Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13. Il Modello Lognormale La funzione di densità di probabilità lognormale è data:

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1 Il Modello Lognormale La funzione di densità di probabilità lognormale è data: ( ln x a) 1 f ( x ) = exp x > 0 X b x b π in cui a e b sono due costanti, con b> 0. Se X è una v.a. lognormale allora Y lnx è distribuita secondo una legge normale: = η = a, σ = b. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 1

2 0.70 Il Modello Lognormale (segue) 0.60 Densita' di Probabilita' X 1 a = 0, b= 1, moda = e Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan

3 Il Modello Lognormale (segue) Il momento r-esimo di una variabile lognormale è: E X r = exp ar+ rb [ ] E X = exp a + b [ ] a + b ( b ) = Var X e e 1 Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 3

4 Il Modello di Weibull f X ( x) α α 1 α ( ) α λ x exp λx x 0 = 0 x < 0 α> 0, λ> 0 1 α =, λ= π si ha una v.a. di Rayleigh con valore atteso unitario. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 4

5 Teoria dei Fenomeni Aleatori La densità di Weibull AA 01/13 Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 5

6 La distribuzione di Weibull F X ( x) 1 exp λ ( x ) x 0 = 0 x < 0 α infatti: df X dx ( x) ( ) α λx α α 1 X ( ) = e λ α x = f x Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 6

7 La Funzione Gamma La funzione Gamma che è definita mediante l'integrale: ( ) b 1 y Γ = che converge se b> 0. b y e dy 0 + Valori particolari della funzione gamma sono: Γ ( 1) = 1 Γ ( 0.5) = π Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 7

8 La Funzione Gamma Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 8

9 La Funzione Gamma La funzione Gamma è calcolabile per ogni b> 0 se si conosce il suo andamento nell'intervallo 1< b<. Γ ( b+ 1) = b Γ ( b) Se b = n (intero), vale la relazione: Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) = n ( n 1 )... Γ ( 1 ) = n! Quindi la funzione Gamma generalizza il fattoriale. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 9

10 Il modello Chi Quadro La densità di probabilità di una v.a. X di tipo chi-quadro, χ n, con n gradi di libertà, ha la forma: f x 1 ( ) n ( n ) = Γ X n x 1 x e x 0 0 x < 0 L intero positivo n costituisce l'unico parametro di questa distribuzione. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 10

11 Il modello Chi Quadro Per n= si ottiene l'esponenziale negativa con parametro 1 c =. La somma dei quadrati di n v.a. indipendenti con distribuzione N( 0,1 ) è una variabile aleatoria di tipo χ n con n gradi di libertà. Se n la distribuzione Chi-quadro tende a quella Normale. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 11

12 Il modello Chi Quadro (segue) Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 1

13 Il modello Chi Quadro (segue) Il momento di ordine k di una v.a. Chi Quadro con n gradi di libertà è: n Γ k + k k E X = n Γ E[ X] = n Var[ X ] = n Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 13

14 Il modello di Student Una v.a. continua X di tipo Student ha una funzione di densità: n+ 1 Γ x ( ) f x = 1 ( ) + Γ nπ n X n < x < n+ 1 in cui n viene detto numero di gradi di libertà. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 14

15 Il modello di Student Poiché si ha f ( x) f ( x) X =, la funzione di densità di Student è simmetrica rispetto all'origine. X All'aumentare del parametro n (n> 30) il modello di Student approssima quello gaussiano standard. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 15

16 Il modello di Student (segue) f t (; tn) n = n. di gradi di libertà n nn t t Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 16

17 Il modello di Student (segue) Una v.a. di Student si può ottenere mediante la trasformazione: X = U V/n in cui: 1. U è una v.a. gaussiana standard. V è una v.a. di tipo Chi Quadro con n gradi di libertà 3. U e V sono indipendenti Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 17

18 Valore atteso e Varianza: Il modello di Student (segue) Il valore atteso è nullo (simmetria della densità) La varianza esiste solo per n> e vale [ ] Var X n = n Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 18

19 Il modello di Erlang Una v.a. X è distribuita secondo la legge di Erlang (erlangiana) se: X λ n ( ) = ( ) f x n 1! n 1 λx x e x 0 0 x < 0 Quando n= 1 la distribuzione Erlang si riduce ad una esponenziale. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 19

20 Il modello di Erlang La funzione di distribuzione è: 1 e x 0 n 1 ( ) ( ) i λx λx F ( x) = i! X i= 0 0 x<0 Una v.a. di tipo Erlang con parametri λ e n si può ottenere come somma di n v.a. esponenziali indipendenti con uguale parametro λ. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 0

21 Il modello di Erlang (segue) X n = 3, =5 n = 3, =3 n = 3, = x Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 1

22 Il modello Gamma Una v.a. è distribuita secondo il modello Gamma se: b λ x b 1 e λx f ( x) = ( b) X Γ x 0 0 x< 0 in cui b> 0, 0 λ>, ( ) Γ b è la funzione Gamma (b parametro di forma, λ parametro di scala). Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan

23 Il modello Gamma La funzione di distribuzione esiste in forma chiusa solamente se il parametro b è un intero positivo, altrimenti è esprimibile tramite la cosiddetta funzione Gamma incompleta che è tabulata. [ ] b E X = λ [ ] b Var X = λ Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 3

24 Il modello Gamma Valore atteso, varianza e momenti si ricavano dalla identità: + k b 1 λx + 0 ( ) x x e dx =Γ k + b λ ( k b) che si ottiene integrando per parti, ricordando che Γ ( b+ 1) = b Γ ( b). ( ) k b E X k =λ k Γ + Γ ( b ) Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 4

25 Il modello Gamma (segue) La somma di n v.a. indipendenti X i (i = 1,,...,n) distribuite secondo il modello gamma con parametri λ e b i (i = 1,,...,n), cioè con densità: b λ i ( ) b 1 f x = x i e λx, x 0 X i Γ b ( ) è una v.a. Y di tipo gamma con parametri λ e i b = n i= 1 b i Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 5

26 Il modello Gamma (segue) I modelli esponenziali, Chi Quadro ed Erlang possono essere considerati come casi particolari del modello Gamma. Per b= 1 λ ( ) λx λx f X x = e = λ e x 0 Γ 1 ( ) Esponenziale Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 6

27 Per b n = e Il modello Gamma (segue) λ = 1 f x 1 ( ) n ( n ) = Γ X n x 1 x e x 0 0 x < 0 Chi Quadro Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 7

28 Per b intero positivo: X Il modello Gamma (segue) λ n ( ) = ( ) f x n 1! n 1 λx x e x 0 0 x < 0 Erlang Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 8

29 Il modello di Laplace Una v.a. continua segue il modello di Laplace se: c ( ) cx f x = e X, c> 0 La densità è simmetrica rispetto all origine e quindi X ha valore atteso nullo. Tutti i momenti di ordine dispari sono nulli. Se invece r è pari, il momento di ordine r vale: r + r c cx + r cx r! E X = x e dx= x ce dx= 0 0 r c Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 9

30 Il modello di Cauchy Una v.a. continua è distribuita secondo il modello di Cauchy se: f ( x) = 1 a π x + a, a> 0 X La funzione di distribuzione di probabilità è: 1 1 ( ) x F x = + arctg X π a Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 30

31 Il modello di Cauchy La variabile aleatoria di Cauchy non ha valore atteso, infatti: ax +t lim t t π + ( x a ) dx non esiste (non corverge). Una v.a. di Cauchy può essere generata a partire da π π + una variabile θ Uniforme in ; X = a tg( θ ) mediante: Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 31

32 Il modello Geometrico Una v.a. geometrica ha una funzione di massa: P( X = k) = p q k 1 k = 1,,3,... con p+ q= 1 X m ( ) ( ) m, = X = < + k= 1 F x f k 1 q m x m 1 Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 3

33 Il modello Geometrico Tre masse della legge geometrica (k =, 3, 4) al variare di p. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 33

34 Il modello Geometrico Il valore atteso di una variabile geometrica: [ ] E X = 1 p La varianza vale: q Var[ X ] = p Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 34