POLITECNICO DI TORINO DIPLOMI UNIVERSITARI TELEDIDATTICI

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1 POLITECNICO DI TORINO DIPLOMI UNIVERSITARI TELEDIDATTICI Esae di Fisica I 21/10/98 1. Un lago alpino, a quota 2560, ha una superficie di circa Durante l'inverno esso è coperto da uno strato di ghiaccio dello spessore di circa ezzo etro. Calcolare la variazione di entropia del lago provocata dalla fusione del ghiaccio, nella stagione estiva. Si tenga conto che per fondere 1 kg di ghiaccio a 0 C sono necessari J (calore latente di fusione) e che la densità del ghiaccio è kg/ Una coune bottiglia di plastica trasparente da 1.5 litri viene svuotata, tappata e lasciata per un'ora al sole. Si supponga che, tranne che per il calore che riceve dal sole, la bottiglia sia isolata. (Questa ipotesi non è realistica e di conseguenza il risultato sarà paradossale). Facendo riferiento alla figura e considerando cilindrica la bottiglia, stiare la superficie irradiata, e quindi calcolare l'auento di teperatura dell'aria in essa contenuta. La potenza irradiata dal Sole è di 1.3 kw/ 2 (costante solare) e per far auentare di 1K la teperatura di 1 3 d'aria sono necessari J. 3. E' grazie alla resistenza dell'aria che le gocce di pioggia, durante i teporali, non sono proiettili ortali. Valutare la quantità di oto che avrebbe una goccia di pioggia se cadesse nel vuoto, stiando la assa della goccia ed assuendo l altezza della nube pari a Si confronti il valore ottenuto con quello di un proiettile d'ara da fuoco, che è circa 2 kg /s. 4. Un tipo di altalena adatto a babini piccoli è costituito da un'ibracatura sospesa traite elastici che si possono agganciare, per esepio, al bordo superiore di una porta. Calcolare la relazione tra la lunghezza (regolabile) degli elastici a riposo (l 0) e l altezza h alla quale occorre agganciare l'ibracatura per far sì che il babino tocchi terra nel punto di equilibrio. Si usi per il sistea il odello ostrato in figura. 5. Per diostrare agli allievi la costanza del oento angolare in un sistea isolato, un insegnante pensa di ontare la rotaia circolare del trenino elettrico dei figli su una piattafora girevole porta-tv, anch'essa circolare, coe in figura. Indicando con R il raggio della piattafora e della rotaia, con la assa del trenino, e con M la assa della piattafora, calcolare di quale angolo ruota la piattafora quando il treno copie un giro intero. (Il oento d'inerzia della piattafora è I= 1/2 MR 2 ). Si valuti tale angolo dando una stia delle asse del trenino e della piattafora. PROBLEMA N. 1 SOLUZIONI

2 I dati sono i seguenti: S = d = 0.5 L = J / kg superficie del lago spessore del ghiaccio calore latente di fusione µ = kg/ 3 densità del ghiaccio Si vuole saper qual è l'auento di entropia dovuto alla sola fusione del ghiaccio, quindi si suppone di partire da uno stato in cui il ghiaccio è già a 0 C e di arrivare allo stato in cui non c'è più ghiaccio a tutta l'acqua è ancora alla teperatura di 0 C. In questo odo, l'auento di entropia è solo quello dovuto al cabiaento di fase. Occorre innanzi tutto calcolare la assa di ghiaccio. Il volue è dato da (1) V = S d e quindi la assa è data da (2) M = µ S d Ora sappiao che δq (3) ds = T e quindi in generale la variazione di entropia in una trasforazione finita si ottiene dall'integrale: (4) S = δ Q T f i Tuttavia nel nostro caso la trasforazione avviene a teperatura costante, per cui T può essere portato fuori dall'integrale, e quest'ultio dà sepliceente il calore totale assorbito dal ghiaccio: 3 kg J Q M L µ Sd L kg (5) S = = = = = T T T 273K = J/K J/K PROBLEMA N. 2 I dati sono: V = 1.5 l volue della bottiglia

3 w = 1.3 kw/ 2 c V = costante solare J calore specifico dell'unità di volue (a volue costante) 3 K Si noti innanzitutto che il calore specifico a volue costante dell'unità di volue in generale dipende forteente dalla teperatura: infatti si può ostrare che vale la relazione n (1) c V = c ol V dove si è indicato con c ol il calore specifico olare a volue costante. Il fattore n/v è il nuero di oli di gas per unità di volue, che dipende dalla teperatura, perché partendo dall'equazione di stato dei gas perfetti si ricava (2) n pv = nrt = V p RT In questo problea tuttavia n/v è costante, perché la bottiglia è tappata (per cui n non cabia) ed il suo volue è costante. Ne consegue che, in questo caso, il calore specifico dell'unità di volue è ben definito ed assue il valore costante dato nel problea. Per valutare la superficie irradiata si prenda coe stia del diaetro della bottiglia d = 2r 8 c. In questo odo (3) S = π r 2 = 3.14 ( ) L'energia assorbita dalla bottiglia (e quindi dall'aria in essa contenuta) durante il tepo t = 1h = 3600 s è data da: J (4) E = w S t = s J s Questa energia, nell'ipotesi (assurda) che non vi siano altri scabi di calore con l'esterno, è anche uguale all'auento di energia interna dell'aria contenuta nella bottiglia. Poiché si conosce il calore specifico dell'unità di volue, si può scrivere che (5) E = U = c V V T ove naturalente V è il volue dell'aria (1.5 litri) e T il suo auento di teperatura. Pria di calcolare T dalla (5) occorre notare che il volue deve essere convertito in 3, tenendo conto che 1 litro = 1 d 3 = Quindi (6) T = E c V V J = K! J 3 K E' evidente che il risultato, coe annunciato nel testo del problea, è del tutto paradossale; tuttavia è utile per notare quanto grande sia l'effetto dello scabio terico tra la bottiglia e l'esterno nel deterinare la vera teperatura dell'aria. Quello che accade in realtà è che si crea un equilibrio tra la corrente di energia entrante e quella uscente, che fa sì che, a eno di non variare le condizioni sperientali, la teperatura dell'aria nella bottiglia rianga costante. Sperientalente si trova che tale teperatura è un po' aggiore di quella dell'abiente.

4 PROBLEMA N. 3 L'unico dato è l'altitudine a cui si origina la goccia: h = 5000 Tale altezza può apparire eccessiva, a si deve tenere conto che le nubi teporalesche (cuulonebi), si forano tra i 2000 e i 6000 etri d'altezza e, a differenza delle altre, hanno uno sviluppo verticale notevole, con spessori di alcuni chiloetri. Si deve allora stiare la assa della goccia. Coe sepre, è eglio pria stiare le diensioni e poi oltiplicare il volue per la densità dell'acqua, che è nota. Supponiao per esepio che la goccia sia una sfera di raggio r = 0.5 c. In tal caso il suo volue è (1) V = 4/3π r 3 = 4/ = c c 3 e la sua assa (2) = µ V = 1 g/c c 3 = 0.5 g Per conoscere la velocità della goccia quando arriva al suolo da un'altezza di 5000, usiao la conservazione dell'energia nel sistea goccia-terra: (3) E = E potenziale + E cinetica = costante Nell'istante iniziale l'energia è tutta potenziale (supponiao che la goccia si a inizialente fera) e vale: (4) E i = g h Nell'istante finale (iediataente pria che la goccia tocchi terra) tutta l'energia è diventata cinetica, e vale (5) E f = 1/2 v 2 Ponendo E i = E f, in accordo con la (3), si ottiene che (6) g h = 1/2 v 2 e si ricava la velocità 3 (7) v = 2gh /s 2 s avendo posto Per avere un'idea dell'enorità del valore di v, lo si converta in k/h (che è l'unità di isura della velocità cui siao più abituati):

5 k (8) v = 316 /s = h = k h!! Per ottenere infine la quantità di oto della goccia in queste condizioni, è sufficiente usare la relazione (9) q = v = 0.5 g 316 /s = kg 316 /s = kg /s e si ottiene che essa è circa 1/12 della quantità di oto di un proiettile d'ara da fuoco. Si noti quanto segue: 1. le gocce di pioggia durante un teporale possono avere diensioni superiori a quelle da noi stiate, e quindi la loro quantità di oto, se cadessero nel vuoto, potrebbe essere ancora più grande di quella ora ottenuta. 2. in realtà le gocce si coportano coe corpi iersi in un fluido, e sono pertanto sottoposte ad un attrito che si può ritenere con buona approssiazione proporzionale alla loro velocità. Questo fa sì che, dopo una pria fase di oto accelerato, esse arrivino presto ad una velocità liite e continuino la caduta a velocità costante. Tale velocità, nel caso di gocce di pioggia di 1.5 c di raggio, vale 7 /s ( 1 ). PROBLEMA N. 4 Il problea chiede di calcolare la relazione tra la lunghezza degli elastici a riposo (l0) e l altezza h a cui occorre agganciare l'ibracatura per far sì che il babino tocchi terra nel punto di equilibrio. Il sistea "babino + ibracatura" può essere considerato un sistea oscillante forato da una olla (il cui estreo superiore è fisso) e da una assa agganciata al suo estreo libero. I dati sono i seguenti: l0 k h lunghezza a riposo degli elastici costante elastica assa del babino altezza a cui si agganciano gli elastici Coe in tutti i problei di dinaica, si costruisca il diagraa delle forze per la assa : la assa risente della propria forza peso, diretta verso il basso, e di una forza di reazione elastica dovuta alla olla. La forza peso è, coe noto (1) P = g 1. cfr. Halliday - Resnick - Krane, Fisica 1, Casa Editrice Abrosiana (Milano) 4 a ed., pag. 121

6 entre la forza elastica ha espressione (2) F el = k x essendo x l'allungaento (vettoriale) della olla. Si noti che F el è diretta verso l'alto o verso il basso a seconda che la olla sia allungata o copressa. La condizione di equilibrio si verifica quando la assa non è sottoposta ad alcuna accelerazione, ossia quando le due forze citate hanno risultante nulla. In questa condizione ovviaente la forza di reazione elastica deve avere verso opposto a quello della forza peso, e la relazione tra i oduli delle due forze deve essere (3) g = k x da cui si ottiene il valore dell'allungaento x: (4) x = g k Sapendo che gli elastici (o la olla, se ci si riferisce al odello) a riposo hanno lunghezza l0, si ottiene che l'altezza h alla quale occorre agganciare l'ibracatura è legata ad l0 ed alla assa del babino dalla relazione (5) h = l0 + g k PROBLEMA N. 5 Le grandezze in gioco sono: M R I = 1/2 MR 2 assa del trenino assa della piattafora raggio della piattafora e della rotaia (supponiao che coincidano) oento d'inerzia della piattafora (nell'approssiazione di disco oogeneo) Facciao uso di un odello in cui il sistea treno + piattafora è isolato: per fare ciò è necessario supporre trascurabili gli attriti tra la piattafora ed il suo perno. Poiché il sistea è isolato, dalla 2 a legge di Newton scritta in fora dl (1) ΣM ext = dt consegue che L, ossia il oento angolare del sistea, è costante. Si ricordi che la relazione

7 (2) L = I ω è valida in questa fora vettoriale soltanto in due casi: a) per sistei sietrici rispetto all'asse di rotazione b) per corpi puntifori in rotazione attorno ad un asse, nel caso olto particolare in cui il polo rispetto a cui si calcola L sta sul piano della traiettoria: entre negli altri casi è vera solaente la relazione scalare: (3) L z = I ω perché il vettore ω non è parallelo a L. Ora, il nostro sistea è coposto dalla piattafora, che è sietrica rispetto al suo asse di rotazione (caso a) e dal trenino che può essere considerato un punto ateriale in oto rotatorio attorno allo stesso asse. Se si sceglie coe polo (rispetto al quale si calcolano i oenti) il centro della piattafora, si ricade nel caso b, per cui si conclude che, con questa scelta, per l'intero sistea "treno + piattafora" vale la relazione (2) ed il oento angolare è parallelo alla velocità angolare. Pria che il trenino sia esso in oto, il oento angolare del sistea, rispetto al sistea di riferiento del laboratorio, è certaente nullo perché non vi è rotazione: (4) L i = 0 Quando il trenino si uove (supponiao a velocità costante, in ancanza di precisazioni) il oento angolare totale è la soa di due contributi: (5) L = L t + L p dovuti rispettivaente al treno ed alla piattafora e che valgono: (6) L t = I t ω t L t = L t = R 2 ω t (7) L p = I p ω p L p = L p = 1/2 MR 2 ω p La condizione L = costante iplica che sia (8) L = L i Poiché tutti i oenti in gioco hanno la stessa direzione, possiao scrivere la (8) in odulo, ottenendo la relazione scalare

8 (9) R 2 ω t + 1/2 MR 2 ω p = 0 in cui, coe è facile notare, il raggio scopare dopo la seplificazione. Da questa si può ricavare ω p, ottenendo (10) ω p = 2 ω t M Il segno sta ad indicare che la piattafora ruota in senso inverso rispetto al trenino. Per passare agli angoli basta osservare che le velocità angolari sono costanti, e quindi (11) ω p = θ p / t ω t = θ t / t Sostituendo le (11) nella (10) si arriva infine a (12) θ p = 2 θ t M Nel tepo in cui il trenino descrive un angolo θ t = 2π, pertanto, la piattafora ruota di un angolo (13) θ p = 4π M (rad) Se si stiano le due asse, per esepio ponendo 0.5 kg M 2 kg si ottiene che θ p = 4π 0.5 / 2 rad = π rad ossia entre il treno copie un giro copleto, la piattafora fa ezzo giro in senso inverso.