Urti in una dimensione.

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1 Noe studenti: Matilde Del Pio e rianna Luise Data: 16/01/13 Luogo: Laboratorio di fisica del liceo. Materiali utilizzati: - guida etallica; - carrellini seoenti; - plastilina; - 2 asse da 50g; - respingenti. Urti in una diensione. Preessa teorica: La legge di conserazione della quantità di oto: Per descriere il oto di un corpo, grandezze cineatiche coe accelerazione e elocità spesso non sono sufficienti. Si pensi per esepio all'urto tra una sferetta fera e una in oiento: la elocità che errà ipressa alla sferetta fera a seguito dell'urto dipende dalla elocità della sferetta in oto, a anche dalle relatie asse. Una sferetta di assa piccola acquista a seguito dell'urto una elocità aggiore di una di assa più grande. Per tener conto della dipendenza della assa sul oto di un corpo, iene introdotta in fisica una nuoa grandezza ettoriale, la quantità di oto, indicata con p, data dal prodotto della elocità di un corpo in oto per la sua assa : Direzione e erso della quantità di oto di un corpo coincidono con quelli della sua elocità. La seconda legge della dinaica stabilisce che, quando un corpo è sottoposto a una forza, aria la sua elocità e di conseguenza aria anche la sua quantità di oto. La seconda legge della dinaica: si può scriere anche in terini di ariazione della quantità di oto. La legge scritta coe sopra ale soltanto nel caso in cui la assa del corpo resti costante durante il processo. Se, per esepio, si doesse studiare la forza alla quale è sottoposto un issile, che perde grandi quantità di cobustibile nel lancio, o di un corpo qualsiasi la cui assa aria quando è sottoposta a una forza, si dorebbe utilizzare una diersa forulazione della legge. Poiché l'accelerazione è per definizione la ariazione della elocità nel tepo, la seconda legge della dinaica si può scriere nel seguente odo: che esprie il concetto per cui la forza agente su un corpo è uguale alla ariazione della sua quantità di oto nel tepo. Nel caso in cui un corpo non sia sottoposto ad alcuna forza (F = 0), o sia sottoposto a una serie di forze la cui risultante è nulla, la seconda legge della dinaica scritta in terini di quantità di oto esprie la legge di conserazione della quantità di oto: la quantità di oto di un corpo sottoposto a forze di risultante nulla è costante nel tepo. nalogaente, dato un sistea

2 costituito da più corpi, se si definisce la quantità di oto totale del sistea coe la soa delle quantità di oto dei singoli corpi che lo copongono, si può dire che, in un sistea di corpi sottoposto a forze di risultante nulla, la quantità di oto totale del sistea riane costante. Si definisce infine ipulso, I, di una forza F il prodotto della forza applicata a un corpo per l'interallo di tepo t nel quale dura l'applicazione: per cui la seconda legge della dinaica si può scriere coe: a significare che l'ipulso di una forza applicata a un corpo è uguale alla ariazione della quantità di oto del corpo stesso. La legge di conserazione della quantità di oto iene utilizzata per studiare gli urti tra i corpi. Quantità di oto e urti La quantità di oto risulta olto utile nello studio degli urti tra due o più corpi, che aengono nell'interazione tra i corpi a distanze olto raicinate e in tepi breissii. In questi casi le forze in causa, che agiscono per interalli di tepo olto brei, si dicono ipulsie e la loro azione produce l'effetto di cabiare istantaneaente la direzione e la elocità dei corpi che collidono. Consideriao il caso più seplice di urto, quello douto allo scontro fra due sferette (indicate con e ) in oto; durante l'urto con la sferetta, la sferetta è sottoposta a un ipulso dato dal prodotto della forza esercitata da, indicata con F, per l'interallo di tepo t durante il quale aiene l'urto, che sarà uguale alla ariazione della sua quantità di oto: llo stesso tepo, la sferetta sarà sottoposta a un ipulso, dato dalla forza F esercitata da, che uguaglia la ariazione della quantità di oto di : In base alla terza legge della dinaica, la forza che esercita su dee essere uguale e contraria alla forza che esercita su, quindi: e di conseguenza: Questa uguaglianza si può scriere anche coe: Se la ariazione nel tepo della quantità di oto totale del sistea costituito dalle due sferette è nulla, significa che la quantità di oto totale del sistea è costante, quindi che ale la legge di conserazione della quantità di oto applicato al sistea costituito dalle due sferette: La quantità di oto totale del sistea non cabia a seguito dell'urto. La collisione ha l'effetto di ridistribuire tra le due sferette la quantità di oto di cui il sistea dispone, a la soa totale riane costante: questo significa che la quantità di oto di ciascuna sferetta può ariare di intensità, di direzione e di erso, a la soa delle due riane costante. Su un sistea di questo

3 tipo si è supposto che non agiscano forze esterne non equilibrate, a che le uniche forze che contribuiscono a ariare il oto delle due sferette siano prodotte dall'interazione tra esse, quindi il sistea si può considerare isolato. Si può dunque estendere la legge di conserazione della quantità di oto al caso più generale dicendo che la quantità di oto totale di un sistea isolato si consera, cioè riane costante nel tepo. Questa legge ale per un nuero qualunque di corpi che interagiscono ed è indipendente dalle loro diensioni. Inoltre, coe la legge di conserazione dell'energia, ale anche per quei sistei (per esepio, i sistei atoici) per i quali cessa di alere la eccanica classica ed è estreaente utile per studiare gli urti tra particelle eleentari, che perette di ricaare preziose inforazioni sulle loro caratteristiche (coe per esepio le asse) che non sono isurabili direttaente. Che cos'è un urto? L'urto è il terine fisico che indica un'interazione che aiene su tepi olto più brei della durata caratteristica dei fenoeni in gioco, non ha bisogno del contatto per poter aenire. Con esso si identifica una collisione che aiene tra due o più corpi rigidi nello spazio, caratterizzato dalla presenza di forze interne olto intense e di bree durata (forze ipulsie), entre le forze esterne sono trascurabili. Il sistea si può quindi considerare isolato. Un'interpretazione più corretta iene fornita dalla eccanica del continuo: i corpi sono dotati di elasticità e l'interallo di tepo durante il quale tali oggetti sono a contatto si copone di un periodo di copressione, nel quale si copie una deforazione spesso ipercettibile, e di un periodo di ritorno elastico durante il quale la fora torna allo stato iniziale. Si diidono in tre categorie: Copletaente elastici: sono urti durante i quali si consera l'energia eccanica totale del sistea, ed in particolare l'energia cinetica. Nel caso di corpi prossii a elocità della luce un urto elastico è un urto nel quale si consera il quadriettore quantità di oto. Si conserano la forza ia e quantità di oto. Copletaente anelastici: è l'urto in cui l'energia eccanica totale non si consera; i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati coe un unico corpo ed essi iaggiano con la stessa elocità, coe può essere il caso di un'autoobile che urta contro un caion e riane incastrata in esso: nel sistea, dopo l'urto, autoobile e caion si fondono in un unico corpo, che continua a iaggiare con una elocità diersa dalla elocità iniziale dell'autoobile e da quella del caion. l'energia si riduce a non a zero. I due corpi dopo l'urto hanno un'energia coplessia pari a zero. Si consera solo quantità di oto. Parzialente anelastici: Si consera solo quantità di oto e i due corpi dopo l urto hanno un energia ridotta a counque aggiore di zero. Ci fu una diatriba fra Cartesio e Leibniz; Cartesio dicea che pria e dopo l'urto di consera la quantità di oto, Leibniz dicea, inece, che resta costante la forza ia 2. Chi aea ragione? Entrabi, è la quantità di oto, che si consera nei sistei isolati. 2 ci ricorda l'energia cinetica, infatti Leibniz fu il prio a parlare di energie.

4 Coe abbiao ricaato le forule? Ecco i passaggi che abbiao eseguito per gli urti anelastici: p TOT iniziale = p TOT finale Indicando con, i carrellini abbiao che: p iniziale + p iniziale = p finale + p finale Visto che la quantità di oto è uguale alla assa per la elocità, la forula può essere scritta coe: Vi + Vi = Vf + Vf Dato che i due carrellini si uniscono dopo l urto, le due elocità finali coincidono. Vi + Vi = Vf + Vf Inece per gli urti anelastici abbiao usato un sistea, isto che dopo l urto i due carrellini, non unendosi, hanno due elocità finali distinte che non possono essere calcolate con una sola equazione. La pria equazione è quella della conserazione della quantità di oto: Vi + Vi = Vf + Vf La seconda è quella della conserazione dell energia cinetica: Ec iniziale = Ec finale Indicando con, i carrellini abbiao che: Ec iniziale + Ec iniziale = Ec finale + Ec finale Visto che l energia cinetica è uguale a 1/2 della assa per il quadrato della elocità, la forula può essere scritta coe:

5 L equazione può essere scritta coe: Da notare coe, seplificati gli ½, rianga solo 2, ossia la forza ia che, a detta di Leibniz, si conseraa. Solgiento dell esperienza ed elaborazione dei dati: L esperienza si diide in due parti: nella pria si isurerà la elocità finale dei carrellini seoenti dopo un urto copletaente anelastico e in quattro casi differenti, entre nella seconda parte la elocità finale sarà ricaata in seguito ad un urto copletaente elastico e con cinque casi differenti. Urto copletaente anelastico (attuato grazie a della plastilina sul bordo dei carrellini) Prio caso: I due carrellini hanno la stessa assa e elocità iniziali uguali ed opposte. Quindi: = = - Vi = Vi = - Sostituisco i alori delle elocità iniziali e delle asse nella forula (sapendo che la elocità finale sarà una sola perché i carrellini dientano un solo corpo dopo l urto): p TOT i = p TOT f p i + p i = p f + p f Vi + Vi = Vf + Vf V + (-V) = Vf + Vf V V = 2Vf gli V si annullano 2Vf = 0, che uol dire Vf = 0 Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro a elocità (quasi) uguali, dopo l urto rianeano uniti con la plastilina e feri. = 0 Secondo caso: I due carrellini hanno le asse una il doppio dell altra e elocità uguale ed opposta. = 2 = - Vi = 2 Vi = -

6 Si sostituiscono i alori delle elocità iniziali e delle asse nella forula: p TOT i = p TOT f p i + p i = p f + p f Vi + Vi = Vf + Vf 2 V + (-V) = 2 Vf + Vf 2V V = 3Vf gli V non si annullano 3Vf = V le asse si annullano 3Vf = V, quindi Vf = V/3 Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro a elocità (quasi) uguali, dopo l urto rianeano uniti, a si uoeano lentaente erso la direzione che inizialente aea il carrellino più pesante. Vf = V/3 Inoltre, più la differenza tra le asse dei carrellini è grande e più la elocità finale è aggiore (a è inore della elocità iniziale): se è 3 olte, la elocità finale è la età della elocità iniziale; se è 4 olte, la elocità finale è i 3/5 della elocità iniziale; se è 5 olte, la elocità finale è i 2/3 della elocità iniziale, e così ia, sepre aicinandosi alla elocità di partenza e, nel caso le seconda assa sai trascurabile rispetto alla pria, la elocità si può ritenere inariata. Terzo caso: I due carrellini hanno uguale assa, a uno è fero. = = = 0 Vi = Vi = 0 Si sostituiscono i alori delle elocità iniziali e delle asse nella forula: p TOT i = p TOT f p i + p i = p f + p f Vi + Vi = Vf + Vf V + (0) = Vf + Vf V + 0 = 2Vf gli V non si annullano 2Vf = V le asse si annullano 2Vf = V, quindi Vf = V/2 Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro a elocità (quasi) uguali, dopo l urto rianeano uniti, e si uoeano più lentaente erso la direzione che

7 inizialente aea il carrellino in oto; questo aiene perché il prio carrellino ha trasferito età della sua quantità di oto all altro. /2 Quarto caso: Si uole troare la elocità iniziale sapendo la elocità finale è uguale a 0 e che un carrellino ha elocità e assa doppia rispetto all altro. = 2 = Vf = 0 Vf = 0 x Vi = 2 Si sostituiscono i alori nella forula, a con un procediento inerso. p TOT i = p TOT f p i + p i = p f + p f Vi + Vi = V + (x) = V + x = V + x = 0 le asse si annullano x = -2V (il risultato è negatio perché la elocità dee essere opposta rispetto a quella di partenza) Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro con una elocità doppia rispetto all altra, dopo l urto si feraano. = 0 2

8 Urto copletaente elastico (attuato grazie ai respingenti posizionati sui carrellini) Prio caso: I due carrellini hanno la stessa assa e elocità iniziali uguali ed opposte. Quindi: = = - Vi = Vi = - Sostituisco i alori delle elocità iniziali e delle asse nel sistea (sapendo che le elocità finali saranno due per ogni carrellino, ossia la situazione di partenza, doe cioè l urto non è aenuto, e quella con urto aenuto): gli V si annullano le si annullano seconda ricao Vf dalla pria equazione e lo sostituisco nella da cui ricao e cioè, che sostituisco nella pria equazione per troare Vf : è la situazione di partenza (senza urto aenuto)

9 è la situazione finale (con urto aenuto) Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro con elocità (quasi) uguali, dopo l urto tornaano indietro con le stesse elocità. - Secondo caso: I due carrellini hanno elocità uguale ed opposta, a il prio ha assa doppia rispetto al secondo. = 2 = - Vi = 2 Vi = - Sostituisco i alori delle elocità iniziali e delle asse nel sistea: gli V non si annullano le si annullano seconda ricao Vf dalla pria equazione e lo sostituisco nella per seplificare, ipongo Vf = x

10 si solgono i calcoli si seplifica per 2 da cui ricao x 1 = V x 2 = che sostituisco nella pria equazione per troare Vf : è la situazione di partenza (senza urto aenuto) è la situazione finale (con urto aenuto) Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro con elocità (quasi) uguali, dopo l urto quello con assa inore aea elocità aggiore, entre quello con assa aggiore aea elocità inore, perché il carrellino più pesante ha trasferito più quantità di oto all altro. -/3 5/3 Terzo caso: I due carrellini hanno la stessa assa, a uno è fero. = = Vi = Vi = 0 Sostituisco i alori delle elocità iniziali e delle asse nel sistea:

11 le si annullano seconda ricao Vf dalla pria equazione e lo sostituisco nella per seplificare, ipongo Vf = x si solgono i calcoli da cui ricao x 1 = V x 2 = 0 che sostituisco nella pria equazione per troare Vf : è la situazione di partenza (senza urto aenuto) è la situazione finale (con urto aenuto)

12 Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro, dopo l urto quello che inizialente era fero proseguia nella direzione dell altro carrellino (ora fero) con la stessa elocità. Quarto caso: Il prio carrellino ha assa doppia rispetto al secondo, che è fero. = = Vi = 2 Vi = 0 Sostituisco i alori delle elocità iniziali e delle asse nel sistea: le si annullano seconda ricao Vf dalla pria equazione e lo sostituisco nella per seplificare, ipongo Vf = x si solgono i calcoli da cui ricao

13 x 1 = V x 2 = 1/3 V che sostituisco nella pria equazione per troare Vf : è la situazione di partenza (senza urto aenuto) è la situazione finale (con urto aenuto) Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro, dopo l urto quello che inizialente era fero proseguia nella direzione dell altro carrellino (che proseguia più lentaente) con elocità aggiore di quella iniziale. 1/3 4/3 Quinto caso: Il secondo carrellino ha assa doppia rispetto al secondo ed è fero. = = 2 Vi = 2 Vi = 0 Sostituisco i alori delle elocità iniziali e delle asse nel sistea: le si annullano

14 seconda ricao Vf dalla pria equazione e lo sostituisco nella per seplificare, ipongo Vf = x si solgono i calcoli da cui ricao x 1 = 0 x 2 = 2/3 V che sostituisco nella pria equazione per troare Vf : è la situazione di partenza (senza urto aenuto) è la situazione finale (con urto aenuto) Infatti, nella erifica qualitatia, abbiao notato che facendo urtare i carrellini tra loro, dopo l urto quello che inizialente era fero proseguia nella direzione dell altro carrellino (che tornaa indietro lentaente) con elocità inore di quella iniziale. -1/3 2/3 Conclusioni: bbiao erificato che, dal punto di ista sperientale e, in seguito, qualitatio, l esperienza è riuscita. I carrellini hanno le ruote per diinuire l'attrito olente, quindi lo riteniao nullo, consideriao

15 la soa di energia cinetica e potenziale, si conserano sia energia totale che potenziale quindi anche l energia cinetica. Ciò ale solo per gli urti elastici. Inoltre si dee anche tenere conto del fatto che i respingenti assorbono parte dell urto. In seguito a tutti questi errori, la erifica con i carrellini è solo qualitatia perché, se fosse stata quantitatia, l errore sarebbe stato talente grande da non rendere i risultati accettabili.