La Teoria (epistemica) della conferma bayesiana
|
|
- Emma Marinelli
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 La Teoria (epistemica) della conferma bayesiana Introduzione La teoria della probabilità fornisce alcuni strumenti potenti anche in senso epistemico, per valutare argomentazioni e decisioni in cui sono usati dei metodi inferenziali incerti quali, ad esempio, l analogia o l induzione. In questi casi, dato che la verità delle premesse non viene trasmessa alle conclusioni, ci si può interessare al grado di attendibilità che le conclusioni hanno sulla base delle premesse poste a loro sostegno ed entrano in gioco nozioni come la probabilità induttiva" delle conclusioni, la loro plausibilità, o ancora il loro grado di credenza. L utilizzo di una concezione epistemica della probabilità, assieme alle conseguenze del teorema di Bayes, porta così a costruire una teoria della conferma che permette di descrivere la forza di argomentazioni incerte. L approccio bayesiano propone di valutare la coerenza argomentativa basandosi sulla probabilità piuttosto che sulla deduzione, fornendo regole di inferenza probabilistiche che non si applicano alle credenze, bensì ai gradi di credenza. Supponiamo che sia definita una funzione di probabilità p su una classe di enunciati, con l interpretazione che p misuri la probabilità di un enunciato di essere vero e che soddisfi le condizioni: 1. 0 p(a) 1, per ogni A, 2. se A è vera allora p A = 1, 3. se A1 e A2 sono enunciati incompatibili, allora p A! A! = p A! ) + p(a!. Accanto alle probabilità assolute possiamo inoltre introdurre le probabilità condizionali, con la seguente definizione 4. se p(b) 0 allora p A B = p(a&b) p(b) in cui p A B esprime la probabilità dell ipotesi espressa dall enunciato A a condizione che sia verificato un enunciato B. La probabilità p A B può essere allora interpretata epistemicamente come la plausibilità di A a fronte della conoscenza di B, o ancora come il grado di conferma o il grado credenza di A relativamente all evidenza B disponibile. Questa interpretazione epistemica (nota come principio di condizionalizzazione) porta a riguardare la probabilità p A come la probabilità a priori, iniziale di A, e la probabilità p A B come la probabilità a posteriori, o finale, di A, ovvero la sua probabilità una volta noto B. Ricordiamo che, nella sua versione più semplice, il teorema di Bayes è esprimibile con p A B = p A p(b A) p B e, in caso di eventi mutuamente esclusivi come A e ~A, attraverso p A B = p A p(b A) p A p B A + p ~A p(b ~A) e ciò rimane valido indipendentemente dalla posizione probabilistica assunta (sia essa frequentista, soggettivistica, ecc.). La centralità del teorema di Bayes per valutare la credenza di un ipotesi dipende dal fatto che esso permette di calcolare più incisivamente come la credenza sia aggiornata alla luce di nuove informazioni. In questo senso, se chiamiamo H l ipotesi al vaglio, sviluppata a partire da 1
2 informazioni precedenti, ed E l evento che viene conosciuto in seguito, è possibile calcolare in che modo la conoscenza di E aggiorni la credenza o la probabilità dell ipotesi H, ovvero p H E = p H p(e H) p E Un esempio paradigmatico è quello dei test per la diagnosi clinica. Supponiamo che una malattia sia contratta dall 1% della popolazione e che abbiamo a disposizione un test diagnostico che dà risultato positivo nel 90% dei malati e nel 5% dei non malati. Supponiamo ancora che il test, somministrato ad una persona, abbia dato esito positivo. Con che probabilità la persona ha effettivamente contratto la malattia? O, in altri termini, com è l argomento seguente? La malattia colpisce l'1% della popolazione. Il test diagnostico dà risultato positivo nel 90% dei malati. Il test diagnostico dà risultato positivo nel 5% dei non malati. Il test diagnostico mi dà esito positivo. :. Ho contratto la malattia. Intuitivamente si sarebbe indotti a rispondere che l argomento sia forte e che la probabilità che la persona abbia contratto la malattia sia del 90% (o nelle sue vicinanze). In realtà le cose stanno diversamente ed è proprio il teorema di Bayes che permette di calcolare come la probabilità di aver contratto la malattia cambi a seguito del test diagnostico, dato che la probabilità a priori di averla contratta è dell'1%. Innanzitutto racchiudiamo i dati significativi del problema in una tabella (ved. a destra) che illustra tutte le probabilità. Siano ora M= ho contratto la malattia l'ipotesi, e P= sono positivo al test l'evidenza divenuta disponibile, ciò che vogliamo conoscere è p M P : p M P = p M p(p M) p M p P M + p ~M p(p ~M) = =.1538 Dunque la probabilità di aver contratto la malattia (l ipotesi M), a fronte dell esito positivo del test (l evidenza P), risulta essere solamente del 15% circa, perciò molto più bassa di quanto appariva inizialmente. Si tenga invece conto che, nel caso di test negativo, la probabilità di non aver contratto la malattia nel nostro esempio è un ipotesi molto forte, infatti p ~M ~P = p ~M p(~p ~M) p ~M p ~P ~M + p M p(~p M) = =.9989 In entrambi i casi, l ulteriore conoscenza (la positività o la non positività al test) porta ad aggiornare la credenza ipotizzata: i. nel primo caso (positività al test) la probabilità di aver contratto la malattia passa dall 1% al 15.38% (o, equivalentemente, la probabilità di non aver contratto la malattia passa dal 99% al 84.62%); ii. nel secondo caso (negatività al test) la probabilità di non aver contratto la malattia passa dal 99% al 99.89%. In entrambi i casi, l'evidenza disponibile (il risultato del test) ci costringe ad aggiornare il nostro grado di credenza nell'ipotesi (l'aver o il non aver contratto la malattia), ovvero ci porta a rivedere la probabilità che gli assegniamo. 2
3 Avvalendoci del teorema di Bayes e delle sue conseguenze è così possibile costruire una teoria della conferma, in cui un agente razionale può assegnare a ciascuna proposizione un unico grado di credenza. In tale situazione, possiamo definire le seguenti nozioni: un evidenza E conferma un ipotesi H se e solo se p H E > p(h), un evidenza E disconferma un ipotesi H se e solo se p H E < p(h), un evidenza E è neutra rispetto ad un ipotesi H se e solo se p H E = p(h). Dunque possiamo dire che una conclusione ha un alta probabilità induttiva, o che un ipotesi è plausibile, quando ha un certo grado di conferma bayesiana, ed è tanto più accreditata quanto più alto è il suo grado di conferma. Si tratta di una nozione che, anche in assenza di una misurazione quantitativa (nei casi in cui è difficile stimare le probabilità degli eventi), può essere considerata anche in modo qualitativo. C è da notare, inoltre, che proprio in virtù del teorema di Bayes, dalla relazione p H E p H = p(e H) p E ottenuta dividendo ambo i membri per p(h), le nozioni di conferma, disconferma e neutralità possono essere associate anche alla p(e) e a p(e H), infatti E conferma l ipotesi H se e solo se!!!!! p E H > p(e). Analogamente, E disconferma l ipotesi H se e solo se p E H < p(e), e E è neutra rispetto ad H se e solo se p E H = p(e). > 1, ovvero se e solo se!(!!)!! > 1 da cui Attraverso l approccio probabilistico è dunque possibile indagare il grado di credibilità di una ipotesi in situazione d incertezza (o di una conclusione argomentativa) in quanto esso ci offre la possibilità di orientarci in modo razionale facendo appello alla conoscenza posseduta. Modelli di conferma Un illuminante sviluppo della teoria della conferma bayesiana è fornito da G. Polya. Secondo Polya, il modello di ragionamento seguente, sebbene nella logica deduttiva dia luogo ad una fallacia classica, nella logica induttiva fornisce un criterio di adeguatezza delle conclusioni. Modello fondamentale (o sillogismo euristico) E :. H è più credibile Questo modello si discosta dalla classica fallacia dell affermazione del conseguente perché si colloca su un piano logico diverso, non dimostrativo, e come tale formalizza una credenza che è difficile da mettere in dubbio: il verificarsi di una conseguenza di H rende l ipotesi H più credibile. Ciò deriva dal fatto che l evidenza E conferma l ipotesi H. Vediamo nel dettaglio perché. Dal teorema di Bayes, moltiplicando entrambi i membri per p(e) abbiamo p E p H E = p H p(e H) e sostituendo il valore 1 a p(e H) in quanto E è conseguenza di H, otteniamo p E p H E = p H ma se E non è un evento impossibile o certo, allora p E è compresa tra 0 ed 1 per cui 0 < p H < p H E 3
4 ovvero p H E > p H, da cui evinciamo che: in presenza del verificarsi di E la probabilità dell ipotesi H aumenta. Accanto a questo modello fondamentale si possono sviluppare altri modelli di ragionamento che illustrano altri principi induttivi e che si possono dimostrare all interno della teoria della conferma bayesiana. Vediamone alcuni. Supponiamo che siano state verificate le conseguenze E1, E2,, En dell ipotesi H. A questo punto consideriamo il verificarsi di un ulteriore evidenza E!!! che è conseguenza di H. Possiamo concludere che tanto più la nuova evidenza E!!! differisce dalle evidenze E1,, En accertate in precedenza, tanto più essa aumenterà la credibilità di H. In forma canonica, questo principio induttivo si può esprimere in modo duplice: Modello della conseguenza diversa Le conseguenze E1,, En di H (!,,! ) sono state verificate (E1,, En sono vere) È stata verificata l ulteriore conseguenza En+1 di H (!!! e E!!! è vera) En+1 è molto diversa da E1,, En :. H è molto più credibile Modello della conseguenza simile Le conseguenze E1,, En di H (!,,! ) sono state verificate (E1,, En sono vere) È stata verificata l ulteriore conseguenza En+1 di H (!!! e E!!! è vera) En+1 è molto simile a E1,, En :. H è di poco più credibile Analogamente, si può considerare la maggiore o minore probabilità delle conseguenze. Il presentarsi di una conseguenza molto improbabile aumenta di molto la credibilità dell ipotesi, viceversa se la conseguenza che si presenta è molto probabile la credibilità dell ipotesi aumenta meno. In forma canonica, questo principio induttivo dice che: Modello della conseguenza improbabile La conseguenza E di H () è molto improbabile E si è verificata :. H è molto più credibile Modello della conseguenza probabile La conseguenza E di H () è molto probabile E si è verificata :. H è di poco più credibile Nel caso dell inferenza per analogia accade che il verificarsi o la maggiore probabilità di una ipotesi analoga rende l ipotesi di partenza più credibile, ovvero: Modello dell analogia A è analoga a B B si è verificata (oppure B è più credibile) :. A è più credibile così come nel modello successivo, in cui dall incompatibilità tra due ipotesi, la falsità o la minore credibilità di una di esse rende l altra ipotesi più credibile Modello dell incompatibilità A è incompatibile con B B è falsa (oppure B è meno credibile) :. A è più credibile 4
5 Variazioni del modello fondamentale sono poi i seguenti: 1 a variazione del Modello fondamentale E è meno credibile :. H è meno credibile 2 a variazione del Modello fondamentale E è più credibile :. H è più credibile Se da un lato la teoria della conferma bayesiana ha un ambito di applicazione molto ampio, che va dal discorso quotidiano a quello scientifico in generale, esso ha però dei limiti evidenti, nello specifico: aiuta a trattare solo forme di ragionamento euristico, incerto, provvisorio; è un tipo di ragionamento che ha una sua specifica logica, diversa da quella deduttiva; non sempre è possibile il confronto numerico tra ipotesi diverse. Ma anche la presenza di tali limiti, ed anche se a volte la plausibilità viene stabilita in modo non probabilistico, dunque in modo verbale e non formale, al di fuori di una qualsivoglia teoria della credenza, questo approccio è un momento fondamentale e uno strumento importante per valutare il grado di credenza di ipotesi e conclusioni argomentative. La nozione di conferma illustrata si basa sulla nozione di probabilità e questa, interpretata in senso epistemico, è atta anche a misurare il grado di credenza di un agente. Ma c è di più. L uso della probabilità è giustificato da un noto teorema (teorema di Cox), secondo il quale ogni misura ragionevole della credenza è teoreticamente isomorfa alla misura probabilistica. Ciò sta ad indicare che le proprietà poste alla base di un qualsivoglia sistema di misura per la credenza devono essere le stesse dell apparato probabilistico. Filosoficamente, ciò porta a ritenere la concezione probabilistica come l unico sistema di misura coerente per valutare la credibilità all interno di un sistema inferenziale incerto. 5
La Teoria (epistemica) della conferma bayesiana
La Teoria (epistemica) della conferma bayesiana La teoria della probabilità fornisce alcuni strumenti potenti anche in senso epistemico, per valutare argomentazioni e decisioni in cui sono usati dei metodi
DettagliCalcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano. Unit 5 Corso di Logica e Teoria dell Argomentazione
Calcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano Unit 5 Corso di Logica e Teoria dell Argomentazione Sommario Nozioni probabilistiche Probabilità condizionata Ragionamento bayesiano Applicazioni a giochi
DettagliNOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ESPERIMENTO CASUALE: un esperimento si dice casuale quando gli esiti (manifestazioni o eventi) non possono essere previsti con certezza. PROVA: le ripetizioni, o occasioni
DettagliErrori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano
Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano L argomento... Errori cognitivi Il problema gnoseologico Dati, informazione
DettagliCalcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano. Unit 3 Corso di Logica e Teoria dell Argomentazione
Calcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano Unit 3 Corso di Logica e Teoria dell Argomentazione Sommario Nozioni probabilistiche Probabilità condizionata Ragionamento bayesiano Fallacie probabilistiche
DettagliCENNI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ (Vittorio Colagrande)
CENNI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ (Vittorio Colagrande) Il Calcolo delle Probabilità trova molte applicazioni in Medicina, Biologia e nelle Scienze sociali. Si possono formulare in modo più appropriato
DettagliCalcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosiddette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello
DettagliLaboratorio di Fisica per Chimici
Laboratorio di Fisica per Chimici 17 aprile 2015 Dott. Marco Felici Ufficio: Vecchio Edificio di Fisica (Ed. Marconi)-Stanza 349 (3 piano); e-mail: marco.felici@roma1.infn.it. Telefono: 06-49914382; Sito
DettagliIl processo decisionale
Il processo decisionale Etimologia: dal latino de-caedere, ovvero tagliar via, recidere Le fasi della decisione Il giudizio: detezione e diagnosi del problema Scelta del corso d azione, per selezione ed
DettagliCenni di calcolo delle probabilità
Cenni di calcolo delle probabilità Prof.ssa G. Serio, Prof. P. Trerotoli, Cattedra di Statistica Medica, Università di Bari 1/19 Quando si compie un esperimento o una serie di prove i possibili risultati
Dettagli02 - Logica delle dimostrazioni
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 0 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 015/016
DettagliElementi di Teoria della Probabilità
Elementi di Teoria della Probabilità Alcune definizioni iniziali: Fenomeno casuale: fenomeno ripetibile (almeno in teoria) infinite volte che può manifestarsi in diverse modalità, imprevedibili singolarmente,
DettagliIntroduzione al calcolo delle probabilità
Introduzione al calcolo delle probabilità L. Boni Approccio empirico OSSERVAZIONE IPOTESI TEORIA DOMINANTE ESPERIMENTO L esperimento Un esperimento (dal latino ex, da, e perire, tentare, passare attraverso
Dettaglisempre vere sempre false
Logica: elementi I principi della logica sono innanzitutto i seguenti: Identità: a=a (ogni cosa è cioè identica a se stessa) Non contraddizione: non (a e non a). E impossibile che la stessa cosa sia e
DettagliPROBABILITA E STATISTICA
PROBABILITA E STATISTICA La nozione di probabilità è stata concepita in modi diversi; GROSSOLANAMENTE le principali sono: Concezione classica: concetto di probabilità come uguale possibilità concezione
DettagliElementi di Calcolo delle probabilità
Elementi di Calcolo delle probabilità Docente: Francesca Benanti 13 Dicembre 2007 1 Definizioni di Probabilità La teoria della probabilità è quella parte della matematica che, sulla base delle informazioni
DettagliErrori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano
Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano L argomento... Errori cognitivi Il problema gnoseologico Dati, informazione
DettagliEsperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità
Esperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità Università Roma Tre - Dipartimento di Matematica e Fisica 3 novembre 2016 Introduzione La probabilità nel linguaggio comune I E probabile
Dettagli04 - Logica delle dimostrazioni
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 04 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 013/014 D. Provenzano,
DettagliProbabilità. Fulvio Bisi-Anna Torre
Probabilità Fulvio Bisi-Anna Torre FRATELLI E SORELLE Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La
DettagliAlfredo Rizzi. Già professore ordinario di teoria dell inferenza statistica
Alfredo Rizzi Già professore ordinario di teoria dell inferenza statistica INDUZIONE E DEDUZIONE INDUZIONE : PROCEDIMENTO LOGICO CHE CONSISTE NELL INFERIRE DA OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE PARTICOLARI I PRINCIPI
DettagliRichiami di probabilità. Decision Theory e Utilità. Richiami di probabilità. assumere certi valori in un insieme x 1, x 2, x n (dominio)
9 lezione Scaletta argomenti: Probabilità Richiami di probabilità Reti Bayesiane Decision Theory e Utilità 1 Richiami di probabilità - La formalizzazione deriva da Boole - Concetto di VARIABILE CASUALE
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITA' risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento
CALCOLO DELLE PROBABILITA' Esperimento o prova Evento Spazio Campionario (Ω) una qualsiasi operazione il cui risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento insieme
DettagliP (F E) = P (E) P (F E) = = 25
Regola del prodotto Conoscete la definizione di probabilità condizionata. Definizione 1. Siano E e F due eventi di uno spazio campionario S. Supponiamo P (F ) > 0. La probabilità condizionata dell evento
DettagliElementi di probabilità
Elementi di probabilità Corso di STATISTICA Ordinario di, Università di Napoli Federico II Professore supplente, Università della Basilicata a.a. 2011/2012 1 Obiettivo dell unità didattica Introdurre gli
DettagliMatematica con elementi di Informatica
Probabilità discreta Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica vargiolu@math.unipd.it Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche Anno Accademico
DettagliRichiami di inferenza statistica. Strumenti quantitativi per la gestione. Emanuele Taufer
Richiami di inferenza statistica Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Inferenza statistica Inferenza statistica: insieme di tecniche che si utilizzano per ottenere informazioni su una
DettagliRichiami di inferenza statistica Strumenti quantitativi per la gestione
Richiami di inferenza statistica Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Inferenza statistica Parametri e statistiche Esempi Tecniche di inferenza Stima Precisione delle stime Intervalli
DettagliPROBABILITÀ. Probabilità e Statistica per le Scienze e l Ingegneria, 3/ed, P. Erto - Copyright 2008, The McGraw-Hill Companies srl
PROBABILITÀ Probabilità 2 EVENTI. STATO DI CONOSCENZA. PROBABILITÀ Molto spesso ci troviamo di fronte a fenomeni regolati da leggi non note, o non completamente note. In questo ambito ci capita di dovere
DettagliIstituzioni di Matematiche (V): Seconda Prova Parziale, 13 Gennaio 2015 (versione 1)
Istituzioni di Matematiche (V): Seconda Prova Parziale, 13 Gennaio 015 (versione 1) Nome e Cognome: Numero di matricola: Esercizio 1 Esercizio Esercizio 3 Esercizio 4 Esercizio 5 Totale 4 6 6 8 6 Tutte
Dettagli3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali
Capitolo 3 Elementi di teoria della probabilità Abbiamo già notato come, per la ineliminabile presenza degli errori di misura, quello che otteniamo come risultato della stima del valore di una grandezza
DettagliEsercizi di Logica Matematica (parte 2)
Luca Costabile Esercizio 317 Esercizi di Logica Matematica (parte 2) Dimostro per induzione sulla costruzione del termine : - Supponiamo che sia una variabile :, - Supponiamo che sia una variabile diversa
DettagliΨ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE
Ψ PSICOMETRIA Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE CAMPIONE caratteristiche conosciute POPOLAZIONE caratteristiche sconosciute STATISTICA INFERENZIALE STIMA
DettagliSesto modulo: Logica Obiettivi 1. individuare dei "calcoli logici" che consentano di meccanizzare l attività deduttiva
Sesto modulo: Logica Obiettivi 1. individuare dei "calcoli logici" che consentano di meccanizzare l attività deduttiva 2. stabilire quali ragionamenti sono corretti e quali no 3. distinguere tra condizione
DettagliMATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1
MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1 1- Il volume di un corpo di qualsiasi forma è proporzionale al cubo di una qualunque delle sue dimensioni lineari.
DettagliLezione 1. La Statistica Inferenziale
Lezione 1 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione
DettagliSemantica proposizionale. Unit 2, Lez 3 e 4 Corso di Logica
Semantica proposizionale Unit 2, Lez 3 e 4 Corso di Logica Sommario Semantica dei connettivi Costruzione delle tavole di verità Tautologie, contraddizioni e contingenze Semantica delle forme argomentative
DettagliCalcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello
DettagliDeduzione Distinguere VALIDITA dell argomentazione (o inferenza, o ragionamento) dalla VERITA di premesse e conclusione Un ragionamento valido può ave
Deduzione Distinguere VALIDITA dell argomentazione (o inferenza, o ragionamento) dalla VERITA di premesse e conclusione Un ragionamento valido può avere una conclusione falsa se almeno una delle sue premesse
DettagliAnalisi Strategica per la Politica Economica
9 Analisi Strategica per la Politica Economica Parte Nona Prof. Bruno Chiarini GIOCHI BAYESIANI Beliefs (credenze ; congetture) Informazione completa ma imperfetta Informazione incompleta Teorema di Bayes
DettagliEsercizi svolti su probabilità condizionata e teorema di Bayes
Esercizi svolti su probabilità condizionata e teorema di Bayes Esercizio 1 Si stima che il 30% degli adulti negli Stati Uniti siano obesi, che il 3% siano diabetici e che il 2% siano sia obesi che diabetici.
DettagliINTRODUZIONE. TaleproceduravasottoilnomediteoremadiBayes.
INTRODUZIONE QUANDO CALCOLIAMO UNA PROBABILITA CONDIZIONATA USIAMO L INFORMAZIONE SUL VERIFICARSI DI UN EVENTO PER DETERMINARE LA PROBABILITA CHE UN ALTRO EVENTO SI VERIFICHI. Una estensione di questo
DettagliTeorema di Bayes. 13 aprile Regola delle probabilitá totali
Teorema di Bayes 3 aprile 207 Si introduce l equazione di partizione o regola delle probabilitá totali. Successivamente si discute il teorema di Bayes. Regola delle probabilitá totali Uno dei prerequisiti
DettagliIntroduzione al Calcolo delle Probabilità
Introduzione al Calcolo delle Probabilità In tutti quei casi in cui le manifestazioni di un fenomeno (EVENTI) non possono essere determinate a priori in modo univoco, e i risultati possono essere oggetto
DettagliLOGICA E FILOSOFIA DELLA SCIENZA
LOGICA E FILOSOFIA DELLA SCIENZA Claudia Casadio PRIMA LEZIONE Logica, Linguistica e Scienza Cognitiva Tre ambiti scientifici Logica Studia i processi in base a cui traiamo inferenze a partire dalle nostre
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliSperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3
Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 A Garfagnini, M Mazzocco, C Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Teoria della Probabilità L ineliminabile
DettagliInformazione, Entropia e Probabilità
Informazione, Entropia e Probabilità Alessandro Lenci Università di Pisa, Dipartimento di Linguistica Via Santa Maria, 36, 56100 Pisa, Italy alessandro.lenci@ilc.cnr.it Linguaggio e comunicazione - LO042
DettagliCORSO DI GEOMETRIA DETERMINANTE A.A. 2018/2019 PROF. VALENTINA BEORCHIA
CORSO DI GEOMETRIA DETERMINANTE AA 2018/2019 PROF VALENTINA BEORCHIA INDICE 1 Definizione induttiva di determinante 1 2 Caratterizzazione delle matrici quadrate di rango massimo 5 3 Regole di Laplace 6
DettagliIl calcolo delle probabilità ha avuto la sua origine nell ambito dei giochi di azzardo
Il calcolo delle probabilità ha avuto la sua origine nell ambito dei giochi di azzardo Cosa intendiamo per probabilità? La probabilità ha a che fare con il fatto che l accadere o no di un certo evento
Dettagli8a. Teorema di Bayes, rapporto di verosimiglianza (likelihood ratio, LR) e odds
8a. Teorema di Bayes, rapporto di verosimiglianza (likelihood ratio, LR) e odds Se partiamo dalla forma classica (5.13) del teorema di Bayes che possiamo anche riscrivere come e se consideriamo il rapporto
DettagliMateriale didattico aggiuntivo - Analisi Matematica I CENNI DI LOGICA MATEMATICA. 1. Proposizioni. Valori logici. Connettivi logici. Tavole di verita.
Materiale didattico aggiuntivo - Analisi Matematica I CENNI DI LOGICA MATEMATICA 1. Proposizioni. Valori logici. Connettivi logici. Tavole di verita. Intenderemo per PROPOSIZIONE (o ENUNCIATO) una qualunque
DettagliLogica proposizionale
Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 Logica proposizionale Stefano Ferrari UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI TECNOLOGIE DELL INFORMAZIONE Stefano Ferrari Università degli
DettagliIntroduzione alla probabilità
Introduzione alla probabilità Osservazione e studio dei fenomeni naturali: a. Caso deterministico: l osservazione fornisce sempre lo stesso risultato. b. Caso stocastico o aleatorio: l osservazione fornisce
DettagliLista di esercizi 11 maggio 2016
Lista di esercizi 11 maggio 2016 1. Determinare il numero di sequenze binarie di lunghezza n che contengano almeno una coppia di 0 consecutivi. Soluzione. Potrebbe essere utile un programma di calcolo
DettagliCenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni
Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2018/2019 1 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/2018 2 1 Logica matematica Serve
Dettagli1.3. Se esistono i limiti sinistro e destro della funzione in un punto, allora esiste anche il limite della funzione nel punto stesso.
Esercitazione 8 Novembre 018 1. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false. 1.1. Se una funzione f(x) è definita in un intervallo aperto (a, b), ha senso chiedersi se esistono
DettagliPRINCIPIO DI INDUZIONE E APPLICAZIONI
PRINCIPIO DI INDUZIONE E APPLICAZIONI Il principio di induzione è un potente metodo dimostrativo indiretto per stabilire la validità di proposizioni che riguardano una successione infinita di casi. GIZ
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Principio di induzione matematica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Principio di induzione matematica Il Principio di induzione matematica è una tecnica di dimostrazione che permette la dimostrazione simultanea di infinite affermazioni.
DettagliCorso in Statistica Medica
Corso in Statistica Medica Introduzione alle tecniche statistiche di elaborazione dati Intervalli di confidenza Dott. Angelo Menna Università degli Studi di Chieti G. d Annunziod Annunzio Anno Accademico
DettagliManagement sistemico vitale
Management sistemico vitale Scelte e decisioni in ambito complesso Corso di Management Prof. Sergio Barile Prof. Giuseppe Sancetta 10/10/2016 Lezione numero 4 1 Entropia ed informazione Abduzione: primo
DettagliLezione 3. Okasha, cap. 2
Lezione 3 Il problema della giustificazione Deduzione e induzione La dimostrazione scientifica Hume e il problema dell induzione Induzione e probabilità Okasha, cap. 2 Il problema della giustificazione
DettagliNote introduttive alla probabilitá e alla statistica
Note introduttive alla probabilitá e alla statistica 1 marzo 2017 Presentiamo sinteticamente alcuni concetti introduttivi alla probabilitá e statistica 1 Probabilità e statistica Probabilità: Un modello
DettagliEs. quadrilatero: specie di poligono, genere di quadrato. La specie ha più caratteristiche, il genere è riferito a più elementi.
La logica di Aristotele La logica non si trova tra le scienze dell enciclopedia aristotelica, poiché essa ha per oggetto la forma comune a tutte le scienze, cioè il procedimento dimostrativo, o le varie
DettagliEsercizi di Probabilità
Esercizi di Probabilità Grazia Corvaia, Patrizio Lattanzio, Alessandra Nardi February 0, 09 L urna colorata In un urna si trovano 0 palline, 5 viola e 5 arancioni. Calcolare la probabilità che, in due
DettagliSOMMARIO 1 Introduzione al calcolo delle probabilità 2. 2 Cenni di calcolo combinatorio 4
SOMMARIO 1 Introduzione al calcolo delle probabilità 2 1.1 La probabilità 2 1.1.1 Legge empirica del caso: legge dei grandi numeri 2 1.1.2 Proprietà additiva della probabilità 2 1.1.3 Probabilità condizionata
DettagliProbabilità Condizionale - 1
Probabilità Condizionale - 1 Come varia la probabilità al variare della conoscenza, ovvero delle informazioni in possesso di chi la calcola? ESEMPIO - Calcolare la probabilità che in una estrazione della
DettagliRICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
UNIVERSITA DEL SALENTO INGEGNERIA CIVILE RICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ing. Marianovella LEONE INTRODUZIONE Per misurare la sicurezza di una struttura, ovvero la sua affidabilità, esistono due
DettagliFARE MATEMATICA NELLA SCUOLA DI OGGI Prof. Leonardo SASSO. Formatore e Autore De Agostini Scuola
FARE MATEMATICA NELLA SCUOLA DI OGGI Prof. Leonardo SASSO Formatore e Autore De Agostini Scuola Qualcosa è cambiato: - i ragazzi, il loro modo di apprendere; - i traguardi che vengono richiesti; - le prove
DettagliMatematica con elementi di Informatica
Statistica descrittiva ed inferenziale Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica vargiolu@math.unipd.it Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche
DettagliIntelligenza Artificiale. Logica proposizionale: calcolo simbolico
Intelligenza Artificiale Logica proposizionale: calcolo simbolico Marco Piastra Logica formale (Parte 2) - 1 Parte 2 Calcolo logico Assiomi Derivazioni Derivazioni e conseguenza logica Completezza Logica
DettagliLinguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 13/12/ : I connettivi della logica proposizionale classica. Universitá di Bologna
Linguaggi 8: I connettivi della logica proposizionale classica Universitá di Bologna 13/12/2017 Outline I connettivi della logica proposizionale classica 1 I connettivi della logica
DettagliKripke on the A Priori and the Necessary
Massimiliano Vignolo 05/05/2014 Seminario EPILOG su Essays on A Priori Knowledge and Justification di A. Casullo Kripke on the A Priori and the Necessary Kant, Leibniz: Le proposizioni che si conoscono
DettagliRISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE
Prof. Di Caprio 1 RISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere equazioni di primo grado intere. Esse sono molto utili principalmente per risolvere alcune
Dettaglimarina/did/mdis03/ marina/did/mdis03/ marina/did/mdis03/
Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica Elementi di logica formale 8 ottobre 2003 Marina Cazzola (marina@matapp.unimib.it) Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca
DettagliLezione 3. La probabilità soggettiva
Lezione 3 La probabilità soggettiva Le due nozioni oggettive di probabilità Definizione classica: La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili,
DettagliStima dell intervallo per un parametro
Stima dell intervallo per un parametro In aggiunta alla stima puntuale di un parametro dobbiamo dare l intervallo che rappresenta l incertezza statistica. Questo intervallo deve: comunicare in modo obbiettivo
DettagliErrori sistematici e casuali
Errori sistematici e casuali Errori Casuali Tempo di reazione nel far partire o fermare l orologio: Può essere sia in eccesso che in difetto (ad esempio partenza e arrivo), quindi l errore può avere segno
DettagliCalcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità pr - 1 Che collegamento c è tra gli strumenti statistici per lo studio dei fenomeni reali e il calcolo delle probabilità? Vedremo che non sempre la conoscenza delle caratteristiche
DettagliMaiuscole e minuscole
Maiuscole e minuscole Abilità interessate Distinguere tra processi induttivi e processi deduttivi. Comprendere il ruolo e le caratteristiche di un sistema assiomatico. Riconoscere aspetti sintattici e
DettagliCenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni
Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2017/2018 1 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/2018 2 1 Logica matematica Serve
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliProgetto Lauree Scientifiche Liceo Classico L.Ariosto, Ferrara Dipartimento di Matematica Università di Ferrara 24 Gennaio 2012
Progetto Lauree Scientifiche Liceo Classico L.Ariosto, Ferrara Dipartimento di Matematica Università di Ferrara 24 Gennaio 2012 Concetti importanti da (ri)vedere funzione vettore matrice cenni di calcolo
DettagliProbabilità. Ing. Ivano Coccorullo
Ing. Ivano Coccorullo PROBABILITA Teoria della Eventi certi, impossibili e casuali Nella scienza e nella tecnologia è fondamentale il principio secondo il quale ogni volta che si realizza un insieme di
DettagliStatistica. Capitolo 4. Probabilità. Cap. 4-1
Statistica Capitolo 4 Probabilità Cap. 4-1 Obiettivi del Capitolo Dopo aver completato il capitolo, sarete in grado di: Spiegare concetti e definizioni fondamentali della probabilità Usare il diagramma
DettagliPROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)
L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello
DettagliSistemi Deduttivi. Marco Piastra. Intelligenza Artificiale I. Intelligenza Artificiale I - A.A Sistemi Deduttivi[1]
Intelligenza Artificiale I Sistemi Deduttivi Marco Piastra Intelligenza Artificiale I - A.A. 2010- Sistemi Deduttivi[1] Calcolo simbolico? Una fbf è conseguenza logica di un insieme di fbf sse qualsiasi
DettagliLuca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1
Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Esercizio 1.12 Per dimostrare che per ogni funzione esiste una formula in cui compaiono le variabili tale che la corrispondente
DettagliUna Breve Introduzione alla Logica
Una Breve Introduzione alla Logica LOGICA La LOGICA è la disciplina che studia le condizioni di correttezza del ragionamento Occorre dire, anzitutto, quale oggetto riguardi ed a quale disciplina spetti
DettagliCosa dobbiamo già conoscere?
Cosa dobbiamo già conoscere? Come opera la matematica: dagli ai teoremi. Che cosa è una funzione, il suo dominio e il suo codominio. Che cosa significa n j=1 A j dove A j sono insiemi. Che cosa significa
DettagliELABORAZIONE DI UN PERCORSO DI LOGICA RELATIVO ALL INTERO QUINQUENNIO
ELABORAZIONE DI UN PERCORSO DI LOGICA RELATIVO ALL INTERO QUINQUENNIO Domingo Paola LS G. Bruno, Albenga, Savona La logica compare nei nuovi programmi di matematica a due livelli: come logica matematica
DettagliLogica filosofica. Terza Parte Il ragionamento
Logica filosofica Terza Parte Il ragionamento Caratteristiche generali del ragionamento Definizione: Il ragionamento è un movimento della mente per il quale passiamo da diversi giudizi confrontatisi fra
DettagliIl Gioco dell'evasione Fiscale
Il Gioco dell'evasione Fiscale Laureando Matteo Galliani Relatore Raffaele Mosca Il ruolo della Teoria Dei Giochi Un gioco è una situazione in cui: 1)ogni individuo può scegliere un certo comportamento
Dettagli