MISURAZIONE DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE E DELLA COSTANTE ELASTICA DELLA MOLLA DI UN OSCILLATORE ARMONICO. Prima parte

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1 MISURAZIONE DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE E DELLA COSTANTE ELASTICA DELLA MOLLA DI UN OSCILLATORE ARMONICO Prima parte Umberto La Mantia Scopo: Lo scopo di questa prima parte dell'esperienza è determinare il periodo di un oscillatore armonico costituito da una molla fissata su di un'asta verticale e da una massa appesa ad essa. Strumenti utilizzati: -molla di massa trascurabile -massa con gancio (80g) -cronometro digitale (r=0,01 s) -programma per l'analisi dati SciDAVis

2 Procedimento: Sistemato il tavolo di lavoro, con l'asta, la molla e la massa, ho cominciato a prendere tutte le misurazioni, in particolare ogni misura temporale presa con il cronometro digitale corrisponde a 9 periodi dell'oscillatore per cui alla fine, per ricavare il periodo tramite i dati sperimentali, divido sia il periodo che l'errore su di esso per nove. In totale sono state effettuate 100 misurazioni con la stessa massa e tramite la medesima operazione, 20 di queste sono utilizzate come set di misure a sé stante ai fini dell'esperimento. A misure prese, procedo con la costruzione degli istogrammi. Gli istogrammi presenti nel testo sono tutti normalizzati e sono stati costruiti interamente tramite il programma per l'analisi dati "SciDAVis". Poiché un istogramma per un numero infinito di misure tende alla distribuzione normale centrata sul valore della media, allora è ragionevole pensare che anche l'istogramma sia centrato sul valore della media, per cui trovo graficamente la media. La deviazione standard è invece l'ampiezza dell'istogramma a metà altezza dal valore della media, come nel caso della gaussiana. Tramite i dati invece, la media e la deviazione standard sono state ricavate tramite le seguenti formule: Media: Deviazione standard: Confronto la media e la deviazione standard del set di dati di 20 misure ricavati graficamente e analiticamente riportandoli in un tabella. Set 20 misure Media Dev. Standard Grafico* Analisi dati* *tutte le misure sono espresse in secondi

3 Riporto di conseguenza anche l'istogramma costruito con le 20 misure dei 9 periodi Ricavati i due risultati considero ora il set di dati di 100 misure, corrispondenti sempre a nove periodi dell'oscillatore avente una massa appesa di 80g. Di sotto è riportato l'istogramma:

4 Confrontando a vista i due istogrammi è possibile capire come più è grande il numero di misure più l'istogramma sarà simmetrico e più sarà riconoscibile la curva a campana della distribuzione limite (l'istogramma di 100 misurazioni denota di più questa caratteristica), questa è infatti ottenuta facendo un numero infinito di misurazioni. La curva sarà centrata sulla media e la sua larghezza dal centro di simmetria a metà altezza corrisponderà alla deviazione standard. Infine calcolo il periodo di oscillazione del sistema che coinciderà con la media delle cento misure effettuate e che avrà come errore la deviazione standard della media (ovvero la deviazione standard diviso la radice del numero di misurazioni) sommata all'errore strumentale dx=0.01, il tutto poi verrà diviso per nove. Riporto i valori di media, deviazione standard e deviazione standard della media: Set 100 misure media Dev. standard Dev. St. Media * *tutte le misure sono espresse in secondi (s) L'errore dx sarà dunque: dx= dev.st.media + dx(strumentale) = Il periodo è: T= ± s

5 In appendice i 100 valori misurati in laboratorio: 7,37 7,34 7,35 7,37 7,34 7,41 7,35 7,35 7,44 7,32 7,35 7,34 7,38 7,31 7,34 7,38 7,35 7,31 7,35 7,35 7,37 7,37 7,34 7,35 7,34 7,31 7,34 7,32 7,37 7,38 7,34 7,28 7,4 7,44 7,34 7,34 7,41 7,31 7,41 7,35 7,37 7,41 7,37 7,31 7,35 7,34 7,34 7,34 7,38 7,38 7,35 7,31 7,34 7,38 7,41 7,32 7,32 7,34 7,37 7,34 7,37 7,35 7,38 7,41 7,34 7,29 7,4 7,34 7,35 7,41 7,34 7,38 7,4 7,4 7,35 7,31 7,4 7,34 7,38 7,41 7,29 7,37 7,37 7,31 7,38 7,28 7,37 7,28 7,34 7,32 7,35 7,37 7,37 7,31 7,35 7,31 7,32 7,31 7,34 7,35

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7 MISURAZIONE DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE E DELLA COSTANTE ELASTICA DELLA MOLLA DI UN OSCILLATORE ARMONICO Seconda parte Umberto La Mantia Scopo: In questa seconda parte di relazione verrà calcolata la costante elastica (k) della molla dell'oscillatore tramite due metodi, quello di massima e minima intercetta in grafico log-log e quello della linearizzazione Strumenti utilizzati: -molla di massa trascurabile -masse differenti dotate di gancio (80g, 70g, 60g, 50g, 40g, 30g) -programma per l'analisi dati SciDAVis -cronometro digitale (r=0.01s) Procedimento: Una volta prese venti misurazioni col cronometro per ogni campione di massa calcolo la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media al fine di ricavare un periodo di oscillazione per ogni massa, i valori sono stati divisi per 9 (il numero di periodi presi per ogni misurazione) e riportati nella tabella.

8 Media Dev. standard Dev. St. Media Set 1 (80g) Set 2 (70g) Set 3 (60g) Set 4 (50g) Set 5 (40g) Set 6 (30g) I valori rappresentati sono espressi in secondi (s) Sappiamo dall'equazione differenziale dell'oscillatore armonico che la frequanza angolare (o pulsazione) è in relazione con la massa tramite la farmula ω= (k/m). Questa relazione può pure essere vista come ω= (k)*m^(-½) ovvero una funzione del tipo y=ax^n che rappresentata in un grafico log log è una retta con coefficiente angolare n e intercetta A, in questo caso è necessario trovare k che nel grafico log-log sarà appunto l'intercetta, o meglio l'intercetta sarà k ; trovo prima i valori della pulsazione che sappiamo essere data da ω=2π/t dove T= T(media) ± dx è il periodo, per quanto riguarda la sua incertezza sappiamo che se una grandezza è il risultato di un'altra grandezza moltiplicata per un numero esatto allora anche l'incertezza verrà moltiplicata per quel numero per cui l'errore sulla pulsazione sarà l'errore del periodo moltiplicato per 2π. I risultati sono calcolati per ogni campione di massa e trascritti nella tabella sotto: Pulsazione (rad/s) Errore pulsazione (rad/s) Set 1 (80g) Set 2 (70g) Set 3 (60g) Set 4 (50g) Set 5 (40g) Set 6 (30g)

9 Una volta calcolate le pulsazioni posso restituire il grafico log-log richiesto Le due rette di massima e minima intercetta sono segnate rispettivamente in verde e blu. Vista la difficoltà nel leggere il valore di k, cioè dell'intercetta, uso un modo semplice per poterla calcolare, so che k=ω m, quindi traccio un asse verticale, passante per x(m)=81 così mi basterà vedere in che ordinata le due rette intercettano l'asse e moltiplicare il risultato per 9( m) ottenendo così k. L'asse poteva essere posizionato a piacimento, però è ovviamente conveniente posizionarlo in modo da rendere facile il calcolo dell'intercetta.

10 I valori di k finalmente ricavati sono: K(max)=4.755 N/m K(min)=4.733 N/m Il valore best della costante elastica sarà dato della media e avrà come incertezza la semidispersione calcolata dal valore massimo e minimo di essa: K(best)= ± N/m Un altro metodo per calcolare la costante elastica è quello della linearizzazione. Abbiamo che ω= 2π/T, per cui, la relazione ω= (k/m) diventa: 2π/T= (k/m) => m=k*(t/2π)^2 E ponendo (T/2π)^2 = Z otteniamo la nuova relazione:

11 M=k*Z Da questa è possibile costruire un grafico, avente le masse sull'asse delle ordinate e la nuova grandezza Z su quello delle ascisse. Procedo con il calcolo di Z per i differenti periodi con le relative incertezze che riporto nella tabella sottostante: Z (s^2) Errore Z(s^2) Set Set Set Set Set Set

12 Ho quindi tracciato le due rette di massima e minima pendenza, questa volta infatti la costante elastica sarà data dalla pendenza della retta. La retta di massima e minima pendenza sono rappresentate nel grafico rispettivamente con blu e il viola. I valori massimi e minimi della costante elastica sono: K(max)=5.145 N/m K(min)=4,595 N/m Anche in questo caso assumiamo la semidispersione come incertezza della misura. Quindi il valore best di k è: K(best) = 4.9 ± 0.3 N/m Per confrontare i due risultati calcolo i due errori relativi in percentuale: dk/k= 0.23% dk/k= 5% (massima e minima intercetta log-log) (massima e minima pendenza - linearizzazione) In conclusione, il risultato ottenuto tramite la linearizzazione è molto meno accurato di quello ottenuto tramite il metodo di massima e minima intercetta.

13 In appendice riporto le misurazioni fatte in laboratorio relative ai valori dei campioni di massa: 70g 60g 50g 40g 30g 80g 6,9 6,38 5,82 5,22 4,56 7,37 6,84 6,34 5,81 5,22 4,56 7,41 6,9 6,37 5,78 5,22 4,5 7,35 6,78 6,41 5,84 5,19 4,54 7,38 6,88 6,4 5,88 5,18 4,56 7,37 6,88 6,44 5,88 5,25 4,56 7,31 6,88 6,4 5,84 5,25 4,53 7,34 6,87 6,4 5,84 5,22 4,57 7,34 6,87 6,37 5,84 5,25 4,5 7,37 6,88 6,37 5,87 5,22 4,57 7,34 6,88 6,37 5,82 5,22 4,53 7,35 6,87 6,41 5,81 5,22 4,57 7,32 6,87 6,35 5,88 5,28 4,57 7,37 6,9 6,41 5,84 5,22 4,53 7,29 6,91 6,38 5,78 5,18 4,5 7,34 6,91 6,44 5,91 5,29 4,53 7,31 6,94 6,38 5,75 5,25 4,6 7,29 6,91 6,44 5,85 5,19 4,56 7,28 6,91 6,4 5,84 5,19 4,54 7,35 6,91 6,37 5,81 5,22 4,54 7,31