Prova d esame 1999/2000. Quesito 1

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1 Prova d esame 1999/2000 In un trapezio isoscele la somma delle lunghezze della base minore e dell altezza misura 38 cm e la base minore è i 7/12 dell altezza. Il solido generato dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base minore ha il volume di π cm 3. 1) Disegna il solido generato dalla rotazione del trapezio. 2) Calcola: a) il peso del solido, supposto che sia di legno (ps. 0,7 g/cm 3 ); b) il perimetro del trapezio; c) l area della superficie totale del solido; d) l area totale di un prisma retto a base quadrata, alto 63 cm ed avente lo stesso peso del solido suddetto, ma realizzato in ottone (ps. 8,164 g/cm 3 ). 4x x x + 3 = In fisica si definisce moto uniforme quello di un corpo che si muove lungo un percorso a velocità costante. La legge che la regola è s = v t. 1) Indica con x il tempo (in ore) e con y lo spazio (in km); le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? Perché? 2) Poni la velocità costante a 75 km/h e scrivi la funzione y = f(x). 3) Completa la seguente tabella: e disegna il grafico cartesiano della funzione. Disegna il grafico della retta di equazione: x 2y + 5 = 0 E verifica che i punti A(3;4), B(7; 6), C( 5; 0) appartengono alla retta ottenuta.

2 Prova d esame 2000/2001 Le dimensioni di un rettangolo sono una doppia dell altra e la loro somma misura 24 cm. Calcolate: a) le dimensioni e l area del rettangolo; b) la diagonale del rettangolo; c) l area del quadrato isoperimetrico del rettangolo; d) il volume del cubo avente lo spigolo uguale al lato del quadrato; Ponendo che il cubo sia sormontato da una da una piramide regolare retta alta 8 cm e avente la base coincidente con la faccia del cubo, determinate: e) l area della superficie totale, il volume del solido formato dal cubo e dalla piramide ed il peso sapendo che è di marmo (ps. 2,8 g/cm 3 ). Risolvete e verificate la seguente equazione: x 6 x 4 x 0 + = Una leva di 1 genere è costituita da un asta rigida girevole intorno ad un punto fisso (fulcro). Ad una estremità dell asta distante dal fulcro 6 cm è appeso un corpo del peso di 40 g (resistenza). Per ristabilire l equilibrio dell asta a quale distanza dal fulcro si deve appendere un altro corpo (potenza) del peso di 50 g? Calcola poi la distanza dal fulcro (braccio della potenza) nel caso che la potenza assuma i seguenti valori: 30 g, 15 g, 20 g, 60 g, 80 g, 120 g. Compila con i valori che hai ottenuto, la tabella: potenza (in g), braccio della potenza (in cm). Precisa quale, fra le due, consideri come variabile indipendente x e quale come variabile dipendente y ; scrivi la formula matematica che esprime y in funzione di x. Traccia il grafico relativo e da esso deduci quale braccio corrisponde alla potenza di 40 g.

3 Prova d esame 2001/2002 Una piramide regolare quadrangolare ha l area di base di cm 2 13 e l apotema uguale ai dello 24 spigolo di base. Calcola: a) l area totale, il volume e il peso della piramide, supponendo che sia di bronzo (ps. 9 g/cm 3 ); b) l altezza di un parallelepipedo retto a base quadrata equivalente alla piramide, sapendo che il lato di base misura 16 cm. Verifica l equivalenza delle due seguenti equazioni: 1) 2x (2x 7) = 3x 2 (2x + 7) 3 2) x 5 5x + = ( 3x 5) 5 2 Ricordando che l equazione del moto rettilineo uniforme è s = v t considerate un corpo che si muove con un moto rettilineo uniforme con la velocità di 10 m/s. Indicando con y lo spazio percorso e con x il tempo impiegato a percorrerlo, costruite il diagramma cartesiano della funzione attribuendo alla x valori arbitrari da 0 a 10. Dite di che tipo è la funzione e qual è la sua rappresentazione grafica.

4 Prova d esame 2002/2003 La somma delle basi di un trapezio rettangolo misura 44 cm e il loro rapporto è 7 4. Sapendo che l altezza del trapezio è 5 cm, calcola: a) il perimetro e l area del trapezio; b) l area della superficie totale ed il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base maggiore; c) calcola il peso del solido sapendo che è di ferro (ps. 7,8 g/cm 3 ). 3x + 4 x + 3 = 2 2 ( 2x + 3) In una leva di 1 genere la potenza è di 16 kg e il suo braccio è lungo 6 dm. a) Indica con x la resistenza e con y il suo braccio e compila una tabella di valori tali che la leva considerata sia in equilibrio. b) Che tipo di relazione lega le due classi di grandezza? c) Scrivi la legge matematica che lega questi valori e rappresentala nel piano cartesiano. Di quale curva si tratta?

5 Prova d esame 2003/2004 In un trapezio rettangolo il lato obliquo e la sua proiezione sulla base maggiore stanno fra di loro come i numeri 5 e 3 e la loro differenza è 24 dm. Sapendo che la misura della base minore è i 3 2 di quella del lato obliquo, calcola: a) l area ed il perimetro del trapezio; b) l area della superficie totale ed il volume del solido generato dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore; c) il peso del solido suddetto, sapendo che il materiale di cui è costituito ha ps = 1,2 g/cm 3 Risolvi le seguenti equazioni e verifica che sono equivalenti: 1) 2) x 5 4x 5 x = x + 2 4x x = x Una leva di 1 genere è costituita da un asta rigida girevole attorno ad un punto fisso detto fulcro. Ad una estremità dell asta distante dal fulcro 30 cm è appeso un corpo del peso di 40 g (resistenza). A quale distanza dal fulcro si deve appendere un corpo del peso di 50 g per ristabilire l equilibrio della leva? Mantenendo costante la resistenza ed il suo braccio, determinare i valori del braccio della potenza nel caso in cui quest ultima assume i valori: P 1 = 30g, P 2 = 20g, P 3 = 15g, P 4 = 60g, P 5 = 80g, P 6 = 120g. Costruisci una tabella contenente i precedenti valori della potenza (in g) e del suo braccio (in cm). Stabilisci quale delle due grandezze vuoi considerare variabile indipendente (x) e quale variabile dipendente (y) e scrivi la funzione che lega le due variabili. Traccia il grafico relativo alla funzione e deduci da esso quale braccio corrisponde alla potenza di 40 g. Da un sacchetto contenente 20 caramelle al limone, 15 alla menta, 10 alla nocciola e 5 al liquore, si prende a caso una caramella. Calcolate la probabilità che la caramella sia: a) al limone; b) alla nocciola; c) alla menta o al liquore; d) alla nocciola o al liquore. Calcolare inoltre la probabilità che la caramella estratta dal sacchetto non sia alla menta.

6 Prova d esame 2004/2005 Un solido è formato da un prisma avente per base un quadrato di lato 30 cm, sormontato da un cono che ha per base il cerchio inscritto in una delle basi del prisma. L altezza totale del solido è 70 cm e l altezza del cono è 9 5 di quella del prisma. Calcola: a) la superficie totale del solido; b) il peso (ps = 2,5 g/cm 3 ); c) il peso di una piramide a base quadrata che ha lo spigolo di base uguale al raggio del cono e l altezza di 4 cm, supponendola di ghisa (ps = 7,5 g/cm 3 ). 3x x 4 = x La seguente tabella mostra i costi in euro relativi ai consumi telefonici di 25 famiglie: Raccogli i dati in una opportuna tabella e calcola le frequenze assolute, le frequenze relative, la moda, la mediana e la media. Scrivi la formula relativa alla legge di Ohm e: - scrivi le formule inverse; - calcola la resistenza di un circuito attraverso il quale passa una corrente di 6 A, quando agli estremi è applicata una differenza di potenziale di 210 V. Lascia fissa la differenza di potenziale a 210 V, indica con y l intensità di corrente, con x la resistenza ed esprimi la legge che lega y alla x nel caso considerato. L intensità di corrente e la resistenza sono direttamente o inversamente proporzionali? Traccia il grafico cartesiano della funzione.

7 Prova d esame 2005/2006 Un solido di mogano (ps = 0,6 g/cm 3 ) è formato da un parallelepipedo rettangolo sormontato da una piramide quadrangolare. Il parallelepipedo è alto 18 cm, ha il perimetro i base lungo 180 cm e uno 2 degli spigoli di base è uguale ai dell altro. L apotema e l altezza della piramide misurano 3 rispettivamente 34 cm e 30 cm. Calcola: a) l area della superficie totale del solido; b) il peso del solido. 2 x x = x Gli alunni di una classe di una scuola media hanno svolto un compito di matematica. Sono stati raccolti i dati relativi al tempo, espresso in minuti, impiegato dai singoli alunni per completare la prova: Raccogli i dati in una opportuna tabella e calcola le frequenze assolute e relative, la moda, la mediana e la media aritmetica. La resistenza elettrica di un conduttore rappresenta l ostacolo che la corrente incontra nell attraversare il conduttore. Da che cosa dipende la resistenza elettrica di un conduttore? Scrivi la formula che permette di calcolare la resistenza di un conduttore se è nota la differenza di potenziale ai suoi estremi e l intensità di corrente che lo attraversa. Scrivi, inoltre, l enunciato della legge di Ohm da cui si ricava la formula richiesta. Calcola la resistenza di un circuito all interno del quale circola una corrente di 12 A quando agli estremi è presente una differenza di potenziale di 120 V. Considera fissa la resistenza al valore calcolato, indica con x i valori variabili delle differenza di potenziale con y i corrispondenti valori dell intensità di corrente e scrivi la legge che lega la y alla x. Rappresenta il grafico cartesiano di tale funzione. Il grafico espri e una proporzionalità diretta oppure inversa tra le due grandezze variabili?

8 Prova d esame 2007/2008 Un solido di ferro (ps = 7,8 g/cm 3 ) è costituito da un prisma regolare quadrangolare e da una piramide quadrangolare regolare aventi le basi coincidenti. Sapendo che il volume della piramide è 384 cm 3, che la sua altezza misura 8 cm e che l altezza del prisma è 3 4 dello spigolo di base; calcola: - la misura dell apotema e l area della superficie laterale della piramide; - il peso del solido; - l area della superficie totale del solido. 2 x x = x Gli alunni di una classe di una scuola media hanno svolto un compito di matematica. Sono stati raccolti i dati relativi al tempo, espresso in minuti, impiegato dai singoli alunni per completare la prova: Raccogli i dati in una opportuna tabella e calcola le frequenze relative ed assolute, la moda, la medie e la mediana. La resistenza elettrica di un conduttore rappresenta ml ostacolo che la corrente incontra nell attraversare il conduttore. Da che cosa dipende la resistenza elettrica di un conduttore? Scrivi la formula della legge di Ohm e da questa ricava la formula inversa che permette di calcolare la resistenza. Calcola la resistenza di un circuito all interno del quale circola una corrente di 10 A quando agli estremi è presente una differenza di potenziale di 120 V. Considera fissa la resistenza al valore calcolato, indica con x i valori variabili della differenza di potenziale con y i corrispondenti valori dell intensità di corrente e scrivi la legge che lega la y alla x. Rappresenta il grafico cartesiano di tale funzione. Il grafico esprime una proporzionalità diretta oppure inversa tra le due grandezze variabili?

9 Prova d esame 2008/2009 Un trapezio rettangolo ha l area di 1080 cm 2 e l altezza di 24 cm. Sapendo che la base maggiore è 3 della base minore calcola il perimetro del trapezio. 2 Calcola inoltre l area della superficie totale ed il volume del solido generato dalla rotazione completo del trapezio attorno alla base maggiore. Calcola infine il peso del solido supponendolo che sia di ferro (ps = 7,8 g/cm 3 ). 5x 3x + 2 2x = Gli alunni di una classe di una scuola media hanno svolto una gara di corsa campestre. Sono stati raccolti i dati relativi al tempo, espresso in minuti, impiegato dai singoli alunni per completare il percorso: Raccogli i dati in una opportuna tabella e calcola le frequenze assolute, riportandole in un istogramma. Calcola inoltre la moda, la mediana e la moda. Un corpo in movimento si sposta percorrendo 12 m in 6 sec. Quale è la sua velocità media? Dopo quanti secondi il corpo avrà percorso 48 m? In quanto tempo il corpo percorre 34 m? Mantenendo costante tale velocità si indichi con y lo spazio percorso del corpo, con x il tempo e si scriva la funzione che lega x ed y. Rispondi: a) che tipo di proporzionalità lega le due variabili? b) Quanto vale la costante di proporzionalità? Fai la rappresentazione grafica della funzione trovata.

10 Prova d esame 2009/2010 Risolvi la seguente equazione e verifica l esattezza della soluzione trovata: ( x + 1) x + 2 2x 2 3x = In un trapezio rettangolo la somma delle basi misura 66 cm ed è una i 7 4 dell altra. Calcolare: 1) la misura delle basi; 2) la misura del lato obliquo sapendo che l altezza è 24 cm; 3) l area e il perimetro del trapezio; 4) il volume e l area della superficie del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore; 5) il peso in kg del solido supponendo che sia di vetro (ps = 2,5 g/cm 3 ). In una leva di primo genere la potenza è di 4 kg e il suo braccio è di 6 dm. a) Quanto vale la resistenza se il suo braccio è di 3 dm? b) Mantieni invariate la misura della potenza e del suo braccio e completa la seguente tabella calcolando i valori del braccio della resistenza al variare della resistenza stessa. R (kg) b R (dm) c) Indica con x la resistenza e con y il suo braccio e scrivi la relazione che lega y ad x. d) Riporta sul grafico cartesiano i valori ottenuti nella tabella e disegna il grafico. e) Quali osservazioni puoi fare? L anemia mediterranea è una malattia ereditaria che riguarda la grossezza dei globuli rossi (è detta anche microcitemia che significa cellule del sangue piccole). Dal punto di vista genetici si possono avere le seguenti condizioni: mm individuo malato, MM individuo sano, Mm individuo microcitemico o portatore sano. Considera la prole dei seguenti genitori: Padre microcitemico Mm; Madre microcitemia Mm a) compila la tabella relativa all incrocio dei due individui; b) calcola la probabilità di avere: figli sani, figli malati, figli microcitemici.

11 Prova d esame 2010/2011 Un trapezio rettangolo ha l area della superficie che misura 4896 cm 2, l altezza 48 cm e la differenza delle basi 36 cm. Calcola: - la misura delle basi del trapezio; - il perimetro del trapezio; - la misura dell area della superficie totale del solido ottenuto facendo ruotare di 360 il trapezio intorno alla base maggiore; - il peso del solido, sapendo che è costituito di gesso (ps = 1,8 g/cm 3 ). x + 3 x 2 6x 2 = La legge di Ohm si esprime mediante la relazione matematica V = IR Supponi che in un circuito la tensione sia costante e pari a 60 V e la resistenza assuma i seguenti valori: R (Ω) I (A) Calcola i valori dell intensità di corrente e completa la tabella. Rappresenta sul piano cartesiano i valori ottenuti, riportando sull asse delle x la resistenza e sull asse delle y l intensità di corrente. Che tipo di grafico ottieni? Che tipo di proporzionalità lega le due grandezze? Calcola la costante di proporzionalità e scrivi la relazione che collega x ad y. Un compito in classe di italiano in una scuola superiore ha dato il seguente esito: Voto N alunni che l hanno conseguito Calcola la frequenza relativa e percentuale di ciascun voto. Calcola il voto medio della classe. Calcola la mediana e la moda. Traccia un istogramma delle frequenze assolute.

12 Prova d esame 2011/2012 In un trapezio rettangolo la misura della base maggiore è 120 cm, la misura della base minore è i 4 3 della maggiore e l altezza misura i della base minore Calcola il perimetro e l area del trapezio. - Descrivi il solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio rettangolo attorno alla sua base maggiore. - Calcola l area della superficie totale e il volume del solido ottenuto. - Calcola il peso del solido, sapendo che è costituito di gesso (ps = 1,8 g/cm 3 ). Verificare che le due equazioni sono equivalenti: 3 4x 1 5 3x 2x 4 + = x + (3x 3) = 2x ( x 2) In una leva il fulcro è collocato tra la potenza e la resistenza, il braccio della resistenza è lungo cm 20 e la resistenza è di 3 N. a) Calcola, completando la tabella sotto riportata, i valori della potenza al variare del suo braccio per avere la leva in equilibrio. b) Rappresenta i valori ottenuti in un piano cartesiano ortogonale indicando con x il braccio della potenza e con y la potenza. c) Scrivi la legge che lega queste due grandezze e indica i che legge si tratta giustificando la risposta. Braccio potenza Potenza in N 5 cm 10 cm 15 cm 20 cm In un gruppo di ginnaste di livello agonistico si è rilevato che l età di inizio dell attività è distribuita nel seguente modo: età inizio N ginnaste Calcola la media aritmetica, la mediana e la moda.