Calcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano. Unit 5 Corso di Logica e Teoria dell Argomentazione

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1 Calcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano Unit 5 Corso di Logica e Teoria dell Argomentazione

2 Sommario Nozioni probabilistiche Probabilità condizionata Ragionamento bayesiano Applicazioni a giochi e giochi equi

3 Nozione di probabilità Dato un insieme di eventi, di cui un evento A fa parte, con p(a) indichiamo la probabilità che A accada (o che l asserzione A sia vera)

4 Interpretazioni per p p(a) può essere interpretata in modo Soggettivo, se p(a) misura il grado di credenza di un agente razionale sul fatto che A accada Logico, quando p(a) misura a priori il contenuto informativo in modo inversamente proporzionale (A debole ha probabilità alta) Frequentista, se p(a) misura la frequenza con cui A accade in relazione ad una certa classe Classico, se p(a) misura a priori, ma solo in contesti finiti equiprobabili, l incidenza dei casi favorevoli rispetto a quelli possibili

5 Esempi probabilità classica Estrazione di una carta da un mazzo francese (52 carte: semi; 1,2,,10,J,Q,K per ogni seme) E 2 = esce un due, E C = esce un cuori, E 2C = esce il due di cuori, ecc. p(e 2C )= p(~e 2C )= p(e A )= p(e AC ve AQ )= p(e C )= 1/52= /52=.981 4/52=.076 2/52= /52=.25

6 Esempi - probabilità Estrazione di una carta da un mazzo francese (52 carte: semi; 1,2,,10,J,Q,K per ogni seme) p(e 6 )= p(e 6 ve K )= p(~e 6 ve K )= p(e AC ve 3Q ve 9F )= p((e A ve 3 )&E C )= p(e AC &E AQ )= p(e C ve Q ve F ve P )= 4/52=.076 8/52= /52=.924 3/52=.057 2/52=.038 0/52=0 52/52=1

7 Esempi altre interpretazioni Sondaggio su una popolazione di 1000 studenti Assegnazione delle quote delle scommesse sportive Quanto è probabile che io passi l esame di Logica? Lancio un dado 50 volte, e 5 volte è uscito l 1. Quanto è probabile l uscita dell 1?

8 Calcolo delle probabilità È un sistema teorico che consiste di tre assiomi e delle loro conseguenze deduttive Assiomi: p(a) 0 se A è un evento certo (ovvero una tautologia), allora p(a)=1 se A e B sono mutuamente esclusivi (ovvero il presentarsi dell uno esclude il presentarsi dell altro), allora p(avb)=p(a)+p(b)

9 Prime conseguenze Se A è contraddittoria, p(a)=0 p(e AC &~E AC )=0 Per qualunque A, 0 p(a) 1 p(a)=1-p(~a) p(e 5F )=1-p(~E 5F )=1-51/52=1/52 Se A e B sono verofunzionalmente equivalenti, p(a)=p(b) da cui possono derivarsi molte conseguenze, ad es. p(a B)=1-p(A&~B) Dimostrazione: A B equivalente a ~(A&~B), perciò p(a B)=p(~(A&~B))=1-p(A&~B)

10 Prime conseguenze teoriche Per qualunque A e B p(avb)=p(a)+p(b)-p(a&b) p(e 5 )=4/52, p(e C )=13/52, p(e 5 &E C )=1/52 p(e 5 ve C )=4/52+13/52-1/52=16/52 A B p(a&b) p(a), p(a&b) p(b)

11 Altre conseguenze Se p(a)=p(b)=0 allora p(avb)=0 Se p(a)=1 allora p(a&b)=p(b) Se A è conseguenza logica di B (cioè se p(b A)=1) allora p(a&b)=p(b) Essendo E 5C E 5 (ovvero E 5C E 5 ) p(e 5 &E 5C )=p(e 5C )=1/52

12 Probabilità condizionale Con probabilità condizionale di A dato B si intende la probabilità dell asserzione A data la verità dell asserzione B, e si indica con p(a B) È anche (banalmente) il rapporto tra casi favorevoli per A&B e casi favorevoli per B

13 Esempi prob. condizionali Estrazione di una carta da un mazzo francese (52 carte: semi; 1,2,,10,J,Q,K per ogni seme) E 2 = esce un due, E C = esce un cuori, E 2C = esce il due di cuori, ecc. p(e 2C E 2 )= p(e 7C E C )= p(e AQ ~E 2C )= p(e 7C E Q )= 1/4=.25 1/13=.076 1/51=.001 0/13=0 p(e A E AC )= 1/1=1 p(e AC ve 2C (E C ve F )&E <6 )= 2/10=.2

14 Conseguenze p(a A)=1 p(e 5F E 5F )=1 p(~a A)=0 p(~e 4F E 4F )=0 Se B è certa (tautologica), p(a B)=p(A) Se A e B sono verofunzionalmente equivalenti, allora p(a C)=p(B C) e p(c A)=p(C B)

15 Conseguenze p(a&b)=p(a B)p(B) Essendo E F &E 5 =E 5F si ha p(e F &E 5 )=1/52 con questa relazione invece p(e F &E 5 )=p(e F E 5 )p(e 5 )=(1/4)(4/52)=1/52 p(a 1 &A 2 &B)=p(A 1 &A 2 B)p(B)

16 Altre conseguenze Se A e B sono indipendenti, allora p(a&b)=p(a)p(b) In quanto p(a B)=p(A) p(~a B)=1-p(A B) p(~e 7 E Q ) =1-p(E 7 E Q )=1-1/13=12/13 p(avb C)=p(A C)+p(B C)-p(A&B C) p(e 6 ve 7 E Q )=p(e 6 E Q )+p(e 7 E Q )-p(e 6 &E 7 E Q )= =1/13+1/13-0/13=2/13 E molte altre ancora

17 Teorema di Bayes Permette di calcolare una probabilità condizionale a partire dalla conversa Se A 1,A 2, A n sono mutualmente esclusive

18 Esempio 1 In Italia il 50% delle auto è una Fiat, ed il 25% delle Fiat è di colore bianco. In generale, il 20% delle auto è di colore bianco. Io stesso ho un auto bianca. Be, allora anche tu hai una Fiat L argomento è forte? A= è una Fiat, B= è di colore bianco

19 Perché? il 50% delle auto è una Fiat, il 20% delle auto è di colore bianco, ed il 25% delle Fiat è di colore bianco. Supponiamo che le auto siano complessivamente 200, allora: Le Fiat sono il 50%, ovvero 100 Le Fiat bianche sono il 25% di 100, cioè 25 Le auto bianche sono il 20% di 200, cioè 40 Dunque, data un auto bianca (in totale sono 40), la probabilità che sia una Fiat è data da 25/40=0.625

20 Esempio 2 Abbiamo una lampadina difettosa. Le lampadine sono prodotte da tre macchine A, B e C, che producono il 25%, il 35%, ed il 40% delle lampadine totali. Le lampadine difettose prodotte sono, in percentuale: il 5% per A, il 15% per B, il 12% per C. Quale macchina l ha prodotta? Be, penso sia stata prodotta da A. Com è l argomento? A= prodotta da A, B= prodotta da B, C= prodotta da C, D= difettosa Noi dobbiamo calcolare p(a D) p(a)=.25; p(b)=.35; p(c)=.4 p(d A)=.05; p(d B)=.15; p(d C)=.12

21 Esempio 2 (cont.) - calcolo p(a)=.25; p(b)=.35; p(c)=.4 p(d A)=.05; p(d B)=.15; p(d C)=.12 p(a D) = = p(a)p(d A) p(a)p(d A)+ p(b)p(d B)+ p(c)p(d C) = =.11 Dunque abbiamo l 11% che sia sta prodotta da A: l argomento è debole. Ugualmente possiamo calcolare p(b D)=...=.46 e p(c D)=...=.42

22 Esempio 3 Il medico al paziente: Vediamo sospettavo che lei avesse contratto questa malattia e le avevo chiesto di effettuare il test diagnostico. Si tratta di una malattia che colpisce l 1% della popolazione. Questo test dà risultato positivo nel 90% dei malati e nel 5% dei non malati. A lei ha dato esito positivo. Dunque i miei sospetti erano fondati: lei ha contratto questa malattia. Com è l argomento?

23 Esempio 3 (cont.) - calcolo Siano M= malato, P= positivo al test Voglio conoscere p(m P) Dunque l argomento è debole, perché la probabilità di aver contratto la malattia è solo del 15.38%

24 Esempio 3 (cont.) - perché? Supponiamo la popolazione sia composta da individui. Malati: 1000 Malati positivi al test: 900 Non Malati: Non Malati positivi al test: 4950 Quanti sono i malati positivi rispetto a tutti i positivi? 900/( )=15.4%

25 Esempio 3 (cont.) - conclusioni Valutiamo invece l argomento: [ ] Il test diagnostico ha dato esito negativo: dunque non ha contratto la malattia Dobbiamo calcolare p(~m ~P) L argomento è forte! (dunque, occorre fare attenzione a cosa si sa e cosa si conclude!)