Dinamica I-Leggi di Newton 1

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1 Attrito radente Se sul paiento è appoggiata una grande cassa e la si spinge con una forza orizzontale F, è possibile che la cassa non si uoa affatto. La ragione è che il paiento esercita una forza di attrito radente statico f s, che equilibra la forza F. Questa forza di attrito è douta ai legai che si stabiliscono tra le olecole della cassa e quelle del paiento nei punti in cui le superfici sono in contatto olto stretto. La forza di attrito statico può ariare da zero ad una forza assia f sa, a seconda della forza con cui si spinge; se la forza F è sufficienteente intensa, la cassa striscerà sul paiento. Mentre la cassa striscia si creano e si ropono continuaente legai olecolari e si ropono piccoli fraenti delle superfici: il risultato è una forza di attrito radente dinaico (o attrito cinetico) f d che si oppone al oto. Perché la cassa continui a strisciare con elocità costante occorre esercitare una forza uguale ed opposta alla forza di attrito dinaico. Dinaica I-Leggi di Newton

2 Attrito radente statico Se si applica ad un corpo appoggiato su un taolo, una forza F parallela al piano di appoggio. si ossera che il corpo entra in oiento per effetto di F solo se F è aggiore di µ s N F µ F> µ s s N N Condizione di quiete Condizione di oto F s N g Corpo in quiete F doe: µ s è un coefficiente adiensionale detto coefficiente di attrito radente statico. Il incolo è in grado di siluppare una forza di attrito statico radente F s uguale e contraria alla forza applicata F fino a quando F non supera il alore µ s N. Dunque la forza di attrito statico F s può ariare fra zero e un alore assio che è proporzionale alla reazione incolare norale al piano su cui è appoggiato il corpo. E sepre tale da opporsi al oto. Direzione e erso sono indicati in figura. Dinaica I-Leggi di Newton

3 Attrito radente dinaico Quando il corpo entra in oiento lungo il piano, si ossera una forza che si oppone al oto, la forza di attrito dinaico radente. Questa forza ha sepre direzione uguale a quella della elocità dell oggetto, erso contrario e odulo proporzionale alla reazione incolare norale al piano su cui si uoe l oggetto: F d µ dnu con u : ersore con direzione e erso della elocità F d µ d N Doe: µ d e il coefficiente adiensionale detto coefficiente di attrito radente dinaico. L equazione del oto del punto soggetto a forza esterna F diiene: Lungo la direzione del oto: F µ d N a F+ F d F Nu a µ d F d N Corpo in oiento g Sperientalente si troa che: µ d è inore µ s ; per elocità coprese tra circa c/s e parecchi etri al secondo µ d è praticaente costante; µ d (coe µ s ) dipende dalla natura delle superfici, a è indipendente dall area (acroscopica) di contatto. Dinaica I-Leggi di Newton 3

4 Coefficienti di attrito radente Il coefficiente di attrito statico è in generale aggiore del coefficiente di attrito dinaico. Alcuni esepi: Superfici µ s µ d Legno su pietra Goa su ceento asciutto Goa su ceento bagnato Goa su ghiaccio Acciaio su acciaio asciutto Questi alori sono indicatii, infatti i coefficienti di attrito dipendono olto dallo stato delle superfici, dalla teperatura, dall uidità, ecc.. Vengono alutati sperientalente Dinaica I-Leggi di Newton 4

5 Gli attriti sono uguali a tutte le altre forze? Abbiao isto che gli attriti, se presenti, anno considerati forze da includere nell equazione del oto coe tutte le altre. Tuttaia c è una differenza sostanziale tra gli attriti e le altre forze che a sottolineata: Gli attriti sono forze che si esercitano solo in presenza di oto (o tentatio di oto) Se appoggiao un blocco su una superficie piana che abbia un certo coefficiente di attrito e non spingo il blocco parallelaente alla superficie, NON ho presenza di forza di attrito (entre, ad esepio, agiscono la forza peso e la reazione incolare del piano). Gli attriti non sono in grado di generare oto, a solo di opporisi Dinaica I-Leggi di Newton 5

6 Il piano inclinato consideriao un corpo, assiilabile ad un punto ateriale di assa, che possa uoersi, sotto l azione della suo peso e di eentuali altre forze (ad esepio la forza di attrito) lungo una superficie inclinata di un angolo θ rispetto all orizzontale θ N θ Se sul corpo agisce la sola forza peso si ha: g + N a Doe N è la reazione incolare del piano di appoggio che ha una direzione norale al piano Scoponendo la relazione lungo le direzioni ortogonale e parallela al piano si ottiene (edi dettagli e calcoli nell esepio seguente): Direzione ortogonale al piano: g cosθ N 0 In assenza di attrito: N g cosθ Reazione incolare Direzione parallela al piano: g senθ a a g senθ Il corpo scende lungo il piano con oto uniforeente accelerato Dinaica e I-Leggi l accelerazione di Newton agsenθ<g 6

7 Il piano inclinato: esepio Una cassa di 30 kg sciola lungo un pianale inclinato di 30º. Quanto tepo ipiega la cassa per raggiungere la base del pianale se questo è lungo 3? Con quale elocità la cassa raggiunge il suolo, se la elocità iniziale è nulla? è iportante disegnare su un grafico la situazione descritta nel testo e tracciare tutte le forze agenti con direzione e erso corretti :le forza sono il peso g e. reazione incolare N N g In quale sistea di riferiento i etto? Posso scegliere tra il sistea con orizzontale e y erticale e quello con lungo il piano inclinato e y lungo N Forza peso Dinaica I-Leggi di Newton 7

8 Equazione del oto Quale delle due scelte è la igliore? Quella più seplice per la descrizione del oto che aiene lungo una retta il piano inclinato agisce da incoloà l accelerazione in direzione ortogonale ad esso è nulla sistea di riferiento con l asse parallelo al piano inclinato l equazione del oto è più seplice. Si dee scriere l equazione di Newton per la cassa. lungo e y N F i i a gsinθ a gcosθ + N a y θ g θ L accelerazione lungo l asse y dee essere nulla per la presenza del incolo. Pertanto: gsinθ a if a i gcosθ + N 0 Dinaica I-Leggi di Newton 8

9 Esepio : Legge oraria ci sono due incognite, il odulo N della reazione incolare e l accelerazione lungo, a ) e due equazioni indipendenti tra loro à problea ha soluzione. La pria equazione fornisce l accelerazione: gsin θ a N a gsinθ θ g θ a gsin30 9,8 4.9 s La seconda, il odulo della reazione incolare: N gcosθ 3 N 30 g cos ,8 54,87N Dinaica I-Leggi di Newton 9

10 L accelerazione a è costante. Esepio : Soluzione Il oto lungo il piano inclinato è quindi uniforeente accelerato.abbiao già analizzato questo oto in cineatica, e quindi conosciao già la legge oraria corrispondente: (t) + (t t ) + a (t t ) (t) + a (t t ) 0 0 Se scegliao l origine del sistea di assi nel punto di partenza della cassa e fissiao l origine dei tepi in t 0 0, le espressioni dientano: (t) + 0t a t Ricordando la condizione iniziale sulla elocità (il testo del problea dice che la elocità iniziale 0 è nulla) otteniao: (t) (t) a a t t (t) 0 + Dinaica I-Leggi di Newton 0 a t

11 Esepio : Soluzione Interessa il tepo ipiegato dalla cassa a percorrere la lunghezza L del pianale e la elocità con cui raggiunge il fondo. ( L 3) (t) a t L a t (t) a t (t) a t t L a L gsinθ L L (t) a gsinθ glsinθ gsinθ gsinθ Sostituendo i dati nuerici: t L/gsinθ ( 3)/( ).s s glsinθ 9.8 s s glsinθ gh 5.4 s t,s 5,4 s Dinaica I-Leggi di Newton

12 Il piano inclinato In presenza di attrito: Da quanto isto in precedenza risulta che la coponente della forza peso lungo la direzione del piano inclinato ale g senθ Se è presente una forza di attrito, la forza di attrito statico diretta in erso opposto a quella del oto può alere al assio F s µ s N. Il oto lungo il piano può iniziare se g senθ>µ s N g senθ>µ sg cosθ tan θ> µ s Per aere oto occorre auentare l angolo in odo da soddisfare la condizione di sopra. Dal oento in cui inizia il oto, ale inece la seguente equazione nella direzione del piano: g senθ µ d g cosθ a F a µ d N a (senθ µ d cosθ) g ( senθ µ d cosθ) > 0 tan θ> µ tan θ µ d Dinaica I-Leggi di Newton d a >0. unifor.accelerato Non ha accelerazione se è fero resta fero

13 Forza elastica Se sottoposti ad una sollecitazione F, i corpi solidi subiscono una deforazione. Per conserare la loro fora, applicano, a chi ha prodotto la deforazione, una forza di richiao F el (opposta a F) che, per piccole deforazioni, è proporzionale alla deforazione stessa (coportaento elastico). Una olta riossa la sollecitazione ritornano allo stato norale. Si definisce Forza elastica: una forza di direzione costante, con erso sepre riolto ad un punto O, chiaato centro, e con odulo proporzionale alla distanza da O F ku Legge di Hooke el Con: k costante positia detta costante elastica [N/] u : ersore dell asse, in cui aiene il oto Una olla presenta in genere una lunghezza a riposo (l 0 ) quando non si troa in condizione di copressione o di estensione. Identificando con l la lunghezza della olla copressa o estesa si ha. l-l 0 O F k(l-l0) k Dinaica I-Leggi di Newton 3

14 Forza elastica Che tipo di oto risulta dall applicazione di una forza elastica? F (t) a(t) F(t) F(t) k(t) a (t) k a(t) ω (t) con k ω Dalla cineatica è stato ricaato che: se ale la relazione seguente tra a(t) e (t): a(t) ω (t) allora (t) rappresenta un oto aronico. Il oto che risulta dall applicazione di una forza elastica, è un oto aronico con pulsazione e periodo dati da: ω k π T π ω k Quiete Allungaento Copressione 0 Dinaica I-Leggi di Newton F e F e 4 0 l 0 l

15 Forza di attrito iscoso E una forza che si oppone al oto ed proporzionale alla elocità del corpo soggetto a tale forza: F b F a a b a b Le forze di attrito iscoso sono esercitate su un corpo che si uoe in un fluido (liquidi o gas) Dinaica I-Leggi di Newton 5

16 Forza di attrito iscoso e il oto A partire dal alore della forza si può studiare il tipo di oto a cui essa dà origine F b In una diensione, studiao il oto con accelerazione non costante: b a a k d k dt d kdt d t t 0 0 kdt ln 0 kt 0 e kt La elocità decresce esponenzialente nel tepo e quindi il punto si fera (t) t (t) dt t 0 kt 0e dt 0 tk t [ e ] k 0 (t) k 0 kt ( e ) Il punto tende asintoticaente alla posizione 0 /k Dinaica I-Leggi di Newton 6

17 F d g k g k g Forza di attrito iscoso e il oto d g k g k dt + F a dt e Si consideri un punto ateriale di assa lasciato cadere in un fluido e si assua che le uniche forze agenti siano la forza peso F g e la forza di attrito iscoso F -k ( pongo per coodità bk) Il oto aiene solo sull asse z. Condizioni iniziali: z0 e 0 per t0. 0 d g k (t) t 0 g ( e k kt kt dt ) d dt ln(g k) k 0 [ ] t Partendo da 0 la elocità cresce, però sepre più lentaente: per t>>/k, assue praticaente un alore costante g/k. Dinaica I-Leggi di Newton 7

18 F a N N r Forze centripete Supponiao che la risultante delle forze agenti R su un punto ateriale presenti una coponente norale alla traiettoria, questa coponente causa l accelerazione centripeta dell oggetto: doe r: è il raggio di curatura della traiettoria. In genere R ha anche una coponente tangenziale alla traiettoria F T non nulla responsabile della ariazione del odulo della elocità. Se F T 0, il oto lungo la traiettoria è unifore e l unica accelerazione è a N oto circolare unifore In generale forze centripete sono prodotte da rotaie, pneuatici, fili ossia incoli che consentono di incurare la traiettoria oppure da forze graitazionali Dinaica I-Leggi di Newton 8

19 Forze centripete Si uole deterinare la condizione per cui un corpo lanciato con elocità percorre con elocità costante un arco di circonferenza coe in figura. La cura è sopraeleata (coe quelle presenti in un elodroo) coe si può edere dalla cura ista in sezione. y θ Occorre che la risultante R delle forze applicate sia ortogonale alla traiettoria e diretta erso il centro. Le forze agenti sono: -peso P - reazione incolare ortogonale alla pista N N cosθ g Equilibrio nella direzione erticale (y) R N sin θ R F N Riolta erso il centro della traiettoria N sin θ F N r N cos θ N sin θ g r tan θ Dinaica I-Leggi di Newton 9 gr

20 Forze centripete Deterinare la elocità assia con cui un auto può affrontare in una strada piana una cura di raggio r La forza centripeta necessaria è fornita dall attrito tra pneuatici e terreno. Poiché la traiettoria è circolare, non c è spostaento lungo la direzione di r e dunque il coefficiente di attrito rileante in questa direzione é quello statico: FN µ sn µ s g Forza di attrito statico assio µ µ gr s s g r Velocità assia con cui può essere affrontata la cura Dinaica I-Leggi di Newton 0

21 Funi e carrucole Funi e carrucole sono dispositii che perettono di trasettere l azione di una forza applicata in un dato punto ad un punto dierso. In generale questi dispositii hanno caratteristiche e liiti fisici ben definiti. Tuttaia, in olti casi, possiao descriere con buona approssiazione il loro funzionaento facendo alcune ipotesi: F Funi: ü assa trascurabile ( 0) ü inestensibili (L costante). Quest ultia caratteristica iplica che se applico una forza F a un estreo di una fune tesa, questa risponde con una forza (chiaata tensione T) che si trasette lungo la fune in odo tale che ogni punto della corda abbia accelerazione nulla relatiaente a tutti gli altri l accelerazione degli estrei della corda è la stessa. Dinaica I-Leggi di Newton

22 Funi e carrucole Consideriao un corpo di assa attaccato ad una corda. La corda è tirata con una forza F. Si chiai F la forza che il corpo di assa esercita sulla corda. Per la terza legge di Newton, la forza che la corda esercita sul corpo sarà T - F. F Applichiao la seconda legge di Newton alla corda: F + F a F F T -F Corda ideale: 0, L costante In condizioni statiche: a 0 F F T F In condizioni dinaiche si arria allo stesso risultato se la assa della corda è nulla 0 F F T F Dinaica I-Leggi di Newton

23 Funi e carrucole Carrucole L effetto di una carrucola ideale è quello di fare cabiare direzione a una forza che iene trasessa, per esepio, per ezzo di una fune. L approssiazione che fareo è che: la carrucola sia pria di assa le sue diensioni siano trascurabili (per non includere gli effetti douti alla rotazione). T T F T T g Dinaica I-Leggi di Newton 3

24 Esepio: Facendo riferiento al disegno ricaare il alore dell accelerazione delle due asse ed il alore delle tensioni dei fili y T T o P P T T T T + P + P a a g a g - a Ma a - a e T T T Suppongo a riolta erso l alto Sottraggo la seconda equazione dalla pria e ottengo a + g g + Dinaica I-Leggi di Newton 4 T

25 M M Esepio: Facendo riferiento al disegno ricaare il alore dell accelerazione delle due asse ed il alore delle tensione dei filo Schea delle forze per M Schea delle forze per M y y N T T o M g Per la assa M : Per la assa M : T + N + M g M a M g + T M a o M g N Mg Ma T Ma M y g T Ma y Con la condizione: a a y a Da cui: a M M + M g T MM M + M g Dinaica I-Leggi di Newton 5

26 θ T F g Il pendolo seplice Il pendolo seplice è costituito da un punto ateriale (assa) appeso traite un filo inestensibile (lunghezzal) e di assa trascurabile. La posizione di equilibrio statico è quella erticale. La forza esercitata dal filo (la tensione del filo) ale in odulo quanto la forza peso del punto ateriale T F g Spostando il punto ateriale dalla erticale, esso inizia ad oscillare attorno alla posizione di equilibrio lungo un arco di circonferenza di lunghezza L. Forze agenti su P: Tensione del filo T F Forza peso g g + T F a Consideriao le coponenti dell equazione rispetto all asse tangente alla traiettoria e rispetto all asse ortogonale ad esso: Coponente tangenziale: R T -g senθ a T Coponente ortogonale: R N a N à T F -gcosθa N Dinaica I-Leggi di Newton 6

27 θ Il pendolo seplice Coponente tangenziale: R T -g senθ a T Coponente ortogonale: R N T F -gcosθa N a T -g senθ a N T F /-g cosθ α a T r d θ dt d dt Il punto P può essere considerato coe un punto che si uoe con elocità ariabile lungo una circonferenza di raggio rl.in cineatica è stato ricaato per l accelerazione tangenziale e norale: d θ T a T L a r dt θ d θ dt senθ a N TF gcosθ L L d θ g Dall equazione senθ si ricaa l equazione differenziale del oto del pendolo θ dt L (t). Per piccole oscillazioni si può approssiare senθ(t) ~ θ(t) g L senθ θ + dt d g θ L 0 θ( t) θ0sen( ωt + φ) d θ + ω θ dt 0 Con: Dinaica I-Leggi di Newton 7 E l equazione del oto aronico seplice g L ω g L

28 θ Il pendolo seplice θ( t) θ0sen( ωt + φ) s ω g L Periodo dell oscillazione: T π ω π L g La legge oraria dello spostaento lungo l arco di circonferenza è: s(t) Lθ(t) Lθ0sen( ωt + φ) dθ(t) dt Velocità angolare: ωθ cos( ωt + φ) 0 Velocità lineare: ds dθ(t) L Lωθ cos( ωt + φ) 0 dt dt Tensione del filo Dall equazione del oto lungo la direzione ortogonale alla traiettoria è possibile ricaare il alore della tensione del filo: R N T F -gcosθa N T gcosθ gcosθ(t) + F F Dinaica L I-Leggi di Newton L8 T

29 Esercizio Un quadro la cui forza peso è pari a 8 N è sostenuto da due fili aenti tensioni T e T. Conoscendo gli angoli θ e θ (edi figura), si troi la tensione dei fili. y T T T T O g g Consideriao il quadro coe un oggetto puntifore e poniao l origine degli assi nel punto di applicazione delle forze agenti su di esso. Poiché il quadro non accelera, dee essere nulla la risultante delle forze agenti su di esso: il peso g e le Dinaica I-Leggi di Newton 9 tensioni T e T.

30 F 0 F F y 0 0 Le coponenti orizzontali delle forze deono equilibrarsi tra loro, così coe le coponenti erticali. N.B. La coponente di T è nel erso negatio dell asse e la forza peso è diretta erso il basso. y T + T 0 T T Tcos30 T cos60 0 T + T + P 0 T + T g Tsen30 + T sen60 g 0 y y y y doe cos30 3/ sen60, sen30 / cos60 3 T T T 3T 3 T + T g T 3 T T g + T 3 g 6.93N g 4N Dinaica I-Leggi di Newton 30

31 Esercizio Un uoo tira una slitta su cui sono seduti i suoi babini. La assa totale della slitta e dei babini è 60 kg. I coefficienti di attrito statico e cinetico sono µ s 0. e µ c 0.5. La slitta è tirata con una corda che fora un angolo di 40 con l orizzontale. Si troi la forza di attrito e l accelerazione dei babini e della slitta se la tensione nella corda è: (a) 00 N; (b) 60 N. y F T n T θ 40 y F s g F n è la reazione incolare. F s è la forza di attrito statico. Dinaica I-Leggi di Newton 3

32 La tensione T può essere scoposta nelle sue coponenti cartesiane, di odulo T e T y : T T y T cosθ (00 cos40 ) N 77 N T sinθ (00 sin40 ) N 64 N Non c è accelerazione erticale, quindi la soa delle forze nella direzione y agenti sul sistea slitta + babini dee essere nulla. F g + T 0 F g T ( ) N 54 N n y n y La assia forza di attrito statico è pertanto: fs, a µ sfn (0. 54) N 04.8 N Tale alore a confrontato con la coponente orizzontale T della tensione: f > T s, a quindi la slitta non si uoe. Dinaica I-Leggi di Newton 3

33 Se T ale 60 ale sepre la condizione che soa delle forze nella direzione y agenti sul sistea slitta + babini dee essere nulla. Sostituendo ho che F g + T 0 F g T ( ) N 486 N n y n y La assia forza di attrito statico è pertanto: fs, a µ sfn (0. 486) N 97. N Tale alore a confrontato con la coponente orizzontale T della tensione: f < T s, a quindi la slitta si uoe. Una olta che la slitta si uoe, la forza d attrito sarà douta all attrito dinaico: f µ F ( ) N 73 N d d n La forza risultante nella direzione è quindi: T - fd (3-73) N 50 N e l accelerazione: 50 N a 60 kg 0.83 s Dinaica I-Leggi di Newton 33