teoria cinetica dei gas Problemi di Fisica teoria cinetica dei gas

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1 Problei di Fisica teoria cinetica dei gas

2 Calcolare la pressione esercitata dalle olecole di un gas perfetto sapendo che la elocità quadratica edia è pari a 84 /s e che la densità è uguale a 8,9 - kg/. La pressione esercitata dalle olecole del gas iene calcolata sepliceente attraerso l applicazione diretta della seguente forula: p ρ 8,9 84, Pa at Calcolare a quale teperatura le olecole di idrogeno hanno elocità quadratica edia pari a, /s. Sapendo che la elocità quadratica edia è legata alla teperatura dalla relazione: R O si ricaa che: R (, ) 8, O 7 K doe O g/ol - kg/ol è la assa per ole dell idrogeno. Calcolare la elocità quadratica edia delle olecole di un gas perfetto che si troa a pressione p, at e a teperatura K, sapendo che alla stessa pressione e a teperatura 7 K la densità del gas è ρ, kg/. La elocità quadratica edia è data da: p ρ

3 Per la pria legge di Gay-Lussac, antenendo costante la pressione del gas, il suo olue aria in aniera direttaente proporzionale alla teperatura assoluta. Indicando con il olue alla teperatura e con quello alla teperatura, abbiao: Poiché, per una fissata assa di gas la densità è: otteniao che: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ, 7,68 kg/ () Infine, sostituendo nella () i relatii alori si ha:,, 669/s,68 A quale teperatura la elocità quadratica edia delle olecole di anidride carbonica (CO ) è uguale alla elocità di un aereo supersonico che iaggia a k/h? Sapendo che la elocità quadratica edia è data da: R la teperatura la ricaiao coe forula inersa: () R La assa della olecola di CO è 44 u, per cui la assa per ole della sostanza è: 44 g/ol 4,4 - kg/ol entre la elocità quadratica edia delle olecole è: k/h /s Sostituendo questi dati nella () si ha: 4,4 8, 96K

4 L'aria è principalente una iscela di azoto N (assa olecolare: 8. u) e di ossigeno O (assa olecolare:. u). Calcolare la elocità quadratica edia dell'azoto e dell'ossigeno quando la teperatura dell'aria è 9 K. Poiché la assa per ole dell azoto è: N 8, g/ol 8, - kg/ol otteniao la elocità quadratica edia delle olecole dell azoto applicando la seguente forula: N R N 8, 9 /s 8, Inece, la assa per ole dell ossigeno è: O, g/ol, - kg/ol per cui la elocità quadratica edia delle olecole dell ossigeno è: N R N 8, 9, 478/s Per confronto, la elocità del suono alla teperatura di 9 K è 4 /s, dello stesso ordine di grandezza delle elocità di agitazione terica delle olecole. Quando nell aria si propaga un suono, tuttaia, le olecole non si spostano per lunghi tratti nella direzione dell onda sonora; ciò che iaggia è l energia associata all onda. Se si auenta da 7, C a 7, C la teperatura di una ole di idrogeno, calcolare la ariazione di energia cinetica di traslazione, espressa in cal/ol, delle olecole L'energia cinetica edia delle olecole in funzione della teperatura assoluta è espressa da: E C nr per cui, la ariazione di energia cinetica è: doe R,99 cal/ol K ΔE EC EC nr ( ),99 ( ) 89, 6 C cal/ol

5 ediante una trasforazione a olue costante un gas perfetto onoatoico, inizialente alla teperatura K, iene portato dalla pressione p 9, at alla pressione p, at. q Calcolare la ariazione di energia cinetica edia per olecola che si ha in seguito alla trasforazione. In una trasforazione a olue costante, la pressione e la teperatura assoluta di un gas perfetto sono direttaente proporzionali (seconda legge di Gay-Lussac), per cui la teperatura che corrisponde alla pressione p è: p, K p 9, Essendo il gas onoatoico, l'energia cinetica edia delle sue olecole in funzione della teperatura assoluta è espressa da: E C k per cui, la ariazione di energia cinetica nella trasforazione è: Δ EC EC EC k ( ),8 ( ) 6,8 J Un serbatoio contiene, oli. Facendo l ipotesi che l elio si coporti coe un gas perfetto, troare l energia cinetica edia totale delle olecole del gas e l energia cinetica edia per olecola. Usando il fatto che la assa per ole dell elio è 4, - kg/ol, calcolare la elocità quadratica edia degli atoi a, C. L'energia cinetica totale del gas, indicando con la assa di una olecola, è: tot E C () doe nhe 4 8g 8 - kg/ol 4, g / ol 4, k / ol He La elocità quadratica edia è data da:

6 R 8, 9 He 4, /s Sostituendo nella () i dati ricaati e quelli del problea, otteniao: tot EC 8 7J L energia cinetica edia per olecola, inece, la calcoliao coe: E tot C N 7 68 J doe: N n N A, 6, olecole Due recipienti contengono lo stesso nuero N di olecole di un gas perfetto onoatoico, le cui elocità quadratiche edie in condizioni di equilibrio sono rispettiaente 4 /s e /s. Se si pongono i due recipienti in counicazione, supponendo che non ci siano scabi di energia con l'abiente, quale sarà la elocità quadratica edia all'equilibrio? Pria di ettere in counicazione i due recipienti, l'energia cinetica totale dei due gas, indicando con la assa di una olecola, è: tot E C N + N () In un gas perfetto le interazioni fra olecole, alle quali sarebbe associata un'energia potenziale, sono assenti. Perciò l'energia eccanica totale delle olecole coincide con l'energia cinetica totale. Poiché i gas contenuti nei due recipienti costituiscono, nel loro coplesso, un sistea isolato, tot l'energia EC si consera. Dopo che i recipienti sono stati essi in counicazione, indicando con l'energia quadratica edia delle olecole all'equilibrio, abbiao: tot E C N () Dal confronto delle relazioni () e () otteniao la elocità quadratica edia all equilibrio: N 4 ( ) N 4 /s

7 A quale teperatura la elocità quadratica edia delle olecole di azoto è uguale a quella posseduta dalle olecole di idrogeno a 7 C? L espressione della elocità quadratica edia per le olecole di azoto alla teperatura * è: R * N La stessa relazione per le olecole di idrogeno è: R H Poiché il problea chiede di deterinare a quale teperatura * le olecole di azoto possiedono la stessa dell'idrogeno, dobbiao uguagliare le elocità quadratiche edie dei due gas: R * N R H Da questa uguaglianza ricaiao la teperatura *: * * N H H N 8 4 K sapendo che la assa olecolare dell azoto e dell idrogeno sono: N 8g/ol 4 - kg/ol H g/ol 8 - kg/ol Qual è la elocità quadratica edia delle olecole di argon (Ar), quando il gas si troa in uno stato terodinaico a teperatura 7 K? A quale teperatura * si troa una certa quantità di azoto (N ) le cui olecole possiedono la stessa elocità dell'argon a teperatura? q ODELLO FISICO Poiché le olecole dei due gas hanno la stessa elocità quadratica edia, la diersa energia cinetica edia è douta alle differenti asse delle olecole. Poiché la teperatura dei gas è proporzionale alla loro energia cinetica edia, ci aspettiao, nelle condizioni del problea, che

8 la teperatura del gas costituito da olecole più pesanti sia superiore a quella del gas più leggero. q LEGGI ED EQUAZIONI L'energia cinetica totale di una assa di gas perfetto è legata alla teperatura ediante la relazione: E C nr La assa del gas, riferita al nuero di oli e alla assa olecolare è: n q ALGERICA Sostituendo l espressione per la assa in quella dell energia cinetica, possiao ricaare il alore della elocità delle olecole di argon: nr nr R nar Ar R Ar Scriendo la stessa relazione per l azoto di assa olecolare N e alla teperatura * si ha: R N Poiché il problea chiede di deterinare la teperatura * alla quale si troa una certa quantità di azoto (N ) le cui olecole possiedono la stessa elocità dell'argon a teperatura, dobbiao uguagliare le elocità quadratiche edie dei due gas: R R * Ar N Da questa uguaglianza ricaiao la teperatura *: * N Ar N * Ar q NUERICA Sapendo che la assa olecolare dell argon e dell azoto sono: Ar 4g/ol 4 - kg/ol N 8g/ol 8 - kg/ol ricaiao che: 8, /s * 7 9K 4

9 Calcolare il caino libero edio delle olecole dell'aria atosferica al liello del are (p at, Pa) e a una teperatura di 7, C, assuendo coe raggio olecolare r,. -. Coe aria il caino libero edio con la teperatura? Il caino libero edio, ossia la distanza edia che una olecola percorre con oto rettilineo unifore fra due urti successii, è dato da: doe:.. λ () ns 4 πr n N n rappresenta il nuero di olecole per unità di olue (da non confondere con il nuero di oli) S 4πr la sezione d urto, ossia la superficie di ciascuna sfera Per calcolare n, utilizziao l equazione di stato dei gas perfetti. Se N è il nuero totale di olecole, si ha: p p Nk N () k per cui: n p k k p,,8,4 olecole/ Sostituendo il alore di n nella () insiee ai dati del problea, otteniao: λ 4 π (, 7, ),4 Poiché il nuero n di olecole per unità di olue, in base alla (), è inersaente proporzionale alla teperatura assoluta, il caino libero edio, in base alla (), essendo inersaente proporzionale a n, sarà direttaente proporzionale a. Una certa quantità di elio occupa alla teperatura K e alla pressione p at, un olue, litri. Calcolare: a. il nuero delle olecole b. la elocità quadratica edia c. la elocità più probabile e la elocità edia di una olecola

10 a. Dal principio di Aogadro sappiao che il olue di una ole di gas qualsiasi in condizioni norali, cioè alla teperatura di C e alla pressione di at, è pari a,4 litri (olue olare). entre, il olue che l elio arebbe se enisse portato alla teperatura di C (7 K), antenendo costante la pressione, è: 7,,87litri Pertanto, il nuero di oli che occupano il olue è:,87 n,69ol,4 ol e quindi il nuero di olecole è: N nna,69 6,, olecole b. Osserando che la assa atoica dell elio è 4, u e, quindi, la sua assa per ole è 4, g/ol 4, - kg/ol, la elocità quadratica edia è: R 8,,4 4, /s c. Dalla distribuzione di axwell si possono ricaare, alla teperatura, le seguenti espressioni per la elocità più probabile e la elocità edia di una olecola: k 8 π p 8k π Sostituendo alla il alore calcolato al punto b), si ha: p,4,7 /s 8,4, /s π Il etano CH 4 ( 6 g/ol) in condizioni norali contiene,7 9 olecole per c. Assuendo coe diaetro olecolare,74 -, calcolare: a. la elocità quadratica edia b. il caino libero edio c. il nuero di urti al secondo d. l interallo di tepo edio tra due urti successii

11 a. Quando parliao di condizioni norali ci riferiao alla pressione p at e alla teperatura t C. Pertanto la elocità quadratica edia delle olecole di etano in queste condizioni è: R 8, 7 6 6/s b. Il caino libero edio, ossia la distanza edia che una olecola percorre con oto rettilineo unifore fra due urti successii, è dato da: λ,, c () ns,7,6 doe: N,7 9 olecole/c,7 olecole/ rappresenta il nuero di olecole per unità di olue (da non confondere con il nuero di oli),74 S 4πr 4π,6 rappresenta la sezione d urto, ossia la superficie di ciascuna sfera c. Il nuero di urti al secondo, ossia la frequenza di collisione, si calcola coe: f λ 6,,88 9 urti/secondo d. Poiché tra due urti successii le olecole si uoono di oto rettilineo unifore, dalla cineatica ricaiao che l interallo edio è dato da: τ λ f,88 9,7 9 s Per quale alore del rapporto / la elocità più probabile delle olecole di un gas perfetto, a una teperatura di equilibrio, coincide con la elocità quadratica edia delle olecole dello stesso gas, alla teperatura di equilibrio? Dalla distribuzione di axwell si ricaa, alla teperatura di equilibrio, la seguente espressione per la elocità più probabile: p k Per lo stesso gas, alla teperatura di equilibrio, la elocità quadratica edia è data da: k

12 Uguagliando le due relazioni siao in grado di calcolare il rapporto / in irtù del quale la elocità più probabile e la elocità quadratica edia di un gas perfetto coincidono: k k, Calcolare il olue occupato da, g di gas perfetto antenuto a pressione norale, sapendo che la elocità quadratica edia delle olecole è pari a /s Dai dati del problea si capisce che il olue a calcolato partendo dalla definizione di densità: ρ ρ per cui dobbiao puntare l attenzione sul calcolo della densità del gas. La densità è legata alla pressione dalla seguente relazione: p. p ρ da cui: ρ, kg/ doe p at, Pa (gas in condizioni norali). In definitia:,, d, litri, Una certa quantità di gas occupa un olue litri alla pressione di, at. Sapendo che la elocità più probabile è /s, calcolare la assa del gas contenuto nel recipiente. Calcoliao la assa del gas dalla definizione di densità: ρ ρ La densità è legata alla pressione dalla seguente relazione:

13 p ρ da cui: ρ p Però ci anca la elocità quadratica edia, che è legata alla elocità più probabile, che conosciao coe dato del problea, dalla seguente relazione: p 6/s p per cui: Pertanto, la assa del gas è:, ρ,8kg/ 6,8 8, kg 8, g Un recipiente aente un olue di, contiene alla pressione di, at e alla teperatura di 7, C delle olecole di azoto N ( 8, g/ol). Considerando l azoto gas perfetto, calcolare l energia cinetica totale delle olecole. L energia cinetica totale di n oli di gas biatoico è data da: C nr doe E tot n Però ci anca la assa del gas, che è legata alla densità dalla relazione: ρ A sua olta, la densità la ricaiao dalla relazione della pressione: p, p ρ ρ,4 kg/ 7 R 8, doe: 7 /s 8 Nota la densità, siao in grado di calcolare assa e nuero di oli del gas:

14 ,8,4,8 kg n 8, 4ol 8 Infine, abbiao tutti i dati per calcolare l energia cinetica totale delle olecole di azoto: tot EC 8,4 8,,7 J