Prima prova d esonero a.a. 16/17

Transcript

1 Prima prova d esonero a.a. 16/17 1. Si determini l insieme di definizione e il segno della seguente funzione: ( ) x + 1 f(x) = log x Si determinino e si rappresentino nel piano di Gauss le soluzioni complesse dell equazione z z = z Dopo aver determinato i valori dei parametri reali a e b che rendono continua la seguente funzione se ne rappresenti un grafico qualitativo. 2 log x a, x (, 2], f(x) = be x 2 + 1, x ( 2, 0], x 2 x, x (0, + ). 4. Si stabilisca se la funzione f(x) = x 2 3 è iniettiva e/o suriettiva. Si determini il più grande sottoinsieme del dominio in cui essa risulta invertibile e in esso si calcoli la sua funzione inversa. 5. Si dimostri per induzione che n 2 + n + 2 è un numero pari per ogni n N. 6. Si calcoli il seguente limite lim x + 1 e x2 3x 2 + cos x. 1

2 Seconda prova d esonero a.a.16/17 2. Si calcoli il seguente limite lim x 0 f(x) = x + 1 e x 1 + (sin x)2 1 2(tan x)2 + x 3 3. Si stabilisca se il seguente integrale improprio sia convergente e in caso affermativo lo si calcoli. x 1 x 3 1 dx 2 4. Si scriva l equazione della retta tangente in x 0 = 1 al grafico di f(x) = x2 + x + 1. a) Si calcoli la derivata prima della seguente funzione f(x) = [log(1 + sin 3x)] 3. b) Si calcoli l area del sottografico di f(x) = xe x2 relativo all intervallo [0, 1]. 5. Si determini l integrale generale dell equazione differenziale y (x) + y(x) = e x (x 2 1). 2

3 Terza prova d esonero a.a.16/17 1. Data la funzione f : R 2 R definita da 3x2 + 2y f(x, y) = 2 1 x 2, + y si stabilisca dominio e segno. Si rappresenti graficamente il dominio di f. 2. Si determinino gli eventuali punti di estremo relativo della funzione f(x, y) = 1 x + 8 y xy. 3. Si discuta il seguente sistema al variare di k R e se ne determino le eventuali soluzioni. 3x kz = 1 kx + 2y + 4z = 2 2x 2y 5z = 1 4. Una certa malattia ha una diffusione del 2%; un esame diagnostico rivela la malattia nell 80% dei casi, mentre nel 10% dei casi l esame risulta positivo anche se il soggetto è sano. Si calcolino le seguenti quantità: a) la probabilità che l esame risulti positivo; b) la probabilità di essere malato sapendo che l esame ha dato esito positivo. 5. Supponiamo che i punteggi di un test su un quoziente di intelligenza (Q.I.) di una certa popolazione di adulti si distribuiscano normalmente con uno scarto quadratico medio σ = 15. Un campione di 25 adulti estratti da questa popolazione ha un punteggio medio di 105. a) Si calcoli un intervallo di confidenza bilatero al 95% per il Q.I.; b) Sottoporre a test l ipotesi che il Q.I. sia 100 con un livello di significatività dell 1%. 3

4 30 Gennaio 2017 f(x) = xe x Dimostrare che tutte le primitive F della funzione f(x) = x log ( x 2 ) sono tali che lim x + F (x) = Si discuta il seguente sistema al variare di k R e se ne determino le eventuali soluzioni. 5x 2y (k + 5)z = 0 k 2 x + y + 2z = 1 2x 2y 5z = Una certa malattia ha una diffusione del 10%; un esame diagnostico rivela la malattia nell 70% dei casi, mentre nel 15% dei casi l esame risulta positivo anche se il soggetto è sano. Si calcolino le seguenti quantità: a) la probabilità che l esame risulti positivo; b) la probabilità di essere malato sapendo che l esame ha dato esito positivo. 5. Supponiamo che i punteggi di un test su un quoziente di intelligenza (Q.I.) di una certa popolazione di adulti si distribuiscano normalmente con uno scarto quadratico medio σ = 10. Un campione di 50 adulti estratti da questa popolazione ha un punteggio medio di 110. a) Si calcoli un intervallo di confidenza bilatero al 95% per il Q.I.; b) Sottoporre a test l ipotesi che il Q.I. sia 100 con un livello di significatività dell 1%. 4

5 27 Febbraio 2017 f(x) = xe x Dimostrare che tutte le primitive F della funzione f(x) = x+1 x+3 sono tali F (x) che lim x + x R. 3. Si discuta il seguente sistema al variare di k R e se ne determino le eventuali soluzioni. 5x 2y (k + 5)z = 0 kx + 2y + 4z = 2 2x 2y 5z = Una certa malattia ha una diffusione del 10%; un esame diagnostico rivela la malattia nell 70% dei casi, mentre nel 15% dei casi l esame risulta positivo anche se il soggetto è sano. Si calcolino le seguenti quantità: a) la probabilità che l esame risulti positivo; b) la probabilità di essere malato sapendo che l esame ha dato esito positivo. 5. Supponiamo che i punteggi di un test su un quoziente di intelligenza (Q.I.) di una certa popolazione di adulti si distribuiscano normalmente con uno scarto quadratico medio σ = 10. Un campione di 50 adulti estratti da questa popolazione ha un punteggio medio di 110. a) Si calcoli un intervallo di confidenza bilatero al 95% per il Q.I.; b) Sottoporre a test l ipotesi che il Q.I. sia 100 con un livello di significatività dell 1%. 5

6 12 Giugno 2017 ( ) x f(x) = arctan x Dire se esiste ed eventualmente calcolare il seguente limite 2 3x 3 2x lim x 0 x 3 3. Si discuta l esistenza delle soluzioni del sistema x + y + z = k x + ky z = k x ky + z = 1 al variare del parametro k R. 4. La probabilità che un soggetto abbia uninfezione virale è pari a La diagnosi dell infezione è effettuata mediante un test clinico che ha le seguenti caratteristiche: la probabilità che un soggetto infetto risulti positivo al test è 0.95, mentre la probabilità che un soggetto non infetto non risulti positivo al test è Qual è la probabilità che un soggetto sia infetto dato che è risultato positivo al test? 2. Qual è la probabilità che un soggetto sia infetto dato che non è risultato positivo al test? 5. Si supponga che il livello X di colesterolo in una certa popolazione costituita da 100 individui cinquantenni abbia distribuzione Normale con media µ = 260 e σ 2 = Si formuli la seguente ipotesi nulla: H0: Il livello del colesterolo medio dei cinquantenni è pari a Si calcoli un intervallo di confidenza bilatero (a due code) al 95% per il colesterolo medio. 2. Si calcoli il valore critico t della legge t di Student nel caso in cui si voglia eseguire una verifica dell ipotesi bilatera (a due code) H0 ad un livello di confidenza dell 1%. 3. Ad un livello di confidenza dell 1% è possibile rifiutare l ipotesi H0? 6

7 N.B. In alternativa all esercizio 3) si può risolvere il seguente problema di Cauchy { y (x) = y(x) log(1 + x 2 ) y(0) = e. 7

8 3 Luglio 2017 f(x) = e3x+1 x 2 2x 2. Dire se esiste ed eventualmente calcolare il seguente limite lim x 1 log(x 2 + x 1) log(x 2 + 2x 2) 3. Si discuta l esistenza delle soluzioni del sistema 2x + (1 a)y + 2z = a 1 x + ay z = a 2ay 2z = a + 1 al variare del parametro a R. 4. Il principio attivo di un farmaco antitumorale può provocare disturbi gastrici con probabilità p 1 e disturbi cardiaci con probabilità p 2. Inoltre i suddetti disturbi compaiono contemporaneamente con probabilità p Qual è la probabilità che, dopo l assunzione del farmaco, un soggetto abbia disturbi gastrici o cardiaci? 2. Qual è la probabilità che, dopo l assunzione del farmaco, un soggetto abbia sia disturbi gastrici che cardiaci nell ipotesi che i due malesseri compaiano uno indipendentemente dall altro? 3. Qual è la probabilità che, dopo l assunzione del farmaco, un soggetto abbia disturbi cardiaci stante il fatto che siano già sopraggiunti disturbi gastrici? 5. Si formulino le seguenti ipotesi: (Ipotesi nulla) H 0 : Il peso medio µ 0 degli studenti del corso è pari a 75 Kg. (Ipotesi alternativa) H A : Il peso medio µ 0 degli studenti del corso non è pari a 75 Kg. Si supponga di aver eseguito un campionamento casuale di ampiezza n = 36 e di aver ottenuto Y = 74 Kg e s = 7 Kg. Assumendo che la popolazione campionata abbia una distribuzione normale, si risponda alle seguenti domande: 8

9 1. Si calcoli un intervallo di confidenza bilatero (a due code) al 99% per il peso medio. 2. Si calcoli il valore critico t della legge t di Student nel caso in cui si voglia eseguire una verifica dell ipotesi bilatera (a due code) H 0 ad un livello del 99%. 3. Ad un livello di confidenza dell 1% è possibile rifiutare l ipotesi H 0? In alternativa all esercizio 3) si può risolvere il seguente esercizio 6. Si determini l integrale generale {y c (x) : c R} della seguente equazione differenziale y (x) = 2 x y(x) + x + 1 x e si verifichi che per ogni c R risulta y c (x) cx 2 per x +. 9

10 3 Luglio 2017 f(x) = x 3 x 1 2. Dire se esiste ed eventualmente calcolare il seguente limite e x2 1 x 2 lim x 0 (cos x 1) 2 3. Si discuta l esistenza delle soluzioni del sistema x + ky = 1 2y + kz = 0 x + y + z = 3 al variare del parametro k R. soluzioni. Quando è possibile si determinino le 4. Una compagnia di assicurazioni ritiene che gli assicurati possano essere suddivisi in due classi: a rischio di incidente e non a rischio di incidente. Le loro statistiche mostrano che una persona a rischio avrà un incidente di qualche tipo all interno di un periodo fissato di un anno con probabilità 0, 4, mentre tale probabilità è pari a 0, 2 per le persone non a rischio. a) Supponiamo che il 30% delle persone sia a rischio, qual è la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente nel primo anno di polizza? b) Supponiamo che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dalla prima stipulazione della polizza. Qual è la probabilità che sia a rischio? 5. Nella produzione di semiconduttori non è possibile controllare esattamente la resistenza degli elementi prodotti. Supponiamo che vengano misurati i valori della resistenza per n = 81 semiconduttori, ottenendo una media campionaria x = 1, 2 ed una varianza campionaria s 2 = 0, Determinare lintervallo bilaterale di confidenza al 95% per la media della resistenza dei semiconduttori prodotti. 2. Ad un livello di confidenza dell 5% è possibile rifiutare l ipotesi nulla H 0 : µ = 1, 3 contro l ipotesi H 1 : µ 1, 3? In alternativa all esercizio 2) si può risolvere il seguente esercizio 6. Si determini l integrale generale della seguente equazione differenziale 2y (x) y (x) y(x) = 4xe 2x. 10

11 11 Settembre 2017 f(x) = xe x 4(x 1) 2. Trovare tutte le primitive della funzione f(x) = x(ln x + sin(x 2 + 1)). 3. Si discuta l esistenza delle soluzioni del sistema x + (2 + k)y + kz = 1 2y + kz = 0 x + 3y + (k + 1)z = 3 al variare del parametro k R. soluzioni. Quando è possibile si determinino le 4. Una compagnia di assicurazioni ritiene che gli assicurati possano essere suddivisi in due classi: a rischio di incidente e non a rischio di incidente. Le loro statistiche mostrano che una persona a rischio avrà un incidente di qualche tipo all interno di un periodo fissato di un anno con probabilità 0, 3, mentre tale probabilità è pari a 0, 1 per le persone non a rischio. a) Supponiamo che il 70% delle persone non sia a rischio, qual è la probabilità che un nuovo assicurato non abbia un incidente nel primo anno di polizza? b) Supponiamo che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dalla prima stipulazione della polizza. Qual è la probabilità che sia a rischio? 5. In un campione di 15 bambini della città di New York il tempo medio passato a guardare la televisione è di 28, 5 ore a settimana, con varianza campionaria di 16 ore. L organizzazione per la Salute per i Bambini Americani raccomanda un massimo di 25 ore per settimana. Il sindaco di New York assicura che i suoi bambini non superano questo limite. Usando un livello di significatività del 2, 5%, si può concludere che il sindaco abbia ragione? Si assuma che il tempo speso a guardare la TV dai bambini sia distribuito secondo una normale. Cambierebbe il risultato del test fissando un livello di significatività α = 0.10? Motivare la risposta. In alternativa all esercizio 2) si può risolvere il seguente esercizio 11

12 6. Si determini la soluzione del seguente problema di Cauchy { y (x) = xy(x) y(0) = 5 e si verifichi che y(x) x x per x 0. 12

13 13 Novembre 2017 f(x) = xe x Calcolare x log (1 + 1x ) 2 dx 3. Si discuta il seguente sistema al variare di k R e se ne determino le eventuali soluzioni. 5x 2y (k + 5)z = 0 k 2 x + y + 2z = 1 2x 2y 5z = Una certa malattia ha una diffusione del 15%; un esame diagnostico rivela la malattia nell 75% dei casi, mentre nel 10% dei casi l esame risulta positivo anche se il soggetto è sano. Si calcolino le seguenti quantità: a) la probabilità che l esame risulti positivo; b) la probabilità di essere malato sapendo che l esame ha dato esito positivo. 5. Supponiamo che i punteggi di un test su un quoziente di intelligenza (Q.I.) di una certa popolazione di adulti si distribuiscano normalmente con uno scarto quadratico medio σ = 15. Un campione di 80 adulti estratti da questa popolazione ha un punteggio medio di 120. a) Si calcoli un intervallo di confidenza bilatero al 95% per il Q.I.; b) Sottoporre a test l ipotesi che il Q.I. sia 100 con un livello di significatività dell 5%. 13