FUNZIONI PROPORZIONALITA INVERSA

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1 Revisione del 1/10/15 ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE V.E.MARZOTTO Valdagno (VI) Corso di Fisica prof. Nardon FUNZIONI PROPORZIONALITA INVERSA Richiami di teoria Due grandezze si definiscono inversamente proporzionali se, al raddoppiare, dimezzare dell una corrisponde un dimezzare, raddoppiare della seconda. Un modo alternativo e migliore di affermare la stessa cosa è il seguente: Due grandezze Y e X si definiscono direttamente proporzionali se esse si adattano al seguente schema: Y1 : Y2 = X2 : X1 (notare l inversione degli indici nelle 2 parti della formula) Rappresentazione matematica di una proporzione inversa La forma matematica di una proporzione inversa ha il seguente aspetto: Dove K è una quantità costante. Come si vede, 2 grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. = K (esempio: Y ) oppure YX = 50 Rappresentazione grafica nel piano cartesiano: Questa curva si chiama ramo di iperbole. Riporto la tabella con alcune coppie X,Y della funzione : X Y XY , Funzioni: proporzionalità inversa

2 Esercizi svolti Esercizio 1: (Ipotizziamo che 1 lavoratore impieghi 4 giorni di lavoro per realizzare un muro. Se impieghiamo 2 lavoratori lo stesso muro sarà realizzato in 2 giorni. Ancora, se il numero dei lavoratori sale a 4 lo stesso muro sarà realizzato in 1 giorno. Costruisco la tabella con X (numero lavoratori) e Y (giorni impiegati): X (nro operai) Y (giorni) XY La funzione che descrive questa proporzionalità inversa è: Y = Esercizio 2: Consideriamo di voler percorrere un certo tragitto (50 km): più veloci saremo con il nostro veicolo, meno tempo impiegheremo: Costruisco la tabella con X (velocità) e Y (tempo impiegato): X Velocità (km/h) Y Tempo (ore) XY (kilometri) = 1,5 ore 50 * 1,5 = = 3/4 ora 100 * 3/4 = = 1/2 ora 150 * 1/2 = 75 La funzione e il grafico che descrivono questa proporzionalità inversa sono: Y = 2 Funzioni: proporzionalità inversa

3 3 Funzioni: proporzionalità inversa

4 Esercizi [N.B. la difficoltà degli esercizi va da (semplice) a (impegnativo)] Esercizio 1 Immagina di voler costruire un rettangolo con area A = 24 cm2. A tal scopo assegna valori arbitrari alla base b e determina i corrispondenti valori che deve possedere l altezza h. Base b (cm) 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 12,0 24,0 Altezza h (cm) Che tipo di relazione lega la base b e l altezza h? Costruisci il grafico cartesiano relativo ai dati della tabella riportando sull asse orizzontale i valori della base b e sull asse verticale quelli dell altezza h. Esercizio 2 Completare la tabella e tracciare il grafico cartesiano di questa proporzione inversa: X Y Esercizio 3 Scrivere almeno 3 esempi di proporzionalità inversa da voi inventati. Esercizio 4 Per asfaltare una strada, un operaio impiega 90 giorni; trovare la formula che esprime il tempo totale impiegato in base al numero di operai utilizzati, e rappresentare tale comportamento in un grafico cartesiano e una tabella con alcuni valori (almeno 5 coppie). Esercizio 5 Costruire una tabella e tracciare il grafico della funzione Y*X = 6 (utilizzando anche valori frazionari per x) Esercizio 6 Completare la tabella e tracciare il grafico cartesiano di questa proporzione inversa: x = Larghezza di un tessuto in metri 0,70 1,75 1,2 y = metri dello stesso tessuto necessari per ricoprire un divano Esercizio 7 Per fare un regalo 4 amiche spendono 81 euro ciascuna. Quanto avrebbero speso per lo stesso regalo se fossero state in 5 a pagare? La proporzione che risolve il problema è: A. 4:81=x:5 B. 4:5=81:x C. 4:5=x:81 D. 4:81=5:x 4 Funzioni: proporzionalità inversa

5 Esercizio 8 Trasformare in tabella il seguente grafico e trovare la funzione che lo rappresenta: Soluzioni degli esercizi 1. Base b (cm) 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 12,0 24,0 Altezza h (cm) 24,0 12,0 8,0 6,0 4,0 3,0 2,0 1,0 Funzione: Y = 24 / X 5 Funzioni: proporzionalità inversa

6 2. X Y Funzione: Y = 60 / X 3. esempi dello studente 4. Y = 90 / X 6 Funzioni: proporzionalità inversa

7 5. X Y 1 6 1, ,5 2, x = Larghezza di un tessuto in metri 0,70 1,75 1,4 1,2 y = metri dello stesso tessuto necessari per ricoprire un divano ,5 Y = 21/X 7. Soluzione giusta: C 8. Y = 12/X X Y Funzioni: proporzionalità inversa