PROGRAMMA DI MANTENIMENTO ESTIVO

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1 ISTITUTO TECNICO PER IL TURISMO EUROSCUOL ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI INCHI SCUOLE PRITRIE PROGRMM DI MNTENIMENTO ESTIVO CLSSE MTERI PROF. QURT GEOMETRI Matematica ndrea ernesco Làvore NNO SCOLSTICO 014/015 PROGRMM SVOLTO CONSOLIDMENTO : Ripassare i seguenti argomenti del programma svolto sui propri appunti e gli appunti allegati RE TEMTIC: Geometria nalitica Capitolo 3-4 Introduzione alla geometria nalitica La retta nel piano cartesiano RE TEMTIC : MODELLI LINERI Capitolo 5 La Circonferenza Tangenti a una conica La parabola EUROSTUDI S.R.L. 51 rescia - Via ronzetti, 9 -- Tel. 030 / P. IV C.C.I Tribunale di rescia n info@euroscuola.net

2 Funzioni: definizione e tipi definizione Dati due insiemi e, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell insieme uno ed un solo elemento dell insieme Una funzione si indica con dove: è un generico elemento di ed o si chiama immagine di ed appartiene all insieme l insieme viene chiamato dominio o campo di esistenza di il sottoinsieme di formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca funzione iniettiva una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell insieme corrispondono elementi distinti dell insieme f(x) iniettiva x 1 x f(x 1) f(x ) la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l insieme è il dominio, il sottoinsieme di contenente gli elementi associati ad elementi di, rappresenta il codominio di funzione suriettiva una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell insieme è immagine di almeno un elemento dell insieme f(x) suriettiva la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l insieme è il dominio, l insieme è il codominio di funzione biunivoca o biettiva una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell insieme corrisponde uno ed un solo elemento dell insieme e viceversa f(x) biunivoca e viceversa l insieme è il dominio, l insieme è il codominio di funzione non iniettiva, non suriettiva la funzione della figura a sinistra: NON è iniettiva perché gli elementi distinti b, c dell insieme hanno la stessa immagine NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell insieme ( 4, 5 ) sono immagine di un elemento dell insieme l insieme è il dominio, il sottoinsieme di, che contiene gli elementi associati ad elementi di, rappresenta il codominio di corrispondenza la legge rappresentata nella figura a sinistra non è una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: all elemento b dell insieme sono associati più elementi (, 3 ) dell insieme. l elemento d dell insieme non è associato ad alcun elemento dell insieme. la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza v di

3 una generica funzione si indica con Funzioni: definizione e tipi funzioni numeriche è detta variabile indipendente ed appartiene al dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al codominio se ed sono numeri reali allora la funzione si dice funzione reale di una variabile reale in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano; l insieme di tali punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione 0 1 grafico di una funzione reale consideriamo ad o la funzione radice cubica 0 x rappresentazione insiemistica coppie di numeri associati grafico della funzione tipi di funzione la funzione in figura è iniettiva perché punti distinti dell asse hanno ordinate distinte sull asse la funzione non è suriettiva perché non tutti i punti dell asse sono associati a punti dell asse. La parte negativa dell asse colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell asse la funzione in figura è suriettiva perché tutti i punti dell asse sono associati a punti dell asse la funzione non è iniettiva perché punti distinti dell asse hanno la stessa ordinata sull asse la funzione in figura è biunivoca cioè sia iniettiva che suriettiva, infatti: è iniettiva perché punti distinti dell asse hanno ordinate distinte sull asse è suriettiva perché tutti i punti dell asse sono associati a punti dell asse la funzione in figura non è iniettiva e non è suriettiva, infatti: non è iniettiva perché punti distinti dell asse hanno la stessa ordinata sull asse non è suriettiva perché non tutti i punti dell asse sono associati a punti dell asse. La parte negativa dell asse colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell asse la curva in figura non è una funzione perché ai punti sull asse delle corrisponde più di un ordinata sull asse delle. In questo caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza v di

4 Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero { } { } { } { } ] ] { } un intervallo è l insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) intervallo l insieme [ [ è un intervallo perché contiene tutti i numeri compresi tra 1 e fai attenzione che un intervallo è anche un insieme ma non è detto che un insieme sia un intervallo. d o l insieme: { } non è un intervallo perché contiene solo i quattro numeri indicati e non tutti i numeri tra 1 e 4 intorno completo di un punto l intorno completo di un punto è un qualsiasi intervallo aperto che contiene il punto dato il punto l intervallo ] [ è un intorno completo di l intorno circolare di un punto è un intervallo di centro il punto stesso intorno circolare di un punto dato il punto l intervallo ] [ è un intorno circolare di la parte ] ] è l intorno sinistro di 4 e la parte [ [è l intorno destro di 4 il minimo è l elemento più piccolo appartenente all insieme. In simboli si scrive: è il minimo di se minimo dato l insieme [ [ il minimo è 5 dato l insieme ] [ il minimo 5 Osserva che il minimo esiste solo se l insieme è chiuso inferiormente v di 4

5 Elementi di topologia della retta il massimo è l elemento più grande appartenente all insieme. In simboli si scrive: è il massimo di se massimo dato l insieme ] ] il massimo è 5 dato l insieme ], 5 [ il massimo 5 Osserva che il massimo esiste solo se l insieme è chiuso superiormente un minorante è un qualsiasi elemento minore o uguale di tutti gli elementi dell insieme. Il minorante non deve necessariamente appartenere all insieme e non è unico minorante dato l insieme[ [, 1, 0 sono minoranti minoranti 5 dato l insieme [ [ l insieme dei minoranti è l intervallo ] ] dato l insieme ], 5 [ l insieme dei minoranti è sempre l intervallo ] ] Osserva che l insieme dei minoranti, se esiste, è sempre chiuso superiormente un maggiorante è un qualsiasi elemento maggiore o uguale di tutti gli elementi dell insieme. Il maggiorante non deve necessariamente appartenere all insieme e non è unico maggiorante dato l insieme[ [ 5, 6, 7 sono maggioranti 5 maggioranti dato l insieme [ [ l insieme dei maggioranti è l intervallo [ [ dato l insieme [ ] l insieme dei maggioranti è sempre l intervallo [ [ Osserva che l insieme dei maggioranti, se esiste, è sempre chiuso inferiormente l estremo inferiore è il massimo dei minoranti dell insieme stesso Si indica con il simbolo inf () estremo inferiore dato l insieme = ] ] l estremo inferiore di è in simboli: infatti l insieme dei minoranti di è ] ] il cui massimo è Osserva che se l insieme non è limitato inferiormente, l estremo inferiore è = ] ] C =] ] D =[ ] v di 4

6 Elementi di topologia della retta proprietà dato un insieme l estremo inferiore delle seguenti due proprietà: 1.. gode l estremo superiore è il minimo dei maggioranti dell insieme stesso Si indica con il simbolo sup () dato l insieme = ], 5[ l estremo superiore di è in simboli: 5 estremo superiore infatti l insieme dei maggioranti di è [ [ il cui minimo è 5 Osserva che se l insieme non è limitato superiormente, l estremo superiore è =] [ C = ] ] D = ] [ proprietà dato un insieme l estremo superiore delle seguenti due proprietà: gode di riepilogo dato l insieme = ]1, 9 ] si ha che: è un intervallo limitato è aperto inferiormente e chiuso superiormente il minimo di non esiste, il massimo di è 9 minoranti maggioranti 1 9 l insieme dei minoranti di è l intervallo ] ] l insieme dei maggioranti di è l intervallo [ [ l estremo inferiore di è 1, l estremo superiore è 9 dato l insieme = [ [ si ha che: è un intervallo non limitato superiormente è chiuso inferiormente e aperto superiormente il minimo di è 1, il massimo di non esiste minoranti 1 l insieme dei minoranti di è l intervallo ] ] l insieme dei maggioranti di è vuoto l estremo inferiore di è 1, l estremo superiore è dato l insieme C = ] [ si ha che: maggioranti C è un intervallo non limitato inferiormente C è aperto inferiormente e superiormente il minimo e il massimo di C non esistono l insieme dei minoranti di C è vuoto l insieme dei maggioranti di C è l intervallo [ [ l estremo inferiore di C è, l estremo superiore è v di 4

7 Elementi di topologia della retta punto di accumulazione per un insieme un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto vi è almeno un elemento dell insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che: l appartenenza del punto all insieme non implica che il punto sia di accumulazione per l insieme la non appartenenza del punto all insieme non implica che il punto non sia di accumulazione per l insieme I successivi quattro illustrano i possibili casi appartiene ad sia ed = ] [ è di accumulazione per 3 appartiene ad ed è di accumulazione 3 6 appartiene ad sia ed = ] [ è di accumulazione per non appartiene ad ed è di accumulazione 6 appartiene ad sia ed = ] [ non è di accumulazione per 1 non appartiene ad e non è di accumulazione 1 6 appartiene ad sia ed ] [ non è di accumulazione per 1 appartiene ad e non è di accumulazione 1 6 un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l insieme stesso si dice punto isolato ulteriori dato l insieme { } nessuno dei quattro elementi di è un punto di accumulazione per. Infatti, scelto ad o l elemento 3, esiste un suo intorno ] [ che non contiene alcun elemento di distinto da 3 stesso. naloga conclusione per gli altri tre elementi di dato l insieme = ] [ ] ] si ha che insieme dei minoranti insieme dei maggioranti il minimo di non esiste, il massimo è 9 l insieme dei minoranti di è ] ] l insieme dei maggioranti di è [ [ l estremo inferiore è l estremo superiore 9 0 e 9 sono di accumulazione per 7 è di accumulazione per tutti i numeri tra 0 e 9 sono di accumulazione per l insieme v di 4

8 Grafici delle funzioni elementari potenza con esponente pari radice con indice pari seno arcoseno potenza con esponente dispari radice con indice dispari coseno arcocoseno logaritmo con base > 1 esponenziale con base > 1 tangente arcotangente logaritmo con 0 < base < 1 esponenziale con 0 <base < 1 cotangente arcocotangente v di 1