MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 2) 10 Febbraio 2010
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- Fabriciano Orlando
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1 MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema ) 10 Febbraio 010 SOLUZIONI 1. Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida, liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella della soluzione. Sapendo che 0 ± g di soluto vengono sciolti in 180 ± g di solvente, calcola, in percentuale, il valore stimato, l errore relativo e l errore assoluto della concentrazione della soluzione ottenuta. Indichiamo con s la massa del soluto (con s il valore stimato), con S la massa del solvente (con S il valore stimato) e con M la massa totale della soluzione (con M il valore stimato). Allora si ha s = 0 ± S = 180 ± M = s + S = 00 ± 4 Il valore stimato della concentrazione c, indicato con c, è Gli errori relativi di s e M sono c = s M = 0 00 = 10% ǫ r s = 0 = 10% ǫr M = 4 00 = % quindi l errore relativo di c, dato dalla somma dei due, vale ǫ r c = ǫ r s + ǫ r M = 1% Per trovare l errore assoluto di c è sufficiente ricordare che da cui ǫ r c = ǫa c c ǫ a c = ǫ r c c = 1% 10% = 1.% La concentrazione vale quindi c = 10.0% ± 1.%. 1
2 . Si pescano 5 carte da un mazzo di 5 carte (4 semi, ciascun seme ha 13 carte, dall asso al dieci più tre figure, jack, donna e re). a) Qual è la probabilità di pescare esattamente un asso? b) Qual è la probabilità di pescare almeno un asso? c) Qual è la probabilità di pescare esattamente due assi e una figura? Pescare 5 carte contemporaneamente equivale a pescarne 5 una per volta senza rimettere la carta pescata nel mazzo. Le figure presenti nel mazzo sono 1, mentre gli assi sono 4. a) Pescare esattamente un asso significa pescare 4 carte che non siano assi e 1 asso: ( ) P(1F) = La stessa probabilità può essere calcolata utilizzando casi favorevoli e casi possibili : ( ) ( ) ( ) P(1F) = / b) L evento pescare almeno un asso è l evento complementare di pescare 0 assi che ha probabilità P(0A) = 48 ( ) ( ) = / 5 5 La probabilità cercata è allora P(almeno1A) = 1 P(0A) c) Pescare esattamente due assi e una figura significa pescare due assi, una figura ed altre due carte che non siano né assi né figure: oppure P(F 1A) = P(F 1A) = ( 5 ( 4 ) ( 3 1 ) ( 1 1 ) 4 5 ) ( ) ( 5 / 5 )
3 3. In un laboratorio si misurano (in cm) le lunghezze di un campione di N foglie di un dato albero. La media di queste N lunghezze è 16. Se tre foglie del campione, della lunghezza rispettivamente 8.4, 9.6 e 10, sono scartate, la media delle foglie rimanenti è 17. Determina il numero N di foglie del campione. Indichiamo con m i le misure delle lunghezze del campione in cm, con l indice i che varia da 1 al numero delle misure presenti nel campione. Sappiamo che la media di queste lunghezze, quando il campione è composto da N misure, vale 16: N m i N = 16 m i = 16N Togliendo 3 misure il campione resta composto da N 3 misure e la media diventa 17 quindi N 3 m i N 3 = 17 N 3 m i = 17 (N 3) Conosciamo però le 3 misure tolte dal campione quindi N 3 e di conseguenza m i = m i ( ) = m i 8 N 3 m i = 17 (N 3) m i 8 = 17 (N 3) m i = 17 (N 3) + 8 Ma la somma delle N misure è anche uguale a 16 N quindi si ottiene 16 N = 17 (N 3) + 8 N = 51 8 = 3 3
4 4. Risolvi la seguente disequazione 4 x x 1 Disegna poi l insieme S T dove S = {(x, y) R R : y 4 x} e T = {(x, y) R R : y x 1} La prima cosa da fare è trovare l insieme di definizione di questa disequazione; poiché è presente una radice di indice pari il radicando deve essere maggiore o uguale a 0: 4 x 0 x Se x la quantità 4 x è definita ed è maggiore o uguale a 0; poiché deve essere maggiore o uguale a x 1, otteremo delle soluzioni se x 1 è una quantità non positiva, cioè se x 1 (le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente): { x x 1 da cui si ottiene un primo insieme di soluzioni x 1. Se x 1 è una quantità positiva, cioè x > 1, dobbiamo confrontare due quantità positive e possiamo elevare al quadrato ambo i membri della disequazione: x x > 1 ( 4 x) (x 1) Sviluppando si ottiene { 1 < x 4 x x x + 1 x 3 0 ovvero { 1 < x 3 x 3 che porta alle ulteriori soluzioni 1 < x 3. disequazione è verificata per x 3. Concludendo, la L insieme S T è la porzione di piano cartesiano che sta sopra alla retta y = x 1 e sotto la curva di equazione y = 4 x. Ad esempio, il semiasse negativo delle ascisse appartiene a tale insieme (vedi Figura 1). 4
5 Figura 1: Rappresentazione grafica di y = 4 x e y = x Il gruppo sanguigno è determinato da un locus genetico con tre possibili alleli A, B, 0. Il fenotipo A corrisponde ai genotipi AA, A0; il fenotipo B ai genotipi BB, B0; il fenotipo AB corrisponde al genotipo AB; il fenotipo 0 corrisponde al genotipo 00. Sapendo che in una data popolazione l allele A ha frequenza 0.6, l allele B ha frequenza 0.3 e l allele 0 ha frequenza 0.1, calcola: a) le frequenze genotipiche e le frequenze fenotipiche; b) la probabilità che un individuo, preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno 0, sapendo che il padre ha gruppo sanguigno A e la madre 0; c) la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno 0, sapendo che entrambi i genitori hanno gruppo sanguigno A. Indichiamo con p, q ed r le frequenze degli alleli A, B e 0 rispettivamente, quindi p = 0.6 q = 0.3 r = 0.1 Si ha p + q + r = 1 da cui p + q + r + pq + q r + q r = 1 dove p = 0.36, q = 0.09, r = 0.01, pq = 0.36, q r = 0.06 e p r = 0.1. a) Le frequenze genotipiche sono i numeri calcolati precedentemente, ovvero f(aa) = p f(bb) = q f(00) = r f(ab) = pq f(b0) = q r f(a0) = pr Le frequenze fenotipiche sono f(a) = p + pr = 0.48 f(b) = q + q r =
6 f(ab) = pq = 0.36 f(0) = r = 0.01 b) P(0 P A M 0 ) = P(0 P A M 0 ) P(P A M 0 ) = P(0 P A M 0 ) P(P A ) P(M 0 ) = p r r (p + pr)r = r p + r = 1 8 c) P(0 P A M A ) = P(0 P A M A ) P(P A M A ) = P(0 P A M A ) P(P A ) P(M A ) = 6. Sia data la funzione (p r) ( ) r (p + pr) = = 1 p + r 64 f(x) = a x b x con i parametri a, b R a, b 0. a) Calcola i parametri a e b sapendo che f( 1) = /3 e f( ) = 1. b) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), individua l insieme di definizione e trova i valori di x per i quali f(x) = 0. c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), calcola i limiti agli estremi dell insieme di definizione. a) Imponiamo le condizioni f( 1) = /3 e f( ) = 1: { a ( 1) b 1 = 3 a b = a( ) b = 1 4 a b = 4 Risolvendo il sistema si trova a = e b = 4, ovvero la funzione è f(x) = (x ) x b) La funzione non è definita quando si annulla il denominatore, quindi il suo insieme di definizione è {x R : x }. f(x) = 0 x = 0 x = ± 6
7 c) Dobbiamo calcolare quattro limiti, a ± e a da destra e sinistra. A ±, numeratore e denominatore tendono a +, ma il numeratore è un polinomio di grado superiore rispetto al denominatore, quindi il risultato del limite è + : lim f(x) = + lim x + f(x) = + x Per x che tende a, sia da destra che da sinistra, il numeratore tende a un numero finito, mentre il denominatore tende a 0, quindi lim f(x) = + lim x + f(x) = + x 7
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