Misure con circuiti elettrici

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1 Misure con circuiti elettrici Samuele Straulino Laboratorio di Fisica II - S.S.I.S

2 Descriverò in particolare questi aspetti: comportamento a regime di alcuni circuiti con componenti, C, L alimentati con una differenza di potenziale (d.d.p.) sinusoidale; condizione di risonanza in un circuito CL; regime transitorio in presenza di una tensione rapidamente variabile.

3 Circuito puramente resistivo in presenza di una d.d.p. sinusoidale V (t) = cos ωt i(t) = cos ωt V (legge di Ohm) La tensione applicata e la corrente che attraversa il circuito hanno la stessa frequenza e sono in fase.

4 Circuito puramente resistivo in presenza di una d.d.p. sinusoidale π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

5 Circuito puramente capacitivo in presenza di una d.d.p. sinusoidale V (t) Q(t)/C = 0 Q(t) = C cos ωt V C i(t) = ω C sin ωt La tensione applicata e la corrente che attraversa il circuito hanno la stessa frequenza ma sono sfasate di π 2 (la corrente è in anticipo rispetto alla tensione applicata).

6 Circuito puramente capacitivo in presenza di una d.d.p. sinusoidale π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

7 Circuito puramente induttivo in presenza di una d.d.p. sinusoidale V (t) L di dt = 0 i(t) = L cos ωt dt V L = ωl sin ωt La tensione applicata e la corrente che attraversa il circuito hanno la stessa frequenza ma sono sfasate di π 2 (la corrente è in ritardo rispetto alla tensione applicata).

8 Circuito puramente induttivo in presenza di una d.d.p. sinusoidale π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

9 Circuito C cos ωt Q C = i d dt ω sin ωt i C = di dt V C Si cerca una soluzione del tipo i = i 0 cos(ωt + ϕ): ω sin ωt = i 0 C cos (ωt + ϕ) ω i 0 sin (ωt + ϕ) Valutando questa espressione in ωt = 0 e ωt = π 2 e risolvendo il sistema così ottenuto si trova: i 0 = ω C 1 + ω 2 τ 2 τ = C (COSTANTE DI TEMPO DEL CICUITO) tan ϕ = 1 ω τ V = i 0 cos (ωt + ϕ) è sfasato rispetto a V

10 Circuito L cos ωt L di dt = i Nota: nel caso non ideale va considerata anche la resistenza L V L Si cerca una soluzione del tipo i = i 0 cos(ωt + ϕ): cos ωt = ω L i 0 sin (ωt+ϕ)+ i 0 cos (ωt+ϕ) Valutando questa espressione in ωt = 0 e ωt = π e risolvendo il sistema così ottenuto si trova: 2 i 0 = τ = L/ 1 + ω 2 τ 2 tan ϕ = ω τ

11 Circuito CL d dt cos ωt L di dt Q C = i ω sin ωt = L d2 i dt 2 + i C + di dt V C Si cerca una soluzione del tipo i = i 0 cos(ωt + ϕ): L ω sin ωt = ω 2 L i 0 cos (ωt+ϕ) + i 0 C cos (ωt+ϕ) ω i 0 sin (ωt+ϕ) Valutando questa espressione in ωt = 0 e ωt = π 2 i 0 = e risolvendo il sistema così ottenuto si trova: 2 + (1/ωC ωl) 2 tan ϕ = 1/ωC ωl ω = 1/LC risonanza : lo sfasamento ϕ si annulla e la corrente è massima ( i 0 = )

12 Confronto con un modello meccanico Moto in un fluido viscoso senza attrito radente V C k m F L cos ωt 1 C Q L d2 Q dt 2 isonanza per ω = = dq dt 1 LC F 0 cos ωt kx λ dx dt = m d2 x dt 2 λ dx/dt : ATTITO VISCOSO isonanza per ω = k m In entrambi i casi, in assenza di effetti dissipativi ( = 0; λ = 0), il sistema inizialmente eccitato prosegue indefinitamente a oscillare alla frequenza di risonanza, senza che gli venga fornita energia dall esterno (V = 0; F = 0).

13 icerca della frequenza di risonanza Si utilizza la funzione X-Y dell oscilloscopio per guardare V in funzione di V : si osserva un ellisse, che degenera in un segmento quando ω = 1/LC egolare i VOLT/DIV sui due canali in modo che l asse maggiore dell ellisse sia inclinato sullo schermo di circa 45 per ottenere una sensibilità maggiore. Valutare se lo sfasamento intrinseco fra CH1 e CH2 produce un effetto non trascurabile, scambiando fra loro i cavi collegati a questi due ingressi; eventualmente correggere la misura facendo la media delle frequenze ottenute nelle due configurazioni.

14 Circuito C con generatore a onda quadra Per studiare il regime transitorio che si osserva in presenza di tensioni rapidamente variabili utilizziamo una d.d.p. a onda quadra il cui periodo sia molto più lungo della costante di tempo τ = C del circuito. V V C = i V = Q C + dq dt Q C + dq dt = 0 (eq. omogenea associata) Nella soluzione dell equazione omogenea si considera dipendente dal tempo la costante k: Valutare il contributo Q(t) = k(t) e t/τ dq dt = dk dt e t/τ 1 τ k(t)e t/τ Q(t) = C V + Ke t/τ C della resistenza interna del generatore Fronte di salita ( ): Q(0) = 0 V C = (1 e t/τ ) V = e t/τ Fronte di discesa ( ): Q(0) = C V C = e t/τ V = e t/τ

15 Andamento della d.d.p. ai capi di resistenza e condensatore /2 0 - /2 - Dalla misura di T 1/2 (intervallo di tempo in cui il valore della tensione ai capi di condensatore o resistenza passa da a /2) si può ricavare la costante di tempo del circuito: τ = T 1/2 / ln 2

16 Andamento della d.d.p. ai capi del condensatore... /2 0 - / se il periodo dell onda quadra è troppo piccolo

17 Circuito L con generatore a onda quadra Consideriamo ancora una tensione a onda quadra, il cui periodo sia molto più lungo della costante di tempo τ = L/ del circuito. V V L = i V = L di dt + i L di dt + i = 0 Nella soluzione dell equazione omogenea associata si fa variare la costante k: i(t) = k(t) e t/τ di dt = dk dt e t/τ 1 τ k(t)e t/τ i(t) = V + Ke t/τ V L Fronte di salita ( ): V = per t > 0 Fronte di discesa ( ): V = 0 per t > 0 V L = e t/τ V = (1 e t/τ ) V L = e t/τ V = e t/τ

18 Andamento della d.d.p. ai capi di resistenza e induttanza /2 0 - /2 - Come nel caso precedente, dalla misura di T 1/2 si può ricavare la costante di tempo del circuito.