Richiami di Matematica

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1 Richiami di Matematica Tabelle: ci dicono qualcosa sulla relazione tra due grandezze. Tre esempi: grandezze direttamente proporzionali, inversamente proporzionali e proporzionali una al quadrato dell altra x y = 2x x y = 1/x x y = x

2 Grafici

3 Funzioni Il valore di y dipende da quello di x: diciamo che y è funzione di x, y = f (x) Se y proporzionale ad x il grafico è una linea e diciamo che la funzione lineare. Se è proporzionale al quadrato di x diciamo che è quadratica Si può fare il grafico di qualunque funzione mettendo x sull asse delle ascisse e f (x) sull asse delle ordinate.

4 Esponenziali e logaritmi Se a x = b dico che x è il logaritmo in base a di b. x = log a (b) È particolarmente importante in caso in cui a = e = 2, circa (numero di Nepero). In questo caso parliamo di funzione esponenziale e x, e di logaritmi naturali e x = y x = ln(y) Logaritmi ed esponenziali hanno alcune proprietà 1 e x+y = e x e y 2 (e x ) y = e xy 3 log(xy) = log(x) + log(y) 4 log(x y ) = y log(x) 5 log(1/x) = log(x)

5 Grafico di esponenziale e logaritmo

6 Funzioni circolari arco/raggio = angolo in radianti S/R = sin(θ) C/R = cos(θ) S/C = tan(θ)

7 Grafico delle funzioni circolari

8 Proprietà delle funzioni circolari sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) sin( x 2 ) = 1 cos(x) 2 cos( x 2 ) = 1+cos(x) 2 sin(0) = sin(π) = 0 sin( π 2 ) = 1 sin( 3 2π) = 1 ; cos(0) = 1 cos(π) = 1 cos( π 2 ) = cos( 3 2 π) = 0 ; tan(0) = tan(π) = 0 tan( π 2 ) e tan( 3 2π) sono infiniti

9 Angolo solido Ω = Area r 2 Ω tot = 4π

10 Limiti Una funzione potrebbe non essere definita per un certo valore di x (per esempio sin(x)/x per x=0) ma avvicinarsi ad un certo valore quando x diventa molto vicino al valore cercato (zero, in questo caso) Diciamo allora che il limite per x che tende a zero di sin(x)/x 1, ovvero sin(x) lim = 1 x 0 x

11 Derivate Per conoscere la velocità devo fare il rapporto tra spostamento e tempo Se voglio conoscere la velocità media in un intervallo molto piccolo, questa sarà data da v = v = x 2 x 1 = x t 2 t 1 t Se t diventa molto piccolo, anche x sarà piccolissimo, ma il rapporto rimane finito. Questo si chiama derivata di x rispetto a t v(t) = dx dt = lim x t 0 t La velocità media in un intervallo infinitesimo è la velocità istantanea al tempo t

12 Derivate - II La derivata di una costante è nulla. Viceversa, se la derivata di una funzione rispetto al tempo è nulla questa non dipende dal tempo, ed è quindi costante Alcune derivate utili sono dx n dx = n x n 1 d sin(x) dx = cos(x) de x dx = ex d cos(x) = sin(x) dx dln(x) = 1 dx x

13 Derivate di somme e prodotti La derivata di una somma è la somma delle derivate d(f (x) + g(x)) dx = df (x) dx + dg(x) dx La derivata di un prodotto si fa con la regola di Leibnitz d(f (x) g(x)) dx La derivata di una funzione composta è df (x) = g(x) + f (x) dg(x) dx dx df (y(x)) dx = df dy dy dx

14 Somme e intergrali Considero una funzione y = f (x) > 0 e voglio valutare l area compresa tra la curva y=f(x) e l asse delle ascisse per x che varia tra a e b Questa quantità si può ottenere dividendo l area in piccoli rettangoli, per cui: I = i f (x i ) x per x 0 questo diventa esattamente l area considerata, ed è l integrale della funzione lim x 0 f (x i ) x = i b a f (x)dx L integrale può essere visto come un area oppure come una somma

15 Proprietà degli integrali Se considero la funzione F (z) = z 0 f (x)dx trovo che df (z) = f (z) dz cioè che la derivata della funzione integrale è la funzione integranda L integrale si calcola quindi cercando la funzione di cui l integrando è derivata La funzione integrale è definita a meno di una costante se il suo estremo inferiore non è specificato (integrale indefinito)

16 Statistica e probabilità Come faccio a sapere se un farmaco è efficace? Facendo un test su due pazienti, il risultato non può essere generalizzato Se potessi fare un test su un miliardo di pazienti, mi aspetterei che su due miliardi il risultato non cambi molto Se ho due casi possibili, per esempio pazienti guariti e non guariti, ed ho N 1 pazienti guariti e N 2 non guariti, f 1 = N 1 /(N 1 + N 2 ) e f 2 = N 2 /(N 1 + N 2 ) sono le frequenze relative Per grandi numeri f 1 e f 2 restano stabili e sono le probabilità di avere guarigione o non guarigione

17 Valore medio Suppongo di misurare N volte una grandezza (ad esempio la temperatura, la velocità o l età) e di trovare i valori x 1, x 2,..., x N Il valore medio della misura è definito come N x = x = 1 N i=0 x i Se ho ottenuto N 1 volte x 1, N 2 volte x 2,... allora posso scrivere x = 1 N (N 1x 1 + N 2 x ) = N 1 N x 1 + N 2 N x 2 + = f 1 x 1 + f 2 X 2 + = i f i x i

18 Precisione della misura Quanto è precisa la mia misura di una grandezza che ha un valore definito? Se la precisione fosse massima, tutte le misure sarebbero identiche Cerco di valutare l errore che faccio attraverso la varianza σ 2 = 1 N N (x i x ) 2 i=1 Definisco la deviazione standard come σ = σ 2

19 Distribuzioni continue Molti esperimenti, come la misura di una lunghezza, hanno infiniti possibili valori Posso allora raggrupparli, ad esempio, in intervalli di ampiezza e considerare la frequenza relativa di misure che cadono nell intervallo [x, x + ] Per piccolo il rapporto tra la frequenza di queste misure e si chiama distribuzione di frequenze La più usata di queste distribuzioni è quella normale (o di Gauss)

20 Probabilità È il rapporto tra il numero di volte che un evento si verifica e il numero totale di eventi La somma delle probabilità di tutti gli eventi indipendenti fa uno P tot = P 1 + P P N = 1 Ad esempio, se tiro un dado due volte, la probabilità di avere 6 sia la prima volta che la seconda 1/6 x 1/6 = 1/36 Il teorema di Bernoulli ci assicura che per grandi numeri la frequenza relativa tende ad essere uguale alla probabilità. Problema: se il 57 non esce sulla ruota di Roma da 85 settimane, qual è la probabilità che esca la prossima settimana? Si può parlare di distribuzione di probabilità in modo analogo a quanto si fa per la distribuzione di frequenza

21 Errore nelle misure La probabilità che una misura cada nell intervallo [ x σ, x + σ] è del 68,23% [ x 2σ, x + 2σ] è del 95,44% [ x 3σ, x + 3σ] è del 99,74% Se la misura si allontana per più di 5σ dal valore che mi aspetto, posso cominciare a pensare che ci sia qualcosa di sbagliato

22 Correlazioni Sospetto che l aumento di peso delle persone sia proporzionale alla quantità di calorie che mangiano: come posso provarlo? Se c è proporzionalità, la legge che collega peso e calorie (y=peso, x=calorie) y = Ax + B dove A e B sono costanti Non troverò per valori descritti esattamente da questa legge, per via delle fluttuazioni nella popolazione, che posso considerare come fossero errori Scrivo quindi y i = Ax i + B + errore Per trovare A e B richiedo che l errore complessivo sia minimo errore 2 = (y i Ax i B) 2 = minimo i i