# $$ % % # & ' # $ $$ % ( # ( % % $

Transcript

1 !"

2 # $$% % # & ' # $$$% # % %$

3 !" # X F = f x ˆ ι F = f = f x x F x F x >, f x < <, f x > F = k xιˆ F = k r F = k r r # * +*,-+. /,

4 $! x k k x + x = pongo ω = > Equazione oraria x t = l cos ωt + φ +l -l F = k xιˆ a = xιˆ F = a k x = x x + kx = x + x x = ω x = l cos φ ω = k φ = v l = x + ω arctan v ωx T π = = ω π k

5 % x + ω x = x t = Acos ω t + ϕ Pulsazione, fase, fase iniziale. Moto periodico T = k con ω ; ; tan = A = + x ϕ = ω ωx ˆi ˆj kˆ f e = capo conservativo U x y z kx π ω p

6 B A B LAB = kx dx = k xa x A B U p U p U p x = kx + cost x t = Acos ωt + ϕ Acosϕ ϕ x t = ω Asinϕ Conservazione dell energia eccanica e trasforazioni K = x = A ω sin ϕ = k A sin ϕ U p = kx = k A cos ϕ EM = K + U p = k A sin ϕ cos ϕ k A ω A + = = cioè, proporzionale al quadrato dell apiezza e al quadrato della pulsazione

7 "

8 Circuito LC R trascurabile Le stesse relazioni si hanno in un circuito LC, con ω = LC All inizio condensatore carico con Q. Dopo, oscillazione elettroagnetica. Q t di VC = VL = L C dt Q d Q d Q L C dt dt LC = + Q = k Uguale a quella di una olla oscillante: + x x = L ; k C ω

9 Q = Q cos ω t + ϕ ; ove ω = Soluzione: carica LC La corrente nell induttanza: dq i = = ω Q sinϕ dt corrente 3

10 Riguardo all energia: Q Q U E = = cos C C ϕ U B = Li = Lω Q sin ϕ = Q = L Q = LC C sin ϕ sin Q = Q cosϕ i = Q ω sinϕ ω = ϕ LC e la soa è costante nel tepo: U E + U = B Q C

11 ! # 4 '%5 $ 6 $ &$%% $ f x F = f xˆ ι f x = Punti di equilibrio f x B > x B punto instabile A B x f x A < x A punto stabile f x f x + f x x x + O x x f x k x x A A A A x x A A Moto oscillatorio attorno al punto di equilibrio stabile x A

12 !!$! Notevole seplificazione dei calcoli: per esepio, le equazioni integro-differenziali con soluzione sinusoidale diventano algebriche lineare Rappresentazione geoetrica di una coppia ordinata di nueri reali Assi: reale e iaginario z x + iy rappresentazione algebrica z = r cosϕ + isinϕ rappresentazione trigonoetrica odulo e un argoento Soa di due coplessi equivale alla soa dei due vettori.

13 z x + iy = r cosϕ + isinϕ cosϕ + isinϕ = z r definizione forula di Eulero z x e = e cos y + isin y cioè, in terini di odulo e fase, a in fora esponenziale iϕ z* = r e = r cosϕ i sinϕ è il coplesso coniugato iϕ e = cosϕ + isinϕ ϕ + ϕ z = i z = zz = A A e iϕ z = A e z A i ϕ ϕ z e iϕ = = z = Ae z A n n inϕ n z = A e = A cos nϕ + isin nϕ re iϕ

14 Se il vettore ruota con velocità angolare costante ω = ω, la proiezione oscilla aronicaente. Il oto aronico è descritto dalla parte reale del nuero coplesso r A: z t = Ae iϕ = Ae i ω t+ ϕ x t = Acosϕ = Re z t = Re Ae = iϕ iϕ iωt iωt A Ac = Re e e = Re e con A = Ae iϕ apiezza coplessa c i ω t+ ϕ Ae d = = ω ; = = dt i ωt+ ϕ z i z zdt Ae dt z iω z x = Re z = Re iω z ; xdt = Re zdt = Re iω

15 i i z + z* = A e ϕ + e ϕ = = A cosϕ + isinϕ + cosϕ isinϕ = Acosϕ e + e e e cos ϕ = ; sinϕ = i iϕ iϕ e + e x t = A iϕ iϕ iϕ iϕ Il etodo sibolico funziona solo se le equazioni considerate sono lineari nella funzione aronica: in tale caso, le operazioni lineari coutano con l operazione prendere la parte reale. No energia, potenza, perché? In particolare, sono lineari le equazioni di Kirchhoff, di Maxwell, delle onde coe vedreo.

16 λt t x λ t = λe λx t x + ω x = ; x t = e λt x t = λ e λ x t λ iω x t = λ + ω = + ω ω soluzione generale: z t = c e + c e i t e ± ω, = ± coplesse coniugate e linearente indipendenti i t i t c e c possono essere coplesse Se vogliao soluzioni reali, annulliao la parte iaginaria: * ω * + * + i t iω t z z c c e c c e I z = = = c i i A i c = ϕ e A + i ω t+ ϕ A i ω t+ ϕ z t = e + e = cioè: c = A e iϕ = c * + iϕ iϕ e + e = A = Acos t + ω ϕ 6

17 Punto ateriale soggetto ad una forza elastica e ad una forza di attrito viscoso. F ˆ EL = k xι F ˆ a = xιˆ S = β xι kx β x = x β k x + x + x = F + F = a EL S Equazione differenziale alle derivate seconde lineare ed oogenea. x t x t x t = C x t + C x t C, C Lineare ed oogenea: se e sono soluzioni, allora lo è anche t Cerco una soluzione nella fora: x t = e λ λ t λ λt x t = λe = λx t x t = λx t = λ e = λ x t β k λ x + λx + x = λ x = β k + λ + = Soluzione ovvia dell oogenea Polinoio caratteristico "

18 $! ' λ β k + λ + = = β 4 k λ, β = ± $ 5 > β < λ <, λ < reali Due soluzioni diverse, reali e negative λ t λ t x t = C e + C e C, C % % x t t

19 7 5 = β λ = λ = = η $! ' Due soluzioni uguali, reali e negative t x t = e η d x d λ x t = C e + C te = C + C t e C, C η t = x t = te È una soluzione η t η t η t % % x t t $ '$$$ $589:- $$%7 ; trip = 3 5 %5% β 3

20 $! '. %5 < β β λ = + i λ = i x t ηt+ iωt ηt iωt Due soluzioni diverse, coplesse e coniugate λ = η + iω λ = η iω iωt x t = C e + C e e = cosωt + i sinωt ηt ω ω ω ω ηt cosω sinω cos ω φ x t = e C cos t + ic sin t + C cos t ic sin t = = + = + ηt e D t D t Ae t + Ae ηt % Ae ηt t Negli aortizzatori dei veicoli, k β k ω = / 4 = < β,4 β cr

21 t Posto: τ k β ω x t = A e cos ωt + ϕ = ; γ = ; ω = ω γ / 4 < ω ; τ = = γ β Se τ è abbastanza grande, cioè lo sorzaento abbastanza piccolo γ / ω in uno pseudoperiodo si può ω ω, assuere l apiezza circa costante; in pratica, si t τ trascura nello pseudoperiodo la variazione di e. In quello pseudoperiodo il oto è quasi periodico: EM ω A t

22 Nel periodo successivo, però, l apiezza edia diinuisce: ovviaente, l energia eccanica non si conserva! t τ t ω e A t = A e A t A t = A e τ per cui EM A decadiento esponenziale τ viene quindi detta tepo di decadiento dell oscillatore: τ è il tepo dopo il quale l energia decresce di un fattore /e τ γ deterina la rapidità con cui l energia si dissipa! t τ

23 Le stesse considerazioni si possono fare per il circuito LRC, per il quale: d Q R dq + + Q = dt L dt LC Q x ; L ; k ; R γ = C L τ t τ Q t = Q e cos ωt + ϕ γ R ω = ω ω 4 4τ LC 4L Qui piccolo sorzaento significa R < L C

24 In più: forza periodica dipendente dal tepo, di pulsazione Ω x + βx + kx = f t con f t = F cos Ωt ogni funzione periodica può essere espressa coe sovrapposizione di funzioni sinusoidali Soluzione generale: integrale dell oogenea sorzato + integrale particolare F cos t Re F e iωt Ω = β γ = ω = k

25 F e i Ω Possiao risolvere z + γ z + ω z = t e prendere la parte reale della soluzione: x t = Re z t A tepi lunghi prevarrà la forza aggiunta. Cerchiao soluzione particolare del tipo: zt=ae λt Sostituendo, si trova iediataente che deve essere λ = iω iωt iωt z = AiΩ e = iω z z t = Ae A può essere iωt z = A Ω e = Ω z coplesso iωt F iωt da cui Ω + iγ Ω + ω Ae = e F / F F A = χ, Z coplessi Ω + ω i Z + iγ Ω χ Ω γ Ω χ = ω Ω + iγ Ω ha fase δ = arctan ω Ω

26 ω γ Ω Z = γ + iω ha fase δ Z = arctan Ω ω Ω ipedenza eccanica Soluzione particolare cercata: z t F F Ωt δ = = = = χ e χ iωt iωt i Ae e e iδ F / e i Ω t δ = ω Ω + γ Ω che ha parte reale F / x t = z t = Ωt δ Re cos tanδ = γ Ω ω Ω ω Ω + γ Ω

27 Soluzione generale: soa con la soluzione della oogenea x t = x t + x t = oo part F / τ = A ωt + ϕ + Ωt δ t e cos cos γ ω = ω 4 ω 4τ ω Ω + γ Ω La pria, però, diventa trascurabile dopo qualche τ. ed è l unica che dipende dalle condizioni iniziali A e ϕ "

28 F / x t Ωt δ cos ω Ω + γ Ω γ Ω δ = arctan ω Ω Questa è detta soluzione stazionaria: ha la pulsazione uguale a quella della forza esterna l apiezza non dipende dalle condizioni iniziali 3 l apiezza dipende olto dalla differenza delle pulsazioni: risonanza 4 l oscillazione è sfasata rispetto alla forza esterna

29 F / x t Ωt B Ωt δ cos δ cos ω Ω + γ Ω apiezza δ B γ Ω δ = arctan ω Ω F/k Ω = ω γ ax Ω per β γ l apiezza ax tende a 9 Ω

30 F / x t cos Ωt δ γ Ω δ = arctan ω Ω + γ Ω ω Ω F F F A = x t cos Ωt doina k Ω ω ω k ; k δ in fase con forza esterna F x t cos Ωt F doina Ω A Ω ω Ω ; in opposizione di fase δ π con forza esterna F F A x t sin Ωt doina β Ω ω β Ω ; βω δ π/ in quadratura con forza esterna

31 L energia totale edia, il quadrato dell apiezza di oscillazione e altre grandezze ancora possono essere scritte in terini della funzione di risposta R dell oscillatore: x t F / Ω = cos F γ Ω ω Ω + γ Ω ω Ω + γ Ω t δ t δ t δ = cos Ω = F β Ω = Ω Ω R cos γ Ω R Ω = γ Ω ω Ω + γ Ω ω F E = ka = R Ω β Ω

32 R Ω = γ Ω ω Ω + γ Ω γ = β Ω ax = ω γ β = = γ

33 L analogo elettrico è un circuito RLC, con forza elettrootrice Vt R x Q β = γ L con e ω = L LC τ = R L di + Ri + Q = V t Q + R Q + Q = V t dt C L LC L si può variare la frequenza propria del circuito ω con un condensatore a capacità variabile

34 Se arriva un segnale esterno da una antenna di pulsazione Ω, esso provoca oscillazioni elettriche apie quando ω Ω. La larghezza della curva è γ = R / L, che deterina la selettività; per valori dei segnali con Ω lontano da ω più di R/L, le oscillazioni generate sono olto piccole e i segnali non vengono rilevati. γ = R L