Soluzioni degli esercizi di preparazione al I compitino di Matematica per Scienze Biologiche

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1 Soluzioni degli esercizi di preparazione al I compitino di Matematica per Scienze Biologiche 1. Chiamando x il peso in Kg e y il peso in lbs, la relazione di proporzionalità diretta è data da y =.x (i) 63 =.x = x = 63/. 8.6 Kg (ii) y =..5 = 5.5 lbs. (i) (ii) 3x 1 = 3 3x 1 = log 3 x = 1+log 3 3 log 3 x log 3 x = log 3 x x = log 3 x = 3 = 9 x = 18 x = 3. α = 4 3 π +kπ α = 5 3 π +kπ k Z 4. π 6 +kπ x π 6 +kπ 5. Indicando con X il numero di batteri, con T il tempo dell osservazione. con X 0 il numero di batteri all inizio dell osservazione e con K il tasso di incremento giornaliero, la legge esponenziale può essere espressa come X = X 0 (1+K) T. Dai dati del problema si ricava che X 0 = Noi vogliamo conoscere il numero di batteri al tempo T = 6 sapendo che al tempo T = 3 sono X = 1000(1+K) 6 = 1000((1+K) 3 ), 4000 = 1000(1+K) 3 (1+K) 3 = (1+K) 3 ) = =

2 6. Due eventi A e B sono incompatibili se sono disgiunti, ovvero P(A B) = 0, di conseguenza P(A B) = P(A)+P(B). P(A)+P(B) = /15+1/5 = 5/15 = 1/3 P(A B) = 4/15 quindi gli eventi NON sono incompatibili. 7. Il numero totale di palline è 9. Poiché si eseguono estrazioni con rimessa, ad ogni estrazione abbiamo P(R) = 3/9 = 1/3, P(G) = 4/9, P(V) = /9. (i) La probabilità di non estrarre una pallina Verde è ad ogni estrazione P(V) = 1 /9 = 7/9, quindi la probabilità di non estrarre mai una pallina Verde in 5 estrazioni con rimessa è ( ) (ii) Estrarre 3 Verdi e nessuna Gialla equivale ad estrarre 3 Verdi e Rosse: p(3v R) = ( 5 3 ) ( ) 3 ( ) (i)lafunzionef(x)èlacomposizionediduefunzionif 1 = log 3 xef = 3x 1 così fatta: f(x) = (f 1 f f 1 )(x) L insieme di definizione di f 1 (x) = log 3 x è {x R : x > 0}, quindi una prima condizione da porre è x > 0. La seconda condizione è che la funzione (f f 1 )(x) sia positiva: 3 log 3 x 1 > 0 x > = 3 3 Intersecando le due condizioni otteniamo che l insieme di definizione di f(x) è l insieme D = {x R : x > 3 3} (ii) Poiché la funzione logaritmo è non negativa quando il suo argomento è maggiore o uguale ad 1, l insieme degli x D tali che f(x) 0 si trova risolvendo la disequazione che ha come soluzione x > 3 3 = log 3 x 1 > 1, 9. Indichiamo con P(M): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione sia malato P(M): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione NON sia malato

3 P(T + ): probabilità che il test di screening dia risultato positivo P(T ): probabilità che il test di screening dia risultato negativo PeripotesisappiamocheP(T + M) = 90% = 9/10(diconseguenzaP(T M) = 10% = 1/10) e che P(T + M) = 5% = 1/0 (di conseguenza P(T M) = 95% = 19/0). (i) In questo caso P(M) = 1/00, P(M) = 1 1/00 = 199/00 e dobbiamo calcolare P(M T + ). Applicando la formula di Bayes abbiamo: P(M T + ) = P(M) P(T+ M) P(T +, ) dove P(T + ) = P(M) P(T + M)+P(M) P(T + M) = e P(M) P(T + M) = 1 00 La probabilità cercata è quindi 1 0 = = P(M T + ) = 9/000 17/4000 = (ii) In questo punto si chiede di calcolare P(M) sapendo che P(T + ) = 0% = 1/5. Posto P(M) = x si ha: x P(T + M)+(1 x) P(T + M) = x+ 1 0 (1 x) = x+1 x 0 x = 3 17 = L indice di massa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra massa ed altezza al quadrato IMC = m h, con m espressa in Kg e h in m. Il valore stimato dell IMC è dato da v IMC s L errore relativo della massa è = vm s (vs) h = = = e m r = 3 81 = %, 3

4 mentre quello dell altezza è e h r = = = %. L errore relativo dell IM C si ottiene allora sommando l errore relativo della massa ed il doppio(nella formula dell IM C l altezza è al quadrato) dell errore relativo dell altezza: e IMC r = ( ) = = % = 3.70%+ 1.67% 70 Poiché l errore relativo è il rapporto tra l errore assoluto ed il valore stimato e r = e a v s, l errore assoluto dell IM C si ottiene moltiplicando il valore stimato per l errore relativo: e IMC a = v IMC s e IMC 19 r = 5 70 = Leggendo con attenzione il testo si deduce che la funzione G(T) è definita a tratti ed in particolare vale 0 negli intervalli [,15] e [40,+ ]. Nell intervallo [15, 30] G(T) è lineare ed è possibile esprimere la sua equazione sfruttando i dati sperimentali; l equazione sarà del tipo con y = m 1 x+q 1, m 1 = = 6 e q 1 ottenuto imponendo il passaggio per un punto (ad esempio (15,0)): 0 = 6 15+q 1 q 1 = 90 Nell intervallo [30, 35] G(T) rimane costante ed il suo valore sarà dato dal valore che l espressione lineare ottenuta precedentemente assume per x = 30: = 90. Nell intervallo [35,40] G(T) segue nuovamente una legge lineare partendo dal punto (35,90) per arrivare al punto (40,0), poiché deve valere 0 per temperature superiori a 40, quindi: e m = = 18 q = = 70. 4

5 1. Estrarre tre cavie contemporaneamente è equivalente ad estrarne una alla volta, ovvero estrarre senza rimettere dentro la cavia estratta. a) P(1B) = = 1 44 Nota che l evento estrarre una cavia bianca è equivalente a quello estrarre due cavie nere. b) c) P(1B)+P(0B) = P(1B)+P(3N) = = = P(3N) = = d) Poiché si estraggono 3 cavie (e le cavie sono solo di colori), dire che ci siano piu cavie nere che bianche equivale a dire che ci sia al più una cavia bianca, il che significa che la probabilità è la stessa calcolata al punto b), ovvero 7/ Possiamo procedere analiticamente o graficamente (vedi Figura 1); scegliamo la prima strada. Se x 1 allora 1 x x x x x da cui segue (ricorda che x 1) Se x > 1 allora 1 5 x 1 x 1 x x x 3x da cui segue (ricorda che x > 1) 1 < x 3+ 5 La soluzione completa è allora (come puoi vedere in Figura 1) 1 5 x 3+ 5 x 1+ 5 x

6 Figura 1: Grafici delle funzioni y = 1 x e y = x x. L insieme S T è quello compreso tra i due grafici 14. Detto A l allele dominante (responsabile della malattia M) e a l allele recessivo, la frequenza dell allele A è p = 0.1, mentre quella dell allele a è q = 0.9, quindi le frequenze genotipiche sono date da AA p = 1% Aa pq = 18% aa q = 81% a) Senza informazioni aggiuntive la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione sia malato è pari alla frequenza del genotipo AA più quella del genotipo Aa: 1%+18% = 19% b) Si deve qui calcolare una probabilità condizionale P(F M P M M S ) dove F M sta per figlio malato, P M sta per padre malato e M S sta per madre sana. Se il padre è malato (Aa o AA) e la madre è sana (aa) il figlio sarà malato se il padre porta l allele A: P(F M P M M S ) = P(F M P M M S ) P(P M )P(M S ) ( )/ = = = c) Siamo nella situazione del punto b): padre malato e madre sana. La probabilità che almeno un figlio sia sano si può ottenere dalla probabilità che tutti e tre i figli siano malati: ( ) 3 10 P(almeno 1 sano) = 1 P(3 malati) = 1 19 = 6

7 15. a) L insieme di definizione della funzione, qualunque siano i parametri (supposti entrambi diversi da zero), è R {0}. Imponendo le condizioni f( 1) = 6 e f( 5) = 10 si arriva al sistema lineare di due equazioni nelle due incognite a e b { a+b = 6 5a+b/5 = 10 che ha come soluzione a = 1 e b = 5 (si può risolvere, ad esempio, per sostituzione). La funzione cercata è quindi f(x) = x + 5 x b) La prima trasformazione da applicare è x x + 1 ottenendo la funzione h(x) = (x + 1) + 5/(x + 1) ; tenendo poi fissa la funzione e moltiplicando per le ordinate, si ha un riscalamento che porta alla trasformazione h(x) h(x)/ ottenendo g(x) = 1 [ ] (x+1) 5 + (x+1) Se la moltiplicazione per delle ordinate fosse stata interpretata come moltiplicazione dei valori della funzione avremmo avuto [ ] g(x) = (x+1) 5 + (x+1) c) Imponenedo f(x) 6 si ha x + 5 x 6 x4 +5 x 6x x x 4 6x +5 0 (x 1)(x 5) 0 (x 1)(x+1)(x 5)(x+5) 0 x 5 1 x < 0 0 < x 1 x È sufficiente considerare due eventi A e B (con P(A),P(B) 0) incompatibili, ovvero tali che P(A B) = 0, e ricordare la legge della probabilità condizionale: P(A B) = P(A B) = 0 P(B) P(B) < P(A) 17. La funzione data non è iniettiva, in quanto esistono elementi distinti del dominio che hanno la stessa immagine, ad esempio f( 1) = ( 1) 4 = 1 = 1 4 = f(1) f( ) = ( ) 4 = 16 = 4 = f() 7

8 18. IndichiamoconP(FA)econP(PL)leprobabilitàcheunapersonasiatrattata con il farmaco e con il placebo rispettivamente. Siano poi P(SI) e P(NS) le probabilità che una persona abbia o non abbia un sollievo istantaneo. Dal testo si deduce: a) b) P(FA) = P(PL) = 1 P(SI FA) = P(SI) = P(FA)P(SI FA)+P(PL)P(SI PL) = La lunghezza del batterio è data da P(FA SI) = P(FA)P(SI FA) P(SI) P(SI PL) = = = 47.5% l = V A b dove A b = πrb ; quindi il suo valore stimato è l s = V s A s b = 8 π.55 µm Per gli errori relativi si ha ǫ r r b = = 0.3 ǫr V = 8 = 0.5 da cui (per un errore di stampa gli errori relativi sono alti, ma per semplicità risolviamo come se non lo fossero) ǫ r l = ǫ r V +ǫ r r b = 0.85 L errore assoluto della lunghezza è allora ǫ a l = l s ǫ r l.17 µm 0. Ricordachelafunzionelogaritmicaconbasemaggioredi1èdefinitaquandoil suo argomento è positivo, ed assume valori negativi quando il suo argomento è minore di 1. ln(e 3x ) < 0 0 < e 3x < 1 < e 3x < 3 ln < 3x < ln3 ln 3 < x < ln3 3 ln 3 < x < ln 3 3 8

9 1. La percentuale di incremento annuo è il 3%, quindi se la quantità iniziale è q 0 dopo un anno avremo q 1 = q ( 100 q 0 = q ). 100 Per ottenere quindi la quantità aumentata q 1, a partire dalla quantità iniziale q 0, dobbiamo moltiplicare per il fattore 1+3/100. Per il secondo anno, per ottenere q, dobbiamo moltiplicare nuovamente per 1+3/100, e così via. Dal 00 sono passati 7 anni quindi, poiché q 0 = 1.50, il costo del pane oggi dovrebbe essere ( q 7 = ) euro/chilo. 100 Se il pane adesso, dopo 7 anni, costa.60 euro al chilo, per ottenere l incremento percentuale annuo dobbiamo risolvere la seguente equazione in p: ( p ) 7 =.60, 100 da cui e quindi 1+ p = , ( ) 7.60 p = Abbiamo 10 paia di calzini, quindi 0 calzini in totale. Le possibili coppie di calzini sono ( ) 0 = 190; per ottenere due calzini dello stesso colore posso prendere calzini neri tra 8, calzini blu tra 6, grigi tra 4 e bianchi tra, ovvero i casi favorevoli sono ( ) ( ) ( ) ( ) = = 50. La probabilità cercata è quindi p = = Un altro modo di procedere è quello di considerare la nostra situazione come un estrazione senza rimessa. Abbiamo che la probabilità di pescare un calzino 9

10 biancoè/0, dipescarneunoneroè8/0, dipescarneunobluè6/0, mentre di pescarne uno grigio è 4/0. Allora p(b) = = p(n) = = p(bl) = = 15 p(g) = = e la probabilità cercata è la somma delle precedenti probabilità, ovvero p = = La frequenza dell allele A è p = 8/10, mentre quella dell allele a è q = /10, quindi le frequenze genotipiche sono date da AA p = 64% Aa pq = 3% aa q = 4% a) Senza informazioni aggiuntive la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione sia malato è pari alla frequenza del genotipo aa, 4%. b) Se la madre è malata, cioè aa, porterà sicuramente l allele a, mentre il padre, che è sano, potrà avere genotipo AA oppure Aa. Affinché il figlio sia malato il padre dovrà essere Aa e portare l allele a: p(f aa P aa M aa ) = p(f aa P aa M aa ) p(p aa )p(m aa ) = (1/)(3/100)(4/100) (96/100)(4/100) = 1 6 c) Se il padre è sano, il figlio risulterà malato solo se il padre è di tipo Aa e cede con probabilità 1/ l allele a, mentre la madre può essere aa oppure Aa come il padre (e in questo caso può cedere l allele a sempre con probabilità 1/): p(f aa P aa) = (1/)(3/100)(4/100)+((1/4)(3/100)) 96/100 = 1 30 d) Selamadreèmalata,cioèaa,porteràsicuramentel allelea,mentre,non avendoinformazionisulpadre, essopotràesseredituttie3igenotipi. Il figlio sarà malato se e solo se il padre è aa oppure Aa portando l allele a, quindi con probabilità q + (1/)pq = 0%, pari alla frequenza dell allele a. e) Se il padre e la madre sono entrambi malati sicuramente il figlio sarà malato, avrà cioè genotipo aa. 10