G Mm 2. otteniamo R = 11 Perché la forza di gravitazione è diretta parallelamente. 12 Falso. Lo sarebbero se fosse costante il rapporto

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1 La gravitazione. La gravitazione Doande sui concetti er la terza legge di Keplero, il rapporto fra la distanza Sole-pianeta e quella Sole-erra è pari alla radice cubica del rapporto fra i quadrati dei due periodi di rivoluzione, che in questo caso vale. Quindi la distanza deve essere volte quella erra-sole. Nettuno, perché in base alla seconda legge di Keplero ci sarà più differenza tra le distanze Sole-pianeta, e di conseguenza tra le velocità, rispettivaente all afelio e al perielio. oiché il volue della nuova biglia è 8 volte il precedente e la biglia è oogenea e dello stesso ateriale, anche la nuova assa e di conseguenza la nuova forza gravitazionale saranno 8 volte aggiori. No, è scorretto perché la forza è inversaente proporzionale al quadrato della distanza, quindi nella proporzionalità quadratica inversa al raddoppiare della distanza la forza diventa / e così via. 5 erché in questo odo si equilibrano le due forze-peso con cui la erra attrae le due asse appese al anubrio e si isura solo l intensità della forza tra ciascuna assa appesa e la assa fissa ad essa vicina. Un quarto di quello attuale. 7 erché sono quantità proporzionali, a dal punto di vista concettuale sono distinte. 8 Coe rapporto tra la forza-peso della pentola e quella del kilograo capione. w otteniao w erché la forza di gravitazione è diretta parallelaente al raggio vettore che unisce il Sole al pianeta. Quindi, il oento della forza calcolato rispetto al centro del Sole vale zero: r F 0 Dal capitolo precedente so che il oento angolare di un corpo si conserva se è nullo il oento delle forze esterne che agiscono su di esso, quindi in questo caso L si conserva. Falso. Lo sarebbero se fosse costante il rapporto. li esponenti che copaiono nella legge indicano un rapporto di proporzionalità, a non diretta: è proporzionale a Il telo iperturbato è un piano, su cui le sferette leggere effettuano oti in due diensioni. La presenza di una sfera più grande defora il piano e lo fa diventare una superficie tridiensionale, sulla quale possiao descrivere il oto delle sferette più piccole. Lo spazio interplanetario è tridiensionale, e in esso la presenza di un capo gravitazionale introduce una deforazione in una quarta diensione che non è oggetto di studio della fisica classica. oiché è il rapporto tra una forza e una assa, ha le diensioni fisiche di un accelerazione.. 9 erché la loro distanza dalla erra sarebbe vincolata all altezza del supporto di lancio. Con un razzo vettore si può decidere arbitrariaente a quale quota ettere in orbita il satellite. π v 0 La velocità angolare è w. Sostituendo nella relazione che uguaglia forza gravitazionale e forza centripeta: 5 La variazione di energia potenziale di una assa che si sposta da A a B è pari all opposto del lavoro copiuto nello spostaento. er allontanare il corpo di assa il lavoro è svolto contro il capo gravitazionale, quindi è negativo. Di conseguenza DU è positiva, cioè U auenta. U auenta e L riane costante. Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0

2 La gravitazione 7 No. L energia totale della erra E K + U è negativa, perché il nostro pianeta è legato gravitazionalente al Sole. oiché l energia cinetica è sepre positiva e quella potenziale sepre negativa, il odulo di U deve sepre essere aggiore di K. 8 Sì. L energia potenziale è inversaente proporzionale alla distanza dal Sole a è negativa, quindi U assue il valore assio quando U è inio, cioè alla assia distanza orbitale dal Sole. problei N N ( a) ( 00, ) 5 anni (, 50 ( 8, 98 d) 9, 0 ( 5, d) v A πr π (, 50, 99 0 /s ( 5, d) ( 8, 0 s/d) s (, 50 (, 99, 0 5 Invertendo la forula della forza di gravitazione universale otteniao Fr. La distanza r del satellite dal centro della erra si ottiene soando il raggio terrestre alla distanza del satellite dalla superficie terrestre: r 500 k + 78 k 878 k,88 0. Quindi: 0 (, N) (, 88 (, 7 0 N/kg ) (, kg) che dà, 0 5 kg. 7 L ordine di grandezza della forza di attrazione Sole-Luna si ottiene approssiando la distanza tra i due corpi con la distanza erra-sole: ( 7 0 N/kg ) ( 7 ( 0 F Luna-Sole (, 5 0 ) Quindi F Luna-Sole 0 0 N. 0 kg oiché F Luna-erra 0 0 N F Luna-Sole /F Luna-erra 8 Uguagliando le due forze di attrazione abbiao: erra Luna erra asteroide rluna rasteroide Quindi asteroide 8 (, 5 rasteroide rluna (, 8 5, 0 ( 75, Luna ) Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0

3 La gravitazione 9 Utilizziao la forula g e otteniao (, 7 0 N /kg ) ( 7, 5 g Luna, /s (, 78 0 ) 0 g (, /s ) (, 78 (, 7 0 N/kg ) 0, F (, 7 0 N/kg ) ( kg) ( 0, 05 kg) 9 8, 0 N d (, ) F F r r 7, c F d ( L L) F F x d L ± d, ( x) x ( L ) Scartiao la soluzione che si ottiene con il segno + (che fornisce una posizione oltre la Luna, invece che fra la erra e la Luna). 8 (, 598 ( 5, 98 0 kg ) ( 75, 0 x (, 8 [( 598, ( 7, 5 ] kg kg) 8, 0 g F (, 7 0 N/kg ) ( 900, 9 /s ( 7, 7 F d F d d La forula del periodo delle oscillazioni di una olla è: π k 7 F g ( kg) (, 9 8 /s ), N d (, ) d erciò il rapporto tra le asse è pari al rapporto tra i quadrati dei tepi, che indichiao rispettivaente con e. oiché il capione ha assa unitaria, otteniao (, 058s) 0, kg (, 5s) 5 Le due asse appese al anubrio sono diverse. Su ciascuna di esse, trascurando l attrito dell aria, agiscono due forze: la forza-peso, direttaente proporzionale alla assa gravitazionale; la forza centrifuga apparente dovuta al oto di rotazione terrestre, direttaente proporzionale alla assa inerziale. Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0

4 La gravitazione Se la assa inerziale non fosse direttaente proporzionale a quella gravitazionale, ci sarebbe equilibrio tra le due forze-peso a non tra le due forze centrifughe, quindi il anubrio al passare del tepo risentirebbe di un oento torcente. Un raggio luinoso che colpisce lo specchio avrebbe quindi un iagine non fissa. v (, 7 0 N/kg ) ( 5, 98 8, 0 ( 50 La stessa: la velocità orbitale non dipende dalla assa del satellite. /s 7 v v (, 7 (, 0 /s) 7, 0 (, 7 0 N/kg ) kg 8 π π π π v 9 v (, 7 0 N/kg ) ( 5, 98 75, 0 /s ( 78, 0 ) π π ( 78,, 0 s 7 0 (, N/kg ) ( 5, 98 0 π π (, 8 0, 0 s (, 7 0 N/kg ) (, 598 v v A d ( 05, 08, d (, A Nel perielio, per la conservazione del oento angolare. Dalla terza legge di Keplero: π π ( 5, d) ( 8, 0 s/d) ( (,9,7 0 N/kg ) 97, 0 0 kg estano costanti: l energia totale e il oento angolare. Variano: la velocità, il raggio dell orbita e il periodo:, 0 7 +,0 0,8 0 7 v π 0, 0 5 s V (,7 0 N/kg ) ( 5,98 87, 0 /s 7 (,8 Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0

5 La gravitazione 5 g0 (,7 0 N/kg ) ( 5,98 (, , /s (,7 0 N/kg ) ( 5,98 g 950, /s (, H ( 7, 7 g (, , 0 ( l g (, 98/s ) π S (, 9 s) 8 s g g (, 7 /s ) S Auentare la sua lunghezza oppure salire di quota in odo che g diinuisca. 8 rascurando il valore di rispetto al raggio dei pianeti (indicati rispettivaente con i pedici e ), scriviao le espressioni dei due capi gravitazionali: g 9 U g da cui abbiao g g Quindi g (, 598 (, 9 g (, (, 8, (, 7 0 N/kg ) ( 5, 98 ( 8 5, 0 J (, 8 0 A distanza infinita. er convenzione, si pone l energia potenziale uguale a 0 J quando la distanza è infinita. DU gdh (75 kg) (9,8 /s ) [00 (0,8 )], 0 J W, 0 J DU 0 K (, 7 0 N/kg ) ( 5, 98 ( 80 kg) (, 78 (, 8 7, 0 J DU gdh (80 kg) (9,8 /s ) (8 ),8 0 J Vicino alla superficie terrestre i risultati sono in accordo perché g si può considerare pressoché costante. Il raggio terrestre non è noto con la stessa accuratezza con cui è fornita l altezza del K. Cobinando la g con la v f si ottiene: vf g ( vf) g L L L [, (, /s )] [, 0 7 ( 8, 0 )], 7 0 /s Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0 5

6 La gravitazione S 5 v No. Sì. N/kg kg (, ) (, 0 ) 5, k 8 c (, /s) (, 7 0 N/kg ) ( 5, 98 f, k/s (, 8 U (, 7 0 N/kg ) ( 5, U (, 0 J) Cobinando la U con la v K v si ottiene: ( U) (, 0 J ) 5, J 0 kg) ( 00 kg) 99, 0 problei generali L area spazzata dal raggio vettore in s è l area di un triangolo rettangolo: A d D s d v Dt A A (, 090k/s) [ ( 50,, 0 ( s) 5 A A A (per la seconda legge di Keplero). L A vr (,0 0 (0,90 k/s) [ (,50 0 )],9 0 J s F d (, 7 0 N/kg ) ( 7, 5 [(, 0 ) ( 05 kg/ )], 0 N 8 (, 8 F d 7 (, 7 0 N/kg ) ( 7, 5 [(, 0 ) ( 05 kg/ )], 0 8 (, 8 N π π ( 7, 9 50, 9, 0 s 7 anni circa 0 (, 7 0 N /kg ) ( 99, S Nell anno , i nati nei prii anni 90 avranno una settantina d anni, pari all incirca alla durata di vita edia, quindi è plausibile che gli studenti assistano di persona al ritorno della coeta di Halley. v L (, 7 0 N/kg ) ( 75, f 8, 0 /s (, 78 L Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0

7 La gravitazione U (, 7 0 N/kg ) ( 7, 5 0 kg) (, 8 0 (, 78 ) 9 8, 0 J 5 S c Venere: arte: Urano: (, 7 0 N/kg ) (, 88 78, 8 ( 99, 0 /s) (, 7 0 N/kg ) (, 0, 95 8 ( 99, 0 / s) 5 (, 7 0 N/kg ) ( 8, ( 99, 0 /s) (, 7 0 N/kg ) ( 8, ercurio: 0, 75 8 ( 99, 0 / s) Dalla loro assa. g Vd ( ) d d π π oiché il pianeta ha la stessa densità della erra, g è direttaente proporzionale a, quindi il peso sul pianeta sarebbe 5 volte aggiore. 7 Il satellite più interno. Dalla terza legge di Keplero: π r r π r r r 8 r π r r Il satellite più lento (quello più esterno) ha un periodo pari a 8 volte il periodo del satellite più veloce (quello più interno). 8 La distanza del satellite dal centro della erra è r, , 0, Il periodo di rivoluzione è dato dalla forula r π da cui si ha: 7 ( 5, 8, 7 0 (, N/kg ) ( 5, 97 0 La velocità è data da: 7 π r, 8 ( 5, v 0, 0 /s (, 9 0 s) 9, 0 s kg) 9 I due asteroidi, quando sono a distanza olto grande, hanno energia potenziale olto piccola ed Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0 7

8 La gravitazione energia cinetica nulla: per il teorea di conservazione dell energia eccanica possiao considerare che, al oento dell ipatto, la soa dell energia cinetica e dell energia potenziale sia pari a zero. er il sistea dei due asteroidi la distanza tra i centri, al oento dell ipatto, è pari a : v + 0 v, da cui abbiao v π ρ π ρ L accelerazione si ottiene dal secondo principio della dinaica: F ( ) π a ρ π ρ 0 Approssiiao il raggio dell orbita del proiettile con quello del pianeta e uguagliao i oduli della forza centripeta e della forza gravitazionale sul satellite: v, da cui si ha v. er il satellite geostazionario il periodo di rivoluzione dell orbita deve essere uguale a quello di rotazione del pianeta su se stesso; la velocità di rotazione si ha dalla forula precedente, per un valore di generico: v v ; π Elevando al quadrato i due ebri dell equazione abbiao, da cui otteniao π π e, dividendo per la forula, si ottiene il risultato. er ogni satellite in orbita, il valore dell energia cinetica vale età del odulo del valore dell energia potenziale: v Quindi l energia totale vale: E K+ U v Analogaente a quanto svolto nel problea n. 9: V V 0, da cui π assa delle palline: V dferro ( 5, c ) ( 8, 0g/c ) 0, 5 kg Invertiao la forula della legge di gravitazione per ricavare la distanza r: Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0 8

9 La gravitazione r F Sostituendo 0,5 kg; F,5 0 9 N, otteniao: (, 05kg) r (, 7 0 N/kg ) 9 (, 5 0 N) Quindi r, 0. Velocità al contatto: utilizzando la conservazione dell energia eccanica, poiché le palline partono da fere, abbiao, per ciascuna: v, da cui otteniao: r (, 7 0 N/kg ) ( 0, 5 kg) v 5, 0 5 r (, 0 g) L accelerazione di gravità g viene diinuita dalla forza centrifuga apparente, che agisce sui corpi posti sulla superficie del pianeta per effetto della rotazione intorno all asse, secondo la forula: g w r dove è il raggio del pianeta arte,,8 0, w è la velocità angolare di rotazione e r è la distanza dall asse del punto preso in esae, che varia a seconda della latitudine. Al polo Nord w 0, perciò (, 7 0 N/kg ) ( 0, g olo g, 79 /s 7, /s (, 8 All Equatore r, perciò: π geq g /s 8, geq (, 79 /s ) (, 8, 7 /s 7, /s 8 0 s A 5 di latitudine è r, 9 0, perciò: 8, (, 79 /s ) (, 9, 77 /s 7, /s 80 s g 5 Il punto essenziale da considerare è la distinzione fra il centro della erra e il centro di assa del sistea erra-luna che, coe detto, si uove di oto circolare unifore; trascurando gli effetti dovuti ad altre cause, il valore edio della durata dell anno tropico coinciderebbe quindi con il periodo di rivoluzione del centro di assa; questo si trova a circa 00 k di distanza dal centro della erra, sulla congiungente erra-luna, coe si ricava facilente. Infatti in un riferiento con origine nel centro della erra, dette e le asse di erra e Luna rispettivaente, il centro di assa -L si trova calcolando: 5 x x x + L r (, 8 0 k) x 00 k, con 0exL r Al prio quarto erra e Luna sono allineate con la tangente dell orbita della erra e il centro della erra è in anticipo sul centro di assa di circa, inuti, dato che Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0 9

10 La gravitazione x 00 Dt 5 s v 0 Quindo l equinozio (geocentrico!) avviene, inuti pria del passaggio del centro di assa. oiché in un anno ci sono circa,5 cicli lunari, il successivo equinozio avviene (approssiativaente) in fase di ultio quarto, guadagnando così altrettanto perché adesso il centro della erra transita sulla linea del punto gaa dopo il centro di assa: l anno risulta più lungo della edia di Dt 5, inuti. Nell anno successivo gli effetti sono opposti; l anno è più corto di circa Dt e, detta 0 la durata edia dell anno tropico, la differenza tra i due anni, a causa della Luna, risulta: D 0 + Dt ( 0 Dt) Dt 0, inuti Nota: coe detto, ci sono olti altri effetti perturbativi sul oto della erra, cosicché la durata di anni tropici successivi varia in odo olto più accentuato e irregolare. test per l università d b c b prove d esae all università Quando i due corpi si trovano all infinito, l energia potenziale gravitazionale dei due asteroidi è nulla. Inizialente i due corpi sono in quiete, quindi anche la loro energia cinetica è zero e pertanto l energia eccanica del sistea è nulla. er la conservazione dell energia eccanica totale si ha: + K K tot 0 tot 0 J Durante il oto agisce solo la forza gravitazionale tra i due asteroidi, che è una forza interna; quindi la quantità di oto totale del sistea si conserva. Dato che inizialente i due corpi sono feri, la velocità del centro di assa è nulla e continua a essere zero anche quando i due corpi si trovano a distanza. v + ( ) v ( + ) vc 0 v v v + v v + Ktot ( ) ( ) v Ktot, 0 /s Study abroad e a A response that includes the following steps. States the two laws in atheatical for Newton s Second Law: F a and the Law of ravity: F. r v. Applies the forula for centripetal acceleration: a. r. Derives the forula for velocity, v (or equivalent) and uses this to show that v (Venus) is greater than v (Earth). r Aaldi, L Aaldi per i licei scientifici Zanichelli 0 0