2, si passa da un integrale doppio a un integrale curvilineo: notare che ν è il versore normale (esterno) alla curva F ν ds è l integrale curvilineo di prima specie del campo scalare ϕ = F ν lungo la curva se n = 3, si passa da un integrale triplo a un integrale superficiale: notare che ν è il versore normale (esterno) alla superficie F ν ds è il flusso di F attraverso la superficie

8 Formula di integrazione per parti La riduzione dimensionale è caratteristica di tutte le formule di integrazione per parti: nel caso f, g : (a, b) R R di classe C 1 su (a, b) si passa da integrali 1-dimensionali a integrali 0-dimensionali b a f (x)g(x) dx = b a f(x)g (x) dx + [f(x)g(x)] b a. Dal teorema della divergenza si ricava la seguente Formula di integrazione per parti. Allora Sia n = 2 o n = 3 e R n un aperto di classe C 1 siano u : R un campo scalare con u C 0 () C 1 () v : R n un campo vettoriale con v C 0 () C 1 () v (x) u(x) dx = u(x) div( v (x)) dx + u v ν ds.... Si dimostra applicando il teorema della divergenza al campo F = u v e osservando che vale la formula di Leibniz div(u v ) = u v + u div( v )

9 Da si ricavano Altre formule di integrazione per parti v (x) u(x) dx = u(x) div( v (x)) dx + u v ν ds. formula di integrazione per parti rispetto alla derivata parziale i-esima: dati u, w : R campi scalare con u, w C 0 () C 1 () si ha per ogni i = 1,..., n u x i w dx = u w dx + x i uwν i ds.... Si dimostra applicando la formula di integrazione per parti al campo scalare u e al campo vettoriale v = w e i, con e i l i-esimo versore della base canonica di R n formula di integrazione per parti per l operatore di Laplace: dati si ha u, w : R campi scalari con u C 0 () C 1 () u w dx = u w dx + w C 1 () C 2 () u w ν ds.... Si dimostra applicando la formula di integrazione per parti al campo scalare u e al campo vettoriale v = w, che ha la regolarità giusta essendo w C 1 () C 2 (). Si noti che il termine w ν viene detto derivata normale di w e denotato come w ν. Allora la formula diventa u w dx = u w dx + u w ν ds.