I.T.I. Modesto PANETTI B A R I

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1 I.T.I. Modesto PAETTI B A R I Via Re David, BARI Fa Intranet - Internet eail : [email protected] Introduzione Analisi statistica Fenoeni aleatori Dispensa per gli alunni della classe 3ETB Prof. Ettore Panella Un sistea si dice deterinistico se è possibile descriverne il coportaento ediante rigorose forule ateatiche. È questo il caso del oto dei pianeti intorno al sole descritto dalle note equazioni della gravitazione di ewton ediante le quali si può deterinare l esatta posizione del pianeta nel tepo. Un sistea si dice probabilistico o stocastico o aleatorio se non è possibile prevedere con certezza i suoi stati futuri a se ne può solo valutare la probabilità. Ad esepio nel gioco del lotto non è possibile prevedere con certezza i nueri estratti a si può solo calcolare la probabilità che si verifichi una certa estrazione. Lo studio dei sistei stocastici deve, pertanto, utilizzare opportune procedure ateatiche atte a fornire i necessari eleenti di valutazione del sistea. La teoria dei giochi, lo studio degli errori nelle isure e l analisi statistica sulle popolazioni sono esepi di sistei stocastici. In questa breve nota si descrivono i etodi fondaentali che sono alla base dello studio dei sistei stocastici. Per approfondienti si rianda a testi specialistici. Probabilità e Frequenza Si definisce probabilità di un evento p il rapporto tra il nuero dei casi favorevoli F e il nuero dei casi possibili P : F p () P Ad esepio, nel lancio di una oneta con due facce, testa e croce, la probabilità che esca testa si calcola tenendo conto che: F e P per cui: p In percentuale p 50 % La probabilità è sepre un nuero inore di. Probabilità p equivale alla certezza. Si definisce frequenza di un evento f il rapporto tra il nuero di volte che l evento si verifica V e il nuero totale di prove effettuate T. 0.5

2 f V T Teorea di Bernulli o Legge dei grandi nueri. Il valore della frequenza tende a quello della probabilità al tendere del nuero delle prove all infinito. p li f Ad esepio, se si lancia una oneta 00 volte si isura che si è ottenuta testa 49 volte. Si ha: f V T P In percentuale f 49 % e non 50 %. Effettuando un nuero di prove olto più elevato si può ricavare che f 50%. Distribuzione di probabilità Si definisce distribuzione di probabilità il grafico della probabilità in funzione del valore assunto dalla variabile aleatoria. Ad esepio in un lancio di un dado l evento è l estrazione di un nuero copreso tra e 6 e la relativa probabilità è p /6. In fig. si riporta l istograa relativo alla distribuzione di probabilità. Tale distribuzione è detta unifore poiché la probabilità è la stessa per tutti gli eventi. Fig. - Distribuzione di probabilità per il lancio di un dado. Si consideri il lancio di dadi e l evento di cui si vuole studiare la probabilità sia quello relativo al calcolo della soa dei nueri usciti su ciascun dado. Tale soa può assuere tutti i valori interi copresi tra e. ella seguente tabella si riportano le possibili estrazioni.

3 DADO DADO Appare evidente che gli eventi possibili sono 36 per cui la probabilità associata a ciascun evento si deve calcolare applicando la definizione (). Ad esepio l evento relativo alla soa pari a si verifica solo se ciascun dado fornisce il valore 6. Il nuero di casi favorevoli è per cui la relativa probabilità vale: p() /36. La soa uguale a 7 si può ottenere in 6 situazioni diverse per cui la relativa probabilità vale: p(7) 6/36. In fig. si ostra la distribuzione di probabilità per questo esepio. Fig.. - Distribuzione di probabilità per il lancio di dadi. In questo caso la distribuzione di probabilità è non unifore poiché gli eventi non sono tutti equiprobabili. In tutti i casi è facile verificare che la soa delle probabilità deve valere (evento certo). p i Le distribuzioni di probabilità descritte precedenteente si riferiscono a sistei discreti poiché la variabile aleatoria può assuere un nuero di valori finito e la relativa rappresentazione grafica è un istograa. Esistono sistei nei quali la variabile aleatoria può assuere infiniti valori all interno di un deterinato intervallo. Si pensi alla isura di una grandezza fisica coe la tensione di uscita di un i 3

4 aplificatore. In questo caso ripetendo la isura più volte si possono trovare innuerevoli valori dovuti agli inevitabili errori sisteatici e casuali. ei sistei continui la distribuzione di probabilità è una curva continua e viene definita coe curva della densità di probabilità. In fig. 3 si ostra il grafico della densità di probabilità per variabile aleatoria continua secondo la distribuzione di Gauss. Tale distribuzione è nota anche coe distribuzione norale. D() - σ + σ Fig Distribuzione di Gauss. La curva di Gauss ha una caratteristica fora a capana e l espressione ateatica che la descrive vale: D() e σ π ( σ I terini e σ sono denoinati rispettivaente valore edio e deviazione standard (standard deviation). Il quadrato della deviazione standard è noto coe varianza. Da quanto detto appare evidente che l area sottesa dalla curva di Gauss rappresenta la probabilità totale associata al fenoeno aleatorio e pertanto deve valere. La distribuzione di Gauss riveste una notevole iportanza pratica poiché nuerosi fenoeni fisici di tipo probabilistico seguono tale distribuzione. A tale categoria appartengono gli errori sperientali nelle isurazioni di grandezze fisiche. Media e Deviazione Standard Quando si esegue una isurazione di una qualunque grandezza fisica si coettono inevitabilente degli errori. Tali errori vengono, noralente, classificati in : Errori sisteatici: hanno sepre uguale apiezza e segno e sono dovuti a struenti di isura alterati, approssiazioni introdotte in conseguenza a relazioni che legano i paraetri da isurare, inserzioni di struenti ecc; Errori accidentali: hanno apiezza e segno variabili e sono dovuti a variazioni abientali ed atosferiche, vibrazioni eccaniche indesiderate durante la lettura dei dati, iperizia dello sperientatore (errore di parallasse), attriti eccanici, capi agnetici ed elettrici esterni, ecc. La soa algebrica di questi errori tende a zero se la isura viene ripetuta olte volte; Errori di insensibilità: sono causati dalla incapacità dello sperientatore e degli struenti di isura di apprezzare variazioni inferiori ad un certo liite. ) 4

5 Gli errori sisteatici si possono, in parte, copensare se si conosce la classe di precisione degli struenti e se si pone cura nella esecuzione delle isure. Gli errori accidentali, invece, non si possono valutare a priori dato il loro carattere del tutto aleatorio. Per copensare in parte tali errori si ricorre alla isura ripetuta della grandezza fisica. Indicando con:,,. isure su una grandezza fisica, con sufficienteente grande, si definisce valore edio e si indica con o con µ o con la quantità: i i Si diostra che il valore edio rappresenta la igliore stia della isura nel senso che esso pur non rappresentando il valore vero della grandezza (ipossibile da trovare a causa degli errori) è senza dubbio quello più probabile. Si definisce scarto dalla edia s i per una generica isura i la quantità: s i i - Ovviaente gli scarti possono assuere valori sia positivi che negativi. Lo scarto dalla edia è noto anche coe errore assoluto della isura. Si definisce errore relativo ε r % : ε % r i 00 La definizione di scarto dalla edia consente di introdurre il concetto di standard deviation σ che rappresenta l incertezza edia delle isure. Tale paraetro si valuta con la seguente forula: σ ( i i ) Si considerano gli scarti al quadrato per non tener conto del loro segno, entre il terine - a denoinatore si giustifica tenendo conto che nel caso di una sola isurazione si ha una fora indeterinata per cui non è possibile, coe è giusto che sia, valutare σ. Si vuole sottolineare che la teoria che si sta sviluppando è valida e fornisce buoni risultati solo nel caso di nuerose isurazioni. Si può diostrare che la probabilità p che una isurazione sia copresa tra: σ < < + σ : vale p 68.7 % σ < < + σ : vale p % 3σ < < +3σ : vale p %. In altre parole se le isure sono distribuite secondo la curva di Gauss e si ripetono un nuero elevatissio di volte allora circa il 68 % di tali isure si addensa nell intervallo ± σ. 5

6 Errore quadratico edio della edia o Deviazione Standard della edia Se si effettuano isure di una deterinata grandezza fisica si è detto che il valore edio rappresenta il valore più probabile rispetto al valore vero e che la standard deviation caratterizza l incertezza edia delle singole isure. Si può diostrare che l incertezza edia sul risultato finale risulta essere pari alla deviazione standard divisa per la radice quadrata di. In forule: σ σ ( i i ( ) ) Tale paraetro è noto con olti noi coe errore standard o errore standard della edia o errore quadratico edio della edia o deviazione standard della edia. Ad esepio supponiao di eseguire un certo nuero di isure di una tensione e di ottenere i seguenti valori: 5.3 e σ 0. e segue che il valore della tensione è copreso tra: 5.3 ± 0. con una probabilità di circa il 68 % Oppure che il valore della tensione è copreso tra: Mentre è copreso tra: 5.3 ± 0.4 con una probabilità di circa il 95 % 5.3 ± 0.6 con una probabilità di circa il 99 % che rappresenta la quasi certezza. È chiaro che se l errore quadratico edio della edia è piccolo vuol dire che si sono effettuate delle buone isurazioni con piccoli errori accidentali. In tal caso la curva di Gauss risulta essere olto stretta. In conclusione si può afferare che in una serie di isure di una variabile aleatoria in cui prevale l errore accidentale il risultato della isura si può ritenere pari al valore edio con una grado di incertezza desuibile dalla conoscenza dell errore quadratico edio della edia. Cifre significative Il nuero di cifre significative fornisce una indicazione approssiata dell errore relativo. Ad esepio, consideriao i nueri: 0 e 950 Entrabi sono accurati a cifre significative. Per cui si ha: 0 ± 5 all incirca si può scrivere: 0 ± 5 % Per il nuero 950, sepre con cifre significative, si ha: 950 ± 5 all incirca si può scrivere: 950 ± 0.5% 6

7 Si ricava che l errore relativo associato a cifre significative varia tra lo 0.5% e il 5% a seconda del valore della cifra più significativa. Con analogo ragionaento si ricava che se il nuero è espresso con cifra significativa l errore relativo è copreso tra il 5% e il 50%, entre con 3 cifre significative l errore relativo è copreso tra lo 0.05% e lo 0.5%. Propagazione degli errori Spesso il risultato di una isura è ottenuto coe risultato di una relazione ateatica tra grandezze isurate separataente ediante struenti. Ad esepio la isura di una tensione può essere ottenuta coe prodotto tra due isure indipendenti; una isura di resistenza e una di corrente: V RI. L errore sul risultato dipende dagli errori sulle singole isurazioni. Supponiao che X e Y siano i valori edi ottenuti su due grandezze con errori pari a ε X e ε Y e che tali valori siano utilizzati per calcolare il risultato Z di una grandezza funzione di X e Y. Si pone: Z f(x,y) Si può diostrare che se: la relazione è di soa o sottrazione allora Z X ± Y con errore ε Z ε + ε Y la relazione è di prodotto allora Z X Y con errore ε Z ε + ε Y la relazione è di quoziente allora Z X/Y con errore ε Z ε + ε Y Si osservi che nei precedenti casi gli errori si soano. Esepio. Due resistenze R 000 Ω e R 500 Ω con tolleranza (errore relativo) al 5% sono collegate in serie. Deterinare la resistenza totale. Risoluzione La resistenza totale è la soa delle resistenze: R T R +R 500 Ω. L errore assoluto su ciascuna isura vale: ε R 50 Ω e ε R 5 Ω. L errore totale risulta ε RT 75 Ω. Pertanto si ha: R T (500 ± 75) Ω con errore relativo percentuale sepre del 5%. Altri due interessanti casi sono: se una isura X con errore ε X è utilizzata per valutare il prodotto Z K X con K costante priva di errore. Si ha: Z K X con errore ε Z K ε X se una isura X con errore ε X è utilizzata per valutare la potenza Z X K con K costante priva di errore. Si ha: Z X K con errore ε Z K ε X 7

8 Caratteristiche degli struenti di isura I paraetri caratteristici degli struenti di isura sono: Linearità. È la capacità dello struento di fornire uguali cabiaenti in corrispondenza di uguali variazioni della grandezza da isurare; Portata. Rappresenta la assia isurazione aessa; Potere risolutivo. È la inia variazione della grandezza di ingresso apprezzabile; Stabilità. È la capacità di antenere inalterate le proprie caratteristiche di isura; Sensibilità. È il rapporto tra la variazione dell indicazione dello struento e la corrispondente variazione della grandezza di entrata; Classe di precisione. Indica l errore relativo percentuale riferito al valore di fondo scala V fs. ε fs % ε V fs 00 Le nore CEI dividono gli struenti in classi: 0.05; 0.0; 0.; 0.3; 0.5; ;.5;.5; 5. Quelli di classe 0.05 e 0.0 sono struenti di precisione usati coe capione in laboratorio, quelli di classe da a 5 sono gli struenti portatili o da quadro. L errore relativo percentuale ε % in corrispondente di una generica isura V vale: ε ε % fs % V V fs Si coprende che l errore diinuisce se la isura si effettua vicino al fondo scala. Misura sperientale della densità di probabilità Per ricavare i paraetri caratteristici di un insiee di dati sperientali e deterinare il grafico della densità di probabilità si può utilizzare il foglio elettronico e procedere coe segue: sul foglio elettronico si riportano i valori dei dati sperientali; si calcola la edia e la standard deviation; si individua l intervallo entro cui sono distribuiti i dati calcolando il valore inio e assio; si divide l intervallo in un certo nuero di sotto-intervalli; si contano quante isure cadono in ogni sotto-intervalli (frequenza nel sotto-intervallo); si divide tale nuero per il nuero totale delle isure; si dividono i nueri ottenuti al passo precedente per l apiezza del sotto-intervallo ottenendo così la densità di probabilità relativa a ciascun sotto-intervallo si traccia l istograa che rappresenta il grafico della densità di probabilità. L area totale di tale grafico vale, ovviaente, (evento certo). A titolo di esepio si riporta una parte della struttura di un foglio di lavoro in Ecel per l analisi statistica di dati sperientali. 8

9 Fig Analisi statistica di dati sperientali. ella colonna B (non ostrata copletaente) da B4 a B53 si sono riportati 50 valori sperientali. ella cella D4 si è valutata la edia applicando la forula: MEDIA(B4:B53) ella cella E4 si calcola la standard deviation applicando la forula: DEV.ST(B4:B53) elle celle E8 e F8 si sono scritte le forule per il calcolo del valore inio e assio. In forule: MI(B4:B53) MAX(B4:B53) ella cella E si scrive la forula per il calcolo dell apiezza degli intervallini supponendo una divisione in 5 sotto-intervalli: ($F$8-$E$8)/5 elle celle da D9 a D3 si sono inseriti i valori degli intervallini. Si selezionano le celle di eissione da F9 a F3 e si calcola la frequenza dei dati per ciascun intervallo applicando la forula: FREQUEZA(B4:B53;D9:D3) 9

10 Ad esepio il nuero di dati sperientali (frequenza) tra: 0< 4.7 vale: 7 4.7< 4.9 vale:.. 5.3< 5.5 vale: 4 Si osservi che nel prio intervallino cadono tutte le isure tra il valore inio 4.5 e il valore 4.7 incluso, nel secondo intervallino i valori tra 4.7 e 4.9 incluso e cosi fino all ultio intervallino. Ricordiao che secondo Bernulli la frequenza è definita coe rapporto tra il nuero di volte che l evento si verifica e il nuero totale di prove effettuate. In Ecel per frequenza si intende il nuero di volte che si verifica una isurazione entro un intervallo. Pertanto per calcolare la frequenza secondo Bernulli si devono dividere i valori trovati precedenteente per il nuero di prove, nel nostro esepio 50 Pertanto, nella cella G9 si scrive la forula: F9/50 che si deve trascinare fino alla cella F3. La densità di probabilità per ciascun intervallino si ottiene dividendo la frequenza di Bernulli di ciascun intervallino per la relativa apiezza. ella cella H9 si scrive la forula: G9/$E$ che si deve trascinare fino alla cella H3. Attivando la procedura di creazione guidata grafico si ricava la distribuzione di fig. 5. È facile verificare che l area sottesa dal grafico della distribuzione di probabilità vale. Il grafico ottenuto è a gradini poiché è liitato il nuero delle isurazioni e dei sotto-intervalli. Se si auenta il nuero delle isurazioni e si rendono sepre più piccoli i sotto-intervalli il grafico diventa sepre più continuo e tende a quello di Gauss. Fig Distribuzione dei dati sperientali. 0

11 Distribuzione Esponenziale e Distribuzione di Poisson Molti fenoeni fisici sono governati da distribuzioni di probabilità diverse da quella di Gauss. Tra queste ricordiao la distribuzione esponenziale e quella di Poisson. La distribuzione esponenziale trova applicazione in tutti quei fenoeni nei quali si può supporre che la probabilità del verificarsi di un evento è proporzionale alla durata dell intervallo considerato. p( t) λ t Con λ costante di proporzionalità. È questo il caso del decadiento radioattivo di una sostanza o lo studio della teoria delle code in cui si hanno partenze e arrivi casuali ad una deterinata destinazione coe caselli autostradali sportelli bancari, ecc. In questo caso la densità di probabilità è data da: D(t) λ e λ t La costante λ ha le diensioni inverse di un tepo e il suo reciproco τ /λ è la costante di tepo. Per questa distribuzione il valor edio e la deviazione standard coincidono con la costante di tepo. La distribuzione di Poisson è utilizzata, ad esepio, per descrivere la distribuzione dei guasti nei acchinari, nello studio delle trasissioni dati digitali, nell analisi del traffico telefonico, ecc. La densità di probabilità è descritta dall equazione: λ D() Dove λ rappresenta la edia e la varianza e! è il fattoriale del nuero. La distribuzione di Poisson è di tipo discreto poiché la varabile può assuere solo valori interi. e! λ Il test del χ per una distribuzione Effettuate una serie di isurazioni è fondaentale coprendere quale distribuzione di probabilità teorica si adatta eglio ai dati sperientali. Un test di verifica è noto coe test del chi-quadro χ. Applichiao tale etodo alla distribuzione di Gauss. Supponiao di aver effettuato 40 isure,, 40 relative ad una certa grandezza fisica. Si valuta il valor edio e la deviazione standard. Supponiao di avere: 730. σ 46.8 Per valutare se i dati seguono la distribuzione di Gauss si deve confrontare la distribuzione dei dati osservati O K sperientalente con la distribuzione teorica. Una possibile procedura consiste nel dividere l intervallo dei dati sperientali ad esepio in n 4 intervalli e calcolare il nuero di isurazioni coprese in tali intervalli. Supponiao di ottenere: Intervalli uero di isurazioni O k < σ 8 σ < < 0 3 < < + σ σ < 6

12 ella seguente tabella si riportano i valori delle isurazioni attese in funzione delle probabilità della distribuzione di Gauss nell intervallo e quelle osservate sperientalente. Assuiao che tutte le isure siano allocate tra: σ < < + σ :con probabilità P k del 00 % e che tra: σ < < + σ :la probabilità P k sia del 68 % Si ha: Intervalli Misurazioni Osservate O k Probabilità P k nell intervallo Misurazioni Attese A k P k < σ 8 6% 6.4 σ < < 0 34% < < + σ 6 34% σ < 6 6% 6.4 Se i valori sperientali seguissero perfettaente la distribuzione di Gauss si dovrebbe avere: O k A k 0 ella pratica per un avere una buona corrispondenza la precedente differenza deve essere la più piccola possibile. Per valutare se c è accordo tra la distribuzione osservata e quella attesa si introduce il paraetro χ cosi definito: χ n K (O k A A K k ) Se χ 0 l accordo è perfetto. Cosa iprobabile. Si diostra che c è accordo con la distribuzione teorica se χ è inore o al assio uguale al nuero di intervalli n: χ < n Se χ > n non c è accordo tra la distribuzione sperientale e quella teorica ipotizzata. Per l esepio in esae, applicando la forula precedente, si ricava: χ.8 Poiché tale valore è inore di n 4 si può ritenere che la distribuzione dei dati sperientali segue quella di Gauss.

13 Regressione e Correlazione Per analisi di regressione si intende la ricerca della curva interpolante che eglio approssia la relazione tra le variabili isurate e y di un sistea presupposto che tra esse vi sia un rapporto di causa-effetto. L analisi prevede: Raccolta dei dati sperientali con costruzione di una tabella e di un diagraa di dispersione; Ricerca della funzione interpolante y f(). La funzione può essere lineare, polinoiale, logaritica, ecc.; Deterinazione del coefficiente di correlazione che indica il grado di attendibilità della funzione y f(). Cioè il grado di addensaento dei valori sperientali attorno alla curva di regressione y f(). In fig. 6 si ostra un esepio di tabella e di un grafico di dispersione. y y y 3 y i yi Fig Tabella e diagraa di dispersione. L analisi della regressione si basa sul etodo dei inii quadrati. Per ogni punto i si calcola la deviazione tra il valore yi e il valore f( i ): i yi - f(i) La curva che eglio approssia la distribuzione dei punti del diagraa di dispersione è quella che rende inia la soa dei quadrati delle deviazioni: in( n Il etodo prevede l utilizzo dei quadrati per non tenere conto del segno delle deviazioni. Sviluppando il etodo dei inii quadrati si ricavano le forule per il calcolo del coefficiente di correlazione e dei paraetri della curva di regressione. La precedente analisi può essere vantaggiosaente condotta ediante l uso del foglio elettronico. ) 3

14 Si ostra, in fig. 7, un esepio di analisi di regressione lineare sviluppata in abiente Ecel. Fig Foglio di Ecel per l analisi della regressione e il calcolo del coefficiente di correlazione. Il coefficiente di correlazione R può assuere valori copresi tra 0 e : R indica che c è perfetta correlazione. La funzione di regressione y f() descrive con esattezza assoluta i dati sperientali; R 0 indica che non esiste nessuna correlazione tra funzione y f() e dati sperientali. La correlazione si può ritenere buona se R > 0.5; ovvero R > 0.7 ad indicare che più del 70% della variazione di può essere espressa dalla curva di regressione y f(). 4