Moti rotatori. Definizioni delle grandezze rotazionali

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1 Moti rotatori Definizioni delle grandezze rotazionali

2 Moti dei corpi rigidi n Un corpo rigido ha generalmente un moto complesso (vedi un bastone lanciato in aria). n In realtà qualunque moto può essere descritto componendo un moto puramente traslatorio e un moto puramente rotatorio n Sappiamo che nei moti traslatori tutti i punti di un corpo hanno la stessa velocità lineare n Nei moti rotatori tutti i punti che hanno la stessa distanza dall asse di rotazione hanno la stessa velocità lineare e per distanze diverse, dall asse di rotazione, si hanno velocità diverse n Quali sono le caratteristiche di un moto puramente rotatorio?

3 Moto puramente rotatorio In un moto puramente rotatorio tutti i punti di un corpo rigido compiono un moto circolare uniforme attorno all asse di rotazione del corpo. Le velocità tangenziali dei punti di un corpo in rotazione dipendono dalla distanza che hanno rispetto all asse. Più grande è la distanza di un punto dall asse di rotazione più grande è il modulo della sua velocità. Quindi: v = ω r dove ω è la velocità angolare La velocità angolare è il rapporto fra l angolo percorso ed il tempo impiegato a percorrerlo. Sarà utile definire il concetto di radiante

4 Moto circolare uniforme Δv v 1 ü Il moto è circolare perché la sua traiettoria è una circonferenza, ed è uniforme perché il modulo della sua velocità è costante. ü E costante solo il modulo; non il vettore velocità. ü Istante per istante, la velocità, cambia direzione, quindi la velocità varia nel tempo e per questo il moto è soggetto ad una accelerazione. ü ü ü Il modulo di questa accelerazione sarà pari a: a = v 2 /r la direzione, istante per istante, perpendicolare al vettore velocità verso diretto al centro della traiettoria!! Δv : v a : v = a 1 v r v r 2 r v 2! = Δs r 1 v 1 dividendo per Δt!! Δv! Δs! :v1 = :r1 Δt Δt e per Δt 0 = 2 :! : r 1 v 2 Δs Ricordando un teorema dei triangoli simili

5 Posizione angolare Per determinare una posizione, serve definire un sistema di riferimento e trovare una unità di misura. Si individui un segmento r appartenente ad un corpo rigido e si supponga che possa girare incernierato normalmente all asse z. Il secondo estremo del segmento percorrerà un arco lungo s. Allora il solido avrà percorso un angolo θ e tale che θ = s/r. Dopo un giro completo l arco percorso sarà stato 2πr che diviso per il raggio r determinerà l angolo 2π. Pertanto diremo che 360 = 2π rad I radianti essendo un rapporto di due lunghezze sono numeri puri. 1 rad: 2π rad = θ : 360

6 Angoli in radianti r θ n n Sia data una particella che si muova con moto uniforme lungo la circonferenza di un cerchio di raggio r. La posizione della particella in movimento può essere rappresentata da un vettore rotante di raggio r che forma un angolo θ con l asse x. Definizione di radiante: L angolo θ [rad] formato dal raggio rotante dopo aver percorso un arco di circonferenza di lunghezza pari ad r. L angolo giro 360 è pari a 2πr 1 (rad) = 57, = 0,01744 rad

7 Spostamento e velocità angolare y Δθ = θ 2 - θ 1 è lo spostamento angolare e può essere positivo o negativo. E positivo se il corpo ruota in senso antiorario, negativo nel caso opposto. r s x La velocità angolare media è: θ2 ω = t 2 θ1 t 1 = Δθ Δt La velocità angolare istantanea è: L accelerazione angolare istantanea è: Δθ ω = lim = Δ t 0 Δt α ω = Δ = lim Δt Δt 0 dθ dt dω dt

8 Esempio di moto rotazionale Il disco di figura ruota secondo la legge oraria: θ ( t) = t t 1 La sua velocità sarà data dalla derivata prima: dθ/dt = -0,6 + 0,5t la sua accelerazione dalla sua derivata seconda d 2 θ/dt 2 = 0,5

9 Moti rotatori e moti lineari caso dei moti ad accelerazione costante I moti rotatori sono governati da equazioni omomorfe, simili nella forma, alle equazioni dei moti lineari. v = v 0 + at ω = ω 0 + αt x-x 0 = v 0 t + ½ at 2 θ - θ 0 = ω 0 t + ½ αt 2 v 2 = v 02 +2a(x-x 0 ) ω 2 = ω α(θ-θ 0 ) x-x 0 = ½ (v 0 +v)t θ - θ 0 = ½ (ω 0 + ω)t x-x 0 = vt - ½ at 2 θ θ 0 = ωt - ½ αt 2

10 Le caratteristiche dei moti circolari r θ L arco S percorso quando un raggio r si sposta di θ rad è s = r θ La sua velocità sarà: ds/dt = r dθ /dt ovvero v = r ω Il periodo sarà T = 2π r /v o T = 2π /ω Il periodo T è inversamente proporzionale a ω In un disco che ruota attorno al suo centro, le velocità tangenziali di ciascun punto del disco dipendono linearmente dal raggio.

11 Il moto circolare uniforme v α r T Il tempo necessario a percorrere una orbita circolare è il periodo T, ovvero: T = 2πr / v v = 2πr / T d altronde l accelerazione radiale è definita da: α r = v 2 / r oppure α r = 4π 2 r / T 2 Esempio: Se la Luna dista dalla Terra 3.84 x10 5 km (circa 50 raggi terrestri) ed il periodo è 27,3 giorni, quale è l accelerazione centripeta che subisce la Luna? α c = 2.72x 10-3 m/s 2 à