SUCCESSIONI DI NUMERI REALI

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1 SUCCESSIONI DI NUMERI REALI Una funzione reale di una variabile reale di dominio A è una legge che ad ogni x Α associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = IN, la f è detta successione di numeri reali. Se con n si denota la variabile che descrive l insieme IN, allora l immagine di n tramite la f, cioè f(n), si denota con a n e si usa la notazione (a n ) o a 1, a 2,, a n, per denotare la successione f. I numeri a 1, a 2,, a n, rappresentano i termini della successione, rispettivamente, primo, secondo,, n-mo termine della succesione. Il termine a n è noto, anche, come termine generale della successione (da tale termine si ottengono tutti i termini della successione attribuendo ad n successivamente i valori 1, 2,..). Il codominio della successione (a n ) si denota con {a n : n IN} o semplicemente con {a n }. Una successione (a n ) è limitata, limitata superiormente, limitata inferiormente se tale è il suo codominio. E facile verificare che una successione (a n ) è limitata se e solo se esiste una costante M 0 tale che a n M per ogni n IN. Una successione ( a n ) è non decrescente se a n a n+1 per ogni n IN e non crescente se a n a n+1 per ogni n IN. Le successioni non decrescenti o non crescenti sono dette monotone. In particolare sono monotone le successioni costanti, cioè tali che a n = a per ogni n IN. Una successione ( a n ) è crescente ( rispettivamente decrescente) se a n < a n+1 ( rispettivamente a n > a n+1 ) per ogni n IN. Le successioni crescenti o decrescenti sono dette strettamente monotone. Ovviamente ogni successione strettamente monotona è monotona. Esempi: 1) La successione ( n 1 n 1 ) è crescente. Infatti n n < n n + 1 per ogni n IN essendo n2-1<n 2.

2 2) La successione ( 1 n ) è decrescente. Infatti 1 n > 1 per ogni n IN. n + 1 3) La successione di termine generale (1) n è limitata, dato che il suo codominio {-1, 1} è un insieme limitato. Siano (n k ) una successione crescente e (a n ) una successione. La successione (a n k ) = (a n ) ( n k ) è detta sottosuccessione della (a n ). In pratica la successione (a n k ) si ottiene dalla successione (a n ) prendendo solo i termini di posti n 1, n 2,, n k,. (Si noti che i termini della sottosuccessione conservano lo stesso ordine che hanno nella successione data). Esempio 1. Se a n = 1/n e n k =2 k allora a nk = 1/2 k. Se una successione è limitata tale risulta ogni sua sottosuccessione, il viceversa in generale non sussiste. Successsione convergenti. Una successione ( a n ) converge al numero reale a, se per ogni > 0, esiste n( ) IN tale che per ogni n IN con n n( ) risulta a n - a <. Per indicare che la successione (a n ) converge ad a useremo una delle notazioni lim a n = a, a n a. n + Osservazione 1. Per stabilire se una successione converge ad a occorre, fissato ε>0, risolvere la disequazione a n - a < ε. Se l insieme delle soluzioni di tale disequazione, per ogni ε>0, contiene tutti i numeri naturali maggiori di un opportuno numero reale ν(ε), allora la successione a n a, in caso contrario non corvenge ad a. Esempio 2. La successione ( n + 1 ) converge a 1. n

3 Fissato ε>0, risulta n +1 n 1 < 1 n < n > 1. Basta scegliere n(ε)= 1/ε +1 perché la definizione sia verificata. Esempio 3. La successione (1/n) non converge a 1. In virtù dell osservazione precedente dobbiamo risolvere la disequazione 1-1 < ε. n n IN è soluzione se e solo se 1-1 n < ε, cioè se e solo se 1-ε < 1. Supponendo ε< 1, n se e solo se n < converge a e ciò permette di concludere che la successione considerata non Teorema 1. Ogni successione convergente è limitata. Diostrazione. Supponiamo che la successione (a n ) converga ad a. Fissato ε > 0 esiste n(ε) IN tale che per ogni n n(ε) risulta a -ε < a n < a + ε per ogni n n(ε). Prima di a - ε cadono al più i primi n(ε) 1 termini della successione e tra questi consideriamo il più piccolo (se non abbiamo termini della successione prima di a ε, scegliamo a ε) sia esso h. Tra quelli maggiori di a + ε scegliamo quello più grande (in assenza di termini maggiori di a + ε, scegliamo a + ε) sia esso k. Otteniamo così due numeri h, k che sono rispettivamente un minorante e un maggiorante per la successione che risulta quindi limitata. Successioni divergenti. Una successione (a n ) diverge positivamente se, per ogni k>0, esiste n(k) IN tale che per ogni n IN con n n(k) risulta a n > k.

4 Una successione (a n ) diverge negitivamente se, per ogni k>0, esiste n(k) IN tale che per ogni n IN con n n(k) risulta a n < k. Osservazione 2. Per stabilire se la successione (a n ) diverge positivamente (negativamente) occorre risolvere la disequazione a n > k (a n < k) se l insieme delle soluzioni di tale disequazione contiene, per ogni k, tutti i numeri naturali maggiori di un opportuno ν(k) allora la successione considerata diverge positivamente (negativamente). In caso contrario la successione non diverge. Esempio 4. La successione ( n ) diverge positivamente. Risolviamo la disequazione n > k, con k IR, non è restrittivo supporre k>0. Elevando al quadrato otteniamo che n è soluzione se e solo se n > k 2 = ν(k). Posto n(k) = ν(k) +1 = k 2 +1, risulta n > k per ogni n n(k) e per definizione la successione (a n ) diverge positivamente. Esempio 5. Se a n +, allora -a n -. Fissato -k IR esiste n(k) IN tale che a n > - k, moltiplicando per 1, otteniamo - a n < k per ogni n n(k) e per definizione la successione (a n ) diverge negativamente. Teorema 2. Ogni successione divergente positivamente (negativamente) non è limitata superiormente (inferiormente) ma è dotata di minimo (massimo). La dimostrazione si lascia come esercizio. Definizione 1. Una successione ( a n ) è regolare se ammette limite finito o infinito. Teorema 3. Se una successione ammette limite questo è unico. Dimostrazione. Si noti che una successione non può essere contemporaneamente convergente e divergente perché risulterebbe limitata e non limitata nello stesso

5 tempo. Non può essere divergente positivamente e negativamente perché risulterebbe limitata inferiormente e nello stesso tempo non limitata inferiormente. Per concludere occorre mostrare che una successione non può convergere a due limiti diversi. Supponiamo per assurdo che a n a e a n b, con a b. Posto 2ε = b-a, scegliamo n IN tale che a n a < ε, a n a < ε ( un tale n esiste in virtù dell ipotesi). Risulta e ciò è assurdo. 2ε = b - a = (b- a n )+ (a n a ) a n -b + a n - a < ε + ε = 2ε Teorema del confronto (limite finito). Siano (a n ), (b n ), (c n ) tre successioni tali che Se lim a n = lim c n = a, allora esiste n + n + a n b n c n per ogni n IN. lim b n = a. n + Dimostrazione. Fissato ε > 0 esiste n(ε) tale che per ogni n n(ε) risulta Di conseguenza, per ogni n n(ε), risulta e quindi a- ε < b n < a + ε. Quanto ottenuto permette di affermare che a- ε< a n < a +ε, a- ε < c n < a + ε. a- ε < a n b n c n < a + ε lim b n = a. n + Teorema del confronto (limite infinito). Siano (a n ) e (b n ) due successioni tali che a n b n per ogni n IN. i) Se a n +, allora b n +. ii) Se b n -, anche a n -. La dimostrazione si lascia come esercizio. Definizione 2. Date due successioni (a n ) e (b n ) con (a n ) + (b n ) si denota la successione di termine generale a n + b n, con (a n )(b n ) la successione di termine

6 generale a n b n, con (a n ) / (b n ) la successione di termine generale a n / b n e con (a n ) (b n) la successione di termine generale a n b n.