Fondamenti di Automatica Si consideri il modello dinamico del sistema meccanico rappresentato in figura 1. Figura 1: Sistema meccanico

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1 Fondaenti di Autoatica Esercizio A. Si consideri il odello dinaico del sistea eccanico rappresentato in figura 1. Figura 1: Sistea eccanico Il sistea è coposto da un cilindro di assa che scorre su un asta di lunghezza l, rigidaente collegata ad un disco di inerzia J. Il disco è incernierato al telaio ed è soggetto ad una coppia di disturbo τ. L accoppiaento cilindro-asta è caratterizzato da un coefficiente di attrito viscoso β 1. Inoltre, sul cilindro agisce una forza f. Indicando con θ la posizione angolare dell asta e con x, che può assuere solo valori positivi, la distanza del baricentro del cilindro rispetto al centro del disco (vedi figura 1), le equazioni che descrivono il coportaento dinaico del sistea sono: ẍ = x θ 2 β 1 ẋ g sin θ K 1 ( l 2 x ) f (J x 2 ) θ = 2 x ẋ θ g x cos θ K 2 θ τ. A.1 Si deterini il valore della rigidezza K 2 tale per cui θ = θ = π/3 costituisce una posizione di equilibrio per l asta con f = τ = 0. Si deterini inoltre la corrispondente posizione x = x della assa. A.2 Supponendo di disporre della isura dell angolo θ e di poter agire sulla forza f, si deterini una rappresentazione in fora di stato del sistea linearizzato intorno all equilibrio calcolato al punto precedente. Si considerino i seguenti valori nuerici: J = 2 Kg 2 /rad; β 1 = 10 Kg/s; = 1 Kg; K 1 = 10 N/; l = 5 ; g = 9.81 /s 2. A.3 Si deterini la funzione di trasferiento tra l ingresso u 1 = f e l uscita y = θ e quella tra il disturbo u 2 = τ e l uscita y = θ; A.4 Si deterini una legge di controllo per f che agisca in odo da garantire che: A.4a) partendo dalle condizioni di equilibrio, l uscita y = θ che descrive la posizione angolare dell asta raggiunga un valore pari a π/6 senza ai superare un valore pari a 8π/60 entrando e antenendosi nella fascia π 6 π 300 θ π 6 π 300 entro un tepo non superiore a 100 s; A.4b) supponendo che sul sistea agisca un disturbo costante τ = τ si garantisca che a regie l effetto di tale disturbo sull uscita sia copletaente annullato. Si disegni il diagraa a blocchi del sistea con il controllore progettato; si riporti esplicitaente il controllore ottenuto, il diagraa di Bode con le relative specifiche da rispettare e la risposta al gradino ottenuta con le caratteristiche significative. A.5 Si descrivano le istruzioni di un prograa per elaboratore digitale che siuli la dinaica libera del sistea linearizzato partendo da condizioni di equilibrio con controllo f = f costante e disturbo τ = 0. Si discuta sulla scelta del tepo di capionaento.

2 Esercizio B. Si valuti la funzione di trasferiento tra l uscita y e l ingresso u e quella tra l uscita y e il disturbo d relative al diagraa a blocchi rappresentato in figura 2. d G 1 a u - e - G 2 G 3 b y G 4 Figura 2: Diagraa a blocchi

3 Soluzione Esercizio A. A.1 Poichè l equilibrio corrispondente al valore dell ingresso f = f = 0 costante, è caratterizzato da ẋ = θ = ẍ = θ = 0, sostituendo tali valori nelle equazioni della dinaica si ottiene Dalla (2) otteniao che, sostituito nella (1) perette di ottenere Quindi, poichè θ ± π 2, si può scrivere g sin θ K 1 ( l 2 x ) = 0 (1) g x cos θ K 2 θ = 0. (2) x = K θ 2 g cos θ, g sin θ K 1l 2 K 1K 2 θ g cos θ = 0. 2 g 2 sin θ cos θ gk 1l 2 da cui, sostituendo il valore di θ assegnato si ottiene: cos θ K 1 K 2 θ = 0. K 2 = 32 g 2 3 4K 1 π 3gl 4π. Infine, la posizione della assa all equilibrio corrispondente al valore K 2 calcolato precedenteente è x = 2K 2π 3g. A.2 Indicando con q = [ q 1, q 2, q 3, q 4 ] T = [x x, θ θ, ẋ, θ] T le variabili di stato traslate nell equilibrio generico e con ũ = [ũ 1, ũ 2 ] T = [f, τ] T il vettore degli ingressi, il sistea non lineare scritto in fora di stato attorno al generico equilibrio q = [ x, θ, 0, 0] T è dato da q 1 = q 3 q 2 = q 4 q 3 = ( q 1 x) q 4 2 β 1 q 3 g sin ( q 2 θ ) K 1 ( ) l 2 q 1 x u 1 1 [ q 4 = I ( q 1 x) 2 ( q1 x) ( 2 q 3 q 4 g cos ( q 2 θ )) ] K 2 q 2 u 2. (3) Il sistea linearizzato approssiato di tale sistea attorno al nuovo punto di equilibrio delle nuove variabili di stato q, ovvero l origine, è q = A q Bũ dove, A = K1 g cos θ β1 0, I x g cos θ(i x 2 ) 2K 2 x 2 θ g x sin θ K 2 (I x 2 ) B = I x 2.

4 A.3 Sostituendo i valori nuerici assegnati, e considerando il punto di equilibrio dato, si ottiene q = A q B 1 u 1 B 2 u 2 = q q 2 0 ũ 1 0 ũ2 q y = C q = [ ] q. La funzione di trasferiento tra l ingresso di controllo u = ũ 1 (ovvero la forza agente sulla assa ) e l uscita y (ovvero la posizione angolare dell asta) è 1.85 G u (s) = (s 8.89)(s 0.85)(s s 3.23). (4) La funzione di trasferiento presenta quindi 2 poli reali e 2 coplessi coniugati tutti a parte reale negativa. Il sistea risulta quindi asintoticaante stabile. La funzione di trasferiento tra l ingresso di disturbo d = ũ 2 e l uscita y è G d (s) = 0.076(s 8.87)(s 1.13) (s 8.89)(s 0.85)(s s 3.23). (5) Infine, in figura 3) è riportato il diagraa a blocchi rappresentante il sistea con due ingressi (di controllo f e di disturbo τ) e l uscita di isura y. Figura 3: Diagraa a blocchi del sistea. A.4 Siccoe il sistea è asintoticaante stabile si può procedere direttaente con il progetto di un controllore del tipo C(s) = K c s t C 0(s), con C 0 (0) 1. in grado di soddisfare sia le specifiche statiche che quelle dinaiche, direttaente sui diagrai di Bode. A.4a La specifica richiede che l asta raggiunga esattaente un valore pari a π/6: questo significa che la f.d.t. in anello aperto deve possedere un polo nell origine. Poichè il sistea non ne possiede già uno, è necessario inserirlo nel controllore, ovvero scegliere t = 1. Inoltre, la posizione angolare θ dell asta durante il transitorio non deve ai superare un valore pari a 8π/60: questo si traduce nel richiedere che la sovraelongazione assia non può eccedere il 20% del valore di regie. Infine, si richiede che l uscita y entri e rianga all interno di una fascia π 6 π 300 θ π 6 π 300, ovvero il 2% del valore di regie, in un tepo non superiore a 100 s. Si può procedere quindi tentando di progettare di un controllore capace di rendere la f.d.t. in anello chiuso ben approssiabile con un sistea a due poli doinanti per il quale le specifiche si traducono coe segue: S % < 20% δ > 0.45 MF > 45 o ω T > 4 δt a 90 rad/s. La figura 4 ostra il diagraa di Bode di G(s)/s con specifica sulla banda passante.

5 Figura 4: Diagrai di Bode della f.d.t. G(s)/s con specifica sulla banda passante. A.4b La specifica richiede l annullaento di un qualunque disturbo τ costante sull uscita. Questo richiederebbe la presenza di un polo nell origine a onte del punto di ingresso del disturbo stesso. Siccoe la f.d.t. del sistea non ne possiede già uno, sarebbe necessario inserirlo nel controllore. Poichè è stato già inserito per annullare l errore a regie, di fatto il soddisfaciento di tale specifica risulta essere garantito. Progetto del controllore. Un controllore capace di rispettare tutte le specifiche copresa quella sulla causalità è il seguente: C(s) = (s s 24.42)(s s 116) s(s s )(s s ) Il controllore presenta un polo nell origine necessario per garantire errore nullo a regie e conteporaneaente l annullaento sull uscita dell effetto di un disturbo costante, e due reti anticipatrici coplesse coniugate in prossiità della pulsazione di taglio al fine di alzare il argine di fase in tale zona rispettando cosi la sovraelongazione assia. In figura 5 è ostrato il diagraa di Bode della f.d.t. in anello aperto C(s)G(s) con relative specifiche. La f.d.t. in anello chiuso è G c (s) = (s s 24.42)(s s 116) (s 4130)(s 679.9)(s 416.3)(s s 23.88)(s s 130.5)(s s ). La risposta al gradino è riportata in figura 6. Coe si può osservare, la risposta ottenuta è lontana da quella relativa ad un sistea del secondo ordine con due poli coplessi coniugati. In effetti, il tentativo di progettare un controllore tale che il sistea in anello chiuso sia ben approssiabile con un sistea a due poli doinanti coplessi coniugati non è perfettaente riuscito coe si evince anche dalla f.d.t. G c. Le specifiche risultano counque apiaente soddisfatte centrando quindi l obbiettivo. Infine, il diagraa a blocchi coplessivo è riportato in figura 7. QUI A.6 Si consideri il sistea in fora di stato nonlineare riportato in (3). Utilizzando il etodo di Eulero in avanti ẋ ( q(k 1) q(k))/t (dove T rappresenta il tepo di capionaento, da scegliere opportunaente) e ponendo ũ 1 = f con ũ 2 = 0, il sistea discretizzato diventa q(k 1) = A D q(k) B D ũ 1 (k) y(k) = C D q(k).

6 Figura 5: Diagrai di Bode della f.d.t. C(s)G(s) con specifiche da rispettare. 1.4 Step Response Syste: untitled1 Peak aplitude: 1.08 Overshoot (%): 7.9 At tie (seconds): Syste: untitled1 Settling tie (seconds): Aplitude Tie (seconds) Figura 6: Risposta al gradino del sistea controllato. dove, A D = AT I, B D = BT, C D = C. Il sistea discretizzato precedenteente ottenuto può essere siulato con il seguente prograa

7 Figura 7: Diagraa a blocchi del sistea. T =0.001; % S c e l t a d e l tepo d i capionaento T % Paraetri d e l sistea J = 2 ; % Kg ˆ2/ rad b e t a 1 = 1 0 ; % Kg ˆ2/ rad / s = 1 ; % Kg g = ; % / s ˆ2 K1 = 1 0 ; % N/ L = 5 ; % K2 = 3 M ˆ2 g ˆ2 s q r t ( 3 ) /4/ p i / K13 M g L /4/ p i ; % N % Condizioni i n i z i a l i t i l d e _ q = [ tilde_q10, tilde_q20, tilde_q30, t i l d e _ q 4 0 ] % I n g r e s s o \ t i l d e _ u = 5 ; % Ciclo i n d e f i n i t o f i n o ad i n t e r r u z i o n e w h i l e ( c o n d i z i o n e _ a r r e s t o == ' f a l s e ' ) end % S a l v a t a g g i o s t a t i w r i t e t i l d e _ q y= t i l d e _ q ( 2 ) ; % L' u s c i t a e ' l a seconda coponente d e l v e t t o r e d e g l i s t a t i % S c r i v i i l v a l o r e d i u s c i t a y s u l l a porta ' ' output ' ' w r i t e ( y, o u t p u t ) ; % Sistea d i s c r e t i z z a t o Ad=A Teye ( 4 ) ; Bd = B T ; % Aggiorna l o s t a t o t i l d e _ q=ad t i l d e _ qbd t i l d e _ u ; Esercizio B. Esplicitando le equazioni dei vari rai del diagraa a blocchi riportato nel testo si ottiene il seguente sistea lineare y = a b Eliinando le variabili a, b, e si ottiene a = d G 1 e b = G 3 (e G 2 a) e = u G 4 y. y = 1 G 2 G 3 1 (G 2 G 3 G 4 G 1 G 3 G 3 G 4 ) d G 1 G 3 G 1 G 2 G 3 1 (G 1 G 2 G 3 G 4 G 1 G 4 G 3 G 4 ) u.