Reti Logiche Appello del 9 gennaio 2007 Seconde prove

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1 Appello del 9 gennaio 27 econde prove (D2) ualunque funzione di coutazione di due variabili f ( y, ) può essere espressa nella fora f ( y, ) = a b cy dy Ricavare i coefficienti a, b, c, d in funzione dei valori assunti da f ( y, ). ostituendo nell'espressione le quattro possibili cobinazioni di, y si ottiene: f(,) = a ( b ) ( c ) ( d ) = a f(,) = a ( b ) ( c ) ( d ) = a c f(, ) = a ( b ) ( c ) ( d ) = a b f (,) = a ( b ) ( c ) ( d ) = a b c d In prio luogo si ha: a= f(,) Da f (,) = a c segue a f(,) = a a c= c e dunque c= a f(,) = f(,) f(,) Da f (,) = a b segue a f(,) = a a b=b e dunque b= a f(, ) = f(, ) f(, ) Da f (,) = a b c d segue a b c f(,) = a b c a b c d = d e dunque d = a b c f(,) = f(,) f(,) f(,) f(,) In definitiva: a= f(,) b= f(,) f(,) c= f(,) f(,) d = f(,) f(,) f(,) f(,) A titolo di esepio, i coefficienti per la funzione f ( y, ) = + ysono: a= f(,) = b= f(,) f(,) = = c= f(,) f(,) = = d = f(,) f(,) f(,) f(,) = = con conseguente espansione + y = y y Infatti y y= y y = = y+ y( + y) = = y + y = = + y

2 Appello del 9 gennaio 27 (econde prove) (D3) Definire la struttura di una rete iterativa per la soa aritetica di tre nueri binari, e sviluppare il progetto della cella eleentare usando solo porte NAND. Occorre innanzitutto stabilire quanti bit di carry (riporto) devono lasciare la singola cella ed entrare nella cella iediantaente successiva. i ossrvi innanzitutto che in un addizionatore ulti-operando i bit di carry devono codificare il riporto coe nuero binario, in odo che la soa finale ottenuta possa essere espressa non solo dai bit di soa generati dalle singole celle, a anche dai bit di carry-out della cella più significativa (riporto finale in uscita). Nella figura che segue è illustrato un addizionatore a n operandi da bit ciascuno, con bit di carry: la soa risultante deve poter essere espressa su + bit. riporto in ingresso operando # N operando # operando #2 operando #n soa (+ bit) UT riporto in uscita Poiché il assio valore del carry è 2 e il assio valore di un operando è 2, il assio valore della soa è allora a = n(2 ) uesto valore deve poter essere espresso su + bit, ossia deve essere a 2. In definitiva, deve assuere il inio valore intero che soddisfa la disequazione da cui e infine n(2 ) (2 ) n(2 ) 2 n e nel norale Full Adder a due operandi (n = 2) è sufficiente un solo bit di carry ( = ), l'equazione ostra che in una cella di addizione per tre operandi (n = 3) sono necessari = 2 bit di carry per codificare il riporto tra una cella e l'altra. Per la singola cella, allora, detti e c i bit di carry-in, il valore nuerico del riporto in ingresso sarà C = c + 2c; detti c e c i bit di carry-out, il valore nuerico del riporto in uscita sarà C = c + 2c ; detti, y, z i tre o- perandi da un bit e s il bit di soa in uscita, il valore nuerico della soa generata dalla cella sarà RL79 2

3 Appello del 9 gennaio 27 (econde prove) y c c s c c = = La rete iterativa avrà pertanto la struttura: z n y n n z n 2 y n 2 n 2 z y z y z y C (n) C (n) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' C () C () s n s n 2 s s s Il coportaento della singola cella è descritto dalla seguente tavola di verità: y z C T ' ' s y z C T ' ' s dove C indica il valore nuerico presente sui bit di carry input c, c e T indica quanti dei bit, y, z degli operandi sono diversi da zero; il valore nuerico della soa è allora pari a = C+ T, che va rappresentato in binario sui bit di uscita c, c, s. Le appe di Karnaugh per c, c, s, con delle possibili coperture, sono le seguenti: yz yz = = yz yz = = yz yz = = ' ' s Da queste si possono ricavare le corrispondenti espressioni in soe di prodotti e infine le relative reti NAND-NAND a due livelli (più un livello di inversione per le variabili di ingresso). i noti coe le appe per s siano identiche, il che significa che l'uscita s non dipende dall'ingresso. RL79 3

4 Appello del 9 gennaio 27 (econde prove) i può inoltre ottenere una realizzazione non ottiale osservando che: La appa per c e = è esattaente copleentare alla appa per c e = ; A eno del interine yz =, la appa per c e = è esattaente identica alla appa per c e c = ; Il interine c yz = è coune a entrabe le appe per c. Una soluzione alternativa per l'addizionatore a tre operandi prevede l'uso di norali Full Adder per la realizzazione della singola cella. In tal caso, tuttavia, occorre considerare con attenzione i pesi associati a ciascuna variabile di cella. Ricordando che C = 2c+ c, l'operazione da eseguire è = + y+ z+ C = + y+ z+ 2c + c I prii tre terini della soa possono essere applicati a un prio Full Adder (FA) che genererà una soa parziale = p+ 2q, dove p e q sono rispettivaente il bit di soa e il bit di carry uscenti dal Full Adder; dunque la soa finale diventa = + 2c + c = p + c + 2( c + q ) I prii due terini di quest'ultia espressione possono poi essere applicati a un secondo Full Adder (FA2) che produrrà una soa parziale 2 = p2 + 2q2; l'espressione della soa allora diventa = 2 + 2( c+ q) = p2 + 2(c+ q+ q 2 ) I terini tra parentesi possono infine essere applicati a un terzo Full Adder (FA3) che produrrà una soa parziale = p + q ; la soa finale diventa così = p + 2 = p + 2( p + 2 q ) = p + 2p + 4q Da questa espressione si deduce che l'uscita s della cella deve coincid ere con p 2 (uscita di soa di FA2), il bit di carry-out c deve coincidere con p (uscita di soa di FA3), e il bit 3 di carry-out deve coincidere con q 3 (uscita di carry di FA3). Il circuito corrispondente è allora il seguente: y z FA FA2 "" FA3 c' c' Naturalente, il Full Adder FA2, essendo solo parzialente utilizzato, può essere sostituito con un Half Adder. s RL79 4

5 Appello del 9 gennaio 27 (econde prove) (D4) Analizzare il coportaento della rete sequenziale in figura e ricavarne una rappresentazione coe diagraa degli stati oppure coe tavola di transizione; quindi per ciascuno stato stabilire se esso è transiente, ricorrente, persistente o isolato. "" J CK K _ J CK K _ CLK Il circuito ha un singolo ingresso e una singola uscita ; esso è inoltre di tipo sincrono, poiché gli eleenti di eoria presenti sono soltanto flip-flop sincroni, né sono presenti loop cobinatori. Detti J, K, i terinali del flip-flop di sinistra e J, K, i terinali del flip-flop di destra, le equazioni di eccitazione dei flip-flop sono le seguenti: J = K = J = K = entre l'equazione di uscita è = Dato che l'uscita dipende solo dallo stato e non dall'ingresso, la acchina sequenziale corrispondente è di tipo Moore. Assunto coe stato la coppia, la tavola di transizione si ricava facilente dalle equazioni di cui sopra: J K J K ' ' Il diagraa di stato sarà allora il seguente: / / / / Da tale diagraa possiao in conclusione osservare che: lo stato, non avendo rai entranti, è transiente; lo stato, avendo rai sia entranti che uscenti, è ricorrente; lo stato, non avendo rai uscenti, è persistente; lo stato, non avendo né rai entranti né rai uscenti, è isolato. RL79 5