Unicità, a meno di isomorfismo, del campo ordinato e completo dei reali

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1 Unicità, a meno di isomorfismo, del campo ordinato e completo dei reali Stefano Baratella 0 Introduzione Queste note non presuppongono familiarità con la costruzione dei reali come tagli (o sezioni) di Dedekind del campo dei razionali presentata a lezione, costruzione che segue piuttosto fedelmente Rudin Principles of Mathematical Analysis. È sufficiente sapere che i reali, comunque siano definiti, formano un campo ordinato e (Dedekind) completo. Scopo di queste note è provare che, a meno di isomorfismo di campi ordinati, esiste un unico campo ordinato e completo. (Vedremo che ogni campo ordinato e completo è archimedeo.) Quindi, ogni altra maniera di costruire un campo ordinato e completo, ad esempio come classi di equivalenza di successioni di Cauchy di razionali (si veda Hewitt & Stromberg - Real and Abstract Analysis) produce essenzialmente la stessa struttura ottenuta con i tagli di Dedekind. 1 Preliminari Molte delle definizioni che daremo hanno senso anche in strutture meno ricche di un campo. Ci concentriamo però sui campi, visto l obiettivo di queste note. Definizione 1. campo ordinato è una struttura (, +,,, 0, 1, <), dove (, +,,, 0, 1) è un campo e < è una relazione di ordine totale su che soddisfa le proprietà seguenti: per ogni a, b, c 1. se a < b allora a + c < b + c; 2. se a < b e 0 < c allora a c < b c. Osserviamo che (, +,, 0) è un gruppo abeliano. Con il simbolo denotiamo quindi l operazione di opposto. Non mettiamo tra le operazioni di campo quella di inverso moltiplicativo, semplicemente perché non è definita su 0. Come al solito, se 0 a, scriviamo a 1 per l inverso di a. Quando non ci sono ambiguità, scriveremo per (, +,,, 0, 1, <). 1

2 Esercizio 2. Sia un campo ordinato. Provare che: 1. ogni quadrato è non negativo; 2. la caratteristica di è zero; 3. contiene una copia isomorfa del campo ordinato Q dei razionali. Convenzione. In virtù di quanto affermato nell Esercizio 2.3, converremo che Q sia sottocampo di ogni campo ordinato. Dunque, in un campo ordinato, l elemento neutro additivo e quello moltiplicativo sono i razionali 0 e 1, rispettivamente; la restrizione di < ai razionali è la relazione d ordine standard su Q e considerazioni analoghe valgono per le operazioni. Definizione 3. Un campo ordinato è (Dedekind) completo se ogni suo sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato ha estremo superiore in. Il campo Q non è completo. Per questa ragione se ne costruisce il completamento R. La completezza di R è stata provata a lezione. Esercizio 4. Sia un campo ordinato e completo. Provare che ogni sottoinsieme non vuoto e inferiormente limitato di ha estremo inferiore in. Suggerimento. Sia A inferiormente limitato. Sia B = {b : b è un minorante di A}. Verificare che B è non vuoto e superiormente limitato. Provare infine che inf A = sup B. Definizione 5. Un campo ordinato è archimedeo se per ogni a, b tali che 0 < a < b esiste n N per cui b < na. Nella definizione precedente, na è una abbreviazione per } a +. {{.. + a }. n volte Esempio. Il campo Q è archimedeo. Non-esempio. Diamo anzitutto un esempio di anello ordinato non archimedeo. (La definizione di anello ordinato si ottiene sostituendo ovunque la parola campo con anello commutativo nella definizione di campo ordinato.) Consideriamo l anello dei polinomi Q[x], in cui l ordine usuale su Q viene esteso ponendo r < x per ogni r Q. L ordine esteso si descrive meglio se si identifica un polinomio a 0 + a 1 x a n x n 2

3 con la successione definitivamente nulla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0...) Notiamo che un Algebrista obietterebbe, con ragione, che non c è nessuna identificazione da fare: il polinomio è la successione! Si definisce poi sull insieme delle successioni di razionale quasi ovunque nulle l ordine antilessicografico (le successioni si leggono da destra a sinistra). Lasciamo come esercizio la definizione formale di tale ordine. Il campo delle frazioni Q(x) di Q[x] è allora un esempio di campo ordinato non archimedeo. Infatti, l ordine su Q[x] si estende in maniera naturale al campo delle frazioni (nello stesso modo in cui l ordine standard su Z si estende a Q: verificarlo!). Esercizio 6. Sia un campo ordinato non archimedeo. Provere che, in, ci sono infinitesimi non banali (cioè elementi non nulli il cui valore assoluto è minore del reciproco di ogni naturale positivo) e infiniti (cioè elementi il cui valore assoluto è maggiore di ogni naturale positivo). Il fatto che i tagli di Dedekind siano un campo archimedeo segue dalla prossima proposizione. Proposizione 7. Ogni campo ordinato e completo è archimedeo. Dimostrazione. Per assurdo, sia un campo ordinato e completo e siano a, b tali che 0 < a < b e na < b per ogni n N. L insieme {na : n N} è non vuoto e superiormente limitato (ad esempio da b). Sia s = sup{na : n N}. Per definizione di sup, esiste k N tale che s a/2 < ka, da cui s < (k + 1)a: contraddizione. Osserviamo che, nella proposizione precedente, la divisione per 2 è lecita perché non è di caratteristica 2. Vogliamo ora provare che il campo dei razionali è denso in ogni campo ordinato e archimedeo, in particolare in ogni campo ordinato e completo. Proposizione 8. Sia un campo ordinato e archimedeo. Per ogni a, b tali che a < b esiste r Q tale che a < r < b. Dimostrazione. Trattiamo il caso 0 < a < b. Il lettore è invitato a trattare gli altri casi. Supponiamo anzitutto 1 < b a. Per la proprietà archimedea, l insieme {k N : a < k} è non vuoto. Ne sia n il minimo. Allora a < n e n a 1, da cui n < b. Se b a 1, sia m N tale che 1 < m(b a). Per il caso precedente, esiste k N tale che a < k m < b. Esercizio 9. Provare che, nella Proposizione 8, la proprietà archimedea è un ipotesi necessaria. (Usare il non-esempio sopra proposto.) 3

4 2 Unicità dei reali In questa sezione proviamo che, a meno di isomorfismo di campi ordinati, i reali sono l unico campo ordinato e completo. Cominciamo ricordando la definizione di isomorfismo di campi ordinati. Definizione 10. Siano (E, + E, E, E, 0, 1, < E ) e (, +,,, 0, 1, < ) campi ordinati. Un isomorfismo di campi ordinati è una funzione j : E con le proprietà che, per ogni a, b E, 1. j(a + E b) = j(a) + j(b); 2. j(a E b) = j(a) j(b); 3. se a < E b allora j(a) < j(b); 4. j è suriettiva. La proprietà 3 implica l iniettività di j. Inoltre, da 3, si ricava facilmente che a < E b se e soltanto se j(a) < j(b), per ogni a, b. Osservazione 11. Si possono senz altro togliere tutti gli indici e denotare operazioni corrispondenti nei due campi della Definizione 10 con lo stesso simbolo e, anche, usare lo stesso simbolo per le due relazioni d ordine. Abbiamo preferito non farlo da subito, a costo di una certa pesantezza nella notazione, per tenere sotto controllo il contesto in cui operazioni e relazioni agiscono. Abbiamo bisogno anche di ricordare alcune proprietà dell estremo superiore. Esercizio 12. Sia un campo ordinato e completo e siano A, B sottoinsiemi non vuoti e superiormente limitati. Definiamo A + B = {a + b : a A, b B} e A B = {a b : a A, b B} Provare che: 1. A + B è superiormente limitato e sup(a + B) = sup A + sup B; 2. se nè A nè B contengono elementi negativi, l insieme A B è superiormente limitato e sup(a B) = sup A sup B; 3. al punto precedente, l ipotesi che nè A nè B contengano elementi negativi è sufficiente, ma non necessaria, affinché A B sia superiormente limitato. Siamo ora pronti per il risultato principale. 4

5 Teorema 13. Siano (E, + E, E, E, 0, 1, < E ) e (, +,,, 0, 1, < ) campi ordinati e completi. Allora E e sono isomorfi. Dimostrazione. Ricordiamo che, ragionando a meno di isomorfismo, abbiamo convenuto che Q sia sottocampo di ogni campo ordinato. Sia a E. Definiamo Q a = {r Q : r < E a}. Se c, definiamo Q c in maniera analoga. L insieme Q a è non vuoto e superiormente limitato anche in. (Perché?) Definiamo h : E a sup Q a Osserviamo che h(r) = r, per ogni r Q. Inoltre, dato che le relazioni < E e < coincidono con la relazione d ordine standard < sui razionali, ometteremo gli indici quando in disuguaglianze sono coinvolti razionali. Adotteremo la stessa convenzione quando le operazioni di campo hanno argomenti razionali. a. Verifichiamo 3 della Definizione 10. Siano a, b E tali che a < E b. Per la Proposizione 8, esistono s, t Q tale che a < E s < t < E b, da cui sup Q a s. Poiché t Q b, è s < sup Q b. Quindi h(a) = sup Q a < sup Q b = hb). b. Verifichiamo 4 della Definizione 10. Sia c. L insieme Q c è superiormente limitato in E. Sia a = sup E Q c. Ci proponiamo di concludere che h(a) = c, provando che non valgono nè h(a) < c nè c < ha). Supponiamo c < h(a) e sia r Q tale che c < r < h(a). Da h(r) = r e dal punto precedente ricaviamo r < E a. Per ogni s Q c è s < c < r, quindi anche s < r. Dunque r è un maggiorante di Q c in E e pertanto a E r, contraddicendo r < E a. La dimostrazione che h(a) c è lasciata al lettore. c. Verifichiamo 1 della Definizione 10. Siano a, b E e sia c = a + E b. Poniamo Q a + Q b = {r + s : r Q a e s Q b }. Proviamo che Q a + Q b = Q c. L inclusione da sinistra a destra segue dalle proprietà di campo ordinato. Per l altra inclusione, sia p Q tale che p < E c. Sia r Q tale che p E b < E r < E a. Allora p = r+(p r), con r Q a e (p r) Q b. Abbiamo quindi h(a)+ h(b) = sup Q a + sup Q b = sup dove l uguaglianza centrale segue dall Esercizio 12. (Q a +Q b ) = sup Q c = h(a+ E b), 5

6 d. Verifichiamo 2 della Definizione 10. Siano a, b E e sia c = a E b. Per cominciare, supponiamo 0 < E a e 0 < E b. Poniamo Q + a = Q a Q + e definiamo Q + b e Q+ c in modo analogo. Proviamo che Q + a Q + b = Q + c. Se r Q + a e s Q + b, allora, per le proprietà di campo ordinato, 0 r s < E a E b. Quindi r s Q + c. Per l altra inclusione, sia r Q + c. Allora r E a 1 < E b. Sia t Q + b tale che r E a 1 < E t < E b. Allora r = (rt 1 )t, con (rt 1 ) Q + a e t Q + b. Abbiamo quindi: h(a) h(b) = sup Q + a sup Q + b = sup (Q + a Q + b ) = sup dove l uguaglianza centrale segue dall Esercizio 12. Q + c = h(a E b), Rimangono da esaminare altri casi. Prima di cominciare osserviamo che, dal punto c., ricaviamo h( E a) = h(a), per ogni a E. Quindi, se eliminiamo del tutto gli indici (finalmente!) e se, ad esempio, a, b E sono tali che a < 0 e 0 < b, abbiamo h(a b) = h( (a b)) = h( a) h(b) = ( h(a)) h(b) = (h(a) j(b)), da cui la conclusione. (Giustificare ogni passaggio.) I casi rimanenti sono lasciati al lettore. Il prossimo corollario è conseguenza immediata del Teorema 13 e del fatto che i tagli di Dedekind un campo ordinato e completo. Corollario 14. A meno di isomorfismo di campi ordinati, i tagli di Dedekind sono l unico campo ordinato e completo. D ora in poi diremo che i tagli di Dedekind sono il campo R dei reali. Esercizio 15. Provare che l unico automorfismo del campo ordinato R è l identità. In ogni campo ordinato ha senso dare, nel modo usuale, la definizione di successione di Cauchy. La Dedekind-completezza di R ha la seguente formulazione equivalente: Cauchy-completezza. Ogni successione di Cauchy di reali è convergente. Esercizio 16. Provare che la Dedekind-completezza implica la Cauchy-completezza dei reali. Suggerimento. Ricordare anzitutto che ogni successione di reali ammette una sottosuccessione monotona. La dimostrazione che la Cauchy-completezza implica la Dedekind-completezza non è altrettanto immediata. Si veda, ad esempio, E Hewitt e K. Stromberg Real and Abstract Analysis, Springer. 6