Fondamenti di comunicazioni elettriche (Ing. Elettronica - A.A )

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1 Fondamenti di comunicazioni elettriche (Ing. Elettronica - A.A.-) Es. La variabile aleatoria ha densità di probabilità uniorme nell intervallo [,]. Trovare valor medio e varianza di. La densità di probabilità di è α ( α) = rect Quindi il valor medio di è dato da 3 α 8 E[ ] = α ( α) dα= α dα 3 6 Per quanto riguarda la varianza, calcoliamo il valore quadratico medio di Ne segue che la varianza risulta 5 α 3 E[( )] = α ( α) dα= α dα σ = E[( )] (E[ ]) = = 9 5 Es. La variabile aleatoria ha densità di probabilità uniorme nell intervallo [,]. Trovare valor medio e varianza di. La densità di probabilità di è Quindi il valor medio di è dato da α ( α) = rect 3 = α α α= α α α E[ ] ( ) d d 3 3 Per quanto riguarda la varianza, calcoliamo il valore quadratico medio di Ne segue che la varianza risulta E[( )] ( ) α 6 = α αdα= α dα= = σ = E[( )] (E[ ]) = = = Es. 3 La variabile aleatoria ha densità di probabilità uniorme nell intervallo [,3]. Trovare la probabilità che L evento >. > si veriica per [,], quindi occorre calcolare

2 Pr{ > } = Pr{ [,]} = ( ) αdα Questa, visto che ( α ) = /3 per α [,3], risulta pari ad /3. Es. La variabile aleatoria ha densità di probabilità uniorme nell intervallo [,]. Trovare la densità di probabilità di Y= + /5. La densità di probabilità di Y è deinita come d d d ( ) = F( ) = Pr{ Y } = Pr{ + /5 } Y Y d d d Quindi occorre determinare, al variare del parametro, dove si veriica l evento + /5 : { : + /5 } = (,5+ 5] Risulta quindi 5+ 5 d d ( ) = Pr{ (,5+ 5 ]} = ( α) dα Y d d = d = [ F (5+ 5 ) ( )] 5 (5 5 ) F = + d Volendo trovare una espressione che non dipenda dalla ( α ) basta sostituirne l espressione (5+ 5 ) 5 Y ( ) = 5 rect( ) = rect( /) Es. 5 La variabile aleatoria ha densità di probabilità uniorme nell intervallo [,]. Trovare la densità di probabilità di Y= ( 3). La densità di probabilità di Y è deinita come d d d ( ) = F( ) = Pr{ Y } = Pr{( 3) } Y Y d d d Quindi occorre determinare, al variare del parametro, dove si veriica l evento ( 3) : < { :( 3) } = [3,3 + ] Risulta quindi ( ) = per <, mentre per > Y 3+ d ( ) = ( α) dα (3 ) (3 ) Y d = Volendo trovare una espressione che non dipenda dalla ( α ) occorre discutere i punti 3± rispetto all intervallo [,] (supporto della ( α )): Risulta inine 3 + [,] 9 3 [,] 9

3 Y < (,9) ( ) = (9, 9) > 9 Es. 6 La coppia di variabili aleatorie ed Y è uniormemente distribuita in [,] [,]. Determinare la probabilità dell evento { + Y> 3}. L evento { + Y> 3} si veriica, per ogni, quando Y> 3, quindi si può scrivere Pr{ Y 3} ( α, ) ddα + > = Y 3 α La densità di probabilità congiunta delle due variabili in gioco è / α [,] [,] Y ( α, ) = α [,] [,] quindi α Pr{ + Y> 3} = rect( )rect( ) ddα= 3 α = ddα= ddα= α dα= 8 [3 α, ) [,] 3 α Notare che si poteva giungere al medesimo risultato valutando il rapporto tra l area della regione in cui le variabili sono distribuite uniormemente e l area, interna a questa regione, in cui si veriica l evento. Es. 7 La coppia di variabili aleatorie ed Y ha distribuzione data da ( ) (, ) Ke α + α α = rect( )rect( ) Y Determinare il valore della costante K e la probabilità dell evento { + Y> 3}. La costante K si determina imponendo la condizione di normalizzazione: Si ottiene ( α, ) d d α = Y (, ) α ( ) αddα= Ke e ddα K e Y = = quindi K= ( e ). La probabilità dell evento { + Y> 3}, procedendo come nell es.6, risulta

4 Pr{ + Y> 3} = ( α, ) ddα= Y 3 α ( α+ ) α = e ddα= e e ddα= ( e ) ( e ) 3 α 3 α 3 α e e e dα e e = = ( ) ( ) Notare che, a dierenza dell es.6, non si poteva giungere a questo risultato con considerazioni geometriche (in quanto la distribuzione delle variabili non è uniorme). Es. 8 Determinare la densità di probabilità del rapporto tra due variabili aleatorie indipendenti ed Y gaussiane con media nulla e varianza unitaria Posto Z= Y/, la densità di probabilità di Z è data da d d d ( γ) = F( γ) = Pr{ Z γ} = Pr{ Y/ γ} Z Z dγ dγ dγ La regione di piano in cui si veriica l evento { Y/ γ} può essere descritta come { Y γ, < } { Y γ, > }, o come θ [ π/,arctan γ] [ π/, π+ arctan γ] in coordinate polari. Osservando che ( ρcos θρ, sin θ) = exp( ρ) non dipende da θ, si deduce che θ è Y π distribuita uniormemente in un intervallo di ampiezza π e la densità di probabilità richiesta risulta arctanγ π+ arctanγ d ( γ) = dθ dθ Z + = dγ π π π( + γ) π/ π/ Si noti che questa densità di probabilità tende a zero per γ come quadratico medio risulta ininito (ed il valore medio è indeterminato, perché?). /γ ed il valore Es. 9 Le variabili aleatorie ed Y hanno densità di probabilità uniorme all interno di un cerchio di raggio. Trovare la densità di probabilità delle variabili aleatorie M e θ deinite da + jy= Mexp( jθ) La densità di probabilità di M è deinita da d d d ( α) = F ( α) = Pr{ M α} = Pr{ + Y α} M M dα dα dα Per valutare quest ultima nel caso α [,] conviene operare in coordinate polari: e risulta α π α π Pr{ } ( cos, sin ) Y π π α + Y α = ρ θρ θρdd θ ρ= ρdd θ ρ= π M α< ( α) = α/ α [,] α>

5 Per quanto riguarda la densità di probabilità dell angolo θ, procedendo nello stesso modo, risulta uniorme in qualsiasi intervallo di ampiezza π Es. La coppia di variabili aleatorie gaussiane a media nulla e è caratterizzata dalla matrice di covarianza / Σ= / Ammesso di avere eettuato un esperimento ed avere potuto osservare il solo valore di =, trovare la densità di probabilità (condizionata) ed il corrispondente valore più probabile della variabile La densità di probabilità congiunta di due variabili gaussiane è data da α ( α, α) = exp( [ α α] Σ ) / / ( π) Σ α che in questo caso risulta, essendo Σ = / e Σ =, ( α, α) = exp( ( α αα + α)) π La densità di probabilità di, condizionata ad un valore di =, è data da ( α, α) = ( α, α) in cui appare, oltre alla densità congiunta, quella del primo ordine della variabile ( α) = exp( α) π E si ottiene ( α, α) = exp( ( α αα + α)) π Per trovare il valore più probabile di condizionato ad un valore osservato basta cercare il massimo ( α) argmax ( α, α) = argmax exp( ( α αα + α)) α α π d ( α αα + α) = α + α = α = α / dα che per = produce /. Notare che avremmo ottenuto il medesimo risultato massimizzando direttamente la (, α ).