Lezione 4. Laboratorio progettuale (Tecnica delle Costruzioni)

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1 Lezione 4 Laboratorio progettuale (Tecnica delle Costruzioni)

2 Sistei a più gradi di libertà

3 Possibili approcci per valutare la risposta elastica Analisi dinaica, con valutazione della storia della risposta (istante per istante) Analisi odale, per valutare la assia risposta Analisi statica, per valutare in aniera approssiata la assia risposta Ordinanza 3274, punto 4.5

4 Modi di oscillazione libera Telaio piano (con traversi inestensibili): nuero di odi di oscillazione libera = nuero di piani T 1 T 2 T 3 Prio odo Secondo odo Terzo odo

5 Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con ipalcati indeforabili nel piano): nuero di odi di oscillazione = 3 x nuero di piani Se la pianta ha due assi di sietria, i odi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n odi di traslazione in una direzione

6 Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con ipalcati indeforabili nel piano): nuero di odi di oscillazione = 3 x nuero di piani Se la pianta ha due assi di sietria, i odi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n odi di traslazione in una direzione - n odi di traslazione nell altra direzione

7 Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con ipalcati indeforabili nel piano): nuero di odi di oscillazione = 3 x nuero di piani Se la pianta ha due assi di sietria, i odi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n odi di traslazione in una direzione - n odi di traslazione nell altra direzione - n odi di rotazione

8 Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con ipalcati indeforabili nel piano): nuero di odi di oscillazione = 3 x nuero di piani Se la pianta non ha assi di sietria, i odi di oscillazione libera sono accoppiati

9 Modi di oscillazione libera Telaio spaziale senza ipalcati indeforabili nel piano Il nuero di odi di oscillazione libera è olto aggiore

10 Modi libero L equazione del oto, in terini atriciali, è analoga a quella dell oscillatore seplice u i u + k u = 0 La soluzione, in caso di oto libero con deforata odale, è una funzione aronica a condizione che sia ( t) = φ, cos( ω t) i j j det( k ω 2 j ) = 0 Da questa si ricavano le frequenze angolari ω j e quindi i periodi T j (autovalori) e le deforate φ (autovettori)

11 Equazioni del oto libero Una qualsiasi deforata può essere espressa coe cobinazione delle deforate odali φ 1 φ 2 φ 3 = q q q 3 Deforata assegnata Prio odo Secondo odo Terzo odo u = φ q

12 Equazioni del oto libero Con questa posizione, l equazione del oto diventa u + k u = 0 u = φ q M q + K q = 0 Nelle atrici M e K solo i terini della diagonale principale sono diversi da zero Il sistea di equazioni è quindi costituito da equazioni disaccoppiate, ciascuna contenente una sola incognita Si può valutare il contributo di ciascun odo separataente, coe se fosse un oscillatore seplice

13 Equazioni del oto libero con sorzaento Con la stessa posizione, l equazione del oto in presenza di sorzaento diventa u + c u + k u = 0 u = φ q M q + C q + K q = 0 In olti casi anche la atrice C è diagonale e le equazioni sono disaccoppiate (sistei classicaente sorzati)

14 Equazioni del oto (risposta ad un accelerograa) L equazione del oto diventa u + c u + k u = M q + C q + K q I u g I T = φ u g Anche in questo caso se la struttura è classicaente sorzata il sistea si scopone in tante equazioni separate 2 q j + 2 ξ j ω j q j + ω j q j = Γ j u g Γ j = n i= 1 n i= 1 i i φ φ i, j 2 i, j Si noti che l accelerazione del terreno è oltiplicata per Γ j Coefficiente di partecipazione odale: indica se il contributo del odo al oto totale del sistea è più, o eno, rilevante

15 Analisi odale Consiste nel valutare separataente la risposta della struttura vincolata a deforarsi secondo ciascuno dei suoi odi di oscillazione... T S e T Forze sollecitazioni spostaenti

16 Analisi odale Consiste nel valutare separataente la risposta della struttura vincolata a deforarsi secondo ciascuno dei suoi odi di oscillazione e poi cobinare le assie sollecitazioni (o spostaenti) trovati per i singoli odi La cobinazione dei risultati può essere fatta coe radice quadrata della soa dei quadrati (SRSS) o coe cobinazione quadratica copleta (CQC)

17 Il taglio alla base corrispondente al odo j è ) ( *, j e j j b T S V = M dove S e (T j ) è l ordinata spettrale corrispondente al periodo T j M j * è detta assa partecipante = = = φ φ = Γ φ = n i j i i n i j i i j n i j i i j M 1 2, 2 1, 1, * Considerando tutti i odi, la assa partecipante totale coincide con l intera assa presente nella struttura Contributo dei singoli odi Contributo dei singoli odi

18 Contributo dei singoli odi Il prio odo è nettaente predoinante per entità di assa partecipante. Le forze sono tutte dello stesso verso Gli altri odi hanno asse partecipanti via via inori. Essi danno forze discordi, che producono un effetto inore rispetto alla base In generale, è opportuno considerare tanti odi da: - raggiungere una assa partecipante dell 85% - non trascurare odi con assa partecipante superiore al 5%

19 Considerazioni Negli schei spaziali è più difficile valutare l iportanza dei odi: - se il coportaento è disaccoppiato, sono eccitati solo quei odi che danno spostaento nella direzione di azione del sisa - in caso contrario tutti i odi possono dare contributo - se non vi è un ipalcato indeforabile nel suo piano il nuero di odi cresce enoreente ed è più difficile cogliere la risposta totale della struttura

20 Contributo dei singoli odi Negli schei spaziali è più probabile avere odi con periodi olto vicini tra loro: - in questo caso è opportuno usare la sovrapposizione quadratica copleta (CQC) Una buona ipostazione progettuale deve irare ad avere una struttura con ipalcato rigido e con coportaento disaccoppiato (cioè inie rotazioni planietriche)

21 Analisi statica Consiste nel considerare un unico insiee di forze, che rappresentano (in odo seplificato) l effetto del prio odo F k = k z k n i= 1 n i= 1 i i z i S e ( T 1 ) F k i z i Il periodo proprio può essere valutato con forule seplificate T 1 = C1 H Le forze possono essere ridotte con λ=0.85 se l edificio ha aleno 3 piani e periodo non troppo alto 3/ 4

22 Confronto analisi statica odale Edificio con travi eergenti = 60 t trave eergente pilastri Zona 3 a g = 0.15 g Suolo B Classe di duttilità B

23 Periodi, accelerazioni spettrali, asse partecipanti Edificio con travi eergenti T S e M*/M Modo s g 70.1 % Modo s g 13.7 % Modo s g 5.1 %

24 Forze statiche odali [kn[ kn] Edificio con travi eergenti odale analisi piano odo 1 odo 2 odo 3 statica

25 Tagli statici odali [kn[ kn] Edificio con travi eergenti piano analisi odale analisi statica differenza %

26 Confronto analisi statica - odale Edificio con travi a spessore = 60 t trave a spessore pilastri

27 Periodi, accelerazioni spettrali, asse partecipanti Edificio con travi eergenti T S e M*/M Modo s g 70.9 % Modo s g 11.8 % Modo s g 5.4 %

28 Forze statiche odali [kn[ kn] Edificio con travi a spessore analisi piano odo 1 odo 2 odo 3 statica

29 Tagli statici odali [kn[ kn] Edificio con travi a spessore piano analisi odale analisi statica differenza %

30 Analisi statica o analisi odale? L analisi statica fornisce risultati attendibili purché: - la struttura abbia coportaento piano (basse rotazioni planietriche) Analisi statica Per edifici con forti rotazioni, non va bene odo 1 Analisi odale odo 2 inviluppo

31 Analisi statica o analisi odale? L analisi statica è cautelativa purché: - la struttura abbia coportaento piano (basse rotazioni planietriche) - la struttura abbia periodo non eccessivaente alto S e2 accelerazione olto bassa, non cautelativa S e1 T 2 T 1

32 Analisi statica o analisi odale? L analisi statica è cautelativa purché: - la struttura abbia coportaento piano (basse rotazioni planietriche) - la struttura abbia periodo non eccessivaente alto - la stia del periodo proprio sia affidabile L uso del coefficiente riduttivo λ rende i risultati dell analisi statica non particolarente gravosi rispetto a quelli dell analisi odale

33 Analisi statica o analisi odale? La nora vieta l uso dell analisi statica se: - il periodo proprio supera 2.5 T C - la struttura è irregolare in altezza Coento: nella pria versione la nora parlava di irregolare in pianta ; la odifica è stata introdotta dall Errata Corrige Mi sebra olto più coerente con gli studi teorici il riferiento alla irregolarità in pianta, presente nella versione originale

34 Regolarità in pianta la configurazione in pianta è copatta e approssiativaente sietrica rispetto a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di asse e rigidezze il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui l edificio risulta inscritto è inferiore a 4; aleno una diensione di eventuali rientri o sporgenze non supera il 25 % della diensione totale dell edificio nella corrispondente direzione; i solai possono essere considerati infinitaente rigidi nel loro piano rispetto agli eleenti verticali e sufficienteente resistenti.

35 Regolarità in pianta il rapporto tra resistenza effettiva e resistenza richiesta dal calcolo nelle strutture intelaiate progettate in Classe di Duttilità Bassa non è significativaente diverso per piani diversi (il rapporto fra la resistenza effettiva e quella richiesta calcolata ad un generico piano non deve differire più del 20% dall analogo rapporto deterinato per un altro piano); può fare eccezione l ultio piano di strutture intelaiate di aleno tre piani; eventuali restringienti della sezione orizzontale dell edificio avvengono in odo graduale da un piano al successivo, rispettando i seguenti liiti: ad ogni piano il rientro non supera il 30% della diensione corrispondente al prio piano, né il 20% della diensione corrispondente al piano iediataente sottostante. Fa eccezione l ultio piano di edifici di aleno quattro piani per il quale non sono previste liitazioni di restringiento.

36 Regolarità in elevazione tutti i sistei resistenti verticali dell edificio (quali telai e pareti) si estendono per tutta l altezza dell edificio; assa e rigidezza riangono costanti o variano gradualente, senza bruschi cabiaenti, dalla base alla cia dell edificio (le variazioni di assa da un piano all altro non superano il 25 %, la rigidezza non si abbassa da un piano al sovrastante più del 30% e non auenta più del 10%); ai fini della rigidezza si possono considerare regolari in altezza strutture dotate di pareti o nuclei in c.a. di sezione costante sull altezza o di telai controventati in acciaio, ai quali sia affidato aleno il 50% dell azione sisica alla base;

37 Analisi statica o analisi odale? Oggi l analisi odale è sicuraente il etodo principale di riferiento per l analisi strutturale, perché è affidabile e orai alla portata di tutti (grazie ai prograi per coputer) L analisi statica è però uno struento fondaentale per capire il coportaento fisico della struttura e per valutarne a priori la risposta (e quindi anche per controllare a posteriori i risultati dell analisi odale)

38 FINE