Liceo scientifico comunicazione opzione sportiva

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1 PROVA D ESAME SESSIONE ORDINARIA 7 Liceo scientifico counicazione opzione sportiva Il candidato risolva uno dei due problei e risponda a quesiti del questionario. Durata assia della prova: ore. È consentito l uso di calcolatrici scientifiche e/o grafiche purché non siano dotate di capacità di calcolo sibolico (O.M. n. 7 Art.8 coa 8). PROBLEMA Fissato! R, la funzione g è così definita: g ^h - e si indica con C il suo grafico, in un riferiento cartesiano O.. Traccia i seguenti grafici: C-, C, C, C4 e C9.. Stabilisci, al variare di in R, se vi sono, e quanti sono, gli asintoti verticali e se vi sono assii o inii. Descrivi quindi, a seconda del valore di, qual è l andaento della funzione g, tracciandone un diagraa indicativo.. Diostra che, per qualunque diverso da da 4, la retta passante per i punti di intersezione tra C e gli assi cartesiani è tangente a C nel suo punto di ascissa nulla. 4. Detti A e B i punti di intersezione tra C 9 e gli assi cartesiani, sia G la regione piana deliitata dai segenti OA e OB e dall arco di C 9 di estrei A e B. Deterina l area di G e il volue del solido generato dalla rotazione di G attorno all asse. PROBLEMA Consideriao la funzione f : R " R periodica di periodo T 4 il cui grafico, nell intervallo [; 4], è il seguente: A B O C E 4 D Figura Coe si evince dalla figura, i tratti OB, BD, DE del grafico sono segenti i cui estrei hanno coordinate: O(; ); B(; ); D(; -); E(4; ).. Stabilisci in quali punti del suo insiee di definizione la funzione f è continua e in quali è derivabile e verifica l esistenza dei liiti: f^h li f^h e li " " ; qualora esistano, deterinarne il valore. Zanichelli Editore, 8

2 Rappresenta inoltre, per! ; 4@, i grafici delle funzioni: g^h fl^h, h^h f^thdt.. Considera la funzione: s^h sin^bh con b costante reale positiva; deterina b in odo che s^h abbia lo stesso periodo di f^h. Diostra che la porzione quadrata di piano OABC in figura viene suddivisa dai grafici di f^h e s^h in parti distinte e deterina le probabilità che un punto preso a caso all interno del quadrato OABC ricada in ciascuna delle parti individuate.. Considerando ora le funzioni: f^h e s^h discuti, anche con argoentazioni qualitative, le variazioni (in auento o in diinuzione) dei valori di probabilità deterinati al punto precedente. 4. Deterina infine il volue del solido generato dalla rotazione attorno all asse della porzione di piano copresa tra il grafico della funzione h per! [; ] e l asse delle. QUESTIONARIO Definito il nuero E coe: E e d, diostrare che risulta: ed e-e, ed espriere ed in terini di e ed E. 4 Una torta di fora cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di fora seisferica. Diostrare che la torta occupa eno dei del volue della seisfera. Sapendo che: a b - li " deterinare i valori di a e b. Per sorteggiare nueri reali nell intervallo [; ] viene realizzato un generatore di nueri casuali che fornisce nueri distribuiti, in tale intervallo, con densità di probabilità data dalla funzione: f 4 ^ h -. Zanichelli Editore, 8

3 Quale sarà il valore edio dei nueri generati? 4 Qual è la probabilità che il prio nuero estratto sia? Qual è la probabilità che il secondo nuero estratto sia inore di? Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione: f^h sin^h cos^h nel punto di ascissa r. Deterinare il nuero reale a in odo che il valore di li sin - " a sia un nuero reale non nullo. Stabilire se la funzione: f^h - 8 è continua nell intervallo -; -@ e se, nello stesso intervallo, è dotata di inio e assio assoluto. Un dado ha la fora di un dodecaedro regolare con le facce nuerate da a. Il dado è truccato in odo che la faccia contrassegnata dal nuero si presenti con una probabilità p doppia rispetto a ciascun altra faccia. Deterinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in lanci del dado la faccia esca aleno volte. Diostrare che l equazione: arctan e ha una e una sola soluzione reale. Data la funzione: f^h 4 - verificare che essa non soddisfa tutte le ipotesi del teorea di Rolle nell intervallo [-; ] e che counque esiste aleno un punto dell intervallo [-; ] in cui la derivata pria di f^h si annulla. Questo esepio contraddice il teorea di Rolle? Motivare la risposta in aniera esauriente. Zanichelli Editore, 8

4 SOLUZIONE SESSIONE ORDINARIA 7 Liceo scientifico counicazione opzione sportiva PROBLEMA Osservazione preliinare. Il secondo punto del problea chiede di studiare asintoti, inii e assii della funzione g ^h - al variare di e di tracciare i relativi grafici, entre il prio punto chiede di tracciare i grafici delle funzioni per i valori particolari -,,, 4, 9. Anziché studiare le funzioni particolari, e poi rieseguire lo studio nel caso generale, preferiao allora studiare pria le funzioni per generico, ottenendo così al contepo i risultati per i valori particolari richiesti di.. e. Studiao la funzione g ^ h esainando i casi che si possono presentare al variare di. Caso. In questo caso, il denoinatore - è sepre positivo. Doinio: R. Intersezione con gli assi: ; * - " * " a k; * - " ) - " ^ ; h; Segno della funzione: - " - ". Coportaento della funzione agli estrei del doinio: li "! -, quindi è asintoto orizzontale sia a destra sia a sinistra. Derivata pria: gl ^h Studiao il segno: - -^- h ^ - h ^ - h gl ^h " - 4- " - 4. L equazione associata aette soluzioni: - 4 "! 4- in quanto e il radicando è positivo. Risulta allora: gl ^h " Copiliao lo schea dei segni. per λ < g' λ () g λ () Figura 4 λ 4 λ a in a 4 Zanichelli Editore, 8

5 La funzione g ^h, per, ha un inio di ascissa - 4- e un assio di ascissa 4-. Il calcolo e lo studio del segno della derivata seconda risulta coplesso e lo tralasciao. Per le inforazioni già ricavate g ^h possiao counque dedurre che la funzione presenta tre flessi a tangente obliqua: uno per - 4-, uno per 4- e un altro copreso fra i due valori indicati. Coe grafico rappresentativo della classe disegniao quello relativo a -, che è uno dei grafici richiesti al prio punto del problea. In particolare, C - presenta i punti di inio e assio rispettivaente in - 4-^- h - e 4-^- h, e interseca l asse delle ordinate in -. 4 O Γ 4 Figura Caso. La funzione da studiare è g^h -. Doinio:,. Intersezione con gli assi: - * " ( " ^ ; h. Segno della funzione: " - ". Coportaento della funzione agli estrei del doinio. li "!, quindi è asintoto orizzontale sia a destra sia a sinistra. li -, quindi è asintoto verticale sia a destra sia a sinistra. "! Derivata pria: gl ^h -^- h Zanichelli Editore, 8

6 Copiliao il grafico dei segni. La funzione g^h non ha un inio relativo; presenta invece un assio relativo per 4. per λ 4 4 g' () g () Derivata seconda: 4 g - - ^ - h ll ^ h La derivata seconda è negativa per e positiva per, quindi la funzione volge la concavità verso il basso per, verso l alto. Disegniao il grafico C della funzione. Figura 4 a 4 O 4 Γ 7 Figura Caso 4. In questo caso il denoinatore si può scoporre nella fora - ^- h^ h, con. Nella funzione g ^h ^- h^ fattore a denoinatore. il nueratore non si seplifica con alcun h Doinio: Procedendo coe nel caso troviao le intersezioni con gli assi: a ; k e ^ ; h. Segno della funzione: ". - ^- h^ h Copiliao lo schea dei segni. La funzione assue valori positivi per -. Coportaento della funzione agli estrei del doinio. li, quindi è asintoto orizzontale sia "! - a destra sia a sinistra. per < λ < 4 λ λ g λ () Figura λ λ Zanichelli Editore, 8

7 Per "! la funzione tende a infinito, perché il nueratore tende a un valore finito diverso da zero entre il denoinatore tende a zero. Per il teorea della peranenza del segno otteniao: li g ^h -, li g - ^ h, li g ^h, li g - - ^ h. "- Le rette di equazione "- " - e sono asintoti verticali per la funzione. Il calcolo della derivata pria coincide con quello svolto nel caso ; è dunque gl ^h - 4- ^ - h gl ^h " " Osserviao che anche in questo caso è 4-, perché 4. La funzione g ^h, per 4, ha un inio di ascissa - 4-, (copresa fra e ) e un assio di ascissa 4-. Tralasciao anche in questo caso il segno della derivata seconda. Per le inforazioni ricavate possiao counque dedurre che la funzione g ^h presenta sicuraente un flesso a tangente obliqua 4-. Coe grafico rappresentativo della classe 4 disegniao quello relativo a. In particolare, C presenta i punti di inio e assio rispettivaente in - 4-, e 4-, e interseca l asse delle ordinate in. Γ O 4 Figura 7 Caso 4. La funzione da studiare è g4 ^h. - 4 Doinio: Il denoinatore si può scoporre, e la funzione seplificare: g4 ^h ^- h^ h. La funzione riane non definita in, dove però presenta una discontinuità eliinabile ponendo g4 ^h 4. Nel seguito, consideriao la funzione con la discontinuità eliinata. Intersezione con gli assi: * " * " ; ` j; * " ipossibile. Segno della funzione: " " -. 7 Zanichelli Editore, 8

8 Coportaento della funzione agli estrei del doinio. li "! - 4, quindi è asintoto orizzontale sia a destra sia a sinistra. li!, quindi - è asintoto verticale sia a destra sia a sinistra. "-! La derivata pria gl ^h - ^ h 4 è sepre negativa, quindi la funzione è sepre decrescente e non presenta inii o assii relativi. La derivata seconda gll 4 ^h ^ h è positiva per - ; la funzione volge la concavità verso l alto per - e verso il basso per -. Disegniao il grafico plausibile C 4. 4 O 4 Γ 4 Figura 8 Caso 4. Anche in questo caso il denoinatore si può scoporre con la differenza di quadrati e nella funzione g ^h il nueratore non si seplifica con alcun fattore a denoinatore. ^- h^ h Doinio: R - " - ;,, con. Intersezione con gli assi: a ; k; ^ ; h. Segno della funzione: ". - ^- h^ h Copiliao lo schea dei segni. La funzione assue valori positivi per -. 8 per λ > 4 λ λ g λ () Figura 9 λ λ Zanichelli Editore, 8

9 Coportaento della funzione agli estrei del doinio. li, quindi è asintoto orizzontale sia a destra sia a sinistra. "! - Coe nel caso 4, per "! la funzione tende a infinito, perché il nueratore tende a un valore finito diverso da zero entre il denoinatore tende a zero. Le rette di equazione - e sono asintoti verticali per la funzione. La derivata pria si presenta sepre nella fora gl ^h ^ - h In questo caso, però, il nueratore è sepre negativo (poiché 4) e quindi la derivata pria è sepre negativa. La funzione g ^h, per 4, è sepre decrescente e non ha inii o assii relativi. Tralasciao anche in questo caso il segno della derivata seconda; per quanto ricavato, possiao counque dedurre che la funzione g ^h presenta un flesso a tangente obliqua per -. Coe grafico rappresentativo della classe 4 disegniao quello relativo a 9. Γ 9 4 O 4 Figura. Per diverso da e da 4, il grafico C interseca gli assi cartesiani in a; k e ^ ; h. La retta r che li congiunge ha equazione: r : -. Per diverso da e da 4, inoltre, è gl ^h C nel punto di ascissa nulla vale dunque: gl ^h - -. Il coefficiente angolare di r è uguale a g l ^ h e r passa per il punto a; k di C di ascissa nulla, quindi r è la tangente a C nel suo punto di ascissa nulla. 4. Nel caso particolare 9, il grafico C 9 interseca gli assi cartesiani in Aa; 9 k e B^ ; h ; il coefficiente angolare della retta tangente a ^ - h 9 A O Γ 9 B Figura 9 Zanichelli Editore, 8

10 L area della regione G sottesa al grafico di C 9 fra i punti A e B è data dall integrale: A d. - 9 Sviluppiao la funzione integranda nella fora: - 9 ^- h^ h C D C^ h D^- h - ^- h^ h ^C Dh ^C- Dh ^- h^ h da cui: C D C -D C ( " ( " * C- D - -D- D - D. L integrale dell area diventa allora: A d ln ` $ - $ j 8 - ln B ln ` l ln j- ` ln ln j ln - ln - 4,. Il volue del solido ottenuto dalla rotazione di G attorno all asse è invece dato, col etodo dei gusci cilindrici, dall integrale: V r $ d. - 9 Sviluppiao la funzione integranda: $ Coe pria, scriviao la frazione coe soa di due frazioni con denoinatori lineari: 9-9- E F E^ h F^- h ^E Fh ^E- Fh , ^ h^ h ^- h^ h ^- h^ h E F - E - - F E - - F E ( " ( " ( " * E- F 9 E- F --F- F. F - L integrale diventa: V r ` $ - - $ jd r8 ln - - ln B r: ` ln l - ln j-` ln - ln jd r` - ln ln j -, 9. PROBLEMA Vedi lo svolgiento del problea della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. Zanichelli Editore, 8

11 QUESTIONARIO 4 Vedi lo svolgiento del quesito della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. Vedi lo svolgiento del quesito della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. Vedi lo svolgiento del quesito della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. Vedi lo svolgiento del quesito 4 della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. La retta tangente al grafico di f^h sin cos nel punto di ascissa r ha equazione: fl^ h^- h f^ h. Calcoliao: f^h f^rh sinr cos r - -; fl^h cos- sin " fl^h f l^rh cosr- sin r La retta tangente cercata ha equazione: -^-rh - " - r-. 7 Vedi lo svolgiento del quesito della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. La funzione f^h è definita per: - 8-8! "! 8 "!!, con - - 8,. - La funzione non è quindi definita nel punto! -; -@ e pertanto non è continua in tale intervallo. Nel punto la funzione presenta una discontinuità di terza specie eliinabile, poiché possiao seplificarla nel seguente odo: f^h - 8 ^ h^- h " f^h. La funzione assegnata f^h coincide pertanto con f^h su -; -,@ - ; -@, e vale il liite: li f^h f ^- h - " ,. In -; -@, il terine è decrescente e negativo. Inoltre f^- h f^- h ,, f^- h f^- h ,. Zanichelli Editore, 8

12 Possiao concludere che f^h in -; presenta un assio assoluto in - e un inio assoluto in -. O 4 Figura 8 9 Vedi lo svolgiento del quesito 8 della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. Vedi lo svolgiento del quesito 9 della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. Vedi lo svolgiento del quesito della prova per il Liceo Scientifico e per il Liceo Scientifico Opzione Scienze Applicate, sessione ordinaria 7. Zanichelli Editore, 8