del punto c (dove c può essere un numero reale oppure + ), escluso al più il punto

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Ilario Mari
4 anni fa
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1 C.4 Limiti Pag. 87 Dimostrazione del Teorema 3.27 Teorema 3.27 Sia f una funzione definita e monotona in un intorno destro I + (c) del punto c (dove c può essere un numero reale oppure ), escluso al più il punto c stesso. Allora esiste, finito o infinito, il ite destro per x c e precisamente { inf{ : x I + (c), x > c} se f è crescente, = + sup{ : x I + (c), x > c} se f è decrescente. Analogamente, se f una funzione definita e monotona in un intorno sinistro I (c) del punto c (dove c può essere un numero reale oppure + ), escluso al più il punto c stesso, { sup{ : x I (c), x < c} se f è crescente, = inf{ : x I (c), x < c} se f è decrescente. Dimostrazione. Dimostriamo che se f è crescente nell intorno destro I + (c) di c allora + = inf{ : x I+ (c), x > c}. Tutti gli altri casi si dimostrano in maniera analoga. Sia dapprima l = inf{ : x I + (c), x > c} R. Le condizioni che caratterizzano un estremo inferiore (analoghe alle (1.7)) sono le seguenti: i) per ogni x I + (c) \ {c}, l; ii) per ogni ε > 0, esiste un elemento x ε I + (c) \ {c} tale che f(x ε ) < l + ε. Per la monotonia della funzione abbiamo f(x ε ), x I + (c) \ {c}, x < x ε.

2 2 C.4 Limiti Ne segue che l ε < l < l + ε, x I + (c) \ {c}, x < x ε ; dunque ogni appartiene all intorno di l di raggio ε se x c appartiene all intorno destro di c di estremo superiore x ε. Pertanto è verificata la condizione = l. + Sia ora l = ; ciò significa che per ogni A > 0 esiste x A I + (c) \ {c} tale che f(x A ) < A. Usando ancora la monotonia della funzione, abbiamo f(x A ) < A, x I + (c) \ {c} e x < x A. Dunque ogni appartiene all intorno di di estremo superiore A se x c appartiene all intorno destro di c di estremo superiore x A. Se ne conclude che =. + Premettiamo i seguenti risultati utili nel seguito. Teorema C.4.1 (di itatezza locale) Se f ammette ite finito per x c, allora esiste un intorno I(c) di c e una costante M f > 0 tale che x dom f I(c) \ {c}, M f. Dimostrazione. Sia l = R; dalla definizione di ite con, ad esempio, ε = 1 si deduce che esiste un intorno I(c) di c tale che x dom f, x I(c) \ {c} l < 1. Ricordando la disuguaglianza triangolare (1.1), ne segue che, in tale insieme, = l + l l + l < 1 + l. Dunque è sufficiente porre M f = 1 + l. Teorema C.4.2 (forma forte del Teorema di permanenza del segno) Se f ammette ite non nullo (finito o infinito) per x c, allora esiste un intorno I(c) di c e una costante K f > 0 tale che x dom f I(c) \ {c}, > K f. (C.4.1) Dimostrazione. Sia l =. Se l R\{0}, fissato ad esempio ε = l /2 nella definizione di ite per f, esiste un intorno I(c) tale che x dom f I(c) \ {c}, l < l /2. Dunque

3 da cui l = + l + l < + l 2 > l l 2 = l 2. C.4 Limiti 3 e il teorema è dimostrato con K f = l 2. Se l ±, = + e dunque è sufficiente scegliere ad esempio A = 1 nella definizione di ite ed ottenere > 1 in un intorno I(c) di c; pertanto in tal caso K f = 1. Osservazione C.4.3 Notiamo che se l > 0, allora il Teorema di permanenza del segno 4.2 ci assicura che in un opportuno intorno di c, tranne al più nel punto c stesso, la funzione è strettamente positiva. Dunque la disuguaglianza in (C.4.1) può essere espressa in modo più preciso come > K f. Analogamente se l < 0, la disuguaglianza (C.4.1) diventa < K f. In tale senso il Teorema C.4.2 è un rafforzamento del Teorema di permanenza del segno 4.2. La seguente proprietà rende talvolta più agevole la verifica della condizione di ite. Proprietà C.4.4 Per dimostrare che = l R è sufficiente trovare una opportuna costante C > 0 tale che per ogni ε > 0 esiste un intorno I(c) tale che x dom f, x I(c) \ {c} l < Cε. (C.4.2) Dimostrazione. Infatti la condizione (3.8) si deduce dalla (C.4.2) scegliendo ε/c in luogo di ε. Pag. 99 Dimostrazione del Teorema 4.10 Teorema 4.10 Supponiamo che, per x tendente a c, la funzione f ammetta ite l (finito o infinito) e la funzione g ammetta ite m (anch esso finito o infinito). Allora, ogniqualvolta l espressione a secondo membro è definita, [ ± g(x)] = l ± m, [ g(x)] = l m, g(x) = l m (in quest ultimo caso supponiamo inoltre che g(x) 0 in un intorno di c escluso al più il punto c). Dimostrazione. Dimostriamo i seguenti casi:

4 4 C.4 Limiti a) se l R e m =, allora ( g(x) ) = + ; b) se l, m R, allora g(x) = l m R; c) se l, m R e m 0, allora g(x) = l m R; d) se l R \ {0} oppure l ± e m = 0, allora g(x) =. Lasciamo la dimostrazione dei casi rimanenti per esercizio. a) Sia A > 0 arbitrariamente fissato. Dal Teorema di itatezza locale C.4.1, applicato alla funzione f, esiste un intorno I (c) di c e una costante M f > 0 tale che per ogni x dom f I (c) \ {c}, M f. Inoltre, g(x) = equivale al fatto che per ogni B > 0 esiste un intorno I (c) di c tale che per ogni x dom g I (c) \ {c} g(x) < B, ossia g(x) > B. Se scegliamo B = A + M f e poniamo I(c) = I (c) I (c), abbiamo, per ogni x dom f dom g I(c) \ {c}, g(x) > M f + B A. Dunque si è dimostrato che ( g(x) ) = +. b) Sia ε > 0 fissato. Dall ipotesi = l R, I (c) : x dom f, x I (c) \ {c} l < ε, mentre dal Teorema di itatezza locale C.4.1 si ottiene I (c), M f > 0 : x dom f, x I (c) \ {c} < M f. Similmente, dall ipotesi g(x) = m R, I (c) : x dom g, x I (c) \ {c} g(x) m < ε. Poniamo allora I(c) = I (c) I (c) I (c); per ogni x dom f dom g I(c)\{c}, g(x) lm = g(x) m + m lm = ( g(x) m ) + ( l ) m g(x) m + l m < (M f + m )ε. È dunque verificata la (C.4.2) con C = M f + m. c) Sia ε > 0 fissato. Dall ipotesi = l R e g(x) = m R,

5 e I (c) : x dom f, x I (c) \ {c} l < ε I (c) : x dom g, x I (c) \ {c} g(x) m < ε. C.4 Limiti 5 Inoltre, poiché m 0, il Teorema C.4.2 assicura l esistenza di un intorno I (c) di c e di una costante K g > 0 tale che x dom g, x I (c) \ {c} g(x) > K g. Poniamo I(c) = I (c) I (c) I (c); per ogni x dom f dom g, x I(c) \ {c}, g(x) l m = m lg(x) m lm + lm lg(x) mg(x) = ( l ) m + l ( m g(x) ) = < m + l m K g ε. È dunque verificata la (C.4.2) con C = m + l m K g. l m + l g(x) m d) Sia A > 0 fissato. Applicando il Teorema C.4.2 alla funzione f, esiste un intorno I (c) di c e una costante K f > 0 tale che x dom f I (c) \ {c}, > K f. Dall ipotesi g(x) = 0, scegliendo ε = K f /A, deduciamo l esistenza di un intorno I (c) di c tale che g(x) < K f /A, per ogni x dom g I (c) \ {c}. Poniamo I(c) = I (c) I (c); per ogni x dom f dom g I(c) \ {c}, g(x) > K A f = A. K f Ciò mostra che g(x) = +, che è precisamente la tesi.

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