3 L analisi sismica 3.1. EFFETTO DEL SISMA SULLE STRUTTURE

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1 3 L analisi sisica 3.1. EFFETTO DEL SISMA SULLE STRUTTURE Per quanto riguarda l effetto che il terreoto provoca sulle opere realizzate dall uoo, ed in particolare sulle strutture, si può seplicisticaente ricondurre tutto ad un rapido oviento del terreno su cui l edificio è fondato. Il suolo a sua volta deterina nella struttura l innesco di una serie di accelerazioni la cui intensità è ovviaente funzione dell entità della vibrazione sisica, della natura geologica del terreno e delle caratteristiche dei ateriali ipiegati. Le accelerazioni prodotte inducono sulla struttura alcune rilevanti forze d inerzia, ed essendo ogni edificio scheatizzabile coe un sistea elastico continuo a asse distribuite, esso risulterà soggetto ad un sistea di forze d inerzia distribuite, proporzionali alle asse strutturali dei singoli eleenti costituenti l edificio stesso. Inoltre il sisa non è un fenoeno statico (a forze costanti regolari), bensì dinaico, per cui le sollecitazioni indotte sulle strutture dal oto del terreno, sono variabili nel tepo e dipendono tanto dalle coponenti stesse del oto (orizzontali, verticali) che dalle caratteristiche geoetriche ed elastiche della struttura soggetta al sisa. Poiché la siulazione del coportaento strutturale in regie dinaico (analisi al passo) è olto onerosa, la norativa italiana consente due approcci seplificati che portano entrabi alla scheatizzazione dell azione sisica coe un insiee di forze orizzontali statiche, cioè costanti: l analisi statica l analisi dinaica odale. Si faccia attenzione a non confondere l analisi sisica odale con quella nodale, di cui si parlerà più avanti. La scelta tra le possibili diverse scheatizzazioni dell azione sisica è sostanzialente condizionata dall accuratezza desiderata per la soluzione, dal tipo di inforazioni disponibili e da quelle che si vogliono ottenere. L analisi strutturale di una costruzione civile, nei riguardi delle azioni sisiche, consiste innanzitutto nella deterinazione, attraverso un analisi dinaica, di un sistea di forze statiche, equivalenti ai assii effetti prodotti dal sisa, capaci cioè di deterinare sulla costruzione le stesse sollecitazioni assie che inducono le forze di inerzia durante il oviento sisico. Il secondo passo consiste nello studio statico della costruzione, considerata cioè sollecitata in aniera statica dal sistea di forze equivalenti al sisa, precedenteente valutato. In pratica le azioni dinaiche agenti nella struttura dovute all accelerazione delle asse, espresse dalla relazione: F(t) = a (t) = variabile vengono sostituite da azioni statiche equivalenti del tipo: F = cost

2 Le ipotesi fondaentali in base alle quali è possibile questa scheatizzazione sono tre: 1) nella pratica professionale non è necessario conoscere l andaento nel tepo delle caratteristiche di sollecitazione in ogni sezione dell eleento strutturale, a è sufficiente conoscerne il valore assio; ) nelle strutture tipiche dell ingegneria civile (ad esepio edifici per civile abitazione) le asse strutturali sono concentrate in assia parte in corrispondenza degli ipalcati (solai); 3) in alcuni casi (edifici in c.a.) gli ipalcati possono essere considerati eleenti indeforabili nel proprio piano, e quindi in grado di connettere rigidaente tutti i nodi strutturali giacenti su di essi. Un edificio è nella realtà un sistea elastico a asse distribuite. Chiaando in causa le ipotesi e 3, è però possibile, in aniera seplificata a realistica, scheatizzare l edificio nella sua interezza coe un insiee di eleenti di assa i (piani sisici) dotati di 3 gradi di libertà (spostaento X, spostaento Y e rotazione attorno all asse Z) connessi tra di loro per ezzo di eleenti elastici. Il sistea di riferiento enzionato, che è quello couneente adottato nella scheatizzazione strutturale, individua il piano orizzontale con gli assi X e Y, entre l asse Z verticale è diretto verso l alto. È quindi possibile valutare il coportaento dell edificio attraverso un odello più seplice ai fini del calcolo. Per controllare gli effetti sulle costruzioni bisogna studiare la dinaica delle strutture in pria approssiazione soltanto in capo elastico (se si analizzano terreoti di bassa intensità), a successivaente, volendo copletare lo studio anche per fenoeni di elevata entità evitando sovradiensionaenti eccessivi, sarà necessario passare a odelli elasto-plastici. Nei paragrafi seguenti si accenna ai principi basilari per lo sviluppo di un calcolo sisico su una struttura. 3.. OSCILLATORE ELEMENTARE Per eglio coprendere il coportaento dinaico di una struttura coplessa sottoposta all effetto sisico, si inizia con l analizzare quello del odello eleentare classico, couneente adottato coe schea basilare dell analisi strutturale: il telaio piano (due pilastri incastrati al piede che sorreggono in testa una trave orizzontale). Si tratta di un odello ad un solo grado di libertà, coposto da due piedritti di rigidezza k ed un traverso infinitaente rigido in cui è concentrata tutta la assa del sistea (pari al peso diviso l accelerazione di gravità g). 3

3 Se si ipone alla testa del piedritto uno spostaento orizzontale u 0 (rispetto alla posizione di riposo verticale) e successivaente lo si lascia libero, sul sistea si instaurerà un regie di oscillazioni libere, caratterizzate da una andaento sinusoidale nel tepo con un periodo di oscillazione T 0, che è il tepo che intercorre per perettere al traverso di copiere un oscillazione copleta e ritornare nella posizione iniziale. Tale periodo, detto anche periodo proprio dell oscillatore è legato alle due grandezze e k (assa e rigidezza) dalla seguente relazione: T = π 0 Graficaente l andaento dello spostaento del traverso (testa del piedritto) in funzione del tepo può essere rappresentato da una sinusoide coe quella in figura: k In questo schea si è assunto nullo l effetto dello sorzaento dello spostaento nel tepo. Questo sorzaento è dovuto a tutta una serie di fenoeni dissipativi dell energia che nel caso reale sono sepre presenti e che portano ad una graduale riduzione dell entità della deforazione. Quindi se al sistea in esae si associa anche l effetto di sorzaento di cui si è detto, si ottengono coe risultato alcune oscillazioni libere sorzate, ovvero con un apiezza che si riduce progressivaente nel tepo tendendo a zero. Anche la diensione del 33

4 periodo di oscillazione si riduce, seppure in aniera liitata; per questo otivo nelle applicazioni pratiche si trascura tale effetto, considerando sepre che il periodo proprio di vibrazione del sistea rianga costante nel tepo. Il coportaento che fin qui si è scheatizzato è quello di un sistea che, a causa di un effetto ipulsivo (ad es. un sistea che subisce un colpo) subisce una deforazione che, seguendo un andaento sinusoidale sorzato, tende gradualente a ridursi fino ad annullarsi del tutto, con una rapidità che è tanto più alta quanto aggiore è l effetto di sorzaento. Nella realtà ovviaente l effetto sisico non può essere considerato alla stregua di un effetto ipulsivo, in quanto il terreoto trasette alla struttura un sistea continuo di accelerazioni che si traducono in una successione di forze applicate con intensità e tepi a volte anche notevolente differenti tra di loro. Per siulare una situazione del genere si dovrà considerare l applicazione al sistea in esae di una forza di tipo sinusoidale, cioè variabile nel tepo, espressa dalla relazione sotto riportata: π Ft ( ) = F sin( ω t)= F sin t T definita da un valore assio della forza pari ad F e da una frequenza ω, cioè un periodo T. L applicazione di questa forza instaurerà sul sistea un regie di oscillazioni forzate il quale, dopo una pria fase iniziale in cui saranno presenti anche le oscillazioni libere sorzate, assuerà una fora analoga a quella delle oscillazioni libere, a con un periodo che adesso sarà quello della forzante, con uno sfasaento rispetto ad essa ed un apiezza delle oscillazioni che dipende dal rapporto F/k (F = valore assio della forza, k = rigidezza del sistea), dal rapporto dei due periodi α = T 0 /T (T 0 = periodo di vibrazione del sistea, T = periodo di oscillazione della forza) e dal coefficiente di sorzaento ξ. 34

5 Tale dipendenza è espressa dalla relazione seguente: ut ( ) = 1 ( 1 α ) + 4 ξ α F sin( ω t ψ)= A F sin ω t ψ K K ( ) essendo ψ l eventuale sfasaento rispetto all origine tra l oscillazione della forzante e quella della struttura, e A il fattore dinaico di aplificazione dello spostaento u(t). Nella figura a fianco è rappresentato l andaento di A al variare dei paraetri α e ξ. È interessante notare le seguenti osservazioni relative alle situazioni liite espresse nel diagraa sopra riportato: Caso 1 ξ = 0; α = 1 Per ξ = 0 (sorzaento nullo) e α = 1 (periodo della forzante uguale al periodo proprio della struttura, condizione detta di risonanza) la curva presenta un asintoto verticale, l apiezza delle oscillazioni cioè tende ad infinito. Questa è una condizione teorica, praticaente ai realizzabile nei casi couni in quanto è difficilissio che i due periodi coincidano esattaente ed è sepre presente un fattore di sorzaento diverso da zero. Caso ξ piccolo; α = 1 Per ξ piccolo e α = 1 l aplificazione è grande, a con valore finito. Questa è invece una condizione che si può verificare nella pratica, ed è quella più pericolosa per la stabilità delle strutture. Essa infatti porterebbe a conseguenze rovinose sulla costruzione per via della notevole entità delle deforazioni a cui essa andrebbe incontro. Più che l effetto sisico, sono azioni tipo il vento o carichi iposti variabili in aniera regolare (ad esepio la arcia di una copagnia ilitare a passo cadenzato) quelli che possono ingenerare il fenoeno della risonanza su costruzioni dalla particolare natura strutturale (i ponti sono il tipo di struttura più facilente soggetta a questo rischio). È quindi fondaentale progettare l opera facendo in odo che il periodo di vibrazione della struttura sia olto lontano da quello delle possibili forzanti a cui verrà sottoposta. Coe detto pria, per strutture di edifici ordinari questa condizione è pressoché irrealizzabile per la notevole differenza tra il valore del periodo del sistea e quello della forzante sisica. Caso 3 α = 1 Per α = 0 (periodo della forzante olto più grande del periodo proprio della struttura) la variazione della forza è di tipo quasi statica senza effetti di aplificazione dinaica; ciò si può espriere in terini ateatici con A = 1. La assa quindi segue la forza coe se si trattasse di tante condizioni statiche in sequenza. Caso 4 α Per α che tende ad infinito l aplificazione dinaica tende a zero; il sistea oscillante cioè, poiché la variazione della forzante è olto rapida, tende a non risentire dell effetto, coportandosi quindi coe se questa non fosse presente. 35

6 I tre casi generali in precedenza enzionati (oscillazioni libere, oscillazioni libere sorzate, oscillazioni forzate) possono essere ricondotti ad un unica equazione di equilibrio differenziale del sistea, in cui l assegnazione di valori nulli ad opportuni paraetri può portare alla rappresentazione dei casi singoli: con il seguente significato dei siboli adottati: ü forza d inerzia cu sorzaento di tipo viscoso ku forza di richiao elastico dei piedritti F sin(ω t) forzante esterna. ( ) u + cu + ku = F sin ω t Essendo inoltre u lo spostaento dell ipalcato, ü e u la derivata seconda e pria rispetto al tepo, ovvero l accelerazione e la velocità dello stesso. Il sisa però non è scheatizzabile coe una forzante esterna applicata in corrispondenza del traverso orizzontale del telaio che si sta considerando (coe erroneaente spesso si è portati a pensare), bensì coe uno spostaento iposto dal terreno alla fondazione della struttura. L equazione di equilibrio resta siile a quella sopra riportata, a, entre la forza viscosa e la forza elastica riangono sepre dipendenti dallo spostaento u, la forza d inerzia dipenderà dallo spostaento totale u t del traverso, quindi dalla soa degli spostaenti u g e u, essendo u g lo spostaento del terreno e u lo spostaento relativo del traverso (rispetto al piede del piedritto). L iagine sottostante chiarisce eglio il significato dei paraetri in gioco. L equazione di equilibrio assue la seguente fora: u + cu + ku = 0 t ( ug + u)+ cu + ku = 0 u + cu + ku = u = P g eq 36

7 Nell ultia equazione, P eq rappresenta il carico equivalente dovuto all eccitazione della base della struttura. Se si assue un andaento sinusoidale dello spostaento u g del terreno si ritorna al caso analizzato in precedenza ed è quindi possibile calcolare l entità dello spostaento assio. Quando la legge che descrive l andaento dello spostaento u g è una funzione qualunque, ed è quindi una funzione qualunque anche la sua derivata seconda, coe é effettivaente nel caso di un accelerograa del terreoto, sarà ancora possibile calcolare lo spostaento assio ediante una serie di integrazioni nueriche SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO La nuova nora sisica attribuisce un iportanza fondaentale al concetto di spettro di risposta. Dato un accelerograa, si definisce spettro di risposta dello spostaento S De un diagraa nel quale sono riportate, per assegnati valori dello sorzaento ξ, una serie di curve che espriono, in funzione del periodo proprio T 0 di un oscillatore eleentare, la risposta assia dell oscillatore stesso quando questo viene assoggettato all accelerograa utilizzato. Il concetto di spettro di risposta si può ovviaente estendere anche a sistei più coplessi, e quindi riferirlo anche all intera struttura da analizzare. Dallo spettro dello spostaento S De è possibile passare ad altri due tipi di diagrai, lo spettro delle velocità e quello delle accelerazioni. Indicati rispettivaente con S v e S a questi altri due spettri, vale la seguente espressione che li ette in relazione tra di loro: π π Sa( To, ξ) = Sv( To, ξ) = 4 SDe( To, ξ) T T o Nella figura sottostante è riportato la rappresentazione grafica dello spettro di risposta elastico delle accelerazioni ottenuto da isurazioni effettuate su sistei reali. L iagine ha lo scopo di ostrare l andaento indicativo del diagraa, a nell ipiego coune ovviaente verranno adottati diagrai più regolari e di più seplice utilizzo. Sul grafico rappresentato sono rappresentate diverse pseudo-curve, ciascuna delle quali è rife- 0 Spettro di risposta elastico 37

8 rita ad un valore differente di ξ, cioè a differenti livelli di sorzaento del sistea. Sull asse delle ascisse si trova il periodo T di vibrazione del sistea espresso in secondi, entre sull asse delle ordinate è indicato il rapporto S a /g, cioè l accelerazione a cui è soggetto il sistea, rapportata a quella di gravità g. Il concetto di spettro di risposta è di grande iportanza applicativa. Coe detto in precedenza, l effetto del sisa si anifesta sulla struttura sotto fora di un accelerazione al suolo, a per la risoluzione della stessa è necessario tradurre tale accelerazione in forzanti applicate agli ipalcati (o ai nodi) dell edificio. Se si considera una struttura costituita da un oscillatore seplice (in seguito verrà affrontato il problea di strutture coplesse a più gradi di libertà), assegnato un accelerograa di progetto, sarà possibile calcolare lo spostaento istante per istante soltanto con l ipiego di coplesse operazioni di integrazioni nueriche. Se invece si dispone dello spettro di risposta, il calcolo è iediato; infatti, una volta fissato il valore dello sorzaento ξ (di solito si fa riferiento ad un valore convenzionale del 5% - ξ = 0.05) e calcolato il periodo proprio della struttura T 0, si potrà facilente risalire traite il diagraa dello spettro al valore di S De che rappresenta l entità dello spostaento assio; oltiplicando questo valore per la rigidezza k si ottiene una forza F eq, che supposta applicata staticaente all oscillatore, produce la stessa sollecitazione assia. Nota questa sollecitazione, si potrà quindi passare alla verifica di resistenza della struttura. In generale le norative sisiche forniscono gli spettri di risposta in terini di accelerazioni S a piuttosto che di spostaenti S De, a ricordando la relazione precedente si riescono ad ottenere le forzanti a partire dallo spettro delle accelerazioni: T0 Feq = k SDe( To, ξ) = k Sa ( To, ξ) 4 π Se nella forula in questione si sostituisce la variabile T 0 con la sua espressione in funzione della rigidezza k e della assa data dall espressione seguente: T = π 0 k si otterrà la relazione di seguito riportata: Feq = Sa ( To, ξ) Il calcolo della forza equivalente diventa così olto seplice: è infatti uguale al prodotto della assa per la assia accelerazione efficace S a letta sullo spettro in funzione del periodo T 0 e dello sorzaento ξ SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Estendendo quanto detto in precedenza relativaente all oscillatore seplice ad un telaio più coplesso (per esepio un telaio Shear Type ultipiano, equivalente allo schea precedente a con n piani rigidi collegati da piedritti di rigidezza k i ) si otterrà un sistea di n equazioni di equilibrio ad n incognite (u i ), che, in fora atriciale, potrà essere rappresentato nella fora seguente: MU + CU + KU = u MR g 38

9 in cui M, C e K sono tutte atrici quadrate di ordine n, U il vettore degli spostaenti di piano con le sue derivate prie e seconde rispetto al tepo, ed R il vettore direzione del sisa (nel caso di telaio piano un vettore forato da tutti 1). Questo sistea di equazioni è coposto da equazioni differenziali tra di loro accoppiate e quindi di non facile risoluzione. La soluzione del sistea si seplifica se si esprie il oto globale della struttura in funzione dei odi di oscillazione libera del sistea. Per chiarire il significato fisico di oscillazione libera, si provi a deforare un sistea elastico, lasciandolo poi libero di oscillare. In generale si vedrà ogni piano deforarsi in aniera indipendente dagli altri. Se si applica però una particolare deforata iniziale, si vedranno i piani oscillare conteporaneaente in aniera proporzionale gli uni agli altri e con un periodo di vibrazione T ben definito. Tali deforate sono dette anche odi principali di vibrare del sistea. Nell iagine seguente è rappresentato un sistea elastico (telaio ultipiano) nella posizione indeforata, e così coe si defora secondo alcuni dei odi principali di vibrare. I odi principali del sistea, godono di una proprietà fondaentale: Qualunque deforazione assunta dal sistea per effetto di una forzante F può essere descritta coe cobinazione lineare dei odi principali di vibrare. È quindi sufficiente conoscere i odi principali di una struttura, per risalire a qualunque possibile deforazione della stessa. Nella realtà le deforate associate ai odi principali non sono necessariaente deforazioni reali del sistea, a grandezze che, coposte insiee, forniscono la deforata effettiva della struttura soggetta a dati carichi. Ci saranno alcuni odi che avranno un influenza aggiore rispetto ad altri nella generazione della deforata globale. Per chiarire eglio questo concetto si ipotizzi di avere un sistea strutturale con solo tre odi di vibrare (tre fore odali), che siano già stati calcolati precedenteente, espriibili in fora vettoriale coe segue: Φ1 = Φ = 0 Φ3 =

10 Il capo degli spostaenti può essere scritto coe cobinazione dei tre odi nella seguente fora: U(t) = y 1 (t) Φ 1 + y (t) Φ + y 3 (t) Φ 3 La cobinazione è ottenuta dalla soa delle fore odali oltiplicate per dei coefficienti funzioni del tepo y i (t). Si fissi l attenzione ad un certo istante t 0 quando l entità della deforazione è data dal seguente vettore: 1 Ut ( 0 ) = 15. In fora grafica, il tutto si può tradurre, tenendo conto dei valori dei tre odi di vibrare pria riportati, coe rappresentato nell iagine seguente: U(t 0 ) = y 1 (t 0 ) * Φ1 + y (t 0 ) * Φ + y 3 (t 0 ) * Φ 3 Lo spostaento totale è cioè ottenuto coe coposizione dei tre odi principali, con l ipiego di opportuni coefficienti oltiplicativi. Esplicitando le singole coponenti e sostituendo i valori nuerici noti si ottengono le tre seguenti relazioni: 1 = y 1 (t 0 ) * 1 + y (t 0 ) * 1 + y 3 (t 0 ) * 1 = y 1 (t 0 ) * + y (t 0 ) * 0 + y 3 (t 0 ) * ( 1) 1.5 = y 1 (t 0 ) * 3 + y (t 0 ) * ( 1) + y 3 (t 0 ) * 1 Risolvendo il sistea di tre equazioni a tre incognite si ottengono i seguenti valori per i coefficienti y(t): y 1 (t 0 ) = 13/16 y (t 0 ) = 9/16 y 3 (t 0 ) = -3/8 40

11 I odi di vibrare soddisfano un iportante proprietà, detta di ortogonalità, per la quale valgono le seguenti relazioni: Φ i t M Φ j = 0 (se i è diverso da j) Φ i t M Φ i = i Φ i t K Φ j = 0 (se i è diverso da j) Φ i t K Φ i = k i ricordando che M e K sono rispettivaente le atrici delle asse e delle rigidezze. Se l equazione di equilibrio globale viene preoltiplicata per Φ i t e ipotizzando che la atrice dello sorzaento C possa essere espressa coe cobinazione lineare di K e M, cioè: C = a K + b M si ottengono le equazioni del oto disaccoppiate nelle coordinate principali y i y + cy + ky = lu i i i i i i i g dove l i = Φ i t MR è chiaato coefficiente di eccitazione odale o di partecipazione. Esso fornisce il peso che ha quel particolare odo nel calcolo degli spostaenti e delle forze per il sisa caratterizzato dalla direzione R. Avere disaccoppiato il problea significa poter trattare la struttura coe se si avessero n sistei ad un grado di libertà indipendenti (ovvero n oscillatori seplici) di cui si è precedenteente visto coe calcolare il vettore delle forze equivalenti e di conseguenza le sollecitazioni nodali. In questo odo si riconduce ad una fora seplice, e quindi facilente risolvibile, qualunque sistea strutturale anche olto coplesso. Deterinate le risposte odali assie, per effettuare la cobinazione non è realistico soare tutti i contributi assii, poiché tali valori non si presentano conteporaneaente. Sono stati proposti pertanto diversi etodi di cobinazione. Quello iposto dalla norativa italiana, e più frequenteente adoperato, utilizza la edia quadratica della grandezza considerata (forza o spostaento). Ogni grandezza di interesse viene quindi in questo odo valutata coe edia quadratica dei valori assii odali: s ax = s i i ax La soatoria andrebbe estesa a tutti i odi di vibrazione, a l operazione, oltre che più pesante, sarebbe superflua, poiché i contributi principali vengono soprattutto dai prii odi (quelli aventi periodo con valore più elevato). Per deterinare il nuero inio di odi, già la norativa sisica introdotta dal D.M. del gennaio 1996 ha previsto che la assa sisica eccitata dovesse essere aleno pari all 85% della assa totale della struttura. Quindi sarà sufficiente considerare un nuero di odi di vibrare tale che la soa della percentuale di assa eccitata da ciascun odo non sia inferiore all 85% della assa totale. Per chiarire eglio questo punto bisogna introdurre il concetto di assa odale efficace, che rappresenta la assa sisica eccitata da un singolo odo. La soa di tutte le asse odali efficaci fornisce la assa totale della struttura, ovvero: 41

12 tot = con la soatoria estesa a tutti i odi. Estendendo invece la soatoria ad un nuero inore di odi si ha: i eff i eff tot 1 le suddette nore indicano coe nuero di odi inio quello per cui è verificata la seguente espressione: i eff tot 085. La forula che fornisce la assa odale efficace è: essendo l i il coefficiente di partecipazione odale e i la assa odale generalizzata definiti precedenteente. Questa forula già contenuta nella norativa italiana e conferata anche dall Ordinanza n. 374 del 003 fornisce buoni risultati solo qualora i periodi T dei vari odi di vibrare siano abbastanza differenti tra di loro (Τ i < 0.9 Τ j ). Nell ipotesi di periodi poco diversi o addirittura coincidenti, l Ordinanza, coe pure l Eurocodice 8, consiglia un altra forula di cobinazione: la Cobinazione Quadratica Copleta (CQC): essendo ρ ij il coefficiente di correzione definito dalla seguente relazione: con il seguente significato dei siboli adottati: ρ i j i eff = li ( i j i j) E = ρ E E 1/ 3/ ( 8 ξ ( 1+ βi β j ) i j ) = (( 1 β i j ) + 4 ξ βi + β j ( 1 i j ) ) i β i j ωi = ω j (rapporto delle pulsazioni) ω i ' T i π = (pulsazione) 4