RELAZIONE LABORATORIO ESPERIENZA I

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1 RELAZIONE LABORATORIO ESPERIENZA I ~MISURAZIONE DELLA DENSITÀ DI CILINDRI CAVI~ ANNO ACCADEMICO Gruppo 13 Di Benedetto Enrico, Franzella Elia, Guttilla Mattia, Nicoletti Gabriele, Tumbiolo Emanuele ~INDICE~ 1. Introduzione e finalità. Strumentazione i. Calibro ventesimale ii. Bilancia elettronica 3. Acquisizione dei dati i. Tabelle 3.1, 3., 3.3, Analisi delle misure e stima delle indeterminazioni i. Tabella 4.1: Misure probabili 5. Analisi grafica i. Grafico 5.1: Massa in funzione del Volume ii. Grafico 5.: Rette di pendenza 6. Conclusioni Appendice i. Errori relativi e percentuali ii. Propagazione degli errori e valori best: calcoli algebrici Bibliografia

2 1. Introduzione e fnnaitt La seguente esperienza si è svolta nell'ambito del corso di Laboratorio di Fisica I del CdL in Scienze Fisiche dell'università degli Studi di Palermo. Essa ha avuto luogo il giorno 19 novembre 018 nel laboratorio dell'istituto di Fisica in Via Archirafi 36. Si tratta della prima delle tre esperienze programmate per il primo modulo della suddetta materia allo scopo di acquisire familiarità con l'ambiente di laboratorio e con le relative procedure operative di misurazione diretta o indiretta delle grandezze fisiche e relativa stima delle indeterminazioni. Il compito tecnico dell'esperienza è stato la stima della densità di 5 solidi cavi di forma cilindrica pressocché regolare, volta alla verifica dell'ipotesi che questi siano effettivamente costituiti dello stesso materiale. In particolare, ad una prima analisi si ipotizza che gli Oggetti siano costituiti di un materiale plastico, probabilmente polietilene, utilizzato commercialmente per la fabbricazione di tubi per fili elettrici. Come noto, la densità di un oggetto è definita come: ρ= m V (1.1) dove ρ è la densità del corpo, m la sua massa e V il volume. Per stimare efficacemente la densità degli oggetti si è quindi deciso di misurare direttamente la loro massa e in maniera indiretta il loro volume, calcolato a partire della misurazione dell'altezza e del diametro interno ed esterno di ogni singolo oggetto.. Strumentnzione Gli strumenti a nostra disposizione sono stati: Calibro ventesimale : il calibro permette di misurare le lunghezze, riuscendo ad apprezzare il ventesimo di millimetro grazie all'utilizzo del nonio ventesimale. Ciò introduce un errore di lettura pari a mezza divisione del nonio δ x_lett =0.05 mm. Ai fini dell'esperimento, si può considerare l'errore di precisione uguale all'errore di lettura, ottenendo un errore strumentale totale pari a δ x_strum =0.05 mm.

3 Bilancia elettronica : la bilancia elettronica permette di misurare le masse con una risoluzione di un decimo di grammo. L'errore di lettura dello strumento è uguale ad un'unità sull'ultima cifra significativa (LSD), ovvero δ x_lett =0.1 g. L'errore di precisione introdotto dallo strumento è uguale allo 0,% del valore misurato. Si ottiene quindi la seguente espressione dell'errore strumentale: δ xstrum =( V. M.)g (.1) 3. Acquisizione dei dnti Per convenzione, abbiamo ordinato per ordine decrescente di altezza i 5 oggetti, numerandoli conseguentemente. I dati e i relativi errori riportati in tabella in questa fase sono stati approssimati, seguendo le regole dell'approssimazione, a cifre decimali. Ogni misurazione delle lunghezze è stata eseguita 3 volte, a fronte della possibilità di riscontrare una qualche irregolarità negli oggetti. Si è scelto quindi di effetturare le misure dei diametri in diverse posizioni e di misurare l'altezza ruotando di volta in volta di circa 10 l'oggetto per tenere conto di possibili irregolarità. I dati ottenuti sono stati riportati nelle seguenti tabelle: Altezze Misura I (mm) Misura II (mm) Misura III (mm) Oggetto 1 6,00±0,05 61,75±0,05 61,00±0,05 Oggetto 47,00±0,05 46,50±0,05 46,50±0,05 Oggetto 3 39,50±0,05 40,00±0,05 38,5±0,05 Oggetto 4 3,00±0,05,00±0,05,00±0,05 Oggetto 5 11,75±0,05 11,50±0,05 11,50±0,05 Tabella 3.1: Altezze Diametro est. Misura I (mm) Misura II (mm) Misura III (mm) Oggetto 1 7,00±0,05 8,50±0,05 8,5±0,05 Oggetto 8,5±0,05 7,75±0,05 8,0±0,05 Oggetto 3 8,50±0,05 8,5±0,05 8,00±0,05 Oggetto 4 8,50±0,05 7,75±0,05 8,50±0,05 Oggetto 5 8,00±0,05 7,5±0,05 7,75±0,05 Tabella 3.: Diametri esterni

4 Diametro int. Misura I (mm) Misura II (mm) Misura III (mm) Oggetto 1 4,50±0,05 5,00±0,05 4,75±0,05 Oggetto 4,5±0,05 4,50±0,05 4,5±0,05 Oggetto 3 4,75±0,05 4,50±0,05 4,75±0,05 Oggetto 4 4,50±0,05 4,5±0,05 4,75±0,05 Oggetto 5 4,5±0,05 5,5±0,05 5,50±0,05 Tabella 3.3: Diametri interni Per le masse si è deciso di eseguire la misurazione 3 volte, ponendo di volta in volta l'oggetto in posizioni diverse sulla bilancia elettronica, onde evitare letture falsate da una possibile inclinazione del piano di lavoro. I dati ottenuti sono stati raccolti nella seguente tabella: Massa Misura I (g) Misura II (g) Misura III (g) Oggetto 1 9,10±0,1 9,0±0,1 9,30±0,1 Oggetto 7,00±0,11 7,0±0,11 7,0±0,11 Oggetto 3 6,00±0,11 5,90±0,11 5,90±0,11 Oggetto 4 3,30±0,11 3,0±0,11 3,0±0,11 Oggetto 5 1,60±0,10 1,50±0,10 1,60±0,10 4. Annaisi dei dnti e stimn deaae indeterminnzioni Tabella 3.4: Masse Fatte le misure, si sono determinati i valori probabili x best per ogni oggetto e le relative indeterminazioni δ xbest. Per il valore probabile si è scelto di prendere il valore centrale dell'intervallo di dispersione, considerando come estremo superiore il valore massimo più il suo errore e come estremo inferiore il valore minimo meno il suo errore: x best = ( x max +δx max )+( x min δx min ) Per l'indeterminazione si è scelto di prendere il valore della semidispersione delle misure, considerando come estremo superiore il valore massimo più il suo errore e come estremo inferiore il valore minimo meno il suo errore. La scelta è motivata dal fatto che così facendo si tiene conto della possibile presenza di irregolarità: δ xbest = ( x max +δx max ) ( x min δx min ) (4.1) (4.)

5 Nell'esperienza in questione si nota che per le misure di massa si ha che δx max δx min, mentre per le misure delle lunghezze questi due valori sono esattamente uguali. Onde per cui, le formule (4.1) e (4.) sono semplificabili nelle seguenti relazioni, utilizzate in seguito per l'analisi delle misure: x best = x max +x min (4.3) δ xbest = x max x min +δ (4.4) x Applicando le formule (4.3) e (4.4) si sono ricavati i seguenti valori riportati in Tabella 4.1. Si è preferito lavorare con una cifra decimale in più rispetto alla solita convenzione, salvo poi approssimare infine tutto ad una cifra decimale all'atto del calcolo del Volume. I calcoli algebrici sono riportati in esteso in Appendice ii). Misure probabili Altezza (mm) Diametro est. (mm) Diametro int. (mm) Massa (g) Oggetto 1 61,50±0,55 7,75±0,80 4,75±0,30 9,0±0, Oggetto 46,75±0,30 8,00±0,30 4,38±0,17 7,10±0,1 Oggetto 3 39,13±0,9 8,5±0,30 4,63±0,17 5,95±0,16 Oggetto 4,50±0,55 8,13±0,4 4,50±0,30 3,0±0,1 Oggetto 5 11,98±0,78 7,63±0,4 4,88±0,68 1,55±0,15 Tabella 4.1: Misure probabili A questo punto, a partire dai dati di Altezza(h), Diametro Esterno(D) e Diametro Interno(d) si ricava il Volume(V) di ogni oggetto utilizzando per il calcolo del valore probabile la formula nota dalla geometria: V = π 4 (D d ) h (4.5) A partire dalla (4.5) si è ricavata la formula per la propagazione dell'errore. Trattandosi di un prodotto, a propagarsi sarà l'errore relativo di ogni singolo fattore: ε V =ε (π /4) +ε ( D d ) +ε h (4.6) Il fattore π 4 è una constante: il suo errore relativo è nullo. L'errore relativo dell'altezza per definizione è uguale a ε h = δ h h (h positivo, per cui non occorre indicarne il valore assoluto).

6 L'errore relativo del fattore D d si calcola tenendo conto delle regole di propagazione dell'errore nelle somme algebriche e nelle potenze, ottenendo quindi: δ (D d ε ) ε (D d = ) D d = ( D D +ε ) (d d δ D ) D d = D D + δ d d d D d = δ D D +δ d d D d Sostituendo le informazioni ricavate nella (4.6) si ottiene: δ V =( δ h h + δ D D+δ d d D d ) V (4.7) Utilizzando quindi le formule (4.5) e (4.7) abbiamo ottenuto i volumi e le relative indeterminazioni, raccolti nella seguente tabella: Volumi probabili Volume (cm 3 ) Oggetto 1 7,6±1,5 Oggetto 6,9±0,4 Oggetto 3 5,9±0,4 Oggetto 4 3,4±0, Oggetto 5 1,4±0,4 Tabella 4.: Volumi probabili

7 5. Annaisi grnfcn Utilizzando il programma di analisi grafica Scidavis, abbiamo riportato su un grafico le misure ottenute, riportando in ascissa i volumi e in ordinata le masse, con le rispettive barre di errore (Grafico 5.1): Oggetto 1 Oggetto Oggetto 3 Oggetto 4 Oggetto 5 Grafico 5.1: Massa in funzione del Volume Osservando la dispersione dei punti, si nota come le misure relative all'oggetto 1, in particolar modo il Volume, difficilmente rientrano nell'ipotesi di una relazione lineare tra Volume e Massa individuabile per le misure degli altri Oggetti. Questo potrebbe essere dovuto ad un errore dell'operatore nella misurazione diretta delle dimensioni dell'oggetto, oppure potrebbe essere un segnale di una diversa densità del materiale di cui è composto l'oggetto 1. Per questi motivi, si è deciso di scartare la misura nella stima finale della densità probabile. Per questa stima si è scelto di utilizzare il metodo delle rette di minima e massima pendenza, sfruttando appunto la relazione lineare tra massa e volume di cui alla formula (1.1). Tracciando due rette passanti per l'origine e scelte per avere massima e minima pendenza e passare per i rettangoli individuati dagli errori sui singoli punti, se ne individuano i coefficienti angolari, corrispondenti a ρ max e ρ min. Il valore probabile della densità ρ sarà il valore centrale della dispersione tra ρ max e ρ min ; la sua indeterminazione sarà la semidispersione di analoghi estremi.

8 Riportiamo il grafico su cui sono state tracciate le rette (Grafico 5.): Grafico 5.: Rette di massima, minima e migliore pendenza A questo punto si è calcolata la pendenza delle due rette nell'intervallo [0,1]. Utilizzando la funzione Data Reader si è verificata l'intercetta delle due rette con l'asse di equazione V =1cm 3, ottenendo i valori m rossa =0.94 g e m blu =1.09 g. Calcolando la pendenza tramite la relazione (5.1): ρ= Δm ΔV = m 0 V 0 = m V (5.1) si trovano i valori ρ min =0,94 g/cm 3 e ρ max =1,09 g/cm 3, da cui si ricavano: ρ best = ρ max + ρ min =1,0 g /cm3 (5.) δ ρ = ρ max ρ min =0,08 g /cm3 (5.3) 6. Concausioni I dati calcolati in (5.) e (5.3) sono consistenti con l'ipotesi che gli Oggetti considerati siano costituiti dello stesso materiale. In particolare, il valore probabile della densità è in accordo con l'analisi preliminare degli Oggetti, in quanto esso risulta consistente col valore della densità del Polietilene (C H 4), che assume, nella sua variante commerciale, valori prossimi a n ρ pol =0,95 g /cm 3.

9 Inoltre, la sostanziale coerenza dei dati dei Diametri per ogni Oggetto suggerisce che essi siano stati ottenuti tagliando uno stesso tubo. La grande variabilità dei dati sulle altezze, invece, fa supporre che essi siano stati tagliati in maniera irregolare. Per avere misure più accurate, si consiglia di porre gli oggetti su un piano parallelo all'orizzontale, di limarne i bordi con della carta vetrata, verificando con una livella a bolla l'inclinazione della perpendicolare al cilindro rispetto alla perpendicolare al terreno, minimizzando tale angolo, e ripetere l'esperimento. ~APPENDICE~ i. Errori reantivi e reantivi percentunai Volume Volume (cm 3 ) Errore relativo Errore relativo percentuale Oggetto 1 7,6±1,5 0,0 0% Oggetto 6,9±0,4 0,06 6% Oggetto 3 5,9±0,4 0,07 7% Oggetto 4 3,4±0, 0,06 6% Oggetto 5 1,4±0,4 0,9 9% Tabella 7.1: Errori relativi Volume Massa Massa(g) Errore relativo Errore relativo percentuale Oggetto 1 9,0±0, 0,0 % Oggetto 7,10±0,1 0,03 3% Oggetto 3 5,95±0,16 0,03 3% Oggetto 4 3,0±0,1 0,07 7% Oggetto 5 1,55±0,15 0,10 10% Tabella 7.: Errori relativi Massa

10 ii. Propngnzione degai errori e vnaori best: cnacoai nagebrici Aatezze Formule in uso: (4.3) e (4.4). Oggetto 1: h best = 6,00+61,00 Oggetto : h best = 47,00+46,50 Oggetto 3: h best = 40,00+38,5 Oggetto 4: h best = 3,00+,00 Oggetto 5: h best = 11,75+11,50 =61,50 mm, δ h = 6,00 61,00 +0,05=0,55 mm =46,75 mm, δ h = 47,00 46,50 +0,05=0,30 mm =39,13 mm, δ h = 40,00 48,5 +0,05=0,9 mm =,50 mm, δ h = 3,00,00 +0,05=0,55 mm =11,98 mm, δ h = 11,75 11,50 +0,05=0,78 mm Dinmetri esterni Formule in uso: (4.3) e (4.4). Oggetto 1: D best = 8,50+7,00 =7,75mm, δ D = 8,50 7,00 +0,05=0,80 mm Oggetto : D best = 8,5+7,75 =8,00 mm, δ D = 8,5 7,75 +0,05=0,30 mm Oggetto 3: D best = 8,50+8,00 =8,5mm, δ D = 8,50 8,00 +0,05=0,30 mm Oggetto 4: D best = 8,50+7,75 Oggetto 5: D best = 8,00+7,5 =8,13 mm, δ D = 8,50 7,75 +0,05=0,4mm =7,63 mm, δ D = 8,00 7,5 +0,05=0,4mm Dinmetri interni Formule in uso: (4.3) e (4.4). Oggetto 1: d best = 5,00+4,50 =4,75 mm, δ d = 5,00 4,50 +0,05=0,30 mm Oggetto : d best = 4,50+4,5 Oggetto 3: d best = 4,75+4,50 Oggetto 4: d best = 4,75+4,5 Oggetto 5: d best = 5,50+4,5 =4,38mm, δ d = 4,50 4,5 +0,05=0,17mm =4,63mm, δ d = 4,75 4,50 +0,05=0,17mm =4,50mm, δ d = 4,75 4,5 +0,05=0,30 mm =4,88mm, δ d = 5,50 4,5 +0,05=0,68mm

11 Mnsse Formule in uso: (4.3) e (4.4). Oggetto 1: m best = 9,30+9,10 Oggetto : m best = 7,0+7,00 Oggetto 3: m best = 6,00+5,90 Oggetto 4: m best = 3,30+3,10 Oggetto 5: m best = 1,60+1,50 =9,0 g, δ m = 9,30 9,10 +0,1=0, g =7,10 g, δ m = 7,0 7,00 +0,11=0,1 g =5,95 g, δ m = 6,00 5,90 +0,11=0,16 g =3,0 g, δ m = 3,30 3,10 +0,11=0,1 g =1,55 g, δ m = 1,60 1,55 +0,10=0,15 g Voaume Formula in uso: (4.5). Oggetto 1: V best = π 4 (7,75 4,75 ) 61,50=7607 mm 3 7,6 cm 3 Oggetto : V best = π 4 (8,00 4,38 ) 46,75=696 mm 3 6,9 cm 3 Oggetto 3: V best = π 4 (8,5 4,63 ) 39,13=5883mm 3 5,9 cm 3 Oggetto 4: V best = π 4 (8,13 4,50 ),50=3376mm 3 3,4 cm 3 Oggetto 5: V best = π 4 (7,63 4,88 ) 11,98=1358mm 3 1,4 cm 3 ~BIBLIOGRAFIA~ Per la parte relativa al calcolo degli errori e all'approsimazione dei risultati vedere: John R. Taylor, Introduzione all'analisi degli errori: lo studio delle incertezze nelle misure fisiche, Zanichelli II Ed. 1999; Aurelio Agliolo Gallitto, Introduzione al Laboratorio di Fisica: gli errori nelle misure sperimentali, Università di Palermo 016 Per il testo originale dell'esperienza riferirsi a erienza_1.pdf Per il valore della densità del Polietilene vedere