IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS

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1 IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS In questa nota dimostriamo il teorema di Bolzano-Weierstrass che garantisce l esistenza, per una opportuna classe di sottoinsiemi di R, di punti di accumulazione. Per completezza ricordiamo dapprima la definizione dell insieme R, la definizione di intorno di un suo punto e le relative proprietà della famiglia di tali intorni. L insieme R è l insieme R = R {, + }. Ovvero un punto c appartiene ad R se e solo se c è un numero reale, oppure c è il simbolo oppure c è il simbolo +. Osservazione. Si faccia bene attenzione al fatto che R non è un insieme numerico poichè non è possibile assegnare a ciascuno dei simboli e + una valenza numerica: in particolare non è possibile estendere in maniera significativa le operazioni di campo definite nell insieme R a tutto R. R dunque è un insieme che non possiede dunque una particolare struttura algebrica di gruppo, né di campo, né di spazio vettoriale e contiene, come abbiamo visto, il campo (ordinato, completo ed Archimedeo) R; tuttavia, per coerenza formale, possiamo estendere l ordinamento definito su R a tutto R ponendo < x < + x R. Per spirito di concretezza possiamo pensare al simbolo (risp. + ) come punto finale direzione verso cui orientare rispettivamente i numeri negativi sempre più piccoli (risp. i numeri positivi sempre più grandi). Fissato dunque arbitrariamente c R e distinguendo i tre casi possibili, ( ): c = ; (Numero Reale) : c R ; (+ ): c = + ; definiamo gli intorni di c come segue: ( ): chiamiamo intorno di c =, e lo denotiamo genericamente con U (oppure con V, W,...), un intervallo aperto non limitato del tipo U = [, k[, dove k R è un numero reale arbitrariamente fissato; (Numero Reale) : chiamiamo intorno di c R, e lo denotiamo genericamente con U (oppure con V, W,...), un intervallo aperto limitato del tipo U = ]c r, c + r[, dove r R, r > 0, è un numero reale positivo arbitrariamente fissato; c 2007 Author: Andrea O. Caruso Date: 8 novembre

2 2 IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS (+ ): chiamiamo intorno di c = +, e lo denotiamo genericamente con U (oppure con V, W,...), un intervallo aperto non limitato del tipo U = ]k, + ], dove k R è un numero reale arbitrariamente fissato. Osservazione. Si faccia attenzione al fatto che, nei due casi i) e iii), i due intervalli chiusi all infinito del tipo, rispettivamente, [, k[ e ]k, + ], sono sottoinsiemi di R, tra i cui elementi compaiono appunto e + ; gli stessi intervalli infatti, da un punto di vista strettamente insiemistico, non hanno significato in R. Possiamo dunque definire, per un punto c R arbitrariamente fissato, la famiglia I(c) degli intorni di c ponendo I(c) = { U : U è un intorno di c } { U : k R, U = [, k[ } se c = = { U : r R, r > 0, U =]c r, c + r[ } se c R { U : k R, U =]k, + ] } se c = { [, k[ } k R se c = = { ]c r, c + r[ } r R se c R. r>0 { ]k, + ] } k R se c = É stato verificato a lezione (e comunque è facile rendersene conto mediante qualche disegno) che, per ogni c R, la famiglia I(c) gode delle seguenti proprietà: i) U I(c) c U; ii) U, V I(c) U V I(c); iii) U I(c), x U V I(x) : V U; sussiste poi la seguente proprietà degli intorni dei punti di R, detta proprietà di separazione: iv) a, b R U I(a), V I(b) : U V =. A parole possiamo enunciare le proprietà i),ii),iii),iv) come segue: i) il punto c appartiene ad ogni suo intorno; ii) l intersezione di due intorni di c è ancora un intorno di c; iii) per ogni punto x appartenente ad un dato intorno di un punto c, esiste un intorno del punto x tutto contenuto nell intorno dato; iv) se a e b sono due elementi distinti di R allora esistono due intorni, uno del punto a ed uno del punto b, aventi intersezione vuota (ovvero privi di punti a comune). Nota. Dalla proprietà ii) segue subito (più precisamente si procede per induzione) che l intersezione di un numero finito di intorni di un punto c è ancora un intorno del punto c, in simboli: U 1,...,U n I(c) U 1 U n I(c). Definizione (Topologia in R ). Diciamo che l insieme R è dotato di una topologia (euclidea), ovvero che è uno spazio topologico, se in esso è stata introdotta una famiglia di intorni I(c) godente delle proprietà i), ii), iii), iv) per ogni punto c R. Possiamo adesso dare la definizione di punto di accumulazione. Definizione (Punto di accumulazione). Sia E R un sottoinsieme. Un punto c R dicesi di accumulazione per l insieme E se ogni intorno del punto c contiene almeno un punto dell insieme E diverso dal punto c, in simboli U I(c) (U \ {c}) E.

3 IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS 3 Osservazione. Si presti bene attenzione al fatto che il punto c di cui nella precedente definizione appartiene in generale a tutto lo spazio R : non è detto cioè che appartenga all insieme E. In particolare, se il punto c in oggetto non appartiene all insieme E, allora la precedente proposizione che definisce c come punto di accumulazione per l insieme E, cioè la U I(c) (U \ {c}) E, è evidentemente equivalente alla seguente proposizione U I(c) U E, come è facile convincersi. Si osservi poi che se B E e c R è di accumulazione per B, allora, evidentemente, c è di accumulazione per E : infatti, ogni intorno del punto c contiene almeno un punto dell insieme B E, e dunque di E, diverso dal punto c. Notazioni. Sia E R un sottoinsieme. Allora, il sottoinsieme di R composto da tutti i punti di accumulazione per l insieme E si denota con il simbolo DE. Dato dunque un sottoinsieme E R, DE R è un altro sottoinsieme di R ; in generale non può dirsi che E DE, né che E = DE e nemmeno che DE E. Qualche esempio relativo alla nozione di punto di accumulazione è stato svolto a lezione e/o è reperibile nel testo adottato; ne presentiamo nel seguito alcuni, lasciandone la facile verifica (anche tramite disegno) allo studente (che, a sua volta, è caldamente invitato a svolgere): E = DE = ; E = {c}, c R, DE = ; E = {c 1,..., c n }, c 1,...,c n R, DE = ; E = N DE = {+ }; E = Z DE = {, + }; E = Q DE = R ; E = R \ Q DE = R ; E = R DE = R ; E = R DE = R ; E = [0, 1] DE = [0, 1]; E =]0, 1] DE = [0, 1]; E = [0, 1[ DE = [0, 1]; E =]0, 1[ DE = [0, 1]; E = [0, 1] Q DE = [0, 1]; E =]0, 1] Q DE = [0, 1]; E =]0, 1[ Q DE = [0, 1]; E = [0, 1] (R \ Q) DE = [0, 1]; E =]0, 1] (R \ Q) DE = [0, 1]; E =]0, 1[ (R \ Q) DE = [0, 1]; E = { 1} [0, 1] DE = [0, 1]; E = { 1} ]0, 1[ DE = [0, 1]; E = (Z \ N) [0, 1] DE = { } [0, 1]; E = { 1 n } n N DE = {0}; E = { ( 1)n n } n N DE = {0}; E = {n ( 1)n } n N DE = {0, + }; E = {z ( 1)z } z Z DE = {, 0, + }; E = {z ( 1)z 1 } z Z z 0 DE = {, 0, + }.

4 4 IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS Non è particolarmente difficile verificare pure i seguenti fatti (la verifica dell implicazione relativa alla terza equivalenza a partire dalla sinistra dei punti seguenti è un po più delicata, pertanto la si lascia come facoltativa): E R non limitato inferiormente DE; E R non limitato superiormente + DE; E R è limitato DE {, + } = DE R ( DE è limitato). Ricordiamo che un sottoinsieme E R dicesi limitato inferiormente (risp. superiormente) se esiste h R (risp. k R) per il quale risulta h x (risp. x k) per ogni x E; l insieme E dicesi poi limitato se è limitato sia inferiormente che superiormente: è facile verificare che E è limitato se e solo se l = inf E R e L = supe R o, equivalentemente, se e solo se esiste un intorno U di 0 R (o equivalentemente di un qualsiasi altro numero c R), per il quale risulta E U; la verifica di tali fatti è semplice: lo studente può rendersene comunque facilmente conto anche con semplici disegni. Gli esempi precedentemente illustrati ci mostrano che l insieme derivato DE di un sottoinsieme non limitato E R è sicuramente non vuoto (precisamente contiene il punto se E non è limitato inferiormente e/o il punto + se E non è limitato superiormente); in generale, tuttavia, potrebbe succedere che DE R =, ovvero tale insieme derivato potrebbe non contenere punti di R. Possiamo invece dire con certezza che l insieme derivato DE di un sottoinsieme limitato E R è sicuramente tale che DE {, + } =, ovvero l insieme derivato certamente non può contenere nessuno dei due punti e +. Poichè, sempre per gli esempi sopra visti, un insieme limitato e discreto E (cioè contenente solamente un numero finito di punti) ha il suo insieme derivato vuoto, l unica possibilità perchè un insieme E limitato abbia il suo insieme derivato non vuoto cioè, per quanto prima osservato, contenga almeno un numero reale è che l insieme E sia infinito: questo è esattamente il contenuto del teorema oggetto della presente nota. Prima di dimostrarlo ricordiamo la definizione di punto isolato. Definizione (Punto isolato). Sia E R un sottoinsieme. Un punto c E dicesi isolato per l insieme E se non è di accumulazione per E. Negando pertanto la definizione di punto di accumulazione ne segue che c è isolato se esiste un suo intorno U che non contiene nessun punto dell insieme E diverso dal punto c, in simboli U I(c) : (U \ {c}) E =. Parlando grossolanamente, un punto c R è di accumulazione per un dato insieme E R se comunque ci si avvicina al punto c, troviamo punti di E distinti da c; invece un punto c R è isolato per un dato insieme E R se, mentre ci si avvicina al punto c, ad un certo momento non troviamo più punti di E distinti da c. Qualche esempio relativo alla nozione di punto isolato è stato svolto a lezione e/o è reperibile nel testo adottato; presentiamo nel seguito l insieme dei punti isolati per il quale non si adopera nessuna notazione particolare, ma che per comodità denoteremo con Isol (E) per ciascuno degli esempi fatti in precedenza nel caso dell insieme derivato. Come sopra, ne lasciamo la facile verifica (al solito, anche tramite disegno) allo studente (che, a sua volta, è caldamente invitato a svolgere): E = Isol (E) = E; E = {c}, c R, Isol (E) = E; E = {c 1,..., c n }, c 1,...,c n R, Isol (E) = E; E = N Isol(E) = E; E = Z Isol (E) = E; E = Q Isol(E) = ;

5 IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS 5 E = R \ Q Isol(E) = ; E = R Isol(E) = ; E = R Isol (E) = ; E = [0, 1] Isol(E) = ; E =]0, 1] Isol(E) = ; E = [0, 1[ Isol(E) = ; E =]0, 1[ Isol(E) = ; E = [0, 1] Q Isol(E) = ; E =]0, 1] Q Isol (E) = ; E =]0, 1[ Q Isol(E) = ; E = [0, 1] (R \ Q) Isol (E) = ; E =]0, 1] (R \ Q) Isol (E) = ; E =]0, 1[ (R \ Q) Isol (E) = ; E = { 1} [0, 1] Isol(E) = { 1}; E = { 1} ]0, 1[ Isol (E) = { 1}; E = (Z \ N) [0, 1] Isol (E) = Z \ N; E = { ( 1)n n } n N Isol (E) = E; E = { 1 n } n N Isol(E) = E; E = {n ( 1)n } n N Isol (E) = E \ {0}; E = {z ( 1)z } z Z Isol (E) = E \ {0}; E = {z ( 1)z 1 } z Z Isol (E) = E. z 0 Osservazione (Quando inf e sup di un insieme limitato sono punti di accumulazione o punti isolati). Sia E R un sottoinsieme limitato inferiormente, ovvero l = inf E R, con almeno due punti. Allora, si presentano due casi: j) l / E; jj) l E. j) Nel primo caso possiamo affermare con certezza che l è di accumulazione per E. Infatti, fissato arbitrariamente ǫ > 0, si deve verificare che in ]l ǫ, l + ǫ[ troviamo almeno un punto di E distinto da l; a tale scopo basta trovare almeno un punto di E nell intervallo ]l, l + ǫ[, e questo fatto segue subito dalla seconda proprietà dell estremo inferiore, osservando che in corrispondenza al numero l + ǫ troviamo certamente un elemento a E tale che l a < l + ǫ, e sicuramente tale numero a è distinto da l (precisamente è l < a) dal momento che a E mentre l / E. jj) Nel secondo caso, l, che è il minimo per l insieme E, potrebbe essere di accumulazione per E o potrebbe non esserlo. Se non lo è, per definizione è un punto isolato per E e pertanto troviamo un intorno di l la cui intersezione con l insieme E \ {l} è vuota, ovvero esiste un ǫ > 0 tale che in ]l ǫ, l + ǫ[ non si trovano punti di E distinti da l; ne segue che se x (E \ {l}) (si noti che l insieme E \ {l} è certamente non vuoto perchè E ha almeno due punti) allora x l + ǫ, da cui segue che l = inf(e \ {l}) l + ǫ > l. Considerazioni perfettamente analoghe relative al supe, sussistono se l insieme E è limitato superiormente: lasciamo i dettagli allo studente. Possiamo dunque concludere la presente nota dimostrando il seguente teorema. Teorema (di Bolzano-Weierstrass). Sia E R un insieme limitato ed infinito. Allora DE. Dimostrazione. Dobbiamo provare che esiste almeno un punto di accumulazione per l insieme E : per quanto osservato in precedenza, tale punto dovrà necessariamente

6 6 IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS essere un numero reale. Poichè l insieme E è limitato si ha l = inf E R e L = supe R. Se l è di accumulazione la tesi è vera. Se l non è di accumulazione, per l osservazione precedente segue che l E : in tal caso, sempre per l osservazione precedente, si ha l 1 = inf(e \ {l}) > l. Ripetendo su l 1 i ragionamenti fatti prima su l, se l 1 non è di accumulazione per E \ {l}, allora, ragionando come sopra, si ha l 2 = inf(e \ {l, l 1 }) > l 1. Ripetendo poi su l 2 i ragionamenti fatti prima su l ed l 1, se l 2 non è di accumulazione per E \ {l, l 1 }, allora, ragionando come sopra, si ha l 3 = inf(e \ {l, l 1, l 2 }) > l 2. Cosìprocedendo, se in qualcuno dei passi troviamo un punto di accumulazione per E, la tesi è vera; diversamente, possiamo costruire (precisamente per induzione) una successione {l n } n N E tale che l = l 0 < l 1 < l 2 < < l n <. Si noti che, nella costruzione fatta, è stata essenziale l ipotesi che l insieme E sia infinito. Poichè, in tal caso, l n E per ogni n N, ne segue che l n L per ogni n N da cui c = sup {l n } n N L : il punto c è il punto di accumulazione cercato in R per l insieme E. Infatti, fissato arbitrariamente ǫ > 0, si deve verificare che in ]c ǫ, c + ǫ[ troviamo almeno un punto di E distinto da c ; a tale scopo basta trovare almeno un punto di E nell intervallo ]c ǫ, c[: in realtà concludiamo la dimostrazione verificando direttamente in che ]c ǫ, c[ troviamo infiniti elementi di E; infatti, utilizzando la seconda proprietà dell estremo superiore, in corrispondenza al numero c ǫ troviamo certamente un elemento l ν E, per qualche ν N, tale che c ǫ < l ν c; daltronde, per costruzione, per ogni n > ν risulta sicuramente l ν < l n < l n+1 c, da cui segue subito che l n ]c ǫ, c[ per ogni n ν, ed il teorema è dimostrato. Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Catania, Viale A.Doria 6 I, 95125, Catania. Ufficio: MII 57, Blocco Tre del Dipartimento di Matematica e Informatica. Tel.: Fax: address: aocaruso@dmi.unict.it address: andrea.caruso@unict.it (Da utilizzare solamente se il precedente è fuori servizio) URL: