Con la formula che usa le aree delle sezioni trasversali abbiamo. h l(y) 2 d y V = cos y log(x 1) = x 1

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1 PROVA SCRITTA di MATEMATICA Laurea triennale in Sc. Geologiche e Sc. Naturali Facoltà di S.M.F.N. Seconda sessione, primo appello - A.A. 1/11-13 giu 11 Gli esercizi sono da risolvere in modo esplicito. Nelle domande, laddove richiesto, lo studente è invitato a giustificare la risposta. È tassativamente vietato collaborare e anche, in questa occasione, consultare materiale didattico o utilizzare quasivoglia strumento di calcolo o comunicazione. Ricordarsi di indicare il proprio nominativo completo su OGNI foglio che si consegna. ESERCIZIO 1 Approssimare la funzione f(x) = x e x con un polinomio di Maclaurin di grado. RISPOSTA ES. 1 Risulta e x = 1 x + x / +...; pertanto lo sviluppo cercato è f(x) x. ESERCIZIO Utilizzando i metodi dell integrazione, trovare una formula che esprima il volume di una piramide a base quadrata di altezza h e lato di base a. [SUGG.: una faccia della piramide è un triangolo. Una formula per la lunghezza l(y) di un segmento parallelo alla base del triangolo si calcola con la proporzione l(y) : a = (h y) : h. Sia il metodo delle sezioni trasversali che il metodo delle sfoglie sono applicabili, ma il metodo delle sfoglie porta ad un integrale più facile] RISPOSTA ES. Con la formula che usa le aree delle sezioni trasversali abbiamo V = h l(y) d y da cui V = (a h)/3. ESERCIZIO 3 Trovare, se esistono, coppie di valori (x, y) tali che cos y log(x 1) = x 1 In caso affermativo, provare a disegnare tali coppie nel piano xy. RISPOSTA ES. 3 Bisogna innanzitutto distinguere due casi: se log(x 1) = (cioè se x = ) allora la relazione diviene x 1 = per ogni valore reale di y e quindi sono soluzioni tutte le coppie del tipo (±1, y) corrispondenti a due rette verticali nel piano xy. Se invece se log(x 1), il problema ha senso solo se nel dominio della funzione f(x) = x 1 / log(x 1) esistono valori x tali che 1 f(x) 1. Per ogni valore x di questo tipo esistono infinite soluzioni del problema date da coppie del tipo (x, y + kπ) con k Z e y = arccos f(x ). Si tratta ora di controllare se siffatti x esistono o meno, cercando eventuali soluzioni della relazione 1 x 1 / log(x 1) 1. Entrambe le disequazioni sono trascendenti e risolvibili solo graficamente. È facile convincersi che se x (1, ) la disuguaglianza a destra è sempre soddisfatta, mentre quella a sinistra è verificata in uno

2 Figura 1: Grafico di f(x) = x 1 / log(x 1) ed un solo punto x. Se x (, + ), la disuguaglianza di sinistra è sempre soddisfatta, mentre quella a destra non lo è mai. Poiché le due disuguaglianze vanno soddisfatte entrambe, si conclude che per x (1, ) c è un unica soluzione, mentre per x > non ne esistono. ESERCIZIO 4 Calcolare l integrale π /4 sin x d x RISPOSTA ES. 4 e l integrale diventa L integrale si calcola per sostituzione ponendo u = x. In tal modo u d u = d x π/ u sin u d u = ESERCIZIO 5 funzione Si determinino gli eventuali asintoti, i punti di discontinità e di non derivabilità della f(x) = (x 5) log x RISPOSTA ES. 5 Chiaramente la funzione non è definita se x < 5, è definita e continua in [5, + ) ma non è derivabile in x = 5. Non possiede infine alcun asintoto, in particolare obliquo dato che lim x + f(x)/x =.

3 Figura : Grafico di f(x) = (x 5) log x ESERCIZIO 6 Il limite lim 1/x x (A) esiste e vale (B) non esiste (C) la domanda non ha senso perché non è un punto di accumulazione del dominio della funzione (D) esiste e vale + (E) esiste e vale RISPOSTA ES. 6 La risposta corretta è ovviamente la prima. ESERCIZIO 7 Si ha un urna contenente 9 numeri. L esperimento consiste nell estrarre dall urna, in successione, 4 numeri, tenendo da parte i numeri già estratti. Calcolare la probabilità che il primo estratto sia il ed il secondo estratto sia il 3. RISPOSTA ES. 7 Un evento elementare si può rappresentare con una 4 pla ordinata senza ripetizioni. Il numero degli eventi elementari è perciò Definiamo gli eventi A = {il primo estratto è il } B = { il secondo estratto è il 3}. Vogliamo calcolare la probabilità dell evento A B. Il numero di 4 ple ordinate senza ripetizioni che hanno il al primo posto ed il 3 al secondo posto è La probabilità cercata è (numero dei casi favorevoli / numero eventi elementari) pertanto 1/

4 ESERCIZIO 8 Ad un convegno ogni partecipante dà la mano a tutti gli altri. In tutto vi sono k = 15 strette di mano; quanti sono i partecipanti al convegno? (A) 5 (B) 9 (C) 15 (D) 6 Spiegare poi per quale motivo non è possibile che le strette di mano siano, ad esempio 14, e come mai le uniche scelte di k immediatamente inferiori e superiori siano rispettivamente 91 e 1. RISPOSTA ES. 8 Siano n i partecipanti; le strette di mano coincidono col numero di accoppiamenti senza ripetizione (le strette di mano) utilizzando n scelte. Quindi si può scrivere ( ) n 15 =, che si può riscrivere nella forma n n 1 =, da risolvere considerando solo la soluzione positiva di n: poiché n = 1 (1 ± 841) = 1 (1 ± 9), la sola soluzione che interessa è n = 15 (risposta (C)). La seconda parte della domanda è legata al fatto che se S è il numero delle strette di mano ed n quello dei partecipanti, la soluzione del problema è comunque data dalla soluzione positiva dell equazione n n S = ma se tale soluzione non è anche un intero, il problema è mal posto. Dato che per S = 14 si ha n = 1 ( ) 14.3, ( ) n n non è intero. Facendo variare la funzione σ(n) =, ad esempio fra n = 1 ed n =, si trova n σ(n) ESERCIZIO 9 Si riempiono bottiglie di vino con una macchina regolata sul valore 755 ml. Questo è il valor medio della variabile quantità della popolazione di tutte le bottiglie riempite. Supponiamo che le quantità di vino siano distribuite secondo una gaussiana, e che la macchina comporti una deviazione standard σ = 1 ml. Effettuando una verifica su un campione di 49 bottiglie, quale percentuale di bottiglie del campione risulterà riempita con meno di 75 ml? RISPOSTA ES. 9 Per il teorema limite centrale il valor medio di un campione si può assumere essere 755 ml, e la deviazione stansdard del campione 1/ 49, cioè 3. Il valore standardizzato corrispondente a 75 è Z = (75 755)/3 =

5 Dalla Tavola della Normale Standard vediamo che l area tra Z = e Z = 1.66 è.45. Quindi l area cercata è.5.45 =.5, cioè il 5% dell area totale. La percentuale di bottiglie del campione con meno di 75 ml è così il 5%. ESERCIZIO 1 Risolvere l equazione differenziale u 3u = t 3 + t con dati iniziali u() = 1, u () = RISPOSTA ES. 1 L equazione caratteristica fornisce i valori λ =, 3; l omogenea ha soluzioni del tipo u om (t) = C 1 + C e 3t. Una soluzione particolare della non-omogenea va cercata nella forma At 5 + Bt 4 + Ct 3 + Dt ; sostituendo si trova il sistema lineare 3C + D =, 6B + 6C =, 9A + 1B = 1, A = le cui soluzioni sono (A, B, C, D) = (, 1/1, 5/1, 5/8). Pertanto la soluzione generale ha la forma u(t) = C 1 + C e 3t t t t Poiché u() = C 1 + C = 1 e u () = 3C =, segue C =, C 1 = 1. 5