Svolgimento della prova scritta del 14 luglio 2009

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1 Svolgimento della prova scritta del 4 luglio 2009 Esercizio. Calcolare i seguenti limiti, giusticando tutti i passaggi: x 2 log x lim ; lim x + x 7 x + x. 2 Esercizio 2. Calcolare Esercizio. Calcolare d dx e+x. x sin(x 2 ) dx. Esercizio 4. Tracciare il graco della funzione f(x) = e x2 indicando esplicitamente: il dominio di denizione; il comportamento agli estremi del dominio; gli intervalli in cui essa è crescente o decrescente; eventuali massimi e minimi assoluti e relativi. Esercizio 5. Siano A, B eventi tali che P (B) = 0, ; P (A) = 0, 2, P (A B) = 0,. Calcolare P (B A) usando la legge di Bayes. Esercizio 6. Da un'urna contenente 4 palline rosse e 2 palline nere si estraggono 2 palline, rimpiazzandole ogni volta. Calcolare la probabilità di estrarre pallina rossa e pallina nera, in un ordine qualunque.

2 Esercizio 7. Da un'indagine si rileva che le età dei ricercatori di un laboratorio sono date da 22, 5, 9, 22, 26 anni. Calcolare la media e la mediana di questi dati. Svolgimento esercizi Esrcizio : Il limite x 2 lim x + x 7 si presenta nella forma indeterminata, mettendo in evidenza x2 al numeratore si ottiene: Il limite x 2 x ( ) 2 x lim = lim 2 = x + x 7 x + x 7 = lim x + ( x 2 ) x 5 = lim x + log x lim x + x 2 x 5 = 0. si presenta anch'esso nella forma indeterminata, applicando la regola di De Hopital si ottiene: Esercizio 2: log x x lim = lim x + x 2 x + 2x = = lim x + 2x = 0. 2 Dalla regola di derivazione delle funzioni composte si ha: d d ( dx e+x = e +x ) + x = e +x (x 2 ) = x 2 e +x. dx Esercizio : Osserviamo l'integrale: x sin(x 2 ) dx 2

3 Moltiplicando e dividendo per 2 si ottiene la derivata di x 2 e quindi si può applicare la formula: f (x) sin(f(x)) dx = cos(f(x)) + C. Quindi si ha: x sin(x 2 ) dx = 2 2 x sin(x2 ) dx = 2 2x sin(x 2 ) dx = 2 cos(x2 ) + C. Esercizio 4: Consideriamo la funzione: f(x) = e x2 essendo una funzione esponenziale, il suo dominio è tutto R = (, + ). Il suo comportamento agli estremi è dato dai seguenti limiti: lim x f(x) = lim x e x2 = e ( )2 = e = 0, lim x + f(x) = lim x + e x2 = e (+ )2 = e = 0. Inoltre la funzione è sempre positiva: f(x) 0 e x2 0 x R. Calcoliamo f (x) per studiare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente: f (x) = e x2 ponendo f (x) 0 otteniamo: 2xc d ( ) x 2 = e x2 ( 2x) = 2xe x2 dx 2x 0 x 0 Quindi si ha: e x2 x R

4 La funzione è crescente nell'intervallo (, 0) ed è decrescente in (0, ) ed ha un unico massimo assoluto nel punto di ascissa x = 0, calcoliamo la sua ordinata ponendo x = 0 in f(x): f(0) = e 02 = e, dunque il punto di massimo è (0, e). Rappresentando gracamente si ha: 4

5 Esercizio 5: Per la legge di Bayes risulta: dunque si ha: Esercizio 6: P (B A) = P (A B) P (B) P (A) P (B A) = = L'esercizio ha due possibili svolgimenti.. Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa tra 6 palline totali (casi favorevoli= 4; casi totali= 6): P (R) = 4 6 = 2 Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina nera tra 6 palline totali (casi favorevoli= 2; casi totali= 6): P (N) = 2 6 = Applichiamo la regola dell'e. Calcoliamo ora la probabilità di estrarre in ordine una pallina rossa ed una nera: P (ReN) = P (R) P (N) = 2 = 2 9. Calcoliamo la probabilità di estrarre in ordine una pallina nera ed una rossa: P (NeR) = P (N) P (R) = 2 = 2 9. Applichiamo la regola dell'oppure: P (ReN oppure NeR) = P (ReN) + P (NeR) = = = 4 9 = 0.44 = 44%. 5

6 2. Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa tra 6 palline totali (casi favorevoli= 4; casi totali= 6): P (R) = p = 4 6 = 2. Consideriamo l'uscita di una pallina rossa come un successo e l'uscita di una pallina nera come un insuccesso. Conoscere la probabilità di estrarre una pallina rossa ed una nera in un ordine qualsiasi, equivale a conoscere la probabilità di avere un successo ed un insuccesso in 2 prove ripetute. In genere, per n prove ripetute, la probabilità di ottenere k successi è data da: P (k successi in n prove ripetute) = Applichiamo questa formula al nostro problema: P ( successi in 2 prove ripetute) = Esercizio 7: = 2 2 ( ) = 4 9 ( 2 ( ) n p k ( p) n k k ) ( 2 = 0.44 = 44%. Ricordiamo che la media di n dati x,..., x n è data da: n ) ( 2 ) 2 = x = n i= x i Si ha: eta = ( ) = 24.8 anni 5 Ricordiamo che la mediana di n dati x,..., x n ordinati in modo crescente è data dal valore centrale della distribuzione se n è dispari, oppure dalla media dei due valori centrali se n è pari. Per prima cosa 6

7 ordiniamo i dai in modo crescente: 9, 22, 22, 26, 5 poichè n = 5 è dispari, la mediana è il valore centrale della distribuzione e quindi: mediana = 22. 7