Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie lineari del primo e del secondo ordine

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1 Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie lineari del primo e del secondo ordine Esempio 1 : il decadimento del neutrone. Il neutrone non é una particella stabile:si disintegra in un protone, un elettrone ed un neutrino. Se indichiamo con N(t) il numero dei neutroni presenti al tempo t e con p la probabilitá che un neutrone si disintegri in un secondo,il processo di decadimento si descrive con un equazione differenziale lineare del primo ordine del tipo: N (t) = pn(t). Ció significa che la variazione di neutroni in un secondo é proporzionale al numero di neutroni presenti. Il segno indica che i neutroni diminuiscono perche si disintegrano. Supponiamo N(t) diverso da zero e dividiamo i due membri dell equazione di sopra per N(t),l equazione che si ottiene,integrata rispetto a t,fornisce log N(t) = pt + c da cui si ricava la soluzione: N(t) =e pt e c = Ce pt. Non deve sorprendere la presenza della costante C : infatti non é possibile conoscere il numero dei neutroni all istante t se non si conosce il numero dei neutroni all istante iniziale del processo t 0. Se, nella formula della soluzione, poniamo t = t 0 =0, avremo N(0) = C, quindi la costante C rappresenta il numero di neutroni presenti all istante t = t 0 =0. In definitiva la funzione N(t) =Ce pt risolve il problema di Cauchy che si ottiene associando all equazione N (t) = pn(t) la condizione iniziale N(0) = C. Esempio 2 : modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni. Si considera una popolazione che evolve isolata e i cui fattori di evoluzione sono soltanto la fertilitá e la mortalitá. Sia N(t) il numero degli individui presenti al tempo t; indichiamo con λ e µ rispettivamente il numero di nuovi nati e di morti per individuo nell unitá di tempo t. In un intervallo temporale di durata h il numero di nuovi nati sará λhn(t) e il numero di morti sará µhn(t). Ne segue che la variazione del numero degli individui in un tempo h sara : N(t + h) N(t) =λhn(t) µhn(t). 1

2 Dividendo per h e calcolando il limite per h che tende a zero, si perviene all equazione: N (t) =(λ µ)n(t) che é evidentemente dello stesso tipo di quella considerata sopra e si risolve come gia visto. Esempio 3: le vibrazioni lineari. Consideriamo una particella di massa m che si muove lungo una retta ed é soggetta ad una forza di richiamo elastica,proporzionale allo spostamento, e ad una resistenza viscosa,proporzionale alla velocitá. In base alla legge di Newton il moto della particella verifica l equazione differenziale mx = µx kx. dove x = x(t) é lo spostamento al tempo t rispetto alla posizione di equilibrio, mentre k e µ sono costanti positive che caratterizzano la forza elastica e la resistenza viscosa e che si chiamano costante elastica e costante di smorzamento del sistema.supponiamo che all istante t = 0 la particella occupi la posizione x 0 ed abbia velocitá v 0, allora il moto é descritto dal problema di Cauchy: mx = µx kx, x(0) = x 0 e x (0) = v 0. Questa equazione descrive molti modelli di sistemi lineari di natura assai diversa. Si tratta di un equazione omogenea e a coefficienti costanti che si risolve considerando l equazione caratteristica: mλ 2 + µλ + k =0, e le sue radici: λ = µ ± µ 2 4km. 2m Esaminiamo il caso in cui non c é resistenza viscosa, cioé µ =0. La soluzione generale dell equazione é: x(t) =A cos ω 0 t + B sin ω 0 t 2

3 dove si é posto ω 0 =( k m ) 1 2. Imponendo le condizioni iniziali si ricava A = x 0 e B = v 0 ω 0, quindi la soluzione del problema di Cauchy é data da: x(t) =x 0 cos ω 0 t + v 0 ω 0 sin ω 0 t. Da note formule trigonometriche,si puó anche scrivere: x(t) =R sin(ω 0 t + φ) dove R = x 02 + v 0 2 ω 2 0, sin φ = x 0 R e cos φ = v 0 ω 0 R La particella si muove dunque di moto armonico; il numero R individua l ampiezza, 2π ω 0 è il periodo e φ è lo spostamento di fase. Si noti che il periodo è indipendente dalla condizioni iniziali. Se µ 0 esaminiamo solo il caso seguente 0 <µ<2 mk. Le radici dell equazione caratteristica sono complesse coniugate e quindi la soluzione dell equazione differenziale è del tipo x(t) =e αt (A cos ω 0 t + B sin ω 0 t) dove α = µ 2m,ω 0 = 4mk mu 2 2m. Imponendo le condizioni iniziali si trova ( x(t) =e αt x 0 cos ω 0 t + ν ) 0 + αx 0 sin ω 0 t. ω 0 Il moto della particella è anche in questo caso oscillatorio, ma l ampiezza delle oscillazioni tende rapidamente a zero al crescere di t (oscillazioni smorzate). La soluzione si può scrivere in modo sintetico nella forma: x(t) =Re αt sin(ω 0 t + φ) con opportuni parametri R e φ. Cenni sulle equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n Sia I un intervallo della retta reale e siano p h (x),h =0, 1, 2,..., n e q(x) funzioni continue su I. L equazione differenziale: p o (x)y (n) + p 1 (x)y (n 1) p n 1 (x)y + p n (x)y = q(x) 3

4 si dice equazione differenziale lineare. Se p o (x) non è nulla,l equazione è di ordine n e,dividendo per p o (x), dopo aver posto a h (x) = p h(x) p o (x) semplificata: dove q(x) e f(x) = p o (x),si ottiene in forma L(y) =f(x), (1) L(y) =y (n) + a 1 (x)y (n 1) a n 1 (x)y + a n (x)y. (2) L operatore L è l operatore differenziale che ad ogni funzione y C n (I), cioe dotata di derivate continue fino all ordine n,associa la combinazione di y e delle sue derivate fino all ordine n rappresentata da (2). L equazione (1),nel caso f(x) = 0, si dice omogenea e L(y) =0, (3) rappresenta l equazione omogenea associata alla (1). L operatore L soddisfa la relazione L(µy + λz) =µl(y)+λl(z) per ogni coppia di numeri µ e λ e per ogni coppia di funzioni y e z. Ne segue che, per ogni numero finito di funzioni y 1,...y p di funzioni di classe C n (I) e di costanti c 1,..., c p, risulta L(c 1 y c p y p )=c 1 L(y 1 ) c p L(y p ). Si conclude che se y 1,...y p sono soluzioni dell equazione lineare omogenea (3), ogni combinazione lineare del tipo c 1 y c p y p è ancora soluzione della stessa equazione. Sussiste inoltre il seguente teorema: Teorema 1.Se y 0 è soluzione dell eq.(1) (non omogenea) e y(x)è soluzione di (3) (eq.omogenea associata),la loro somma è soluzione dell equazione (1). Viceversa ogni soluzione z dell eq. (1) si può ottenere come somma di una soluzione particolare di (1) e una qualunque soluzione di (3). Prova. Dalle ipotesi L(y 0 )=f(x) el(y) = 0,dunque,sommando membro a membro e sfruttando la proprietà di linearità dell operatore L si ottiene: L(y 0 + y) =L(y 0 )+L(y) =f(x). 4

5 Viceversa sia z una qualunque soluzione di (1).Se y 0 è soluzione di (1), dalla linearità dell operatore risulta: L(z y o )=L(z) L(y 0 )=f(x) f(x) =0, dunque y = z y o è soluzione dell equazione omogenea (3) e z = y 0 + y. Osservazione. Questo teorema prova che tutte le soluzioni dell equazione non omogenea (1) si possono ottenere sommando una sua particolare soluzione a tutte le possibili soluzioni dell equazione omogenea (3). Ci proponiamo ora di risolvere le equazioni di tipo omogeneo. Vogliamo individuare l integrale generale di (3),cioè una espressione dalla quale si possano ricavare tutte le possibili soluzioni di (3). Si è visto che ogni combinazione lineare di un numero finito di soluzioni o integrali di (3) è ancora soluzione di (3), quindi l espressione richiesta è del tipo c 1 y c p y p, (4) dove y 1,..., y p sono integrali di (3). Si è pure visto che nel caso di un equazione lineare del primo ordine,l integrale generale dipende da una costante arbitraria e nel caso dell equazione del secondo ordine dipende da due costanti arbitrarie,ciò potrebbe indurre all errata conclusione che la combinazione lineare (4),con p = n, fornisca l integrale generale dell equazione (3).In effetti l integrale generale di (3) è del tipo c 1 y c n y n, ma gli integrali y 1,..., y n devono essere scelti in modo opportuno;a tale scopo introduciamo la definizione seguente: Definizione. Si dice che le funzioni y 1,..., y n sono linearmente indipendenti se l uguaglianza c 1 y c n y n = 0 implica necessariamente che le costanti c 1,..., c n, sono tutte nulle. Non entriamo nel merito delle motivazioni di questa definizione per ragioni di brevitá, ma concludiamo dicendo che l integrale generale dell equazione differenziale lineare omogenea (3), cioé la formula che fornisce tutte le possibili soluzioni di tale equazione,é dato da y = c 1 y c n y n, dove y 1,..., y n sono n soluzioni linearmente indipendenti di (3) e c 1,..., c n, sono n costanti arbitrarie. 5

6 Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee. Per alcune classi di equazioni é facile individuare l integrale generale, cioé esprimere in un unica formula tutte le possibili soluzioni. E il caso delle equazioni a coefficienti costanti: L(y) =y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 y + a n y =0, (5) dove a 1,..., a n sono costanti reali. Osserviamo che,se y(x) =e αx risolve la (5), poiché y (h) (x) =α h e αx per ogni h =1,...n,il numero α risolve l equazione algebrica α n + a 1 α (n 1) a n 1 α + a n = 0 (6) e viceversa.l equazione (6) prende il nome di equazione caratteristica associata alla (5). Il problema si riconduce quindi alla determinazione di n integrali linearmente indipendenti di (5) utilizzando le soluzioni dell equazione (6). Distinguiamo due casi: il caso in cui l equazione (6) ammette solo radici semplici e quello in cui l equazione (6) ammette anche radici multiple. Nel primo caso, denotate con α 1,..., α n le n radici semplici dell equazione caratteristica,prendiamo come integrali linearmente indipendenti della (5) le funzioni e α1x,..., e αnx. Infatti se α i α j risulta: c i e αix + c j e αjx =0= c i = c j =0. Ció si vede facilmente perché,supposto c i 0, dividendo per c i e α jx, si ottiene: che non puó essere vera per ogni x. e (α i α j )x = c j c i Analogamente si ragiona scambiando il ruolo di i con j e si conclude che devono essere nulle entrambe le costanti. In questo primo caso l integrale generale di (5) sará dato da y(x) =c 1 e α 1x c n e α nx. Nel secondo caso l equazione caratteristica presenta radici multiple. Sia α i una di queste radici multiple e sia ν i la sua molteplicitá. Si puó provare che i ν i integrali 6

7 linearmente indipendenti relativi a tale radice sono : e α ix,xe α ix,..., x ν i 1 e α ix e che l integrale generale di (5) é una combinazione lineare di funzioni del tipo e αx per ogni radice semplice α dell equazione caratteristica e di funzioni del tipo e αx,xe αx,..., x ν 1 e αx per ogni radice α di molteplicitá ν dell equazione caratteristica. Esempi Risolviamo le equazioni seguenti: 1) y +3y +2y =0. L equazione caratteristica associata α 2 +3α +2=0 ha soluzioni α 1 = 1 eα 2 = 2, dunque due integrali linearmente indipendenti di 1) sono e x e e 2x e l integrale generale di 1) é y(x) =c 1 e x + c 2 e 2x 2) y +6y +9y =0. L equazione caratteristica associata α 2 +6α +9=0 ha soluzione α = 3 di molteplicitá due; ne segue che due integrali linearmente indipendenti di 1) sono e 3x e xe 3x e l integrale generale di 2) é y(x) =c 1 e 3x + c 2 xe 3x 3) y 3y +2y =0. L equazione caratteristica associata α 3 3α +2=0 7

8 ha soluzione α = 1 e, dividendo α 3 3α +2 per α 1, si ottiene α 2 + α 2 che ha radici α =1eα = 2. In definitiva l equazione caratteristica di 3) ha una radice semplice α = 2. e una radice doppia α =1. L integrale generale di 3) é y(x) =c 1 e x + c 2 xe x + c 3 e 2x Finora si sono trattati esempi di equazioni la cui caratteristica presenta radici reali. In generale un equazione algebrica a coefficienti reali puó presentare radici complesse.la teoria precedentemente esposta non distingue fra soluzioni reali e soluzioni complesse della caratteristica quindi proviamo a trattare in modo analogo l equazione differenziale: 4) y +2y +3y =0. L equazione caratteristica associata α 2 +2α +3=0 ha soluzioni complesse coniugate semplici α 1 = 1 + 2i e α 2 = 1 2i e quindi l integrale generale di 4) é dato da y(x) =c 1 e ( 1 2i)x + c 2 e ( 1+ 2i)x. Volendo una rappresentazione dell integrale generale in termini di funzioni reali,osserviamo che due integrali linearmente indipendenti dell equazione 4) si possono ottenere dalle formule di Eulero e sono: e x cos 2x e e x sin 2x e quindi l integrale generale di 4) é y(x) =c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x. Risolvere l equazione 8

9 5) y IV +2y + y =0. L equazione caratteristica associata α 4 +2α 2 +1=0 equivalente alla equazione (α 2 +1) 2 =0 ha soluzioni complesse coniugate doppie α 1 = i e α 2 =+i, quindi quattro integrali linearmente indipendenti sono: e l integrale generale di 5) é cosx, xcosx, sinx, xsinx y(x) =(c 1 + c 2 x)cosx +(c 3 + c 4 x)sinx. Risolvere l equazione 6) y VI y IV y + y =0. L equazione caratteristica associata, α 6 α 4 α 2 +1=0 equivalente alla equazione (α 2 1) 2 (α 2 +1)=0, ha soluzioni complesse coniugate semplici α 1 = i e α 2 =+i, e due soluzioni reali doppie α 3 = 1 eα 4 =1, quindi sei integrali linearmente indipendenti sono: e l integrale generale di 5) é e x,xe x,e x,xe x, cosx, sinx y(x) =(c 1 + c 2 x)e x +(c 3 + c 4 x)e x + c 5 cosx + c 6 sinx. 9

10 Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine Consideriamo ora l equazione L(y) =y + a(x)y = f(x). (6) Dalla teoria precedentemente esposta,l integrale generale di (6) si ottiene aggiungendo all integrale generale dell equazione omogenea associata un integrale particolare dell equazione completa. Ció sipuó fare in modo standard, seguendo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie oppure, nel caso di equazioni differenziali a coefficienti costanti, osservando che per alcune funzioni f(x) di tipo particolare si puó cercare un integrale della stessa forma di f(x). Il metodo della variazione delle costanti arbitrarie sará esposto ed applicato, per semplicitá, solo ad equazioni del primo e del secondo ordine e si basa sulla conoscenza dell integrale generale dell equazione omogenea associata. Per l equazione del primo ordine, se y(x) =cy 1 (x) é l integrale generale dell equazione omogenea associata, si cerca l integrale particolare nella forma y 0 (x) =c(x)y 1 (x) dove c(x) é una funzione incognita da determinare in modo che sia soddisfatta l equazione completa. Poiché y 0(x) =c (x)y 1 (x)+c(x)y 1(x), sostituendo nell equazione y + ay = f, si ottiene : c (x)y 1 (x)+c(x)y 1(x)+ac(x)y 1 (x) =f(x), da cui, ricordando che y 1 risolve l omogenea associata, segue c (x)y 1 (x) =f(x). A questo punto si puó determinare c (x) e,per integrazione,la funzione incognita c(x). In definitiva l integrale generale dell equazione completa é y(x) =cy 1 (x)+y 0 (x). 10

11 Equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee. Ci occupiamo del problema di determinare un integrale particolare dell equazione completa associata ad un equazione lineare a coefficienti costanti: ay (x)+by (x)+cy(x) =f(x) (a, b costanti.) (7) Illustriamo prima il metodo di somiglianza, che per una certa classe di casi particolari permette di determinare tale integrale particolare con brevi calcoli; vedremo poi il metodo di variazione delle costanti, che può essere impiegato sempre, ma in compenso porta solitamente a calcoli più pesanti (perciò, quando possibile, è meglio applicare il primo metodo). Metodo di somiglianza Quando il termine noto f(x) ha un aspetto particolarmente semplice si può cercare una soluzione pure abbastanza semplice e simile ad f in un senso che ora preciseremo. f(x) =p r (x) (polinomio di grado r). Si cerca una soluzione di tipo polinomiale: y(x) =q r (x) se c 0 y(x) =xq r (x) se c =0,b 0 y(x) =x 2 q r (x) se c =0,b=0. Esercizi. Trovare una soluzione particolare delle equazioni y y =1+x 2,y + 2y = x. f(x) =Ae λx, λ C. Si cerca una soluzione del tipo y(x) =γ(x)e λx. Basterà trovare una qualsiasi γ che soddisfi l equazione: aγ + γ (2aλ + b)+γ(aλ 2 + bλ + c) =A. Se aλ 2 + bλ + c 0 (cioè λ non è radice dell equazione caratteristica), basterà prendere γ(x) =A/(aλ 2 + bλ + c). Se aλ 2 + bλ + c = 0 ma 2aλ + b 0, basterà prendere γ (x) =A/(2aλ + b), da cui γ(x) =Ax/(2aλ + b). 11

12 Se infine aλ 2 + bλ + c =0e2aλ + b =0, allora aγ (x) =A, da cui γ(x) = A 2a x2. Nella classe di termini noti del tipo e λx con λ C rientrano anche i casi cos ωx, sin ωx, e λx cos ωx, e λx sin ωx con λ R. Esercizi. Trovare una soluzione particolare delle equazioni y +2y +3y =2e 3x, y +2y 3y =2e 3x,y +2y y =2e x cos 3x, 2y + y +2y = 3 sin 2x, y +3y = x + 2 cos x. Metodo di variazione delle costanti Illustriamo ora un metodo generale che consente di determinare una soluzione particolare dell equazione completa, qualunque sia la forma del termine noto f(x). Il metodo è applicabile purchè si conoscano già due soluzioni indipendenti dell equazione omogenea. Siano dunque y 1 (x) ey 2 (x) due soluzioni indipendenti dell equazione omogenea associata. L idea è cercare una soluzione particolare della forma y 0 (x) =c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x). (8) Ricordiamo che le funzioni y 1 (x) ey 2 (x) sono note, mentre le funzioni c 1 (x) ec 2 (x) sono incognite e vanno determinate in modo che y 0 soddisfi l equazione (7). Questa equazione fornirà una condizione sulle due funzioni c 1 e c 2. Poichè le funzioni da determinare sono due, potremo imporre una seconda condizione su c 1 e c 2 che sceglieremo come ci fa più comodo. Cominciamo a calcolare dalla (8) y 0 = c 1y 1 + c 2y 2 + c 1 y 1 + c 2 y 2. Imponiamo come condizione su c 1 e c 2 la seguente c 1y 1 + c 2y 2 =0. Questa fa sì che risulti e di conseguenza y 0 = c 1 y 1 + c 2 y 2. (9) y 0 = c 1y 1 + c 2y 2 + c 1 y 1 + c 2 y 2. (10) 12

13 Sostituendo la (9) e la (10) nella (7) si ottiene a(c 1y 1 + c 2y 2 + c 1 y 1 + c 2 y 2 )+b(c 1 y 1 + c 2 y 2)+c(c 1 y 1 + c 2 y 2 )=f che si può riscrivere come c 1 (ay 1 + by 1 + cy 1 )+c 2 (ay 2 + by 2 + cy 2 )+(c 1y 1 + c 2y 2)=f che a sua volta, ricordando che per ipotesi y 1 e y 2 soddisfano l equazione omogenea, si riduce a c 1y 1 + c 2y 2 = f. In definitiva siamo arrivati a scrivere il sistema lineare di due equazioni nelle due funzioni incognite c 1 e c 2 c 1y 1 + c 2y 2 =0 c 1y 1 + c 2y 2 = f. Il determinante del sistema è y 1 y 2 y 1 y 2 ed è diverso da zero per l ipotesi di indipendenza delle due soluzioni y 1 e y 2. Perciò il sistema può essere risolto in c 1 e c 2. Si trova c 1 = y 2 f y 2 y 1 y 2 y 1, c 2 = y 1 f y 2 y 1 y 2 y 1. Da queste relazioni, integrando si ottengono c 1 (x) ec 2 (x) che sostituite nella (8) forniscono un integrale particolare dell equazione completa. Esercizi Trovare una soluzione particolare delle equazioni y y = 1+e x,y + y = 1 1+e 2x. 13