LICEO SCIENTIFICO SESSIONE STRAORDINARIA PROBLEMA 2

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1 1\ LICEO SCIENTIFICO SESSIONE STRAORDINARIA 16 - PROBLEMA La funzione f: R R è così definita: f(x) = sen(x) x cos (x) 1) Dimostra che f è una funzione dispari, che per x ], ] si ha f(x) > e che esiste un solo valore x ],] tale che f(x ) =. Traccia inoltre il grafico della funzione per x [,5]. La funzione è definita su tutto l asse reale e risulta: f( x) = sen( x) + x cos( x) = sen(x) + x cos(x) = f(x) Quindi la funzione è dispari. Verifichiamo che per < x si ha f(x) >. sen(x) x cos(x) > Se < x <, essendo cos(x) > si ha: tg(x) > x, che è sempre verificata: Se x = si ha 1 > e quindi la disequazione è verificata. Se x = si ha > e quindi la disequazione è verificata. Se < x <, essendo sen(x) > e xcos(x) < risulta sen(x) x cos(x) > Quindi per < x si ha f(x) >. Sessione straordinaria 16 Problema 1/ 5

2 Metodo alternativo. Consideriamo la funzione f(x) = sen(x) x cos(x) e notiamo che lim x + f(x) = ed f() = >. Analizziamo la derivata prima: f (x) = cos(x) cos(x) + x sen(x) > se x sen(x) >, che è sempre verificata se < x < ; quindi la funzione è sempre crescente nell intervallo ], ]. Quanto detto permette di concludere che la funzione è sempre positiva in tale intervallo. Dimostriamo ora che esiste un solo valore x ], ] tale che f(x ) =. Abbiamo già verificato che f (x) = x sen(x) e risulta x sen(x) > se < x < e x sen(x) < se < x < ; pertanto la funzione è crescente in ], ] (come già verificato) e decrescente in ], [; ma risulta f() = > ed f() =, quindi (essendo la funzione continua nell intervallo [, ]) essa si annulla una sola volta nell intervallo aperto (, ); siccome in ], ] la funzione è sempre positiva, possiamo concludere che esiste un solo valore x ],] tale che f(x ) =. Dobbiamo ora tracciare, per x [, 5], il grafico della funzione f(x) = sen(x) x cos(x) Per far ciò, in base a quanto già verificato, è sufficiente studiare la derivata prima e la derivata seconda, dopo aver osservato che nell intervallo di studio la funzione è continua e che agli estremi assume i valori: f() = ed f(5) = 5. f (x) = cos(x) cos(x) + x sen(x) = x sen(x) > se sen(x) >, quindi la funzione è crescente per: < x <, < x < 3, 4 < x < 5 e decrescente nella parte rimanente. Inoltre: x =,, 4 sono punti di minimo relativo e x =, 3, 5 sono punti di massimo relativo. Osserviamo che i massimi appartengono alla retta y=x ed i minimi alla retta y=-x. Troviamo gli zeri della derivata seconda f (x) = sen(x) + x cos(x) = ; osserviamo che se cos(x) = dovrebbe essere sen(x) = e ciò non può essere (il seno ed il coseno non si possono annullare contemporaneamente). Supponiamo ora cos(x) ; si ha: { cos(x) ; risolviamo questo sistema graficamente: tg(x) = x Sessione straordinaria 16 Problema / 5

3 Abbiamo dei flessi nei punti di ascissa: x = α, con < α <, x = β, con 3 < β <, x = γ, con 5 < γ < 3 x = δ, con 7 < δ < 4, x = ε, con 9 < ε < 5 Il grafico della funzione, nell intervallo richiesto, è il seguente: ) Determina il valore dell integrale definito: f(x)dx f (x)dx = , e, sapendo che risulta: prova che risulta verificata la disequazione: < 96 anche non conoscendo il valore di. Sessione straordinaria 16 Problema 3/ 5

4 Cerchiamo una primitiva di f(x): (sen(x) x cos(x))dx = cos(x) x cos(x) dx Integrando per parti si ha: x cos(x) dx = x (sen(x)) dx = xsen(x) sen(x)dx = xsen(x) + cos(x) + k Pertanto: (sen(x) x cos(x))dx = cos(x) x cos(x) dx = cos(x) xsen(x) cos(x) + k Possiamo ora calcolare l integrale definito: f(x)dx = (sen(x) x cos(x))dx = { [ ]} = = f(x)dx = [ cos(x) xsen(x)] = Dobbiamo ora dedurre da f (x)dx = 3 conoscere il valore di che < 96 immaginando di non Osserviamo che nell intervallo ]; /] risulta f(x) 1; infatti: sen(x) x cos(x) 1: 1 sen(x) x cos(x) che risulta verificato nell intervallo in questione essendo 1 sen(x) e x cos(x). Risulta pertanto, in ]; /], f (x) f(x) e perciò: f (x)dx = f(x)dx = Segue che: < 96 c. v. d. 3) Verifica che, qualsiasi sia n N, risulta: (n+1) f(x)dx = 4 n, f(x)dx =. Sessione straordinaria 16 Problema 4/ 5

5 Risulta: (n+1) f(x)dx = [ cos(x) xsen(x)] +n = cos( + n) ( )) = + = 4 n f(x)dx = [ cos(x) xsen(x)] n = ( ) = 4) Dimostra che i massimi della funzione f (x) giacciono su una parabola e i minimi su una retta, e scrivi l equazione della parabola e della retta. Osserviamo che la funzione f (x) è sempre, ed in particolare vale zero dove si annulla f(x): quindi i minimi di f (x) appartengono tutti all asse x (y=). Siccome i massimi e minimi di f(x), come osservato precedentemente, appartengono alle rette y=x e y=-x, possiamo dedurre che i massimi di f (x) appartengono alla parabola y = x. Dimostriamo quest ultimo risultato in modo più analitico. Studiamo la derivata di f (x). D(f (x)) = f(x) f (x) Essendo f (x) continua e derivabile in tutto il suo dominio, i punti di massimo e di minimo sono da ricercarsi fra i valori che annullano f(x) f (x), quindi fra i punti in cui si annulla f(x) oppure f (x). Dove si annulla f(x) abbiamo già notato che ci sono i minimi; i massimi sono da ricercarsi quindi fra i punti per cui f (x) =, xsen(x) =. Escludendo x= (in cui c è un minimo) i massimi soddisfano l equazione sen(x) =, quindi x = k, con kεz; per tale x si ha f (k) = (f(k)) = ( k cos(k)) = (k) : i massimi hanno quindi coordinate (k; k ), quindi appartengono alla parabola di equazione y = x. Con la collaborazione di Angela Santamaria Sessione straordinaria 16 Problema 5/ 5