Errori di una misura e sua rappresentazione

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Abele Manfredi
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1 Errori di una misura e sua rappresentazione Il risultato di una qualsiasi misura sperimentale è costituito da un valore numerico (con la rispettiva unità di misura) ed un incertezza (chiamata anche errore) δ (con la rispettiva unità di misura), che indica il grado di confidenza che abbiamo sul risultato trovato. Quindi il risultato di una misura si può scrivere in uno dei seguenti modi: X ( ± δ ) (m) X (m) ± δ (m) L incertezza di una misura si può anche esprimere in termini di: δ errore relativo ε errore percentuale ε % δ 00 EEMPI Diametro di una cellula: d (5 ± 3) (µg) 3 Errore relativo: ε 0. (Attenzione: nessuna unità di misura) Errore percentuale: ε % 0% (Attenzione: nessuna unità di misura) 5 Temperatura corporea: t (36.4 ± 0.4) ( C) 0.4 Errore relativo: ε 0. 0 (Attenzione: nessuna unità di misura) Errore percentuale: ε % % (Attenzione: nessuna unità di misura) 36.4 Massa di una cellula: m (.0 ± 0.) (ng) 0. Errore relativo: ε 0. (Attenzione: nessuna unità di misura) Errore percentuale: ε % 0% (Attenzione: nessuna unità di misura).0 Classificazione degli errori Errori casuali: sono gli errori inevitabili nelle misure, effetto di fluttuazioni casuali che determinano una dispersione simmetrica del valore misurato attorno al valore vero. Dagli errori casuali dipende la PRECIIOE della misura. Errori sistematici: sono gli errori che modificano il risultato della misura sistematicamente in una direzione. Possono derivare da una cattiva taratura dello strumento, o dall effetto di qualche variabile esterna (tipo temperatura, pressione, condizione di utilizzo dello strumento). Dagli errori sistematici dipende l ACCURATEZZA della misura.

Quindi il risultato di una misura si può scrivere in uno dei seguenti modi: X ( ± δ ) (m) X (m) ± δ (m) L incertezza di una misura si può anche esprimere in termini di: δ errore relativo ε errore

3 Esempio: misura della costante di Farady da parte di quattro gruppi di studenti. Vediamo chi è preciso e chi è accurato: Valore vero: F96485 C/mol Gruppo Misura ± ± ± ± 00 Commento sulla misura eseguita dai gruppi di studenti:. non è accurata non è precisa;. accurata ma poco precisa; 3. accurata e precisa; 4. non accurata ma precisa. erie di misure, media, incertezza, deviazione standard, deviazione standard della media In genere quando si misura una grandezza fisica si fanno più misure di tale grandezza e spesso i valori ottenuti possono essere diversi tra loro. misure che danno i seguenti valori:,, 3,, La grandezza che meglio esprime il risultato trovato e la MEDIA ARITMETICA i Media aritmetica i Esempio: supponiamo di aver fatto 8 misure di tempo 3. s ; 3.0 s;.8 s; 3. s;.7 s; 3. s;.8 s;.9 s Calcoliamo la media aritmetica: 8 i s 8 8 i Oltre al valore medio è importante avere una grandezza che mi esprima quanto i vari dati sono diversi tra loro e fornisca quindi una indicazione sulla precisione della misura. Tale grandezza è la DEVIAZIOE TADARD. Deviazione standard: i ( ) i ( ) Esempio: calcoliamo la deviazione standard dei dati dell esempio precedente ( 3..95) + ( ) + (.8.95) + ( 3..95) + (.7.95) + ( 3..95) + (.8.95) + (.9.95) s 7

non è accurata non è precisa;. accurata ma poco precisa; 3. accurata e precisa; 4. non accurata ma precisa.

4 La deviazione standard fornisce l incertezza associata alla singola misura i. Il fatto di ripetere la misura più volte permette di ridurre l incertezza sul risultato finale (cioè sulla MEDIA). La misura sarà: X i ± (3.± 0.778) s mi fermo alla prima cifra significativa dell errore per cui X (3. ± 0.) s, X (3.0 ± 0.) s, X 3 (.8 ± 0.) s, ecc. L incertezza associata alla media è la DEVIAZIOE TADARD DELLA MEDIA. Deviazione standard della media: ( i ) i ( ) Esempio: s 8 La misura sarà: X ± (.95 ± ) s mi fermo alla prima cifra significativa dell errore per cui X (.95 ± 0.06) s. Come potete notare dalla teoria e dagli esempi fare una trattazione rigorosa dei dati comporta una certa fatica computazionale. In questi casi una tabella scritta con un qualunque foglio elettronico ci dispenserebbe da inutili e ripetitive fatiche. Oggi anche le calcolatrici scientifiche possiedono la parte statistica che mi permettono di fare in automatico i conti sopra descritti. Attenzione: quando si fanno i conti mai troncare le cifre decimali altrimenti i risultati possono risultare falsati. L approssimazione delle cifre decimali si eseguono solo alla fine. emplificazione dei conti: in genere se i dati a nostra disposizione non sono più di dieci si semplifica il tutto calcolando: la media aritmetica:. 95s ; l incertezza: i min 3..7 ma 0. 5s ; misura: X ± i (.95 ± 0.5) s (3.0 ± 0.3) s i 0.3 l errore relativo: ε i l errore percentuale: ε % 0%. 3.0 Con la semplificazione perdiamo qualche cifra decimale, però abbiamo sempre un idea della misura con pochissimo sforzo di calcolo. Cifre iginificative Definiamo cifre significative quelle cifre che esprimono realmente il risultato di una misura, o del suo errore, cioè che non sono completamente incluse nell intervallo di incertezza dovuto all errore. In altri termini non risultano significative le cifre che sono piccole rispetto al valore dell errore.

L incertezza associata alla media è la DEVIAZIOE TADARD DELLA MEDIA. Deviazione standard della media: ( i ) i ( ) 0.778 Esempio: 0. 0668 s 8 La misura sarà: X ± (.95 ± 0.

5 Esempio: supponiamo che il risultato di una serie di misure dia come risultato: X (459 ± 6740) m Essendo l errore dell ordine delle migliaia, le cifre indicanti le centinaia, le decine e le unità non sono significative e non vanno pertanto esplicitate. Di conseguenza il valore 6740 diverrà 7000 e analogamente anche il valore 459 dovrà essere approssimato alle migliaia diventando così 000. Presenteremo allora il risultato nella forma: X (000 ± 7000) m Corretta rappresentazione di un risultato con le cifre significative Esempio: Misura calcolata Misura corretta 859 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± Esercizio: i misura la lunghezza d onda λ di una riga spettrale nell intervallo delle microonde e si trovano i seguenti valori, espressi in nanometri: 36400, 36300, 36400, 3600, 3600, Trovare la miglior stima della lunghezza d onda con il suo errore, utilizzando il corretto numero di cifre significative. timare inoltre la precisione dell apparato di misura usato. Con un qualunque foglio elettronico posso stilare e calcolare la seguente tabella

Presenteremo allora il risultato nella forma: X (000 ± 7000) m Corretta rappresentazione di un risultato con le cifre significative Esempio: Misura calcolata Misura corretta 859 ± 640 3000 ± 6000 73

6 Ora posso calcolare la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media. 80 Media: nm 6 Deviazione standard (dà un idea della precisione della misura): ( ) i i nm 5 ( ) Deviazione standard sulla media ovvero errore sulla media: nm 6 Rappresentazione del risultato finale: λ ± 90 nm. Il ruolo della deviazione standard si vede bene nel seguente esercizio. Esercizio: Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure (ometto le unità di misura per snellire il procedimento): A) 35.3; 35.6; 34.9; 35.3; 35.; 35.4; 35.; 34.8 B) 34.9; 35.; 35.0; 35.; 35.; 34.9; 35.0; Trovare le precisioni A, B dei due metodi;. specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso. oluzione n. La precisione è data dalla deviazione standard A i ( ) i ( ) B i ( ) i ( ) È evidente che il metodo B è più preciso del metodo A. oluzione n. L errore sulla media per il metodo B è uguale a: B B 6 Per avere un errore sulla media di A uguale o migliore all errore sulla media di B è necessario effettuare un numero di misure. Il tutto si risolve impostando la seguente disuguaglianza: A B A B ' ' 8 A B ' 50

Il ruolo della deviazione standard si vede bene nel seguente esercizio.

7 Ricordarsi sempre di non approssimare le cifre decimali durante il calcolo altrimenti gli errori di troncamento falseranno il risultato finale. e per esempio avessi approssimato il valore di A 0.3 ed B 0. avrei ottenuto 7 ( misure in più del richiesto). RIAUMEDO Ad ogni misura è associato un errore (errore assoluto), che può essere espresso anche in termini di errore relativo o percentuale Quando si hanno misure ripetute il risultato è espresso come MEDIA, a cui è associato come errore la DEVIAZIOE TADARD della MEDIA. L errore sulla singola misura, che fornisce anche la stima della PRECIIOE della misura stessa, è data dalla DEVIAZIOE TADARD E importante rappresentare il risultato finale con il corretto numero di CIFRE IGIFICATIVE Le approssimazioni vanno però fatte solo alla fine mentre è bene considerare tutte (o molte) cifre durante lo svolgimento dei calcoli, altrimenti si può arrivare ad un risultato finale falsato. Per questo è importante sapere usare bene la calcolatrice TETI COIGLIATI: Analisi degli errori sperimentali di laboratorio Autori: Miramonti, Perini, Veronese; Editore: EDIE Introduzione all analisi degli errori Autore: John R. Taylor; Editore: Zanichelli Principi di fisica Autori: erway Raymond A. - Jewett John W.; Editore: EDIE CALCOLATRICE CIETIFICA ITO DI RIFERIMETO:

RIAUMEDO Ad ogni misura è associato un errore (errore assoluto), che può essere espresso anche in termini di errore relativo o percentuale Quando si hanno misure ripetute il risultato è espresso come

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