Esercitazione di Matematica Errori di misura e propagazione degli errori

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1 Esercitazione di Matematica Errori di misura e propagazione degli errori Giacomo Tommei tommei@dm.unipi.it Annunci: La Prof. Cerrai farà lezione domani mattina, Mercoledi 3 Novembre, dalle 12 alle 13. Da Venerdi 5 Novembre (con orario 14:30/16) dovrebbe iniziare un corso di recupero aperto a tutti, ma rivolto soprattutto agli studenti che non hanno superato il test d ingresso. Visitate il blog matematicadibase.wordpress.com. 1 / 19

2 Esercizi di riscaldamento 1. Se 1.6 x 1.8 e 2.7 y 3.2, fra quali limiti sono compresi i numeri x + y, y x, x y e y/x? 2 / 19

3 Esercizi di riscaldamento 1. Se 1.6 x 1.8 e 2.7 y 3.2, fra quali limiti sono compresi i numeri x + y, y x, x y e y/x? Somma x + y x + y 5 Sottrazione y x y x 1.6 Moltiplicazione Divisione x y x y /1.8 y/x 3.2/ y/x 2 3 / 19

4 Esercizi di riscaldamento 2. Hai trovato un esemplare di conchiglia Sphaeronassa e hai deciso di misurare la sua altezza totale e l altezza della bocca. Hai deciso di ripetere la misurazione dell altezza totale della conchiglia per 4 volte ed hai ottenuto le seguenti misure in cm: 2.45, 2.41, 2.47, 2.43 Che cosa puoi dire sull altezza effettiva della conchiglia? 4 / 19

5 Esercizi di riscaldamento 2. Hai trovato un esemplare di conchiglia Sphaeronassa e hai deciso di misurare la sua altezza totale e l altezza della bocca. Hai deciso di ripetere la misurazione dell altezza totale della conchiglia per 4 volte ed hai ottenuto le seguenti misure in cm: 2.45, 2.41, 2.47, 2.43 Che cosa puoi dire sull altezza effettiva della conchiglia? Calcoliamo il valore stimato dell altezza h: v h s = ( )/2 = 2.44 cm Calcoliamo l errore assoluto: ɛ h a = ( )/2 = 0.03 cm Quindi h = 2.44 ± 0.03 cm con errore relativo 1.2 % 5 / 19

6 Esercizi di riscaldamento 2. Procedendo in modo analogo per l altezza della bocca hai ottenuto le seguenti misure in cm: 1.51, 1.55, 1.53, 1.57 Che cosa puoi dire sull altezza effettiva della bocca della conchiglia? 6 / 19

7 Esercizi di riscaldamento 2. Procedendo in modo analogo per l altezza della bocca hai ottenuto le seguenti misure in cm: 1.51, 1.55, 1.53, 1.57 Che cosa puoi dire sull altezza effettiva della bocca della conchiglia? Calcoliamo il valore stimato dell altezza della bocca b: v b s = ( )/2 = 1.54 cm Calcoliamo l errore assoluto: ɛ h a = ( )/2 = 0.03 cm Quindi b = 1.54 ± 0.03 cm con errore relativo 2 % 7 / 19

8 Esercizi di riscaldamento 2. Adesso vuoi stimare la lunghezza della parte della conchiglia che non appartiene alla bocca, ovvero h b, senza misurarla. Che cosa puoi dire? 8 / 19

9 Esercizi di riscaldamento 2. Adesso vuoi stimare la lunghezza della parte della conchiglia che non appartiene alla bocca, ovvero h b, senza misurarla. Che cosa puoi dire? Il valore stimato di h b è dato dalla differenza dei valori stimati per h e per b. v h b s = = 0.90 cm L errore assoluto è dato dalla somma degli errori assoluti: ɛ h b a = = 0.06 cm Quindi h b = 0.90 ± 0.06 cm con errore relativo 6.7 % 9 / 19

10 Esercizi di riscaldamento 2. Ti viene in mente che per confrontare le due misure stimate h e b era più opportuno valutare il rapporto b/h tra l altezza della bocca e l altezza totale. Che cosa puoi dire? 10 / 19

11 Esercizi di riscaldamento 2. Ti viene in mente che per confrontare le due misure stimate h e b era più opportuno valutare il rapporto b/h tra l altezza della bocca e l altezza totale. Che cosa puoi dire? Il valore stimato di b/h è ben approssimato dal rapporto tra i valori stimati: v b/h s 1.54/ L errore assoluto è dato da ( ɛ b/h a vb s ɛ b a vs h vs b ) + ɛh a vs h 0.02 quindi b/h = 0.63 ± 0.02 cm con un errore relativo 3.2 %. 11 / 19

12 Propagazione degli errori 3. Piero si pesa tutto vestito, registrando 85.0 ± 0.5 kg. Sapendo che i vestiti pesano 2.1 ± 0.2 kg, quali sono il valore stimato e l errore assoluto del peso di Piero svestito? 4. Calcola il valore stimato e l errore assoluto del tempo che impieghi a percorrere una distanza di 200 ± 5 km mantenendo una velocità di 40 ± 2 km/h. 5. Piero percorre una distanza di 120 ± 2 km a una velocità media di 80 ± 5 km/h. Quali sono il valore stimato e l errore assoluto del tempo impiegato? 12 / 19

13 Propagazione degli errori 6. Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida, liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella della soluzione. Sapendo che 25 ± 2 g di soluto vengono sciolti in 175 ± 2 g di solvente, calcola, in percentuale, il valore stimato, l errore relativo e l errore assoluto della concentrazione della soluzione ottenuta. 13 / 19

14 Soluzione es. 6 Indichiamo con s la massa del soluto (con s il valore stimato), con S la massa del solvente (con S il valore stimato) e con M la massa totale della soluzione (con M il valore stimato). Allora si ha s = 25 ± 2 S = 175 ± 2 M = s + S = 200 ± 4 Il valore stimato della concentrazione c, indicato con c, è Gli errori relativi di s e M sono c = s M = = 12.50% ɛ s r = 2 25 = 8% ɛm r = = 2% quindi l errore relativo di c, dato dalla somma dei due, vale ɛ c r = ɛ s r + ɛ M r = 10% 14 / 19

15 Soluzione es. 6 Per trovare l errore assoluto di c è sufficiente ricordare che da cui ɛ c r = ɛc a c ɛ c a = ɛ c r c = 10% 12.50% = 1.25% La concentrazione vale quindi c = 12.50% ± 1.25%. 15 / 19

16 Propagazione degli errori 7. L indice di massa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra massa, espressa in Kg, e l altezza, espressa in m, al quadrato. Sapendo che Lucio ha massa 81 ± 3 Kg ed è alto 1.80 ± 0.03 m, determina valore stimato, errore assoluto ed errore relativo del suo IMC. 8. Un parallelepipedo a base quadrata ha il lato di base che misura x = 6.00 ± 0.03 cm e l altezza pari a y = 8.00 ± 0.02 cm. Calcola valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della superficie S e del volume V del parallelepipedo. 16 / 19

17 Soluzione es. 7 L indice di massa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra massa ed altezza al quadrato IMC = m h 2, con m espressa in Kg e h in m. Il valore stimato dell IMC è dato da vs IMC = vm s (vs h ) 2 = = = L errore relativo della massa è mentre quello dell altezza è e m r = 3 81 = %, e h r = = = %. 17 / 19

18 Soluzione es. 7 L errore relativo dell IM C si ottiene allora sommando l errore relativo della massa ed il doppio (nella formula dell IM C l altezza è al quadrato) dell errore relativo dell altezza: e IMC r = ( ) = = % = 3.70% % 270 Poiché l errore relativo è il rapporto tra l errore assoluto ed il valore stimato e r = e a v s, l errore assoluto dell IM C si ottiene moltiplicando il valore stimato per l errore relativo: e IMC a = v IMC s e IMC 19 r = = / 19

19 Soluzione es. 8 La superficie S del parallelepipedo è data da S = 4 x y + 2 x 2 (somma della superficie laterale e delle superfici di base). Il valore stimato è allora dato da S s = = = 264 cm 2 mentre l errore relativo si ottiene da ɛ S r = (3/ /800) + 2 (3/600) = 7/400 = 1.75% Nota che nel calcolo dell errore relativo i fattori moltiplicativi 4 (di 4 x y) e 2 (di 2 x 2 ) non devono essere presi in considerazione (perché?). L errore assoluto di conseguenza vale ɛ S a = /100 = 4.62 cm 2 19 / 19

20 Soluzione es. 8 Il volume V del parallelepipedo è dato da V = x 2 y V s = = 288 cm 3 ɛ V r = 2 (3/600) + 2/800 = 1/ /400 = 5/400 = 1/80 ɛ S a = 288 (1/80) = 3.6 cm 3 20 / 19