Consigli per la risoluzione dei problemi

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1 Consigli per la risoluzione dei problei Una parte fondaentale di ogni corso di Fisica è la risoluzione di problei. Risolvere problei spinge a ragionare su idee e concetti e a coprenderli eglio attraverso la loro applicazione. Gli esepi qui riportati sono stati proposti agli studenti di Fisica Generale I negli ultii anni coe prove scritte d esae. Essi illustrano, in ogni capitolo, casi tipici di risoluzione di problei. Il soario all inizio di ogni capitolo offre un breve quadro d insiee delle idee più iportanti per la soluzione dei problei di quel capitolo. Benchè tale quadro sia olto utile coe proeoria, per una adeguata coprensione degli argoenti si consiglia di utilizzare il testo di Fisica Generale I consigliato dal docente. Riguardo alla soluzione dei problei di Fisica, si consiglia quanto segue: ) Leggere attentaente il testo del problea. ) Preparare un elenco copleto delle quantità date (note) e di quelle cercate (incognite) ) Disegnare uno schea o un diagraa accurato della situazione. Nei problei di dinaica, assicurarsi di aver disegnato tutte le forze che agiscono su un dato corpo (diagraa di corpo libero). 4) Dopo aver deciso quali condizioni e principi fisici utilizzare, esainare le relazioni ateatiche che sono valide nelle condizioni date. Assicurarsi sepre che tali relazioni siano applicabili al caso in esae. E olto iportante sapere quali sono le liitazioni di validità di ogni relazione o forula. 5) Molte volte le incognite sebrano troppe rispetto al nuero di equazioni. In tal caso è bene chiedersi, ad esepio: a) esistono altre relazioni ateatiche ricavabili dalle condizioni del problea? b) è possibile cobinare alcune equazioni per eliinare alcune incognite? 6) E buona nora risolvere tutte le equazioni algebricaente e sostituire i valori nuerici soltanto alla fine. Conviene anche antenere traccia delle unità di isura, poichè questo può servire coe controllo. 7) Controllare se la soluzione trovata è diensionalente corretta. 8) Arrotondare il risultato finale allo stesso nuero di cifre significative che copaiono nei dati del problea. 9) Ricordare che per iparare a risolvere bene i problei è necessario risolverne tanti: la risoluzione dei problei spesso richiede creatività, a qualche volta si riuscirà a risolvere un problea prendendo spunto da un altro già risolto.

2 I - Cineatica del punto ateriale La cineatica degli oggetti puntifori descrive il oto dei punti ateriali. La descrizione del oto di ogni punto ateriale deve sepre essere fatta in relazione ad un particolare sistea di riferiento. La posizione di un oggetto che si uove lungo una retta è data dall equazione oraria: Si definiscono la velocità istantanea: e l accelerazione istantanea: x x( t) x v li t t dx dt li v a t t dv dt d x dt Se un oggetto si uove lungo una retta con accelerazione costante (oto uniforeente accelerato) si ha: a cost e per integrazione, ponendo v v e x x per l istante iniziale t t, si otterrà: v v at x x v t at v v ( x ) a x Gli oggetti che si uovono verticalente vicino alla superficie terrestre, sia che cadano o che siano lanciati verticalente verso l alto o verso il basso, si uovono (se si può trascurare l effetto della resistenza dell aria) con accelerazione costante rivolta verso il basso. Questa accelerazione è dovuta alla gravità, ed è pari a circa g 9,8 /s. In generale, se r è il vettore posizione del punto ateriale, la velocità e l'accelerazione vettoriale istantanea sono date da:

3 v dr e dt dv a. dt Le equazioni cineatiche per il oto possono essere scritte per ciascuna delle coponenti x, y e z, ossia: Riassuiao qui i casi più seplici: r xxˆ yyˆ zzˆ v v xˆ v yˆ v zˆ x a a xˆ a yˆ a zˆ. x Il oto dei proiettili si può scoporre, se si trascura la resistenza dell aria, in due oti separati: la coponente orizzontale del oto che ha velocità costante e la coponente verticale che ha accelerazione costante e pari a g, coe per i corpi in caduta libera (fintanto che il oto si svolge in prossiità della superficie terrestre). Si ha un oto circolare unifore quando una particella si uove lungo una circonferenza di raggio r con velocità costante; la particella sarà allora soggetta ad un accelerazione radiale centripeta a R, diretta verso il centro del cerchio, di intensità: y y z z a R v r Se la velocità non è costante, vi sarà accelerazione sia centripeta sia tangenziale. Il oto circolare può anche essere scritto in terini di variabili angolari. In questo caso l equazione oraria sarà θ θ( t) con θ angolo isurato (in radianti) a partire da una data direzione di riferiento. La velocità angolare è data da: e l accelerazione angolare da: dθ ω dt α La velocità e l accelerazione lineare di un punto che si uove lungo una circonferenza di raggio r sono legate a ω e α da: dω dt v rω a T rα a R rω

4 dove a T e a R sono le coponenti tangenziale e radiale dell accelerazione. La frequenza f è legata ad ω da ω π f e al periodo T da T /f.

5 Problea Il sistea, ostrato in figura, è costituito da una assa appoggiata su una guida rettilinea inclinata di un angolo θ rispetto all'orizzontale. Calcolare l'accelerazione a con la quale deve uoversi la guida orizzontalente affinché la assa t cada verticalente con accelerazione pari a g. [ θ ; g 9.8 / s ] Suggeriento: tenere conto che g orizzontalente. è diretta solo verticalente, entre a t è diretta solo Soluzione: L'accelerazione della assa è g inerziale solidale con la guida. rispetto ad un osservatore inerziale, e a rispetto ad un riferiento non a r g a θ L'accelerazione di gravità nel riferiento solidale con la guida è: g g a t Indicato con a il odulo dell'accelerazione della assa nel riferiento solidale con la guida vale: a g sinθ cosθ a r La coponente orizzontale di a deve equilibrare a, quindi: t a a cos θ t t cioè: gsinθ cosθ g a t 5,7 / s tg θ rivolta all'indietro.

6 Soluzione alternativa: L accelerazione totale deve essere g, quindi deve valere: g a a t scrivendo quest equazione in coponenti si ottiene facilente che: g a t 5,7 / s tg θ dove a t e g sono i oduli delle accelerazioni. Problea Una palla è lanciata in avanti e verso l'alto da una quota h sopra il suolo con velocità iniziale v. La palla ribalza elasticaente (invertendo la coponente orizzontale della velocità e antenendo inalterata quella verticale) su un uro verticale posto alla distanza d dal lanciatore. A quale altezza h dal suolo la palla colpisce il uro? A quale altezza h si trova la palla quando è di nuovo sulla verticale del lanciatore (che riane fero)? Qual è la quota assia h ax raggiunta dalla palla? Quesito: h ax è la stessa che sarebbe raggiunta se non ci fosse la parete verticale. Perché? [h ; d 4 ; v ( x y) / s ˆ ˆ ] h d Soluzione: a) La coponente orizzontale della velocità v x è costante, quindi la palla raggiunge il uro nel tepo:

7 d t,4 s. v x In direzione verticale è l'accelerazione ad essere costante: g -9,8 ŷ /s. Perciò: d d h h v g 5, y v x v x b) La palla torna sul lanciatore dopo altri,4 s. La coponente verticale del oto è ancora uniforeente accelerata con velocità iniziale v y 6,8 /s, e quota iniziale h 5,. Perciò la nuova quota è h 6,9. c) La quota assia h ax viene raggiunta quando la coponente verticale della velocità si annulla (ciò avviene dopo il ribalzo). Essa è perciò data da: h v y h 7,. g ax Risposta al quesito: h ax è la stessa che sarebbe raggiunta se non ci fosse la parete verticale, perché l urto con tale parete non altera la coponente verticale del oto. Problea Un vecchio cannone viene fatto sparare orizzontalente dalla cia di una ontagna e la velocità v della palla viene regolata in odo tale da farle colpire un bersaglio posto nella pianura sottostante solo al secondo ribalzo. Nel ribalzo la coponente verticale della velocità v y si riduce di un fattore f e la coponente orizzontale v x riane costante. Qual è la velocità v di uscita della palla del cannone per poter colpire un bersaglio distante d, se la ontagna sulla cui cia è situato il cannone è alta h? Qual è la velocità v di uscita della palla se si vuole colpire il bersaglio direttaente? [f,6; h k; d 9 k] h d

8 Suggeriento: calcolare la durata del oto in verticale ed ricordare che in tale tepo viene percorsa orizzontalente la distanza d. Soluzione: a) La coponente orizzontale del oto si antiene costanteente unifore, per cui basta calcolare la durata del oto verticale ed iporre che d v x t, cioè v x d/t. Il prio ipatto avviene dopo il tepo t : entre il secondo ipatto avviene con un ritardo t : h t s 4, s g t v g y s 7 s, dove v y è quella subito dopo l'urto: v fgt 6 84,9 /s. y Quindi: d v x 89, /s. t t b) La coponente verticale del oto è uniforeente accelerata con accelerazione perciò il tepo ipiegato dalla palla per raggiungere il suolo è: g 9.8yˆ / s, t h g In questo tepo la palla percorre orizzontalente la distanza d v x t 9 k, cioè: v d g d 6 /s. x t h

9 II - Dinaica del punto Le tre leggi del oto di Newton sono le leggi fondaentali per la descrizione del oto stesso. La pria legge di Newton affera che, se la forza risultante su un corpo puntifore è zero, allora esso resta in quiete o si uove lungo una linea retta con velocità costante (oto rettilineo unifore). La tendenza di un corpo a resistere ad un cabiaento del suo stato di oto si chiaa inerzia. La assa è la isura dell inerzia di un corpo. La seconda legge del oto di Newton affera che l accelerazione di un corpo è direttaente proporzionale alla forza risultante che agisce su di esso e inversaente proporzionale alla sua assa. Sotto fora di equazione: F a La forza risultante su un oggetto indica il vettore soa di tutte le forze che agiscono su di esso. Nella sua forulazione più generale, la seconda legge di Newton affera che la forza risultante agente su un corpo di assa e velocità v è data da: F dv dt dp dt ove p v è la quantità di oto del corpo. Solitaente (a ci sono eccezioni) un corpo non perde nè acquista assa durante il oto, e quindi vale dv F a, coe sopra. dt Se invece la assa del corpo è variabile, si avrà: F a d dt v La terza legge del oto di Newton affera che se un prio corpo esercita una forza su un secondo corpo, allora il secondo corpo esercita sepre sul prio una forza uguale in intensità e direzione, a di verso contrario. La forza esercitata su un corpo dalla superficie liscia su cui è appoggiato agisce perpendicolarente alla coune superficie di contatto e per questo si dice che è una forza norale. E un tipo di forza vincolare, perché liita la libertà di oviento del corpo e la sua intensità dipende dalle altre forze che agiscono su quel corpo. Per risolvere i problei in cui copaiono forze su uno o più corpi è essenziale disegnare il diagraa di corpo libero per ogni singolo corpo, ettendo in evidenza tutte le forze che agiscono su quel corpo. Per ogni corpo la seconda legge di Newton può essere applicata a ciascuna coponente della forza risultante.

10 Alcune forze iportanti sono: Forza peso. Il peso si riferisce alla forza di gravità che agisce su un dato corpo e vale P g; vettorialente: P g Forza d attrito. Quando un corpo è in oviento su una superficie scabra, la forza dovuta all'attrito (radente) dinaico agisce nella direzione opposta a quella del oto. La sua intensità è data da: F µ F, relazione tra l intensità della forza d attrito, che agisce parallelaente alla superficie di ad d N contatto e l intensità della forza norale F N (spesso indicata anche con N) che agisce perpendicolarente alla superficie stessa. Non è un equazione vettoriale, poiché le due forze sono perpendicolari l una all altra. µ è detto coefficiente di attrito dinaico e dipende dai ateriali con d cui sono fatti i due oggetti. Per la forza d'attrito (radente) statico, il suo valore assio è dato da: F µ F con µ coefficiente d attrito statico. Quando un corpo si as s N S uove con velocità sufficienteente bassa attraverso un fluido, subisce una forza d'attrito viscoso diretta nel verso opposto a quello del oto. La sua intensità è data da: βv. Forza elastica. Per tenere una olla copressa o tesa di una lunghezza x oltre quella di riposo è necessaria una forza: F kx dove k è la costante elastica della olla. Questa legge, nota coe legge di Hooke, è valida per valori di x sufficienteente piccoli. Forza centripeta. Una particella che ruota lungo una circonferenza di raggio r con velocità costante v è sottoposta in ogni oento ad una forza diretta verso il centro della traiettoria. Essa vale: F v ω r; vettorialente F v ( ) r r r ω ω r F av Problea Un uoo tira una slitta, inizialente fera, su cui siedono due babini, sul suolo coperto di neve. La slitta viene tirata ediante una fune che fora un angolo θ con l'orizzontale (vedi figura). La assa totale dei babini è M, entre quella della slitta è. Il coefficiente di attrito statico è µ, entre il coefficiente di attrito dinaico è µ. d Si trovino la forza di attrito esercitata dal suolo sulla slitta e l'accelerazione del sistea slitta-babini se la tensione T della fune ha l intensità: T N; T 4 N. S

11 Mantenendo fisso l angoloθ, deterinare il valore inio di T per sollevare totalente la slitta. [ θ 4 ; M 45 kg; 5 kg; µ,; µ,5] S d Suggeriento: disegnare il diagraa di corpo libero del sistea slitta-babini, iporre la condizione di equilibrio per le coponenti y delle forze e scrivere l equazione del oto per le coponenti x. θ Soluzione: F F N as T (M) g θ F F N ad T (M) g θ Diagrai di corpo libero I) La forza norale al suolo è: F N ( M ) g Tsinθ 45,7 N. Quindi la forza di attrito statico è: F as [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 85, N, s N s entre la forza di attrito dinaico è: F ad [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 6,9 N. d N d La coponente orizzontale delle tensioni è T x Tcosθ 76,6 N < F as, per cui l accelerazione è nulla. II) La forza norale al suolo è: F N ( M ) g Tsinθ 4 N. Quindi la forza di attrito statico è:

12 F as [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 8 N, entre la forza di attrito dinaico è: s N s F ad [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 6 N. d N d La coponente orizzontale delle tensione è T x Tcosθ 7, N > F as, quindi la slitta si uove con accelerazione T cosθ µ d a [( M ) g Tsinθ ] M,9 /s. Il valore di T per sollevare la slitta è quello che annulla F : N T ( M ) g 76, N. sinθ Problea Due asse ed giacciono su un piano senza attrito e vengono spinte da una forza applicata dall'esterno F, che si esercita sulla assa (coe in figura ). Si deterinino intensità e direzione di ciascuna delle forze di interazione tra ed. Supponendo che venga eliinata la forza F e che sulla assa agisca la forza applicata dall'esterno F F (figura ), si deterinino intensità e direzione di ciascuna delle forze di interazione in quest'ultio caso. Si spieghi perché il odulo delle forze di interazione è diverso nei due casi. [F N; 4 kg ; kg; F N] Suggeriento: si scriva l'equazione del oto considerando il punto ateriale di assa ( ). Si scrivano quindi le equazioni di corpo libero per ciascuna assa. F F Fig. Fig. Soluzione:

13 F N F N F $ F " g% F! g# F F & N g* F ) F ( N g' F Diagrai di corpo libero a) L accelerazione di ed è: a F /s Ma allora la forza di interazione F esercitata da su vale a 4 N, entre per il principio di azione e reazione la forza di interazione F esercitata da su vale F - F 4 N b) L accelerazione vale ancora /s, a questa volta su agisce anche la forza F - F. quindi ora è F a -8 N, ed F - F 8 N. c) In base alla seconda legge del oto di Newton la forza totale agente su ciascuna delle due asse è la stessa (a eno del verso) nei due casi esainati. Però una delle due asse è accelerata dalla sola forza di interazione, e nel secondo caso si tratta della assa aggiore. E ovvio che per produrre la stessa accelerazione in una assa aggiore, occorre una forza aggiore. Problea Una palla di assa è fissata ad una sbarra verticale per ezzo di due funi prive di assa e lunghe. Le funi sono fissate alla sbarra a distanza d l'una dall'altra. Il sistea ruota attorno alla sbarra in odo da forare un triangolo equilatero (vedi figura). La tensione della fune più alta è T. Deterinare: la tensione T della fune in basso; la risultante delle forze applicate alla palla nell'istante ostrato in figura; la velocità della palla. Studiare il problea sia dal punto di vista di un osservatore inerziale, sia dal punto di vista di un osservatore solidale con la palla. [,4 kg;,7 ; d,7 ; T 5, N] Suggeriento: disegnare il diagraa di corpo libero per il punto ateriale in ciascuno dei riferienti utilizzati.

14 8 / / d 6 8 Soluzione: La differenza fra ciò che vede un osservatore inerziale rispetto ad uno non inerziale solidale con la palla è che entre quest ultio vede la palla fera antenuta in equilibrio da una forza centrifuga F, c. f., l osservatore inerziale vede la palla in oto circolare unifore, sottoposta ad un accelerazione centripeta. a) T b) T 6 F c. f. T g4 T 5 g7 Diagraa di corpo libero a) nel riferiento inerziale e b) nel riferiento non inerziale solidale con la palla a) Nel riferiento non inerziale, la tensione T - bilancia la risultante di Ṫ, della forza centrifuga e della forza peso: v T ˆ r g T / dove si è tenuto conto che il triangolo è equilatero e che cos. La coponente verticale dell equazione non contiene la forza centrifuga: T T g dove si è utilizzata la nota relazione cos 6,5. Si trova dunque il odulo T 8,7 N. b) Nel riferiento non inerziale la risposta è banale: zero. Nel riferiento inerziale, invece, la risultante delle forze applicate alla palla è la forza centripeta:

15 : : ; : < T T v g 9 La coponente orizzontale dell equazione vettoriale di partenza, valida in entrabi i riferienti, è: fornisce: Problea 4 ( T T ) rˆ v ; ( T T ) v 4 6,5 /s Un blocco di assa poggia su un blocco di assa che è posto su un tavolo privo di attrito (vedere figura). I coefficienti di attrito statico e dinaico fra i due blocchi sono rispettivaente µ e S µ. d Quanto vale la assia forza F che si può applicare senza che il blocco strisci su? Se il valore di F > è doppio di quello trovato nel precedente quesito, si trovino sia l'accelerazione assoluta di ciascun blocco sia la forza di attrito agente su ciascun blocco. Un osservatore inerziale vede il blocco uoversi verso destra (direzione di F? ) o verso sinistra? [ kg; 4 kg; µ,; µ,] S d Suggeriento: disegnare il diagraa di corpo libero per ciascun corpo in condizione di oto di e iporre la condizione di equilibrio di rispetto ad (oto relativo). Soluzione:

16 F NA FB NE FC ad FG ad ( )g gd Diagrai di corpo libero (in un riferiento inerziale, con in oto rispetto ad ) a) In un riferiento inerziale, in assenza di attrito con il tavolo la assa si uove con, quindi la forza di attrito statico che agisce su deve essere pari a: F µ s g da cui: ( ) F µ s g 7,7 N b) Posto F 7,7x N 5,4 N, la assa scivola su esercitando su di essa la forza di attrito dinaico F gµ, per cui: ad d a F µ d g 7,9 /s dove a è l accelerazione della assa. La forza di attrito dinaico vale naturalente µ d g,9 N. Nel riferiento solidale con la assa, la assa subisce sia la forza di attrito dinaico, sia la forza fittizia - a. Quindi in tale riferiento l accelerazione a r vale: a r µ g a -5,9 /s d entre in un riferiento inerziale vale: a a r a /s c) Coe si evince dal punto b), entre nel riferiento non inerziale l accelerazione è diretta verso sinistra (nel verso negativo delle ascisse), in un riferiento inerziale l accelerazione è positiva, quindi diretta verso destra. Problea 5

17 La curva sopraelevata di un'autostrada è stata progettata per una velocità v ax. Il raggio della curva è r. In una brutta giornata il traffico percorre l'autostrada alla velocità v. Quanto vale l angolo θ di sopraelevazione? Quanto deve essere il inio coefficiente d'attrito µ s che consente di superare la curva senza scivolare verso il basso? Usando tale coefficiente, con quale velocità assia v ax è possibile percorrere la curva senza scivolare verso l alto? [v ax 95 k/h;r ; v 5 k/h] Suggeriento: utilizzare un sistea di riferiento (non inerziale) solidale con l'autoobile, scrivere l'equazione del oto ed iporre la condizione di equilibrio. a) b) F J cf N K gi N M gl Diagraa di corpo libero a) in un riferiento non inerziale e b) in uno inerziale Soluzione: a) In un riferiento inerziale la coponente orizzontale della reazione vincolare N H fornisce la forza centripeta, entre la sua coponente verticale equilibra la forza peso: Quindi: Nsin v θ r N cosθ g tgθ v rg ax,

18 Con questo angolo, nel sistea di riferiento solidale con l autoobile è soddisfatta la condizione di equilibrio della coponente parallela alla strada delle forze in gioco, in assenza di attrito: v r ax cos θ gsinθ tgθ v rg ax, b) Con la pioggia, a velocità v < v ax, la acchina tende a scivolare verso il basso, per cui la condizione di equilibrio diviene: gsin Quindi il coefficiente d attrito vale: v v ( θ ) cos( θ ) µ g cos( θ ) sin( θ ) r v gtg( θ ) µ r s, v g tg( θ ) r c) A velocità v ax > v ax, tende a prevalere la forza centrifuga, e la acchina tende a sbandare verso l alto. Quindi la condizione di equilibrio è: Per cui: v gsin s r s ax ax ( θ ) µ g cos( θ ) sin( θ ) cos( θ ) [ sin( θ ) µ s cos( θ )] [ cos( θ ) µ sin( θ )] r v r v ax gr 8,5 k/h Problea 6 Un corpo di assa M è posto su un piano inclinato di un angolo θ con l orizzontale ed è connesso ad una coppia di corpi di ugual assa traite una corda ideale, che passa per una puleggia senza attrito e di assa trascurabile, coe illustrato in figura. C è però attrito fra la assa M ed il piano inclinato. Calcolare il valore della forza di attrito statico necessaria a far rianere in quiete il sistea;

19 espriere in funzione di, M, θ il inio valore del coefficiente di attrito statico fra M ed il piano inclinato, µ s, necessario affinchè il sistea rianga in condizioni statiche; calcolare esplicitaente il valore inio di µ s quando M/ e θ 45. Quesito: Per quale valore dell angolo θ il sistea (per < M/) resterebbe in condizioni statiche anche senza attrito? θ M Soluzione: F P a N N θ M T O Diagraa di corpo libero per M a) Condizione di equilibrio: T T g Mgsinθ µ Mg cosθ s pertanto:

20 ( θ ) g ( θ ) µ Mg cos Mgsin s b) Coefficiente di attrito statico: µ s tg M cos ( θ ) ( θ ) c) Se M/ e θ 45, µ s,4 Risposta al quesito: La condizione di equilibrio in assenza di attrito è: da cui: T g T Mgsinθ θ arcsin M Si noti che per >M/ il sistea non può essere in equilibrio senza l attrito. Problea 7 I corpi di assa, ed sono collegati coe in figura. Le carrucole e le funi sono ideali. Quali valori può assuere il coefficiente di attrito statico µ s fra tavolo e corpo di assa affinchè non si uova? Calcolare l accelerazione dei due corpi ed quando è soddisfatta la condizione di cui al punto a). In assenza di attrito fra il tavolo ed, calcolare l accelerazione dei corpi, ed. [ kg; kg; kg] Suggeriento: scrivere l equazione di equilibrio per e quella per il oto di ed.

21 Soluzione: F V a N T T U T Q W T gs gr g X Diagrai di corpo libero. a) e b) Condizione di equilibrio di : gµ s Le accelerazioni di ed hanno soa nulla, per cui le equazioni del oto di ed si possono scrivere in terini della sola accelerazione a di : T T T g a g ( a) cioè: T g a g T a dove l asse verticale del riferiento è orientato verso l alto. L accelerazione di vale: a g - /s (verso il basso). Tensione della fune che lega ed : T ( g a) g,5 N Coefficiente di attrito statico: µ s T g c) In assenza di attrito, siano a, a e a le accelerazioni delle tre asse in un riferiento inerziale. Vale allora:,5

22 \ a T ( a a) ( a a ) T g T g a a e a a sono le accelerazioni delle asse ed nel riferiento solidale con la seconda carrucola, riferiento in cui è valido il calcolo precedente, nonchè la condizione: ( ) a a a a che in precedenza ci ha consentito di scrivere le equazioni del oto di ed in terini della sola accelerazione di. Eliinando le tensioni delle corde, si ottiene: Quindi, risolvendo il sistea si trova: a a a a a g a a g a a a 4 g ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) a 4,7 /s, a -,7 /s, a -6,7 /s ( si uove in avanti, ed verso il basso). Si noti che nel riferiento non inerziale solidale con la carrucola obile (che scende), le accelerazioni di ed hanno lo stesso odulo ( /s ), a scende ed sale. g g Problea 8 Si ricordi che se ay I è l accelerazione di un corpo rispetto ad un riferiento inerziale, la sua accelerazione az NI rispetto ad un riferiento non inerziale di accelerazione a[ è data da: a \ NI ai a\ t. t

23 Nel dispositivo scheatizzato in figura, il corpo A (di assa A ), poggiato su un piano orizzontale liscio, è collegato da un filo inestensibile al corpo B (di assa B ) ed è saldato all estreità di una olla di costante elastica k. L altra estreità della olla è fissata ad un gancio solidale con il piano e le asse del filo, della olla e della carrucola sono trascurabili rispetto a quelle dei corpi A e B. Il corpo B viene abbassato lungo la verticale, rispetto alla sua posizione di equilibrio e lasciato libero di uoversi. Calcolare: di quanto si è allungata la olla nella posizione di equilibrio del sistea; l equazione del oto del sistea forato dalle due asse; il periodo delle oscillazioni copiute dal sistea (sia di A che di B). [ A kg; B kg; k N/] Suggeriento: si scrivano le equazioni del oto di A ed B, usando ad esepio la variabile x coe spostaento generico della assa B dalla sua posizione di equilibrio. A B Soluzione: F _ e N a ] A g ` T T b ^ B g Diagraa di corpo libero per A e B. a) detto x l allungaento della olla, la condizione di equilibrio è k x B g, da cui: B g x 9,8 c. k b) le equazioni del oto di ciascuna assa sono:

24 T Bg T( x) Ba( x) ( x) kx a( x) A ovvero T d x g T( x) B dt d x kx A dt B ( x) per cui l equazione globale del sistea, in funzione dell allungaento della olla, è: d x k dt x B g A B la cui soluzione è un oto aronico. Si noti che la variabile x descrive le oscillazioni sia di A che di B attorno alle rispettive posizioni di equilibrio. c) il periodo dell oscillatore è: A B T π,9 s k A B Problea riepilogativo Un autobotte di assa a vuoto M trasporta una assa di acqua distillata lungo tratto di autostrada piano e rettilineo, senza vento. La velocità dell autobotte è inizialente v e la forza di attrito statico agente sulle sue ruote in direzione e verso della velocità è f s. Ad un tratto sul fondo del cassone si apre una piccola crepa attraverso cui l acqua cade al suolo, staccandosi dal cassone con velocità relativa ad esso perpendicolare alla strada. La perdita è di k litri di acqua al inuto. L autista del caion, ignaro della perdita, tiene fero il piede sull acceleratore, per cui la forza di attrito statico riane costante. A quale velocità si troverà il caion dopo un tepo t dall inizio della perdita? [f s N; kg; k, l/in; ρ (H O) kg/d ; M 8 kg; v 7 k/h; t 5 ]

25 d c c d Soluzione: Fissiao un riferiento solidale con la strada che abbia l asse x lungo l autostrada nel verso della velocità dell autobotte, e l asse y verticale diretto verso l alto. Pria che si apra la crepa, si ha sepliceente una assa M che si uove a velocità costante, soggetta lungo l asse delle ascisse alle sole forze f s ed attrito viscoso dell aria. Queste due forze devono ovviaente bilanciarsi, per cui il coefficiente d attrito viscoso β del caion nell aria è dato da: cioè: d ( M ) f s βv dt x f s β,5 kg/s v Quando si apre la crepa, l autobotte perde, in un intervallo di tepo infinitesio dt, la quantità di oto v kdt e la assa kdt. In forula: ( kdt) v ( t dt) ( M ) v ( t) kdtv ( t) M Perciò la nuova velocità dell autobotte (al tepo t dt) è: ( M kdt) v ( t) ( M kdt) v ( t dt) cioè la velocità riane inalterata, e l accelerazione è nulla, anche se il caion perde quantità di oto. Il problea può anche essere risolto utilizzando la fora generale della seconda legge della dinaica, valida per sistei a assa variabile: F a c dove (t) è la assa dell autobotte al tepo t dall inizio della perdita, e la forza totale agente sull autobotte è: d dt v F ( f s βv) x f a ˆ con f e a forza di reazione esercitata dall acqua sul caion.

26 Nel riferiento solidale con l autobotte, la forza di reazione è verticale, per cui non influenza la coponente orizzontale del oto. Inoltre, in tale riferiento v, quindi: (anche a è nulla, a è solo la forza fittizia). La condizione iniziale è v f s βv f s β, per cui inizialente a(). Ma v ( dt) v a( ) v f s βv( dt) f s βv v non cabia, e a( dt) oto resta unifore con velocità v. a, cioè, vale a dire che a riane nulla. Quindi il

27 III - Lavoro ed energia. Conservazione dell energia. Il lavoro W copiuto da una forza F variabile che agisce su un punto ateriale spostandolo da un punto A ad un punto B lungo una linea γ è dato da: B W F dl A,γ dove dl è lo spostaento infinitesio lungo il percorso della particella. L energia cinetica di una particella di assa che si uove con velocità v è data da: Ec v Il teorea dell energia cinetica affera che il lavoro totale copiuto su un punto ateriale dalla forza risultante per spostarlo da un punto A ad un punto B è uguale alla variazione di energia cinetica del punto ateriale: W v B v A E c Il lavoro fatto da una forza conservativa su di una particella dipende solo dai due punti di partenza e di arrivo e non dal caino percorso dalla particella. Il lavoro fatto da una forza conservativa è recuperabile, cosa che non è vera per una forza non conservativa, coe l attrito. Associato ad una forza conservativa si introduce il concetto di variazione di energia potenziale. Sotto l azione di una forza conservativa F si definisce la variazione di energia potenziale coe l opposto del valore del lavoro copiuto dalla forza: E E E F dl p pb pa Solo le variazioni dell E p sono significative dal punto di vista della fisica, per cui si può sostituire E p (x) con E p (x) C, con C costante arbitraria, ogni volta che conviene. Quando agiscono solo forze conservative, l energia eccanica totale E, definita coe la soa delle energie cinetica e potenziale, si conserva: E E E costante. c p Se agiscono anche forze non conservative, entrano in gioco altri tipi di energia. Quando si includono tutte le fore d energia, l energia si conserva sepre (legge di conservazione dell energia). Esepi di forze conservative per le quali si parla di energia potenziale sono: forza peso e sua energia potenziale. Quest ultia vale gy per una particella posta ad un altezza y al di sopra di un riferiento orizzontale scelto ad arbitrio. B A

28 Forza elastica ( F kx );energia potenziale elastica E p /kx per una olla con costante elastica k, allungata o copressa di una lunghezza x rispetto alla posizione di riposo. Forza gravitazionale (descritta dalla legge di gravitazione universale di Newton).L energia potenziale di una particella di assa dovuta alla forza gravitazionale esercitata su di essa dalla Terra è data da: E p ( r) M γ r dove M T è la assa della Terra ed r la distanza della particella dal centro della Terra (r>raggio della Terra). E p ( ) è il riferiento di zero per E p. T Problea Un punto ateriale di assa scende (partendo da fero) lungo la sagoa in figura, che è opportunaente raccordata nel punto B in odo che la velocità del punto ateriale in B cabi in direzione a non in odulo. Il coefficiente di attrito dinaico tra punto ateriale e piani vale µ d. Sapendo che la velocità nel tratto BC è costante: Quanto tepo ipiega il punto ateriale per scendere da A a C? Quanto vale il lavoro copiuto dalla forza di attrito? Risolvere la parte b) sia usando la definizione di lavoro, sia ricordando che il lavoro copiuto dalla forza di attrito è uguale alla variazione dell energia eccanica tra A e B. [AB BC l ; α ; µ d ; g 9,8 /s ;,5 kg] A α l B β l C Soluzione:

29 Innanzi tutto calcoliao β. Poichè la velocità nel tratto BC è costante, la forza di attrito uguaglia la coponente del peso parallela a BC: Da cui: µ gsinβ g cos β d tg β µ d a) L accelerazione della assa nel tratto da A a B è data da: Quindi il tepo richiesto da A a B è: ( α µ sinα) g a cos 5,8 /s. d l l t,8 s a ( cosα µ d sin α)g entre in B la velocità è: v B at 4,6 /s. Il tepo t ipiegato per percorrere BC è l/ v B,4 s, quindi il tepo totale t t è t t t t,s. b)il lavoro copiuto dalla forza di attrito è: W µ d g( sin α sinβ )l 7,7 J Oppure, il lavoro copiuto dalla forza di attrito si può ottenere dalla variazione dell energia eccanica: W E gl( cosα cos β ) vb 7,7 J, gl è l energia potenziale del punto A rispetto al punto C. Si noti che nel tratto BC varia solo l energia potenziale. dove ( cos α cosβ ) Problea Un cavallo tira una slitta su una strada ripida, coperta di neve. La slitta ha una assa ed il coefficiente di attrito dinaico fra la slitta e la neve è µ d. Se il cavallo tira parallelaente alla superficie della strada ed eroga una potenza P: quanto vale la velocità (costante) assia v ax con cui il cavallo riesce a tirare la slitta? Che frazione della potenza del cavallo viene spesa per copiere lavoro contro la forza d attrito? Che frazione viene spesa per copiere lavoro contro la forza di gravità?

30 [pendenza :7; kg; µ d,; P 746 W] Soluzione: T F a θ g Diagraa di corpo libero Se la velocità è costante, la tensione T della fune vale: ( µ cosθ sinθ ) T µ g cos θ g sinθ g 765 N. d d La potenza P è il prodotto scalare della forza T per la velocità v, che nel nostro caso sono parallele: P Tv g( µ d cosθ sinθ ) v ax Quindi: a) v ax è: P v ax,98 /s g ( µ cosθ sinθ ) d b) il rapporto fra la potenza dissipata dall attrito e quella del cavallo è uguale al rapporto delle forze: gµ d cosθ 46%. gµ θ d cosθ sinθ tg µ il rapporto fra la potenza della gravità e quella del cavallo è: gsinθ 54%. gµ cosθ sinθ µ d d tgθ d Problea Un secchio pieno d acqua di assa coplessiva viene portato da un pozzo nel ezzo di un cortile fino alla cia di una torre alta h. Essendo però bucato, quando arriva sulla torre contiene solo età dell acqua che conteneva inizialente. Supponendo che la velocità di salita sulla torre e la perdita in assa d del secchio siano costanti, e che il peso del secchio vuoto possa essere dt trascurato, deterinare il lavoro copiuto espriendolo in joule. 4

31 [,78 kg; h 5 ] Suggeriento: Si ricordi che, detto x il tratto percorso dal secchio e v la sua velocità, d d dt d * * costante, dx dt dx dt v per cui (x) è una funzione lineare. Soluzione: Osservato che (x) è una funzione lineare, con () e (h) /, si ha: Il lavoro è dunque dato da: x h ( x). W h h h F dx g ( x) dx g x h dx Calcolando l integrale, si trova: W g h 89, J 4 Problea 4 Una guida ABDEF è tenuta in un piano verticale xy. I tratti AB (di lunghezza h) ed EF sono rettilinei, entre il tratto BDE è circolare, di centro C, raggio R, e angolo al centro π/ θ. Un corpo puntifore di assa, in grado di scorrere senza attrito lungo la guida, viene rilasciato nel punto A con velocità iniziale nulla. Deterinare la velocità del corpo nei punti B,D,E,F, supponendo che non vi sia attrito lungo tutta la guida. Calcolare la reazione della guida nel punto D. Se il tratto EF presenta un coefficiente di attrito dinaico µ d, deterinare l energia cinetica del corpo nel punto F. Perchè le velocità in B ed in F risultano essere uguali nel quesito a)? 5

32 A B C F θ θ D E Soluzione: a) Per il teorea dell energia cinetica, in B vale: Quindi la velocità del punto ateriale in B è: Il dislivello fra A e D è R h, quindi: e: v B gh v B gh ( h R) v D g ( h R) v D g Il dislivello fra A ed E è h R cosθ, quindi: v E g ( h R cosθ ) e: ( h ) v E g R cosθ Il punto ateriale si trova in F alla stessa quota che in B, per cui ha la stessa energia eccanica (che in assenza di attrito si conserva) e la stessa energia potenziale, quindi anche la stessa energia cinetica e la stessa velocità. b) La reazione vincolare in D deve sia bilanciare per intero il peso del corpo puntifore, sia fornire la forza centripeta necessaria per antenere il corpo in traiettoria: 6

33 F N v g R D g yˆ g R ( h R) y ˆ c) Detta l la lunghezza di EF, l energia eccanica del punto ateriale in F è data dall energia totale in B diinuita del lavoro copiuto dalla forza di attrito dinaico lungo EF : Problea 5 E F v B lµ d g cosθ v Una assa scivola senz attrito lungo la guida indicata in figura. Il raggio della circonferenza è R. Se la assa parte da fera dal punto B (AB 5R), quanto vale la reazione vincolare nel punto P? Qual è l altezza inia da cui deve partire la assa affinchè, nella posizione O, la reazione vincolare sia nulla? Quesito: Riscrivere le doande a) e b) supponendo di studiare il problea nel sistea di riferiento non inerziale associato alla assa. F B 5R A O R P Soluzione: a) In un riferiento inerziale, la reazione vincolare in P deve solaente fornire la forza centripeta che antiene in traiettoria: F P v R P Presa coe quota di riferiento per l energia potenziale quella del punto A, dalla conservazione dell energia eccanica si trova: Da cui: v P g 5 R gr 4 gr 7

34 F P 8g b) In un riferiento inerziale, la reazione vincolare in O è nulla se la forza centripeta che antiene in traiettoria è fornita interaente dalla gravità: v g R Detta x l altezza cercata, e sostituendo nell equazione di conservazione dell energia v ( O gr gx ): cioè: O gr gr gx x R R 5 R a) Nel riferiento non inerziale solidale con, la reazione vincolare in P deve solaente equilibrare la forza centrifuga per antenere in traiettoria. Ciò porta ad un calcolo identico a quello già svolto, perchè l unica differenza tra forza centrifuga e centripeta è un segno che non influisce sul calcolo edesio. b) Nel riferiento non inerziale solidale con, la reazione vincolare in O è nulla se la forza centrifuga agente su è equilibrata interaente dalla gravità. Ancora una volta, e per lo stesso otivo del punto a), il calcolo è identico a quello già svolto nel riferiento inerziale. Problea 6 Il sistea indicato in figura (acchina di Atwood) è inizialente a riposo con la assa A a terra e la assa B ad altezza h da terra. Deterinare la velocità con cui tocca terra e la tensione della fune, trascurando l attrito e l inerzia della carrucola. Suggeriento: Questo problea, analogo al n 7 del capitolo II, può essere risolto utilizzando la legge di conservazione dell energia eccanica. Per calcolare la tensione della fune è counque necessario scrivere l equazione di corpo libero per una delle due asse. B A 8

35 9 Soluzione: Equazioni di corpo libero: Risolvendo il sistea, si trova l accelerazione di A e B (in odulo): Quindi la tensione della fune è: Poichè il oto delle due asse è uniforeente accelerato con velocità iniziale nulla, la velocità terinale di B è: Si può deterinare v anche dalla conservazione dell energia, osservando che inizialente le energie cinetiche sono nulle e l energia potenziale del sistea, rispetto al suolo, è B gh, entre alla fine le due asse hanno velocità di ugual odulo: v gh gh B A A B cioè: ( ) B A A B gh v a g T a T g A A B B g a A B A B ( ) A B B A A g g a T gh ah v A B A B

36 Problea 7 Un pendolo di lunghezza L oscilla in un piano verticale. La corda urta un piolo fissato ad una distanza d al di sotto del punto di sospensione (vedere figura) Se il pendolo è lasciato libero da un altezza h al di sotto del piolo, quale altezza h* raggiunge dopo aver urtato il piolo? Se il pendolo è lasciato libero dalla posizione orizzontale (θ 9 ) e descrive una circonferenza copleta centrata nel piolo, quale deve essere il valore inio di d? y P d L x Soluzione: a) Per conservazione dell energia, h* h. b) Conservazione dell energia nel punto P (figura): gl g v ( L d) In P la forza centripeta deve essere aleno uguale alla gravità: g v L d quindi: gl g ( L d) g( L d) Sviluppando i calcoli: d L 5

37 Problea 8 Un estreo di una olla priva di assa è posto su di una superficie piatta, con l altro estreo che punta verso l alto(vedi fig. a). Una assa è posta delicataente sopra la olla e perette di copriere la olla di x, ad una nuova posizione di equilibrio (fig. b). Successivaente, la assa viene riossa e sostituita con una assa. La olla è poi copressa con le ani cosicchè l estreo della olla si trova in una posizione x rispetto alla posizione originale di riposo (quella occupata dalla olla senza nessuna assa appoggiata)(vedi fig. c). La olla è poi rilasciata. Quanto vale la costante k della olla? Qual è la assia energia cinetica della assa? [, kg;, kg; x 7 c; x 4 c] Quesito: risolvere il problea sia scrivendo l equazione del oto del punto ateriale, sia scrivendo la conservazione dell energia eccanica. x y Soluzione: a) Riferita l energia potenziale gravitazionale all asse delle ascisse (figura), la costante elastica della olla vale: g x k 57,6 N/ b) Per conservazione dell energia, la assia energia cinetica della assa corrisponde alla inia energia potenziale. L energia potenziale ha un andaento parabolico: Questa parabola ha il vertice in: g E p kx gx x gx x x E * g k p in x g x g x g x

38 L energia totale è data da: E c ax E ecc E p in E piniz E p in quindi l energia cinetica assia è: g g g x, J E c ax kx gx x x gx x Il problea può essere risolto anche utilizzando direttaente l equazione del oto: La soluzione generale è: x kx g g x Asen ( ωt φ) k g (si noti che x * k è la soluzione di equilibrio dell equazione del oto, entre Asen ( ω t φ ) è l oscillazione generica: la olla oscilla attorno alla posizione di equilibrio x* anzichè attorno ad x ). Iponendo le condizioni iniziali: si ottiene: ove: x v x v ( t) ( t) ( ) ( ) g Asenφ x k ωacosφ g g x cosωt k k g ω x senωt k ω k La velocità è assia per sen ω t o, cioè quando l energia cinetica vale: g g E c ω x k x, J k k

39 IV - Conservazione della quantità di oto; sistei a più corpi ed urti Per una particella si definisce quantità di oto la grandezza: p v. La seconda legge della dinaica, nella sua fora più generale, si scrive: F dp dt dove F è la forza totale agente sulla particella. L ipulso di una forza che agisce per breve tepo su una particella (forza ipulsiva) si definisce coe: t f I Fdt p f pi p, ti cioè l ipulso di una forza ipulsiva è uguale alla variazione della quantità di oto della particella. Per un sistea di particelle o per un corpo esteso (distribuzione continua di ateria) il centro di assa (CM) si definisce coe: x CM i x M i i, y CM i y M i i, z CM i z M i i dove i è la assa dell i-esia particella di coordinate (x i, y i, z i ) in un sistea di riferiento inerziale ed M è la assa totale del sistea. Oppure, nel caso di un corpo esteso: x CM M xd, y M CM M yd, z M CM M zd M Il teorea del centro di assa (o a equazione cardinale della dinaica dei sistei) è scritto coe: Ma CM E F ( ) ossia il centro di assa si uove coe una particella singola di assa M sulla quale agisce la stessa forza esterna risultante F ( E ). Per un sistea di particelle, la quantità di oto totale è: P v Mv P Il teorea del centro di assa si può scrivere anche: i i i CM CM

40 dp dt F ( E ) Quando la forza risultante esterna per un sistea è zero (sistea isolato), la quantità di oto totale resta costante (legge di conservazione della quantità di oto di un sistea isolato). La legge di conservazione della quantità di oto è olto utile nel trattare la classe di fenoeni noti coe urti. In un urto, due o più corpi interagiscono tra loro per un tepo olto breve con una forza olto grande rispetto alle altre, sicchè si può considerare il sistea isolato. Pertanto negli urti la quantità di oto totale si conserva. Anche l energia totale si conserva, a questa conservazione può non essere utile a risolvere il problea se avvengono trasforazioni di energia da cinetica a non cinetica. Un urto che conserva l energia cinetica totale del sistea prende il noe di urto elastico. Invece, un urto che non conserva l energia cinetica totale del sistea si dice anelastico. Se a seguito dell urto i due corpi restano attaccati tra loro, forando un corpo unico, l urto si dice copletaente anelastico. Problea Un proiettile di assa, lanciato dal suolo con una certa angolazione, quando raggiunge l apice della traiettoria esplode in due fraenti di egual assa. Sapendo che uno dei due fraenti torna al punto di partenza ripercorrendo la traiettoria iniziale, deterinare la posizione in cui cade l altro e stabilire se essi toccano o eno terra nello stesso istante. Suggeriento: la quantità di oto si conserva. y v x v x a a O O A A x Soluzione: Il oto del centro di assa del sistea delle due parti in cui si è diviso il proiettile è la continuazione del oto del proiettile integro. I due fraenti toccano terra nello stesso istante perchè la coponente verticale del oto è la stessa per entrabi. Detta v x la coponente orizzontale della velocità del

41 proiettile, nel punto culinante la sua quantità di oto è orizzontale e vale v x.la velocità del fraento che torna indietro, nell istante dell esplosione, è - v x quindi la sua quantità di oto vale - v x, e quella dell altro fraento deve essere v x -(- v x ) v x. Quindi il secondo fraento parte con velocità v x. Detto t il tepo di volo, il fraento che torna al punto di partenza percorre la distanza: O O v x t a entre il fraento che prosegue percorre: O A v xt a ed il centro di assa: O A v x t a Il fraento che prosegue cade dunque in A con ascissa 4a. Problea Una chiatta di assa M e lunghezza L è fera in acqua tranquilla, senza alcun ancoraggio, con un estreo A a contatto con la parete del olo (figura). In questa situazione un uoo di assa sta sulla chiatta all altezza del suo estreo opposto B. Ad un certo punto l uoo coincia a cainare ed arriva all estreo A, dove si fera. Se si trascura l attrito della chiatta sull acqua, di quanto si allontana l estreo A dal olo? [M 5 kg; L 5 ; 75 kg] Suggeriento: lo spostaento della barca rispetto alla banchina è uguale a quello del centro di assa rispetto alla barca A M B L Soluzione : Poichè il sistea è isolato, la quantità di oto totale riane nulla, vale a dire che il centro di assa riane fero, rispetto alla banchina. L ascissa del centro di assa soddisfa inizialente a:

42 L Mg gl L x CM g ( M ) ( M ) ( M ) Detta x l ascissa finale di A, l ascissa del centro di assa soddisfa (alla fine): L xg Mg L L x x( M ) M M x CM x g M M ( M ) Uguagliando i secondi ebri delle due equazioni si ottiene: L L M M L M x M cioè: L x,67 M Soluzione : Si ricordi che il sistea è isolato (soluzione ). Posto: v velocità dell uoo rispetto alla banchina (assa ) v velocità della barca rispetto alla banchina (assa M) vale: Mv v cioè: v M v Lo spazio percorso dall uoo è: x v t

43 Lo spazio percorso dalla barca è: v x x x v M a x x x x L M Quindi: La posizione dell uoo rispetto alla banchina è: M x L,. M L x,67. Soluzione : Dette v la velocità (negativa) dell uoo (che ha assa ) e V la velocità della barca(di assa M) rispetto alla banchina, vale: MV v Ma, detta v r la velocità dell uoo relativa alla barca, è: Quindi: v vr V ( V ) v r MV v r V M Nel tepo t in cui l uoo percorre L con velocità relativa alla barca v r, il centro di assa della barca si sposta di x (distanza finale di A dalla banchina): L x M t t

44 Trascurando la resistenza dell aria, calcolare in terini di D la forza F orizzontale e costante che un sistea di aortizzatori deve esercitare sul cannone affinchè, per il rinculo, esso arretri di un tratto d pria di ferarsi. Suggeriento: la quantità di oto si conserva Soluzione: h D Moto del proietto: Risolvendo il sistea, si trova v : D vt h gt v g D h La quantità di oto iniziale di rinculo del cannone, per la conservazione della quantità di oto, è Mv v. L energia cinetica iniziale del cannone è data dal lavoro copiuto dalla forza costante nel tratto d: Fd ( v ) M gd 4Mh e la forza è dunque: F ( v ) Md gd 4Mhd

45 Quindi: x L,67. M Problea Un babino, in piedi su una slitta A di assa A, avvicina a se una seconda slitta B di assa B tirandola ediante una fune di assa trascurabile fissata alla slitta B. Le due slitte, inizialente fere, si uovono su un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinaico µ d tra slitte e suolo. Qual è l accelerazione a CM del centro di assa del sistea forato dalle due slitte? Se in un riferiento inerziale l accelerazione a B della slitta B è in odulo doppia dell accelerazione a A della slitta A, quanto vale la forza F AB che il babino esercita sulla fune (tensione della fune)? [ A 5 kg; B 4 kg; µ d,] Suggeriento: disegnare il diagraa di corpo libero del sistea slitte-babino B A Soluzione: a) Equazione del oto del centro di assa: (E) ( ) a F A B CM con la forza esterna data dalla risultante degli attriti F ( E ) F F. Quindi: A B Essendo il problea onodiensionale: cioè: ( A B ) acm FA FB ( A B ) acm FA FB

46 F F N N,7 /s A B A B a CM µ A B A B ( ) ( ) d da B verso A. b) Per definizione di centro di assa si può scrivere: ( A B ) acm Aa A Ba B che, nell ipotesi a B a, coporta: A ( A B ) a CM ( B A ) a A cioè: a A A B acm,5 /s B A e: Note le accelerazioni, lo sono anche le forze: ovvero: a B a A,9 /s Ba B FBA FB Aa A FA F AB F F BA AB FB Ba B a F A A A che fornisce: F AB F BA,5 N Problea 4 Un cannone di assa M spara orizzontalente, dalla soità di una torre di altezza h, un proiettile di assa e velocità v che raggiunge il suolo ad una distanza D dalla base della torre (fig. ).

47 Problea 5 In un incrocio un autoobile A di assa A urta un autoobile B di assa B. I rilievi della polizia rivelano che, subito pria dell urto, l autoobile A viaggiava verso est, entre B era diretta a nord (figura). Dopo l urto, i rottai delle due auto sono riasti uniti ed i loro pneuatici hanno lasciato strisciate di slittaento lunghe d in direzione α pria di arrestarsi. Calcolare le velocità v A e v B di ciascuna autoobile pria dell urto. Una delle autoobili superava il liite legale di velocità v L? Si supponga che le ruote di entrabe le autoobili siano riaste bloccate dopo l urto e che il coefficiente di attrito dinaico fra le ruote bloccate e la pavientazione sia µ d. [ A kg; B kg; d 8,7 ; v L 9 k/h; α da est verso nord; µ d,8] Suggeriento: la conservazione della quantità di oto è una relazione vettoriale y v L α v A v B x Soluzione: a) L urto è copletaente anelastico, per cui la quantità di oto si conserva, entre l energia cinetica no. Il odulo v della velocità subito dopo l urto, si calcola dalle strisciate (l energia cinetica dopo l urto è stata dissipata dall attrito):

48 ( ) gµ d ( ) v A B d A B cioè: v gµ d 7 /s D altra parte, la conservazione della quantità di oto si scrive (per coponenti): d Av Bv A B ( A B ) ( ) A B v cosα v senα da cui: v A A B v cosα, /s 6,5 k/h A diretta verso est, v B A B v sen α 5,8 /s 56,9 k/h B diretta verso nord. b) L auto A superava il liite dei 9 k/h. Problea 6 Il corpo A ostrato in figura, di assa M A e struttura prisatica, appoggiato su un piano orizzontale liscio, viene colpito da un corpo puntifore B di assa M B e velocità v. Sapendo che dopo l urto il corpo B ribalza verticalente raggiungendo l altezza h rispetto al punto di ipatto entre A trasla sul piano di appoggio, si deterinino la direzione ed il verso del vettore v. Si supponga che l urto sia elastico. [M A kg; M B 5 g; v 5 /s; h 8 c] Suggeriento: la coponente orizzontale della quantità di oto si conserva, quella verticale no y

49 Soluzione: In questo problea si conservano la coponente orizzontale della quantità di oto e l energia, per cui, dette v A e v B le velocità di A e B subito dopo l urto, vale: gh M v M v M v M v M v M v M B B B A A B B B A A B cosθ ove θ è l angolo di ipatto ostrato in figura, entre la terza equazione vale per il oto di B dopo l urto. Sostituendo la terza equazione nella seconda, si ricava: cos A A B B A A B v M gh M v M v M v M θ e quindi: ( ) ( ) cos v M gh v M v M gh v M M B A B A B θ,86 θ, v θ B A x

50 V - Meccanica rotazionale del corpo rigido Un corpo rigido può ruotare oltre che traslare. Il oto traslatorio è descritto specificando quello del centro di assa. Rotazione intorno ad un asse fisso. Quando un corpo rigido (idealizzato coe un insiee di punti ateriali le cui utue distanze sono fisse) ruota intorno ad un asse fisso, ogni suo punto è fero rispetto agli altri. Pertanto le rotazioni intorno ad un asse fisso si possono descrivere ediante un solo angolo θ : Se un punto ruota di θ, gli altri sono costretti a ruotare dello stesso angolo. Di conseguenza, tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocità angolare: e la stessa accelerazione angolare: dθ ω dt dω d θ α dt dt Sia ω che α sono vettori con la direzione dell asse di rotazione (preso di solito coe asse z) ed il verso dato dalla regola della ano destra. Si definisce oento d inerzia del corpo rigido rispetto all asse di rotazione la grandezza: I i R i dove R i è la distanza dall asse del punto i. La definizione può essere estesa ad un corpo continuo: I M R d Uno struento utile per la valutazione del oento d inerzia è il teorea di Huygens-Steiner (o dell asse parallelo). Questo teorea affera che il oento d inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualsiasi è dato da: I I CM Md dove I CM è il oento d inerzia rispetto all asse parallelo a quello dato e passante per il centro di assa, M la assa del corpo a d la distanza tra i due assi. Il oento angolare (o oento della quantità di oto) L z di un corpo in rotazione attorno all asse fisso z è dato da: L z I z ω Per rotazioni di un corpo rigido sietrico attorno ad un asse di sietria, il oento angolare è:

51 L I ω Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse che non è di sietria, il oento angolare L può non essere parallelo e concorde rispetto alla velocità angolare ω nel qual caso il corpo è in una condizione di squilibrio dinaico e la direzione del oento angolare L varia nel tepo (anche se ω è costante: è questo il caso della precessione di L ). Il teorea del oento angolare ( a equazione cardinale della dinaica dei sistei di punti) è, nella fora più seplice: dl dt M (E) (E) con M oento totale delle forze esterne calcolato rispetto al polo O. Anche L è calcolato rispetto allo stesso polo. Il polo O deve essere fisso rispetto al riferiento scelto. Nei oti di rotazione attorno ad un asse fisso il concetto di forza è letteralente sostituito da quello di oento della forza, quello di assa dal oento d'inerzia, e l'accelerazione è quella angolare. Tra queste grandezze vige infatti un analoga relazione che lega forza, assa ed accelerazione: d M z zω z dt ( E ) ( I ) I α Se M z (E) è costante, allora anche α è costante e le equazioni del oto rotatorio divengono: e: α costante ω ω αt θ θ ω t αt ω ω ( ) α θ θ dove ω e θ sono i valori iniziali (t t ) della velocità angolare e dell angolo che definisce la posizione iniziale. Queste equazioni sono analoghe a quelle del oto rettilineo unifore in una diensione. L energia cinetica di rotazione di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso z è: E c I z ω entre il lavoro fatto dal oento M ( E) assue la fora:

52 W θ θ M ( E ) z dθ Se M z (E) è costante, allora: W M z (E) (θ θ ). Il teorea lavoro energia è dato da: W θ θ M ( E ) z dθ E c E c Se il oento risultante delle forze agenti sul corpo è nullo, cioè dl / dt, allora: L costante. Questa è la legge di conservazione del oento angolare per un corpo in rotazione. Se il oento d inerzia è costante (coe per un singolo corpo rigido) la conservazione del oento angolare equivale all afferazione che la velocità angolare ω è costante nel tepo. Per sistei più coplessi, in cui il oento d inerzia può variare (basta che ci siano due corpi rigidi interagenti), la conservazione del oento angolare è uno struento potente nella soluzione di problei e può caratterizzare il sistea dinaico ad ogni istante. Il oento risultante delle forze esterne M ( E ) i ( E ) ( r F ) ( E) sarà autoaticaente nullo per i sistei isolati, a può essere nullo anche quando F, essendo in tal caso essenziale la scelta del polo rispetto al quale si calcolano i oenti delle forze. Rototraslazione senza strisciaento. Nel rotolaento il oto traslatorio è cobinato con quello rotatorio. Oggetti con raggio r che rotolano senza strisciare hanno la velocità angolare ω ela velocità del centro di assa v CM legate dalla relazione: v CM rω L energia cinetica di un corpo che rotola senza strisciare è la soa della sua energia cinetica rotazionale attorno all asse di rotazione baricentrico e di quella traslazionale del centro di assa: i ( I Mr ) ω I Mv E c CM CMω i CM Statica del corpo rigido. La statica può essere vista coe un caso liite della dinaica: quello in cui "tutto è fero", anche se ci sono forze. Le condizioni da applicare sono quindi due:

53 i F i ( E) per non avere oti di traslazione i r i F i ( E ) per soppriere le rotazioni Per applicare queste condizioni è necessario conoscere non solo le forze esterne, a anche i loro punti di applicazione. La gravità agisce coe se fosse applicata al centro di assa del corpo rigido. Il polo rispetto al quale si calcolano i oenti delle forze deve essere scelto con cura, onde seplificare al assio la risoluzione del problea. Conviene anche scegliere un riferiento cartesiano opportuno: alle due equazioni vettoriali dell equilibrio corrispondono sei equazioni scalari. Problea Deterinare le lunghezze dei pendoli seplici aventi edesio periodo di oscillazione di due pendoli coposti quadrati di lato l e vincolati a ruotare attorno all asse orizzontale passante per il punto edio di uno dei lati e perpendicolare a questo lato. I due quadrati sono forati: uno da quattro asse puntifori uguali collocate nei vertici ed unite da asticelle rigide di assa trascurabile l altro da quattro aste rigide oogenee ed uguali. Coe cabierebbero i risultati se i pendoli fossero vincolati a ruotare attorno ad uno dei lati del quadrato? Indicare con la assa totale del pendolo. Suggeriento: il periodo di un pendolo coposto è: T π I p gd con I p oento d inerzia del pendolo rispetto all asse di oscillazione e d distanza del centro di assa dall asse. 4

54 5 Soluzione: Asse perpendicolare al piano del foglio (fig. a) e b)): detti I p il oento d inerzia delle asse puntifori e I c quello delle aste oogenee, si trova: l l l l I l l l l l I c p Per la valutazione di I c si è pria calcolato il oento d inerzia rispetto al centro di assa e poi si è utilizzato il teorea dell asse parallelo. Il braccio della forza peso è la distanza d del centro di assa dall asse: l d Il periodo del pendolo è: g l g l gd I T g l g l gd I T c c c p p p 6 7 π π π π π π con T p, T c, l p, l c periodi e lunghezze dei pendoli seplici equivalenti. Quindi: a) b) a ) b )

55 6 6 7 l l l l c p Asse orizzontale passante per il punto edio di uno dei lati(fig. a ) e b )): detti I p il oento d inerzia delle asse puntifori e I c quello delle aste oogenee, si trova: l l l l I l l I c p Per la valutazione di I c si è pria calcolato il oento d inerzia rispetto al centro di assa e poi si è utilizzato il teorea dell asse parallelo. Il braccio della forza peso è la distanza d del centro di assa dall asse: l d Il periodo del pendolo è: g l g l gd I T g l g l gd I T c c c p p p 6 5 π π π π π π con T p, T c, l p, l c periodi e lunghezze dei pendoli seplici equivalenti. Quindi: 6 5 l l l l c p Problea Due corpi sono appesi ediante fili ideali a due pulegge solidali fra loro e girevoli attorno ad un asse coune, coe illustrato in figura. Il oento d inerzia coplessivo è I ed i raggi dei dischi sono R ed R. I fili non slittano nelle gole delle pulegge. a) nota, si trovi tale che il sistea sia in equilibrio

56 7 b) posta delicataente una assa sopra, si trovino l accelerazione angolare dei dischi e le tensioni dei fili. [ 4 kg; kg; R, ; R,4 ; I 4 kg ] Suggeriento: utilizzare i oenti delle forze. Soluzione: a) La condizione di equilibrio è: gr gr da cui: R R 7 kg. b) Le equazioni del oto del sistea dopo l aggiunta di sopra, sono: ( ) ( ) R a R a I T R R T a g T a T g α α cioè, eliinando le accelerazioni lineari: ( ) ( ) α α α I T R R T g R T g R T Risolvendo il sistea, si trova: R R

57 8 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),4 rad/s 745 N 94 N g I R R R R g I R R I R R R T g I R R I R R R T α Problea Una ruota di Prandtl (figura) è forata da un disco di raggio R e assa M e da un cilindro di raggio r e oento d inerzia trascurabile rispetto all asse di rotazione. Non c è attrito ed il filo inestensibile non slitta sull albero. All istante t, la assa, inizialente in quiete, viene lasciata scendere. a) Calcolare il tepo t affinchè la assa percorra l altezza h. b) Calcolare il nuero corrispondente di giri copiuti dalla ruota. c) Sul bordo della ruota è attaccato un agnetino di assa e diensioni trascurabili che esercita una forza F sul disco. Verificare se al tepo t il agnetino è ancora attaccato al disco. [M,5 kg; R, ; r c; kg; h ;, kg; F 5 N] Suggeriento: il oento d inerzia del agnetino è trascurabile. Quando la ruota è in rotazione sul agnetino agisce la forza centrifuga. Soluzione: a) Moento d inerzia I della ruota di Prandtl: MR I, kg Equazioni del oto del sistea (a accelerazione di, T tensione del filo, α accelerazione angolare): M r R

58 g T a Tr Iα a α r Eliinando l accelerazione angolare e la tensione del filo: cioè: a gr ar I r a r r I g Dunque: t h h r I, s a g r b) Il nuero di giri n è fornito da un puro calcolo geoetrico: h n 5,9 giri. πr c) Il oento d inerzia del agnetino è trascurabile rispetto a quello della ruota di Prandtl, quindi non ne altera la velocità di rotazione. Perciò, la forza centrifuga agente sul agnetino è: ( at ) ω R 7,5 N R per cui il agnetino si è già staccato. Si può usare anche la conservazione dell energia: gh v v F r Iω v I v r cioè: ghr F r I 7,5N 9

59 Problea 4 Nel sistea indicato in figura la olla, di assa trascurabile, ha costante elastica k; la carrucola, costituita da un cilindro oogeneo di assa M e raggio R, ruota senza attrito attorno all asse O disposto orizzontalente. Il filo che collega la olla, un cui estreo è fissato A, alla assa, è inestensibile, di assa trascurabile e non slitta sulla carrucola. a) Calcolare l allungaento x della olla in condizioni di equilibrio. b) Calcolare il periodo delle piccole oscillazioni della assa nel suo oto verticale. Suggeriento: scrivere l equazione del oto verticale della assa e quella della rotazione del cilindro intorno all asse fisso. A M R Soluzione: Detto x lo scostaento della olla dalla posizione di equilibrio (che è anche l allungaento della olla), positivo verso il basso, si ha: da cui: g T( x) [ T( x) kx] x R Iθ x θ R I MR I MR ( g x kx) R I x R Questa è l equazione dell oscillatore aronico forzato: M x kx g

60 a) All equilibrio x, per cui: g x k b) La soluzione è data dalla soa dell oscillazione libera e della soluzione all equilibrio x. Il periodo è perciò lo stesso dell oscillatore libero: T π M k Problea 5 Un corpo rigido è costituito da tre sbarrette sottili identiche di assa e lunghezza l, collegate fra loro a forare una H (figura). Il corpo può ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per una delle gabe della H. Partendo da fero con la H in un piano orizzontale, il corpo ruota sotto l azione della forza peso. Deterinare la velocità angolare del corpo nel oento in cui il piano dell H è verticale. Suggeriento: calcolare il oento d inerzia totale. ω l l l Soluzione: Il braccio della forza gravitazionale è la distanza del centro di assa dall asse, che, essendo il corpo oogeneo, coincide con il centro geoetrico e vale perciò l/. Detto I il oento d inerzia, vale: Allora la conservazione dell energia si scrive: I l l 4 l

61 l 4 g l ω cioè: ω g l Problea 6 Una ruota di assa e raggio r è assiilabile ad un disco oogeneo e ruota senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse fisso passante per il suo centro con una velocità angolare ω. Per ferare la ruota, si pree un pattino contro il suo bordo esercitando una forza radiale F. Se pria di ferarsi la ruota copie n giri, qual è il coefficiente d attrito µ, fra il pattino ed il bordo della ruota? [,4 kg; r, c; ω 84 giri/in; F, N; n,8] Suggeriento: Calcolare il lavoro della forza di attrito e uguagliarlo alla variazione di energia cinetica della ruota. F µ F ω ω Soluzione: Teorea dell energia cinetica: Iω µ Frπn Dove I è il oento d inerzia della ruota. Quindi: Iω rω µ,7 4πnFr 8πnF Problea 7 Un sottile tubo rigido ed oogeneo, di assa M, ha al suo centro un cilindretto olto corto di assa (da considerarsi puntifore) e diaetro appena inferiore a quello del tubo. Il cilindretto può scorrere senza attrito dentro al tubo. Inizialente il sistea ruota senza attrito con velocità angolare ω intorno ad un asse verticale baricentrico. Ad un certo oento, per una lievissia perturbazione (vedere figura), il cilindretto si sposta dalla posizione iniziale e viene espulso dal

62 tubo. In assenza di forze esterne, qual è la velocità angolare ω del tubo, quando il cilindretto fuoriesce? Suggeriento: Il oento d inerzia del tubo sottile rispetto ad un diaetro centrale può essere assiilato a quello di una sbarretta rigida. ω Soluzione: Conservazione del oento angolare: Dove I è il oento d inerzia del tubo: Ma allora: r l l ω I I 4 ω Ml I ω I Iω l 4 M ω M Problea 8 Su una piattafora circolare oogenea inizialente fera in posizione orizzontale di assa M e raggio R, girevole senza attrito attorno all asse verticale centrale z, sta fero a distanza r dal centro un uoo di assa (vedi figura). Ad un certo istante l uoo coincia a correre lungo la circonferenza di raggio r con velocità v rispetto alla piattafora. Deterinare la velocità angolare ω con cui ruota la piattafora. Suggeriento: ω è chiaraente isurata in un riferiento inerziale. z v

63 R r M Soluzione: Detta ω u la velocità angolare dell uoo in un riferiento inerziale, vale: con ω ed ω u Da ciò si ottiene: ( ω ω) v r u r ω u MR ω di verso opposto. Passando ai oduli nella pria equazione: v r u r ω u ( ω ω) MR ω ω r rv MR Problea 9 La porta rettangolare ostrata in figura ha assa M, lati di lunghezza a e b ed è vincolata a ruotare in un piano verticale attorno al lato aggiore b. La porta, inizialente fera, viene colpita orizzontalente da un proiettile di assa e diensioni trascurabili, ad una distanza d dal suo asse di rotazione. La velocità del proiettile pria dell urto è v ed esso si conficca nella porta. Sapendo che il oento delle forze d attrito vale M f, deterinare: a) La velocità angolare ω con cui la porta ruota subito dopo l urto. b) L angolo totale di rotazione θ della porta dovuto all urto. [M kg; a,5 ; b ; 5 g; d a ; v /s; M f N] Suggeriento: il oento d inerzia della porta rispetto ad un asse parallelo a quello specificato e passante per il baricentro vale Ma I. 4

64 b d Soluzione: a Moento d inerzia iniziale della porta rispetto all asse b: a I i I M Ma Moento d inerzia finale (dopo l urto) della porta rispetto all asse b: a) Conservazione del oento angolare: cioè: b) Teorea dell energia cinetica: Vale a dire: a M 4 ( M ) a I i I 9 v a I f ω a 6v ω v,97 rad/s I f a( M 4) f I f ω M I f ω v θ,8 rad M f θ ( M 4) M f Problea Un disco oogeneo di assa M e raggio R, inizialente fero, è libero di ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso z orizzontale passante per il suo centro O. Un proiettile puntifore di assa viene lanciato con velocità v (nel piano del disco) contro il disco, e lo urta in un punto P 5

65 individuato da un angolo θ. In seguito all urto il proiettile ribalza con velocità v in una direzione che fora con la radiale in P il edesio angolo θ. Posto che l urto sia elastico, deterinare: c) La velocità angolare ω del disco dopo l urto. d) il rapporto fra la assa del proiettile e quella del disco M. [R c; v /s; θ 6 ; v /s] Suggeriento: Il sistea è forato da disco più proiettile, perciò scegliere coe polo il punto O e tener conto del oento angolare del proiettile. R y O P θ θ x M Soluzione: I principi di conservazione del oento angolare e dell energia sono: Rsinθ v ( v v ) ( v ) a) Il rapporto delle due equazioni non contiene le asse: Iω Iω v v ω 46, rad/s Rsinθ b) Nota ω, il rapporto delle asse si ottiene facilente da una delle due equazioni di partenza: M Rω v v sinθ v ( v v ) sin θ( v ) Problea 6

66 Un rocchetto oogeneo di assa M raggio di gola r e raggio esterno R rotola senza strisciare su un piano orizzontale. L asse AA è l asse di istantanea rotazione (figura). Al filo avvolto sul rocchetto è F applicata una forza costante orizzontale, che si pensa situata sepre nel piano verticale passante per il centro di assa C del rocchetto. Trovare quanto valgono: a) l accelerazione ac del centro di assa; b) la forza di attrito radente Fa coplessiva sul rocchetto (è attrito statico o dinaico?); c) l accelerazione angolare del rocchetto; d) dire se il filo si avvolge o si svolge e perchè. Suggeriento: Calcolare il oento d inerzia totale del rocchetto. R R r C! F r. F A A A Soluzione : Equazioni del oto del centro di assa e della rotazione attorno al centro di assa: F Fa Ma r F R F c a MR α Cioè, scelto coe verso positivo dell asse di rotazione quello entrante nel foglio: F Fa Mac rf RFa MRa c Nella seconda equazione si è usata la condizione Risolvendo il sistea si ottiene: a c Rα (rotolaento senza strisciaento). 7

67 8 F R R r F F MR r R a a c Le risposte ai quesiti a) e b) si ottengono aggiungendo che c a " è parallela a F #, entre a F $ è antiparallela a F %. Inoltre l attrito è statico, altrienti il rocchetto striscerebbe. c) L accelerazione angolare è data dalla condizione di rotolaento senza strisciaento: R a c α d) Il filo si arrotola, perchè deve rianere teso entre il rocchetto rotola senza strisciare. Soluzione : Traslazione del centro di assa e rotazione attorno al punto di contatto: ( ) α & & & & & & & MR MR F R r Ma F F c a Per calcolare il oento d inerzia rispetto all asse di contatto, si è usato il teorea di Huygens- Steiner. Orientando l asse di rotazione nello stesso verso della soluzione ed ipiegando ancora una volta la condizione di rotolaento senza strisciaento α R a c, si ricava: ( ) c c a MRa F r R Ma F F La soluzione del sistea è olto seplice, e fornisce: F R R r F F MR r R a a c Problea Un babino di assa si sposta lungo una scala a pioli di assa M e lunghezza L. Non c è attrito su entrabe le estreità della scala, che è trattenuta in basso da una corda ideale orizzontale che si spezza oltre una tensione assia T ax (figura).

68 a) Qual è la tensione della corda quando il babino dista d L/ dall estreità inferiore della scala? b) Qual è la distanza assia d ax dall estreità inferiore della scala che il babino può raggiungere senza ropere la corda? Suggeriento: utilizzare le equazioni dell equilibrio del corpo rigido. ( N B g Mg ' N A ) T θ Soluzione: Equilibrio delle forze e dei oenti delle forze rispetto a B: N T N TLsinθ ( M ) g ( L d) M L g cosθ N Lcosθ a) La tensione della fune si trova risolvendo il sistea scritto sopra: T d L M g cotθ b) Basta uguagliare a T ax la tensione della fune trovata in a) e risolvere in d ax : d ax Tax M L g cotθ Problea Un cavo ideale orizzontale (figura) sostiene un asta unifore, di lunghezza l e assa M, incernierata in A e con l estreo B ad altezza h sopra A. 9

69 a) Quanto vale la tensione del cavo? b) Se il cavo viene tagliato, quanto vale l accelerazione angolare dell asta nell istante in cui il cavo viene tagliato? c) Quanto vale la velocità angolare dell asta quando essa raggiunge la posizione orizzontale? [M 5 kg; l 5 ; h 4 ] Suggeriento: il oento d inerzia dell asta rispetto all asse passante per l estreità è: y B Ml I. A l M d h x Soluzione: a) Equilibrio dei oenti rispetto ad A: d Mg Th cioè: T d Mg 84 N h b) Moento d inerzia dell asta rispetto ad A: I Ml L accelerazione angolare è data da: α I ( ) M E Accelerazione angolare iniziale: d gd α Mg.8 rad/s I l

70 c) Conservazione dell energia eccanica: Velocità angolare quando l asta tocca terra: h g l ω gh ω, rad/s l

71 VI - Elettrostatica nel vuoto Forza e carica elettrica La legge di Coulob asserisce che la forza elettrica tra due cariche puntifori q e q poste a distanza r l una dall altra nel vuoto è data da: F q q ˆ k r rˆ r 4πε r q q 9 N con k costante elettrostatica 8,99 C C ε costante dielettrica del vuoto 8,85. N Quando sono presenti più cariche elettriche, vale il principio di sovrapposizione: F i F i La forza esercitata da una distribuzione continua di cariche (voluetrica, superficiale o lineare) su una carica puntifore è ottenuta integrando gli effetti delle cariche infinitesie che costituiscono la particolare distribuzione. Il capo elettrico Una qualunque distribuzione di cariche crea un capo elettrico nello spazio circostante. Considerando una carica di prova q sufficienteente piccola collocata nel capo, il vettore capo elettrico E è definito coe: F E li q q La forza che agisce su una carica puntifore q posta in un dato capo elettrico E è: F q E Il capo elettrico generato in un punto P da una singola carica puntifore q i nella posizione r i è: E i 4πε q i i r rˆ i dove r i è la distanza tra la carica q i ed il punto P entre ˆi r è il versore diretto lungo la congiungente q i e P ed orientato da q i a P. L intensità del capo elettrico generato da più cariche è data dal principio di sovrapposizione:

72 E i Il capo generato da una distribuzione continua di cariche, si ottiene invece per integrazione. Potenziale elettrico Il capo generato da una carica puntifore è centrale e pertanto conservativo; si può dunque introdurre il concetto di differenza di potenziale: E i V B V A B E dl γa con E capo elettrico creato dalla carica puntifore e γ una qualunque linea tra A e B iersa nel capo. Il potenziale elettrico alla distanza r da una carica puntifore q situata nell origine è dato da: V 4πε q r se si assegna il valore zero al potenziale a distanza infinita. Per un sistea di cariche puntifori, il potenziale è dato da: V i 4πε q r i i dove la soa è estesa a tutte le cariche ed r i è la distanza dell i-esia carica dal punto P dove si deve calcolare il potenziale. Per una distribuzione continua finita di carica: V 4πε Q dq r Se la distribuzione di carica non è finita non si deve usare la forula sopra, perchè in essa è iplicito che il potenziale all infinito è nullo. Si deve pertanto ricorrere alla definizione di differenza di potenziale (p. es. nel caso del piano indefinito uniforeente carico). Se è noto il potenziale, il capo elettrico può essere deterinato traite: E gradv V La legge di Gauss Il flusso elettrico dovuto al capo elettrico E che attraversa una superficie qualsiasi è: φ ( E) E uˆ dσ Σ n

73 La legge di Gauss lega il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa alla carica totale racchiusa nella superficie stessa: ( ) φ E E uˆ n dσ Σ q ε int La legge di Gauss è equivalente alla legge di Coulob per interazioni statiche a, diversaente dalla legge di Coulob, vale anche per capi non statici. La legge di Gauss è anche uno struento potente per deterinare i capi elettrici dovuti a distribuzioni di carica con un elevato grado di sietria. I conduttori. Il capo elettrostatico all interno di un conduttore è nullo. Il capo elettrostatico iediataente fuori da un conduttore è perpendicolare alla superficie e assue il valore σ/ε, dove σ è la densità superficiale di carica locale (che non è necessariaente costante) E σ ε ˆ u n. Un conduttore, se non presenta cavità non conduttrici contenenti una carica, può avere una carica solo sulla superficie esterna. Energia potenziale elettrostatica di un sistea di cariche L energia potenziale di un sistea di cariche puntifori è: U e q q i, j ij i j i j 4πε r che può essere riscritta coe: U e i q v i i dove v i rappresenta il potenziale generato nella posizione della carica q i da tutte le altre cariche. Quando si ha a che fare con un sistea acroscopico continuo si scriverà l integrale: U e t ( x, y, z) V ( x, y z) ρ, dτ dove ρ (x,y,z) rappresenta la densità di carica, V(x,y,z) rappresenta il potenziale in (x,y,z), dτ l eleento di volue intorno al punto (x,y,z). Si può anche scrivere: U e ε E dτ uedτ

74 dove l integrale indefinito è esteso a tutto lo spazio e: è la densità di energia elettrostatica. Condensatori ε u e E I condensatori sono dispositivi per l accuulo di carica elettrica e di energia e consistono tipicaente di due conduttori con cariche uguali ed opposte q (induzione copleta). Indicando con V la differenza di potenziale, la capacità di un condensatore è definita coe: C Q V L energia potenziale accuulata in un condensatore può essere scritta coe: q V U e C C qv Condensatori collegati in parallelo equivalgono ad un unico condensatore con capacità: C C C... C n Condensatori collegati in serie equivalgono ad un unico condensatore con capacità data da: C C C... C n Problea Considerate tre cariche positive uguali di valore q poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato s (vedere figura), deterinare: a) La forza che agisce sulla carica che si trova nel vertice B. b) Il capo elettrico totale E nel punto edio della base A. c) Il capo elettrico e il potenziale nel punto C in cui si intersecano le bisettrici dei tre angoli del triangolo. Suggeriento: Si ricordi che per le forze ed i capi elettrici vale il principio di sovrapposizione.

75 B s C q A q Soluzione: a) La forza è la risultante di quelle esercitate dalle altre due cariche: F F F F π cos F 4πε q s b) Il capo elettrico in A è dato solo da quello generato dalla carica in B perchè le altre due generano capi uguali ed opposti: E 4πε s q j πε q s j dove si è tenuto conto che AB è l altezza del triangolo equilatero e si è indicato con j A verso B. il versore da c) C è equidistante dalle tre cariche. Il capo elettrico in C è nullo per sietria, entre il potenziale è il triplo di quello generato da una sola carica: V 4πε q s 4 πε q s Ove s / è la distanza BC. Problea Due piccole sfere cariche sono appese a due corde di ugual lunghezza l (coe in figura), che forano due piccoli angoli θ e θ con la verticale. a) Assuendo per le cariche q Q, q Q e per le asse, si deterini il rapporto θ /θ.

76 b) Assuendo ancora per le cariche q Q, q Q a per le asse,, si rideterini il rapporto θ /θ. c) Si deterini sia nel caso a) che nel caso b) la distanza d tra le due sfere cariche in funzione delle grandezze note. Suggeriento: Usare le approssiazioni valide per piccoli angoli. F l g θ θ l F g Soluzione: La tensione di ciascuna corda bilancia la coponente lungo la corda di tutte le altre forze, quindi non resta che bilanciare le coponenti ortogonali alla corda della forza di gravità e di quella elettrica agenti su ciascuna carica. La forza elettrica vale in tutti i casi: F 4πε Q d a) Essendo, in base alla figura si trova facilente che: g senθ F cosθ g senθ F cosθ cioè: tanθ tan θ F g da cui: θ θ b) Essendo ed, si ha che:

77 g senθ F cosθ g senθ F cosθ cioè: θ θ tanθ tanθ ove si è tenuto conto che gli angoli sono piccoli. c) La distanza è data da: d ( senθ senθ ) l( tanθ θ ) ( θ θ ) l l tan dunque, per è: d l F g l g 4πε Q d cioè: d lq g πε dunque, per ed è: d l F g l F g l g 4πε Q d cioè: d lq g 4πε Problea Una sferetta puntifore di assa e carica q è sospesa ad un punto O ediante un filo lungo l, in prossiità di una distribuzione piana infinita di cariche con densità superficiale σ (vedere figura). d) Calcolare la distanza di equilibrio d della sferetta dal piano carico sapendo che la distanza fra il piano carico ed il punto O è d. e) Calcolare la distanza di equilibrio d della sferetta dal piano carico nel caso in cui venga posto un secondo piano con densità superficiale -σ in posizione speculare.

78 f) Coe varia d se si raddoppia la distanza del piano carico negativaente dal punto O? [ g; q - µc; l c; σ 86,7 pc/c ; d c; ε 8,85 - C N - - ] Suggeriento: la tensione del filo assue qualsiasi valore necessario affinchè il filo non si allunghi d d l θ O d Soluzione: a) La forza elettrica F è orizzontale, entre il peso è verticale: la loro risultante deve essere diretta lungo il filo, cioè fora un angolo θ con la verticale, cioè con il peso. Dunque: F g σ q tanθ ε g Dalla geoetria del problea si ricava: tanθ d d l senθ d l,9 c. tan θ b) Il capo raddoppia, dunque anche la forza elettrica e la tangente di θ raddoppiano. Quindi: d d l d,6 c. 4 5 l c) Il capo generato da un piano carico indefinito è indipendente dalla distanza. Perciò spostando il piano non cabia nulla. Problea 4

79 Tre piani indefiniti paralleli sono uniforeente carichi con densità superficiale σ σ, σ σ -, σ σ (vedere figura). Deterinare il capo elettrostatico nello spazio esterno ai piani e nelle intercapedini tra i piani. [σ 88,6 nc/ ; d c; ε 8,86 - C N - - ] Suggeriento: il capo elettrico generato da un piano indefinito uniforeente carico è: σ E nˆ, con nˆ versore norale al piano. ε P σ σ σ - - P - P - P Soluzione: Prendendo coe positivo il verso dell asse disegnato in figura, basta eseguire le soe algebriche dei capi dei vari piani:. In P e P 4 il capo è nullo.. In P è: σ E kv/ ε. In P è: σ E - kv/ ε Problea 5 Il capo elettrico E è unifore in tutti i punti del piano (x, y) coe in figura. a) Diostrare che detto capo è conservativo.

80 b) Calcolare la differenza di potenziale fra i punti A e B ed il lavoro copiuto per spostare la carica negativa -q dal punto A al punto B. c) Deterinare se l energia potenziale calcolata in A è diversa da quella in B e se U A U B è positivo o negativo. Suggeriento: per diostrare che il capo elettrico è conservativo, si può usare sia la condizione di circuitazione nulla, sia quella di rotore nullo. y B -q E A 45 x Soluzione: a) La forza elettrica F è orizzontale e costante, quindi il lavoro è il prodotto di F per la coponente orizzontale dello spostaento totale ed è positivo quando ci si sposta nel verso positivo delle x, negativo quando ci si sposta nel verso opposto. Se si calcola la circuitazione, lo spostaento totale è a nullo priori, quindi la circuitazione è nulla. Ergo il capo è conservativo. b) Detta d la distanza AB, per quanto osservato nel punto a), essendo il potenziale il lavoro per unità di carica, si ricava: V B V A Edcos 45 Ed. Il lavoro dal punto A al punto B è sepliceente il prodotto della differenza di potenziale per la carica: W AB -q (V B V A ) -qedcos 45 qed. c) Per introdurre l energia potenziale occorre fissare un ascissa di riferiento. Prendendo per seplicità quella del punto A, è evidente che, entre U A è nulla, U B è uguale a W AB, quindi negativa. Pertanto, U A U B è positivo (la carica è negativa).

81 Problea 6 In un tubo catodico, un elettrone è accelerato orizzontalente da una differenza di potenziale V c. Dopo aver subito questa accelerazione esso viene fatto passare attraverso due piastre piane parallele orizzontali lunghe l e poste alla distanza d, fra le quali è antenuta una differenza di potenziale V (figura). a) Nel riferiento della figura, qual è il valore di y tale che gli elettroni sfiorino l estreità della piastra positiva quando escono dalle piastre stesse? b) Con quale angolo θ si uovono gli elettroni dopo aver attraversato le piastre? [V c kv; V V; l 6 c; d c; e/ elettrone,7 C/kg] Suggeriento: si trascurino la forza di gravità e la velocità dell elettrone quando parte dal filaento del tubo catodico. y y v l d θ x Soluzione: Le due piastre sono lunghe rispetto alla loro distanza, perciò si può approssiare il capo elettrico fra di esse con quello (unifore) dovuto a piastre infinite e dato da V/d. La velocità v all ingresso delle due piastre (x ) è data dalla conservazione dell energia nel cannone elettronico: cioè: v ev c e v V c 8,5 6 /s con v diretta lungo l asse x.

82 a) Il oto fra le due piastre ha la coponente x unifore di velocità v uniforeente accelerata con accelerazione: e la coponente x e V a. d Perciò y è la distanza percorsa in direzione y nel tepo ipiegato a percorrere una distanza l in direzione x: y e V l V l d v V 4,9 c d b) La tangente di θ è data dal rapporto delle coponenti della velocità all uscita dalle piastre. La coponente x è ancora v, entre la coponente y è quella raggiunta nel tepo di volo l/v : e V v y d l v Dunque la tangente di θ è: v y e V l V l tanθ, v d v V d Con un siile valore, θ è circa uguale alla sua tangente. c Problea 7 In una sfera uniforeente carica con densità ρ e centro in O, è praticata una cavità sferica di centro O, con superficie tangente alla superficie esterna e passante per O, all interno della quale c è il vuoto. Deterinare l espressione della forza F esercitata su una carica puntifore q posta: a) nel punto P a distanza D da O, rappresentato in figura b) nel centro O della cavità. Suggeriento: si ricordi che ρ - ρ. O... P O

83 Soluzione: Occorre usare il principio di sovrapposizione con un po di originalità: coe detto nel suggeriento, ρ (- ρ ), vale a dire che la sfera con una cavità vuota è equivalente ad una sfera piena più una cavità riepita di cariche negative di densità unifore - ρ. a) Per il punto esterno P, le due distribuzioni sferiche sono equivalenti a due cariche puntifori Q e Q poste nei loro centri O ed O : Q Q 4 πρr 4 R πρ Q 8 Le distanze da P sono ovviaente D e D - R/, per cui la forza richiesta vale: F qq q Pˆ ρr 4πε D R ε D 8 D ( D R) P ˆ dove Pˆ è il versore orientato da O a P. b) Dentro una sfera di densità di carica costante, il capo elettrico è: E ρ ε Ma O è il centro della sfera piccola, quindi c è solo il capo generato dalla sfera grande, per cui la forza vale: r F ρq RPˆ 6ε perchè la distanza dei centri è R/. Problea 8 Si consideri una distribuzione sferica oogenea (raggio R) di cariche positive (carica totale Q), che presenta una cavità sferica (raggio r R/4) coe in figura.! Calcolare il capo elettrostatico E nei punti O, C, ed A.

84 $ " # Suggeriento: si ricordi la sovrapposizione degli effetti. R r.. Ȧ O C x Soluzione: Densità di carica: Q Q 48 Q ρ 4 ( ) 4 R 6 π R r πr π R 64 Per il principio di sovrapposizione, il sistea è equivalente a due sfere piene di densità di carica ρ e raggio R e densità di carica -ρ e raggio r. Dunque nei tre punti richiesti il capo è parallelo all asse x e: a) in O: E ρr 4 Q xˆ ε πε R xˆ b) in C: ρr 4 Q E xˆ ε πε R xˆ c) in A: ρr ρr 4 Q E xˆ ε ε πε R xˆ Problea 9

85 & Tre particelle di carica q sono poste in tre dei vertici di un robo avente i lati e la diagonale inore di lunghezza a (figura). Deterinare: a) l energia potenziale elettrostatica di questa distribuzione di carica b) il lavoro da copiere sul sistea per portare una quarta particella, pure di carica q, dall infinito fino al vertice libero del robo % c) il valore del capo elettrico E nel quarto vertice. Suggeriento: si ricordi che il potenziale generato da una carica puntifore q in un punto P a q distanza r dalla carica vale V, con la condizione V per r. 4πε r q a a q q Soluzione: a) Basta soare le energie potenziali dovuti alle tre coppie di cariche puntifori: q 4 πε a U e b) E sepliceente il prodotto della quarta carica per il potenziale generato dalle tre cariche puntifori nel quarto vertice, cabiato di segno: W q q q q πε a 4πε a 4πε a q 4πε 4 a c) Basta soare vettorialente i capi dovuti alle tre cariche puntifori: E q 4πε a q 4πε a q dˆ 4πε a dˆ ove dˆ è il versore diretto coe la diagonale aggiore, uscente dal vertice carico. Problea

86 Tre cariche puntifori sono nei vertici di un triangolo equilatero di lato d. Le cariche q e q sono negative e valgono q q -q, entre la carica q è positiva e vale q q. Calcolare il potenziale elettrico V nel punto P di coordinate x e y sia direttaente sia nell approssiazione di dipolo. [d c; q µc; x ; y 4 c] p cosα Suggeriento: si ricordi che il potenziale generato da un dipolo a distanza r >> d vale V, 4πε r ' con p ( oento di dipolo e α angolo forato da p ) e r. y. P q d d q d q x Soluzione: a) Il potenziale elettrico è la soa di quelli generati dalle tre cariche: V 4πε q d y 4πε q d y q 4πε ( y d) cioè: V q 4πε ( y d) d y 5, kv b) Il oento di dipolo totale è parallelo all asse y, e vale: p qd.,7-7 C perchè è la soa di due dipoli uguali diretti coe i lati obliqui del triangolo. Il dipolo risultante si d può considerare posto nel baricentro geoetrico del triangolo x b, y b,9 c:

87 V p qd d d 4πε y 4πε y, kv Problea La distanza tra le arature di un condensatore piano carico (densità di carica superficiale σ ) disconnesso dalla batteria è L. Una lastra piana conduttrice viene inserita tra le arature del condensatore, parallelaente ad esse(figura). Lo spessore della lastra è d < L; la lastra è elettricaente neutra. c) Quanto vale la densità di carica indotta sulla superficie della lastra? d) Di quanto varia percentualente la differenza di potenziale tra le arature del condensatore dopo che la lastra etallica è stata introdotta? Suggeriento: si ricordi la forula dei condensatori collegati in serie. σ d σ L Soluzione: a) La densità di carica è σ sulla faccia della lastra rivolta verso l aratura negativa, -σ sull altra faccia. b)dobbiao confrontare la differenza di potenziale di un condensatore di capacità: S C ε L dove S è la superficie di un aratura, con la differenza di potenziale di una serie di due condensatori (caricati con la stessa carica di quello originario) di capacità

88 C S ε e L C ε S L rispettivaente (L e L sono ovviaente le larghezze dei due condensatori). La capacità serie è: C C ε S L C s C C L con la condizione Dunque: L L L d. Vs V V q C s q C q C ε S ε S L L d ε S L d d L vale a dire che la differenza di potenziale diinuisce in percentuale sul valore iniziale. Problea Tra le arature di un condensatore piano è applicata una differenza di V. La distanza tra le arature è d. Nell istante in cui un elettrone (assa e ) si stacca, con velocità iniziale nulla, dall aratura di carica negativa, un protone (assa p ) si stacca, con velocità iniziale pure nulla, da quella di carica positiva (figura). Deterinare: c) il rapporto tra le velocità delle due particelle quando urtano le arature d) a quale distanza y dall aratura positiva le due cariche si incrociano. [ V 6 V; d 4 c; e 9, - kg; p,67-7 kg] Suggeriento: si trascurino la forza di gravità e l interazione tra le cariche. y e d p x

89 Soluzione: Capo elettrico: d E V Accelerazioni: d V e E e a e e e per l elettrone, e: d V e E e a e p p per il protone. a) Applicando la forula che lega la velocità di un oto rettilineo uniforeente accelerato alla posizione, si ha: d a v d a v p p e e da cui: e p p e p e a a v v 4.8 b) Equazioni del oto delle due particelle: t a y d t a y p p e e Le particelle si incrociano quando y e y p, cioè: a p a e d t ; d d a a a a a d a y e p e e p p e p p p µ.

90 CAPITOLO DIPOLI ELETTRICI E DIELETTRICI Dipoli elettrici Moento di dipolo elettrico di due cariche puntifori q q e q q poste in r ed r r a : p qr qr p qa. (), ( ) L equazione () si estende iediataente ad un sistea costituito da un nuero qualsiasi di cariche: se il sistea è coplessivaente neutro, il suo oento di dipolo elettrico risulta indipendente dall origine degli assi coordinati. Potenziale V e capo elettrico E creati da un dipolo puntifore: p V cosθ ; 4πεo r () p Er cosθ p ; E sinθ 4πε r 4πε r () o o (dipolo puntifore è ovviaente un astrazione: le () e () vengono usate in pratica quando a è trascurabile rispetto ad r e diventano rigorose nel liite a / r ). Energia potenziale U di un dipolo puntifore in capo esterno U p E. (4) Moento τ e risultante R delle forze esercitate dal capo: τ p E (5) R p grade, i x, y, z. (6) i i Coenti. In pratica i dipoli hanno diensioni finite; per quanto riguarda le equazioni (4), (5) e (6) osserviao che: ) applicarle a dipoli con a finito equivale a trascurare i terini contenenti a. Per ostrarlo ricaviao la (4) scrivendo U coe soa delle energie potenziali delle cariche:

91 U qv r qv r a q V r a V r q V x a V y a V z a O a ( x y z ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( )] q gradv a qa ( E) p E. Le (5) e (6) si ricavano in odo analogo, ricordando che un capo elettrico applica ad una generica carica q posta in r la forza F qe( r ). ) Nell espressione τ p E, conviene calcolare il capo E e la risultante R al centro C del dipolo, e supporre che la forza R sia applicata in C. ) Osserviao infine che su scala acroscopica una olecola può essere considerata puntifore e che nell approssiazione di dipolo puntifore il capo creato dal dipolo e le forze esercitate sul dipolo da un capo esterno dipendono unicaente da p : non è quindi necessario conoscere l esatta distribuzione delle cariche. Se la olecola è ionizzata occorre anche conoscere la sua carica q: su scala acroscopica sia q che p possono essere considerati puntifori. Dielettrici - definizioni I ateriali isolanti (o dielettrici) si polarizzano in presenza di un capo elettrico. Si definisce polarizzazione il oento di dipolo per unità di volue: pi P (7) v dove p i è il oento di dipolo della generica olecola presente nel volue v. Se il ezzo è isotropo P risulta parallelo e concorde con E : P εo χ E (8) dove χ è una grandezza adiensionata detta suscettività elettrica (o dielettrica) del ezzo. Induzione dielettrica ( o spostaento elettrico o densità di flusso elettrico): D ε E P (9) Costante dielettrica relativa o perettività relativa: εr χ () Relazioni utili o Sulla superficie di un corpo polarizzato è presente una carica di polarizzazione con densità superficiale: σ P P n () dove n è il versore norale alla superficie rivolto verso l esterno. Se la polarizzazione non è unifore è presente anche una carica di volue con densità: divp. () La densità di energia del capo elettrico all interno di un dielettrico è: ρ P

92 Dalle equazioni (8), (9) e () si deduce: D u ε ε E () E o r εoε r E. (4) Quando si applica la legge di Gauss in presenza di dielettrici occorre tenere anche conto delle cariche di polarizzazione: ε o E ds q q p (5) dove q è la carica presente sui conduttori (carica libera), q p quella di polarizzazione. È però possibile scrivere la legge di Gauss nella fora equivalente: D ds q (5 ) dove non copare la carica di polarizzazione. Nella definizione di capacità Cq/V di un condensatorre, q è la sola carica presente sulle arature conduttrici, anche se al suo interno sono presenti cariche di polarizzazione. Problea Si consideri il sistea costituito da una carica q e positiva posta nell origine O di un sistea cartesiano e da un dipolo elettrico puntifore di oento p px, posto nel punto A(a,, ). Si calcoli: a) La forza F esercitata dal dipolo su q; b) Il oento τ e la risultante R delle forze esercitate dalla carica q sul dipolo. Suggerienti. a) F qe, dove E è il capo elettrico creato dal dipolo nel punto in cui si trova la carica. Per valutare θ nell Eq. si faccia attenzione al verso di r ; b) per il calcolo di τ è sufficiente calcolare il capo elettrico E creato dalla carica q nel punto A; per il calcolo di R, che dipende dalle derivate di E, è necessario conoscere E anche nei punti vicini ad A, cioè in pratica espriere le coponenti di E in funzione delle coordinate cartesiane di un generico punto P(x, y, z). Solo dopo aver ricavato le derivate si possono sostituire (x, y, z) con i loro valori in A. Soluzione: a) Nelle equazioni (), che definiscono il capo E creato da un dipolo in un generico punto, θ è l angolo fra p e il vettore r che va dal dipolo al punto considerato. Sia p che r sono paralleli all asse x a hanno versi opposti, quindi θ π. Dalle () si ottiene iediataente: p Er ; E. 4πε a o

93 Il vettore E e la forza F qe sono paralleli ad r a hanno verso opposto, perché E r è negativo. La forza è quindi attrattiva ed ha odulo pq F. 4πε b) Il capo E creato dalla carica q nel punto A è parallelo a p, quindi: τ p E o a Per il calcolo della risultante R occorre calcolare E in un generico punto P(x, y, z). Poichè la carica q che crea il capo è nell origine degli assi, si ha sepliceente; q E 4 r r πε dove r ( x, y, z), r ( x y z ) /. Si ottiene: q x Ex πε x y z o ( ) 4 / E x R p grade px x x E x E y x z z x x y p E x pq x. x / / x 4πε o ( x y z ) ( x y z ) 5 Possiao ora sostituire le generiche coordinate (x, y, z) con i loro valori in A. Si ottiene: pq pq Rx. 4πε o a a 4πεoa Con calcoli analoghi si trova: R R y. La risultante delle forze agenti sul dipolo z elettrico è opposta alla forza F calcolata in a), in accordo con il principio di azione e reazione. Coenti. Il calcolo qui svolto spiega il fatto che un corpo elettricaente carico (la carica q) attira i corpi circostanti elettricaente neutri: il capo E creato da q polarizza il corpo ed attrae il dipolo p così creato. La forza risulta attrattiva anche se q è negativa perché cabiano segno sia q che p. Più in generale la forza esercitata da un capo E su un dielettrico è tale da portarlo dove il capo è più intenso. 4

94 Problea Su un tavolo è appoggiato un corpuscolo di volue v, elettricaente neutro ed isolante, costituito da un ateriale isotropo di densità ρ. Al di sopra del corpuscolo e sulla sua verticale è posta una carica q praticaente puntifore. Quando la distanza fra carica e corpuscolo è inferiore ad un valore liite d, il corpuscolo si solleva. Si calcoli la costante dielettrica del ateriale. 8 [ ρ g / c ; d c; q C ; accelerazione di gravità g 9. 8 / s ] Suggeriento. L attrazione elettrostatica fra carica e corpuscolo è dovuta alla polarizzazione di quest ultio, indotta dal capo elettrico creato dalla carica. Alla distanza d la forza di attrazione elettrostatica F e è uguale ed opposta alla forza peso F p. Si consiglia di risolvere pria il Problea, e di calcolare nell ordine il capo E creato da q, la polarizzazione P del ateriale, la forza F e ; uguagliando F e ad F p si ottiene la suscettività χ ε del ateriale. Per il calcolo nuerico si utilizzino unità del S.I.. Soluzione: r Il capo elettrico creato da q o alla distanza d ha odulo: q E. 4π εo d La polarizzazione indotta nel ateriale ha odulo P χ ε o E, ed il suo oento di dipolo dielettrico ha odulo: χ qv p Pv χ εo Ev. 4π d La forza elettrostatica ha odulo (v. Problea ): qp q χ qv Fe, 4πεod 4πεod 4π d e la forza peso ha odulo Fp g ρ vg. Uguagliando F e ad F p si ottiene: ρ g 4πεo 4π d χ εr q 9. 8 ( / 9 ) Coenti. La isura di forze in capi non unifori costituisce uno dei fondaentali etodi di isura della suscetticvità elettrica χ e della suscettività agnetica χ ; per χ (ed ε r ) è però di nora preferibile ricorrere a isure di capacità. 5

95 Problea Un corpo uniforeente polarizzato, con polarizzazione P P x, ha la fora di un cilindro olto sottile, di sezione S (v. Figura). a) Si calcoli la forza df esercitata sulla carica q, posta in x, da un eleento infinitesio del cilindro, di lunghezza dx. b) Si ostri che la forza F esercitata su q dall intero cilindro è uguale a quella che esercitano due cariche poste alle sue estreità x e x del cilindro e si calcolino i valori q e q di queste cariche. Suggeriento. Per quanto riguarda la doanda a), questo problea è una seplice variante del Problea : occorre solo valutare il oento di dipolo elettrico dp del tratto dx di cilindro. La doanda b) richiede l integrazione della forza df calcolata in a). Soluzione: a) Dalla definizione di P si ottiene: dp Pdv Px Sdx. La forza df è (si veda il Problea, punto a): q dp qpx S dx df 4π εo x 4πεo x dove x è l ascissa dell eleento considerato. b) qps dx F df x 4πε x PSq PSq x. 4πεo r r Due cariche q PS e q PS poste in x ed x esercitano una forza identica. o x x Coenti. ) Si noti il siboliso usato per indicare differenziali e liiti di integrazione, ed il fatto che il versore x può essere portato fuori dall integrale perché costante rispetto alla variabile di integrazione. ) Le cariche q e q sono evidenteente le cariche di polarizzazione, ed hanno densità superficiale - P e P rispettivaente. 6

96 Problea 4 In un cilindro sottile, di lunghezza e sezione S, è presente un dielettrico polarizzato con polarizzazione P diretta lungo l asse x. Si dica dove sono localizzate le cariche di polarizzazione e se ne calcoli il valore nei due casi: a) P è unifore; b) P axx dove a è una costante. Soluzione: a) In un corpo uniforeente polarizzato le cariche di polarizzazione di volue sono nulle e quelle di superficie hanno densità σ P n. Quindi: σ sulle superfici laterali; σ P sulla base a sinistra; σ P sulla base a destra. Le cariche totali sulle due basi sono q e q con q σ S PS. b) Sulla base di sinistra il vettore P e la carica di polarizzazione sono nulli; sulla base di destra P è diverso da zero e concorde con n : la carica di polarizzazione q è positiva ed uguale a σ S, dove σ P( ) a. La carica di volue ha densità: P P x y Pz ρ divp P a. x y z La carica totale di volue si ottiene oltiplicando ρ per il volue S e risulta esattaente opposta alla carica presente sulla base di destra. Coenti. ) Il capo elettrico creato da un corpo polarizzato può essere calcolato valutando pria le cariche di polarizzazione e calcolando poi il capo da queste creato. Per la pria parte, può essere utile controllare l esattezza dei calcoli verificando che: a) le cariche di polarizzazione abbiano soa nulla; b) il loro oento di dipolo elettrico sia uguale al valore che si ottiene integrando P su tutto il volue occupato dal corpo. Il prio controllo è stato fatto. Il secondo è olto facile nel caso di polarizzazione P unifore (caso a): il oento di dipolo è dato sepliceente dal prodotto di P per il volue, quindi: p P S. È iediato verificare che p coincide con il oento di dipolo elettrico delle due cariche q e q calcolate in a). ) Il calcolo qui fatto serve in qualche odo a giustificare le relazioni () e (), che non sono affatto intuitive. 7

97 ) Le polarizzazioni qui considerate, in particolare la polarizzazione unifore, sono realistiche solo se si ignora la struttura atoico-olecolare del ezzo e si considerano dei valori edi di P, ediati su volue v grandi rispetto alle diensioni olecolari (ovviaente anche per le cariche di polarizzazione e per i capi elettrici da queste creati si otterranno solo dei valori edi). Infatti all interno di una singola olecola la polarizzazione, la densità di carica ed il capo elettrico sono sepre forteente disunifori. Problea 5 Si calcoli il capo creato da una carica positiva distribuita con densità σ unifore su di una superficie piana praticaente illiitata (cioè in pratica su un foglio, di spessore trascurabile, costituito da un ateriale conduttore), supponendo che nello spazio circostante: a) non sia presente nessun ateriale; b) sia presente un dielettrico con costante dielettrica relativa ε r. Soluzione: a) Si applichi la legge di Gauss al cilindro disegnato in figura, pensando che, per otivi di sietria, il capo E deve essere perpendicolare al piano e che il capo a sinistra deve potersi ottenere da quello a destra per riflessione speculare (vedi Appendice A). La carica interna al cilindro vale σ S (S è l area della sezione del cilindro) ed è uguale ad ε o volte il flusso. Il flusso di E attraverso la superficie laterale è nullo perché E è perpendicolare a n, il flusso attraverso ciascuna base vale E ns ES (carica positiva iplica flusso positivo, cioè E concorde con n ). Risulta quindi σ S ε ES, cioè o E σ ε o b) Basta applicare la legge di Gauss nella fora (5 ) procedendo coe in a) ed utilizzare poi l equazione D ε ε E. Si ottiene iediataente: o r 8

98 D σ / ; E σ ε ε o r. Coenti. ) La presenza del dielettrico riduce il capo di un fattore ε r perché sulla superficie del dielettrico a contatto con il conduttore sono presenti cariche di polarizzazione negative (intuitivaente, la carica positiva σ attira gli elettroni e respinge i nuclei del dielettrico: vicino al conduttore vi è quindi un lieve eccesso di cariche negative). ) Se il foglio di ateriale conduttore ha spessore grande rispetto alle diensioni olecolari, la carica è equidistribuita sulle due superfici. Detta σ la densità su ciascuna superficie, risulta: E σ n. ε ε r o Problea 6 Una sfera conduttrice elettricaente carica ha centro in O ed è iersa in un dielettrico, oogeneo ed isotropo. Supposte note la carica q presente sulla sfera e la costante ε r del dielettrico: a) Si calcolino i vettori D, E, P in un generico punto esterno alla sfera; b) Le cariche di polarizzazione di volue e di superficie. Suggeriento. La carica q si distribuisce con densità unifore sulla superficie della sfera e crea un capo elettrico con sietria sferica. I vettori D, E, P sono quindi diretti radialente ed il loro odulo è costante su una generica superficie sferica con centro in O. Si calcoli pria D applicando la legge di Gauss nella fora (5 ). Soluzione: a) Per calcolare il vettore D in un generico punto P distante r da O si applica la legge di Gauss alla superficie sferica Σ di raggio r e centro O. Su questa superficie D D( r) r! e quindi Σ D ds D( r) r! ( ds r! ) D( r) ds D( r) 4π r. Σ Uguagliando l integrale a q si ottiene iediataente: q D( r) 4. π r Anche i vettori E, P sono diretti lungo r ed hanno odulo: D q E( r) r εrεo 4πεrεo q P( r) εo χe ( εr ) 4. πε r Σ r 9

99 " " # % " b) Sulla superficie del dielettrico, coincidente con quella della sfera conduttrice, è presente una carica di polarizzazione di densità superficiale: ( ε ) " " r q σ P P n P( R) r# ( r# ) P( R) 4πεr R ( #n è uguale a r " perché è orientato verso l esterno del dielettrico). La carica totale di polarizzazione q p presente sulla superficie si ottiene oltiplicando σ P per la superficie della sfera: ( εr ) q q P σ P 4π R q q q P. εr εr La densità di carica di volue è: " ( εr ) q r# ( εr ) q r ρp divp div div πεr r # 4 4πε r r Si tratta di calcolare la divergenza della funzione: " " r r f ( r ) r r. Ricordando che il vettore r ha coponenti cartesiane x, y, z e che r x y z / si ottiene: ( ) ( ) / f x x x y z f x / 5/ ( x y z ) x ( x y z ) x x x r. r Le altre derivate hanno espressioni analoghe; risulta in definitiva f f x y f z x y z divf r. x y z r r r Coenti. ) La carica di polarizzazione è presente solo all interfaccia fra dielettrico e conduttore ed ha segno opposto a q: la carica totale ed il capo $E risultano ridotti di un fattore ε r. Per conduttori di fora generica iersi in un dielettrico oogeneo ed isotropo il calcolo è più coplesso a il risultato è identico: il capo $E in ogni punto è ε r volte inore di quello che si otterrebbe in assenza del dielettrico. ) Se ci si avvicina alla superficie della sfera conduttrice, o eglio se si fa tendere r al raggio della sfera, il capo $E tende al valore: $E σ n ε ε r dove σ q / ( 4π r ) è la densità superficiale di carica sulla sfera. Si ritrova la stessa relazione tra $E e σ già ricavata per una superficie piana (v. Problea 5, coento ). La relazione è valida per conduttori di fora qualsiasi, dove $E è il capo contiguo al conduttore (teorea di Coulob); se ci allontaniao dal conduttore, il capo $E può cabiare sia in odulo che in direzione, a i cabiaenti sono trascurabili fino a che la distanza dal conduttore è trascurabile rispetto ai raggi di o

100 & & curvatura della superficie. Per diostrare il teorea di Coulob basta applicare la legge di Gauss al cilindretto rappresentato in figura, con le basi parallele alla superficie, pensando che: all interno del conduttore il capo elettrico è nullo; all esterno del conduttore e nelle sue iediate vicinanze il capo 'E è ortogonale alla superficie (si ricordi che la superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico è equipotenziale e che le linee di flusso di 'E sono ortogonali alle superfici equipotenziali; o, più intuitivaente, si pensi che un eventuale coponente tangenziale di 'E sulla superficie del conduttore etterebbe in oto le sue cariche superficiali).

101 CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filifore ed una sua sezione norale S si definisce: Corrente elettrica i Q () t dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tepo t; Densità di corrente j i / S () Resistenza di un tratto di conduttore R V () i dove V è la differenza di potenziale (d.d.p.) tra gli estrei del tratto considerato ed i è la corrente che lo percorre; se il tratto ha sezione S costante e lunghezza, si definisce: Resistività elettrica ρ R S / (4) (R caratterizza le proprietà conduttive del tratto di conduttore, ρ quelle del ateriale) Forza elettrootrice (f.e..) di un generatore dove è il lavoro del generatore sulla carica q. Coento. Il lavoro della forza F qe esercitata da un capo elettrostatico sull intero circuito è nulla; per antenere la corrente in un circuito è quindi necessaria la presenza di altre forze (forze ipresse che derivano da un capo elettrootore E * F / q, la cui natura dipende dal tipo di generatore): è il lavoro di queste ultie e può non coincidere con il lavoro del generatore sulle cariche che lo attraversano (si vedano i Problea e 4). Relazioni utili La densità di corrente è il odulo del vettore j nqv (6) dove n è il nuero delle particelle in oto nell unità di volue, q la loro carica, v la loro velocità edia (o di deriva); se alla corrente contribuiscono particelle di tipo diverso q (5) j nqv nqv.. (7)

102 Il vettore j in un generico punto del conduttore è legato al capo elettrico E in quel punto dalla relazione E ρ j. (8) La corrente i che attraversa una generica superficie ideale è i j ds (9) Resistenza equivalente: Per conduttori in serie: Per conduttori in parallelo: Potenza: S R eq R R.. ; ()... () R R R eq La potenza trasferita dalla corrente ad un generico utilizzatore è: P V i () dove V è la d.d.p. ai capi dell utilizzatore; se si tratta di un resistore: V P V i R i R (Legge di Joule) () La potenza fornita dalle forze ipresse di un generatore è: P i (4) dove è la lunghezza del filo, S la sua sezione e ρ la resistività del conduttore. Equazione delle aglie: Per un circuito con una f.e.. ed una resistenza R: R i. (5)

103 Problea Un filo di rae di sezione S è percorso da corrente i. Supponendo che vi sia un elettrone di conduzione per ogni atoo di rae, si calcoli la sua velocità di deriva. [ S 5 ; i A; densità del rae ρ 889. g / c ; nuero atoico del rae 6.5 u.a.] Soluzione: Dalle definizioni di densità di corrente si ottiene: j i / S, j vd ne dove e è la carica dell elettrone, n il nuero di elettroni per unità di volue. Per calcolare n ricordiao che ρ assa/volue e che il nuero di Avogadro è 6. /ole; una ole di rae pesa 6.5 g ed occupa quindi un volue: 65. g V 7. 4c. In questo volue sono presenti 6. atoi, quindi la 8. 89g / c densità di atoi è pari a: 6. atoi n 84. atoi / c. 7. 4c Espriendo tutte le grandezze in unità del sistea internazionale (S.I.), si ottiene: 5A 6 j A 6 6 / ; 5 j vd / s. ne (il segno - indica che v d è opposto a j ). Coenti. a) Si noti il valore estreaente piccolo della velocità di deriva degli elettroni, se confrontata con la loro velocità edia di agitazione terica (che è dell ordine dei chiloetri al secondo), benché la corrente sia estreaente elevata (superiore ai valori consigliati per otivi di sicurezza in conduttori di rae con sezione di 5 ). È per questo otivo che il rae, coe tutti i etalli buoni conduttori, segue la legge di Oh. In altri conduttori (ad es. nei gas rarefatti) le velocità di deriva possono diventare confrontabili con quelle di agitazione: il conduttore non segue più la legge di Oh. b) Le considerazioni fatte per ricavare n possono essere espresse in fora letterale: atoi / atoi / ole assa / assa / ole ovvero (ricordiao che 6.5 unità atoiche corrispondono ad una assa olare M n N A ρ M 65. g / ole ).

104 Problea Si ricavi la d.d.p. V bc ai capi della resistenza r nel circuito rappresentato in figura. [ V ; R Ω; r Ω] Soluzione: Dall equazione delle aglie si ottiene: ( R r) i, r Ω Vbc ri V V r R 4Ω. Coenti. Il dispositivo è alla base del funzionaento del partitore di tensione e del potenzioetro, che vengono utilizzati per ottenere d.d.p. coprese tra e quando si dispone di un generatore di tensione di f.e... Problea In una pila Daniell l energia è fornita dalla reazione esoenergetica CuSO4 Zn ZnSO4 Cu. a) Sapendo che ogni reazione fornisce un energia di 5. 9 J ed una carica q e, si calcoli la f.e.. della pila. Supponendo che la pila abbia resistenza interna r Ω e venga chiusa su una resistenza esterna R 9Ω, si calcoli: b) la corrente i nel circuito; c) la d.d.p. V ai orsetti della pila. 4

105 Suggerienti. Per il calcolo della f.e.. si ricorra alla sua equazione di definizione. Per il quesito (b) si indichi con i la corrente e si invochi il principio di conservazione dell energia: la potenza fornita dalla reazione chiica deve uguagliare la potenza dissipata per effetto Joule nelle resistenze r e R. Soluzione: a) Dalla definizione di si ricava iediataente: 9 5. J 9 9. V. 6. C b) Il bilancio energetico iplica: i ri Ri. Dividendo per i si ottiene la stessa equazione del Problea ; risulta i. r R c) Il circuito viene rappresentato esattaente coe per il problea solo che ora r è interna al generatore, quindi: V Vac Ri o anche R V ri. r R Coenti. ) Al tendere della corrente a, V. La f.e.. di un generatore può quindi anche essere definita coe d.d.p. fra i suoi orsetti in assenza di corrente (ovvero a circuito aperto). ) Per i generatori voltaici non è facile individuare la natura e la localizzazione delle forze ipresse; è invece olto facile calcolare la f.e.. in base alla sua definizione. ) La potenza Vi fornita dalla pila è inore della potenza i fornita dalle reazioni chiiche perché parte dell energia è dissipata per effetto Joule all interno del generatore stesso. Problea 4 Si disegni la curva caratteristica di un generatore avente forza elettrootrice e resistenza interna r (cioè si riporti la corrente i che lo percorre in funzione della differenza di potenziale V ai suoi orsetti). Si considerino i punti di intersezione fra la curva caratteristica e gli assi coordinati, e si dica cosa rappresentano fisicaente questi punti, con quali circuiti possono essere realizzati ed in quali casi il generatore cede energia all esterno ed in quali ne assorbe. Soluzione: 5

106 La differenza di potenziale V ai orsetti del generatore è V diagraa tensione-corrente è quindi una retta. ri (vedi Problea ): il Si ottiene V cortocircuitando i orsetti, e la corrente di corto circuito vale / r. Si ottiene i a circuito aperto. Nel quarto quadrante i è così grande (occorre naturalente un altro generatore in serie) che la caduta su r è aggiore di : V risulta negativo, le polarità ai orsetti sono invertite. Il calore dissipato per effetto Joule all interno è aggiore dell energia fornita dalle reazioni chiiche: il generatore assorbe energia (ed infatti P iv è negativo). Nel secondo quadrante è i <, cioè la corrente entra nel orsetto positivo (occorre naturalente un generatore di f.e.. aggior in opposizione). La caduta su r si soa ad, sicchè V >. Il generatore assorbe potenza: infatti P iv è nuovaente negativo. Se la reazione chiica si inverte, diventando endoenergetica, il generatore si ricarica. I quadrante IV quadrante II quadrante Problea 5 6

107 Si hanno due pile da.5 V di f.e.. e resistenza interna di. Ω ciascuna, con le quali si vuole alientare un utilizzatore di resitenza R. Si deterini il valore di R per cui la potenza erogata dall utilizzatore è assia, considerando separataente i casi di pile in serie e in parallelo. Suggeriento. Si proceda coe per il Problea, doanda (b). Soluzione: In serie: il bilancio energetico iplica i r i R i, da cui i r R (coe se avessio un unico generatore di f.e.. e resistenza interna r).la potenza dissipata in R è: P i R R. r R Per ricavare il assio di P si pone dp / dr, supponendo e R costanti; si ottiene R r. Ω, P / r W. In parallelo: detta i la corrente in ciascun generatore, la corrente in R è i, quindi: i r i R (i). L equazione, divisa per 4, è quella che si otterrebbe con un unico generatore di f.e.. e resistenza interna r /. Procedendo coe sopra si trova R r /. 5Ω, P / r W. Coenti. In base ai dati del problea si ottiene P 5. W. Le ultie due cifre sono state oesse perché non significative (i dati di partenza contengono solo una o due cifre significative). Problea 6 Un autoobile con batteria da 6 V ha anabbaglianti da 5 Watt ciascuno. a) Qual è la resistenza del filaento durante il funzionaento? 7

108 b) Se il filaento è lungo c, quanto vale in odulo il capo elettrico E al suo interno? Soluzione: a) Dall equazione che fornisce la potenza dissipata per effetto Joule si ottiene: R V 6V 44. Ω. P 5W b) Dalla relazione E ρ j si deduce che E risulta diretto lungo il filo ed è costante in odulo (il filaento ha sezione costante). Detto d un eleento di filo, di lunghezza d e verso concorde con E, risulta dunque E d E d. La tensione V lungo il filaento è: da cui si ricava V E d E d E d E E V / 6 V /. Problea 7 Per isurare la resistenza R di un conduttore si utilizzano un voltetro ed un aperoetro realizzando i circuiti rappresentati nelle Figure a e b. Si ricavi R, indicando con V ed i i valori isurati da voltetro ed aperoetro nel circuito (a), con V e i quelli isurati nel circuito (b). Figura a Figura b Soluzione: 8

109 Pensando che il voltetro isura in ogni caso la tensione lungo lo struento (cioè la d.d.p. ai suoi orsetti) e l aperoetro segna la corrente che lo percorre, si ottiene iediataente (dalla legge di Oh o dall equazione delle aglie): Circuito a) V V RAi Ri V ' V ' i' iv ir Circuito b) Rv R V ' RAi dove iv e ir sono le correnti nel voltetro e nella resistenza R, rispettivaente. Abbiao dunque un sistea di quattro equazioni nelle quattro incognite, RA, RV, R (di ben facile soluzione). Coenti. Il problea fa capire che la resistenza può essere isurata coe rapporto tra la tensione V ai suoi capi e la corrente i che la percorre, ed evidenzia la difficoltà di una siile isura: nel circuito di sinistra il voltetro non isura la d.d.p. ai capi di R ed in quello di destra la corrente nell aperoetro non è la corrente in R. Problea 8 Si calcoli la resistenza di un conduttore etallico di resistività ρ, lunghezza e sezione circolare con centro sull asse x e raggio r che cresce linearente con x, assuendo i valori r in x e r in x. Soluzione: La dipendenza di r da x può essere così espressa: r r x r r. Dividendo idealente il conduttore in tratti di lunghezza dx e resistenza dr ρ dx / π r posti in serie, si ottiene: dx R dr ρ ρ. πr π r r (Per effettuare l integrazione conviene assuere r coe variabile indipendente)., Problea 9 Due vetture tranviarie distano rispettivaente k e 5 k da una cabina di alientazione di 55 V, a cui sono collegate ediante un cavo aereo e le due rotaie. La pria vettura assorbe una corrente di 5 A, la seconda di A. Se la resistenza per unità di lunghezza 9

110 del cavo aereo è di 5. Ω / k e quella di ciascuna rotaia. 4 Ω / k, si calcolino le potenze assorbite da ciascuna vettura e la potenza P d dissipata nel cavo aereo e nelle rotaie. Soluzione: Lo schea è il seguente ' ' dove R Ω, R. 4Ω, R 5. Ω, R. 6Ω (si pensi che le rotaie sono conduttori in parallelo). Le potenze assorbite sono: P i V, P i V. V BB si ottiene sottraendo ai 55 V BB' della cabina le due cadute su R e R ' ', che valgono R( i i ) e R( i i ) V CC è analogo. Risulta P P CC' W ; W ; P d 7. 6 W.. Il calcolo per Coento. Il trasporto di energia elettrica a grandi distanze coporta sensibili perdite di potenza nei cavi aerei. Per ridurle si può auentare la d.d.p. fra i cavi stessi (copatibilente con i problei di sicurezza) fino a quei valori che coinciano a rendere sensibili le perdite dovute al passaggio di corrente in aria, nelle vicinanze dei cavi. Nei cavi ad alta tensione in corrente alternata si arriva a centinaia di kv.

111

112 CAPITOLO CAMPI MAGNETICI STAZIONARI NEL VUOTO Forza agnetica su una particella con carica q e velocità v : F qv B. (Forza di Lorentz) () Coenti: poiché F è ortogonale a v, il suo lavoro d F ds F vdt ( ds spostaento della particella) è nullo. In assenza di altre forze, l energia cinetica v / e il odulo v della velocità riangono costanti nel tepo, e l accelerazione è centripeta. Forza esercitata da un capo B unifore su un conduttore rettilineo di lunghezza percorso da una corrente i: F i B ; () (il verso del vettore può essere scelto ad arbitrio: i sarà positiva o negativa a seconda che la corrente circoli nel verso scelto o in quello opposto). Moento di dipolo agnetico di una spira filifore contenuta in un piano: µ i S n, () dove S è la superficie racchiusa dalla spira, n il versore norale al piano. Il verso di µ è legato al senso di percorso della corrente dalla regola della ano destra. Capo di un conduttore rettilineo infinitaente lungo (in odulo): oi B µ, (4) π r dove r è la distanza dal conduttore; le linee di flusso del capo sono circonferenze aventi coe asse il filo, orientate rispetto verso della corrente con la regola della ano destra. Legge di Biot- Savart: un conduttore filifore crea in P il capo: µ oi d r B, (5) 4π r dove l integrale è esteso a tutto il conduttore (i è positiva o negativa a seconda che scorra o eno nel verso di d ). Legge di Apère: data una linea ideale chiusa Γ : B d µ i Γ, (6) Γ dove i Γ è la corrente concatenata con la linea Γ, cioè: iγ j ds ; (7) S Γ è una qualunque superficie avente coe contorno Γ, orientata con SΓ o

113 la regola della ano destra rispetto al verso positivo di percorrenza su Γ. Capo di un solenoide rettilineo infinitaente lungo. All esterno il capo B è nullo; all interno è unifore, diretto lungo l asse, con verso dato dalla regola della ano destra rispetto al senso di percorso della corrente, odulo B µ on i (8) dove n è il nuero di spire per unità di lunghezza. Problea Un gas forteente ionizzato è posto in un capo agnetico B. Quali sono il assio e il inio raggio di curvatura della traiettoria di un elettrone con energia cinetica T? [ B Wb / ; T. ev ] Soluzione: La velocità dell elettrone ha odulo v T / / s. Il raggio di curvatura r si ottiene uguagliando il odulo della forza centripeta ( v / r ) al odulo evb sinθ della forza di Lorentz ( ev B ), dove θ è l angolo fra v e B : v r eb sinθ ; r dipende unicaente daθ, ed è copreso tra i valori v / ( eb) 6. per v ortogonale a B ed per v parallelo a B. Problea Una particella di assa e carica q positiva viene lanciata lungo l asse x con velocità v in una zona dove è presente un capo agnetico. Sotto l azione della forza agnetica la traiettoria della particella è rettilinea per x <, ed ha raggio di curvatura r che varia secondo la legge r r x / x per < x x o e riane costante ed uguale ad r o per o o x > x o. Si dica se in base a questi dati è possibile valutare il vettore B in un generico punto della traiettoria. Suggeriento: si considerino separataente le coponenti rispettivaente parallela e perpendicolare alla traiettoria stessa. B // e B di B,

114 Soluzione: L energia cinetica della particella / v ed il odulo di v sono costanti perché il lavoro della forza agnetica è nullo. Il capo B esercita una forza ( // ) F qv B qv B B qv B La coponente B // di B non fornisce nessun contributo alla forza applicata alla particella e non ha nessun effetto sulla sua traiettoria: i dati del problea non perettono quindi di valutare un eventuale coponente B //. Per valutare B si consideri la legge fondaentale della dinaica F a ; poiché F qv B è ortogonale alla traiettoria, l accelerazione è centripeta ed ha odulo v / r. Dalla relazione qv B a e dalla definizione di prodotto esterno si deduce che B è ortogonale al piano (x, y), contenente la traiettoria, ed è entrante (l accelerazione centripeta a sta nel piano (x, y) ed è rivolta verso il centro di curvatura). Il suo odulo è dato da qvb v / r ; risulta quindi: B per x (traiettoria rettilinea, r ); v x B qr o x per < x < x ; o o v B qr per x > x o. o Possiao quindi afferare che: a) la coponente di B ortogonale al piano x, y è nulla per x <, cresce lineraente per < x < x o e riane poi costante; b) un eventuale coponente contenuta nel piano x, y dovrebbe essere parallela alla traiettoria in ogni suo punto: se le traiettorie di un fascio di particelle lanciate con velocità diverse giacciono tutte nel piano (x, y), si può concludere che questa coponente è nulla. Coenti: Per particelle sulle quali agisce la sola forza agnetica è facile calcolare il raggio di curvatura, entre il calcolo della traiettoria risulta facile solo se il capo agnetico è unifore. Per questo otivo nei testi di Fisica si propongono problei nei quali il capo agnetico è supposto unifore in un certo doinio e nullo altrove. Si tenga ben presente che questa ipotesi rappresenta sepliceente una seplificazione del problea, dato che è ipossibile generare nel vuoto capi agnetici discontinui.

115 Problea Si dica quale è la traiettoria di una particella di assa e carica q lanciata in un capo agnetico unifore con velocità iniziale: a) perpendicolare a B ; b) parallela a B ; c) obliqua, in odo da avere una coponente u ed una u //. Si supponga che sulla particella agisca solo la forza agnetica e, nel caso c), si calcoli il passo dell elica. Soluzione: a) La traiettoria è una circonferenza contenuta nel piano y, z ortogonale a B, con raggio ru/(qb) (vedi Problea o ). b) La particella non risulta soggetta a forze e si uove con velocità unifore, parallelaente al vettore B. c) La traiettoria è la curva che si ottiene cobinando i due oti trovati in precedenza, cioè un elica, che sta su un cilindro con raggio: u r. qb e con generatrici parallele a B. La proiezione della traiettoria su un piano ortogonale a B è una circonferenza diraggio r; il periodo di rotazione T πr / u π / qb è indipendente dalla velocità. Il passo dell elica coincide con il caino u // T fatto lungo la direzione di B nel tepo T. Coenti: Buona parte dei problei sul oto di particelle in capo agnetico sono delle seplici varianti di questo problea. Per la loro soluzione è necessario avere ben presenti i seguenti fatti: ) La traiettoria è in generale un elica che sta su un cilindro il cui asse è una linea di flusso di B: anche capi non unifori obbligano la particella a non allontanarsi troppo da una linea di flusso, cioè a uoversi con traiettorie di tipo elicoidale attorno alle linee di flusso; 4

116 ) In capo unifore ed ortogonale alla velocità v, la traiettoria è una circonferenza e la velocità angolare è indipendente da v: su questo fatto si basa il funzionaento del ciclotrone, ed infatti la frequenza ν / T è detta frequenza di ciclotrone. Problea 4 Gli elettroni eessi dal filaento F con energia cinetica trascurabile vengono accelerati con il dispositivo rappresentato in figura (M indica un elettrodo etallico). a) Si calcoli la velocità v di arrivo degli elettroni su M nota la d.d.p. V o fra F e M. b) Se il fascio di elettroni ottenuto praticando in M un piccolo foro in corrispondenza del punto O entra in un capo agnetico unifore B Bz, si dica per quale valore di B il fascio colpisce la pellicola fotografica P nel punto di ordinata y. c) Si calcolino le coordinate (y, z) del punto di arrivo sulla pellicola di un elettrone che in O ha velocità v v x v z z (in pratica gli elettroni del fascio non hanno esattaente la stessa velocità: si tratta di valutare l effetto di una piccola coponente v z della velocità). Soluzione: a) Fra F e M ogni elettrone acquista un energia cinetica v / pari alla differenza di energia potenziale ( e) V o ed arriva quindi in M con velocità ( / ) v evo. b) Un elettrone che esce dal punto O con velocità v v x è soggetto alla forza F e v x ( B// z ) evb// y, che incurva verso l alto la traiettoria. Ricordando l espressione a c v / r dell accelerazione centripeta ed uguagliando F a a c, si ottiene il raggio di curvatura / 5

117 v r. eb La traiettoria è una seicirconferenza, di cui il segento OP è un diaetro, quindi r y /. c) La traiettoria è ora un elica (vedi Problea ). La proiezione della traiettoria sul piano (x, y) è la stessa seicirconferenza calcolata in b), che viene percorsa nel tepo t π r / v. Durante questo tepo l elettrone si sposta in direzione z di un tratto z vzt. Problea 5 Si supponga che in un atoo di idrogeno l elettrone possa essere assiilato ad una carica puntifore ruotante intorno al protone, su di una circonferenza di raggio r. Si calcoli la velocità dell elettrone: a) in assenza di altre forze; b) in presenza di un capo agnetico B perpendicolare al piano dell orbita. Soluzione: a) Dalla F a e ricordando che l accelerazione centripeta vale v / r, si deduce: e v e, da cui v 4πεor r r. 4πε o b) La forza agnetica ha odulo evb, la stessa direzione di quella elettrica e verso concorde o eno a seconda del segno di v (cioè del verso di rotazione dell elettrone). Considerando positivo v quando v B è concorde con E si ha: e 4πε r o evb v, da cui v r i due segni corrispondono ai due versi di v. e eb ± e B πε r Coenti: Il oto di un elettrone in un atoo può generare un oento di dipolo agnetico, a gli elettroni hanno la tendenza a coordinare i loro oti in odo da ottenere oenti opposti, con risultante nulla. In una descrizione puraente classica e seplificata si suppone che i due elettroni descrivano la stessa orbita in versi opposti. Il capo B auenta la velocità di un elettrone e diinuisce quella dell altro, sicchè il oento agnetico risultante è diverso da zero ed opposto a B : è questa la spiegazione classica del diaagnetiso. r o ; 6

118 Problea 6 Si calcoli il capo B creato da un tratto rettilineo di un conduttore filifore in un generico punto P. Suggeriento. Si utilizzi la legge di Biot-Savart (), assuendo coe variabile di integrazione l angolo copreso fra d e r. Soluzione: Si orienti d nel verso della corrente, in odo che i risulti positiva. Per calcolare il capo B nel punto P, si introduca il sistea cartesiano rappresentato in figura. Il vettore µ oi d r db 4π r è diretto lungo z ed ha odulo oi d db µ sin θ 4π r dove d dx. Per l integrazione fra x e x, espriiao r e dx in funzione di θ : a r a / sinθ ; x a tanθ ; dx dθ con OP a cos θ ; da cui µ oi µ oi db d ( ) π a sinθ θ cosθ cos θ. 4 4πa Coento: ) Per questo problea, è possibile controllare l esattezza del risultato ottenuto: nel liite di filo infinitaente lungo (cioè per x e x ) si ottiene il valore corretto, dato dall equazione (4). ) Per calcolare il capo B creato da un circuito costituito da tratti rettilinei basta soare i capi creati dai singoli tratti: il calcolo può essere laborioso, a non difficile. Non si può utilizzare la legge di Apère perché ancano le sietrie necessarie. 7

119 CAPITOLO 4 INDUZIONE ELETTROMAGNETICA Legge di Faraday In un circuito elettrico filifore γ posto in un capo agnetico si anifesta una f.e.. Σγ indotta quando il flusso Φ B ds attraverso la superficie Σ γ racchiusa dal circuito sta variando (più precisaente, Σ γ può essere qualunque superficie avente coe contorno il circuito, perché Φ è indipendente dalla scelta di Σ γ ). Se il verso di percorrenza su γ e la norale a Σ γ soddisfano la legge della ano destra: d Φ dt () (se si adottasse la regola della ano sinistra, non coparirebbe il segno -). Se il capo agnetico è stazionario, si può avere variazione di flusso solo deforando o uovendo il circuito, e la () può essere scritta nella fora: γ v B d dove v è la velocità dell eleento di circuito. Se il capo agnetico non è stazionario la () può essere scritta nella fora: d E d B ds dt Osservazioni. γ La scoperta delle correnti indotte ha posto il problea della natura e localizzazione del capo elettrootore E *, il cui integrale lungo il circuito si identifica con la f.e... Nell equazione () il capo elettrootore è E * v B dove v è la velocità dell eleento d di circuito, e la forza da questo esercitata sulla carica di conduzione q è F * qv B, dove v è la velocità dell eleento d di circuito. Poiché il filo trascina nel oto tutte le particelle presenti al suo interno, la presenza di questa forza risulta evidente. Si noti però che le particelle di conduzione si uovono anche lungo d, con velocità di deriva v d parallela a d. La forza totale agnetica agente su queste particelle è quindi la soa delle forze F * qv B e F qv B d d ; quest ultia non dà nessun contributo all integrale (), perché è ortogonale a d, a il suo lavoro coplessivo sulla particella è diverso da zero e tale da opporsi allo spostaento del circuito, in accordo con la legge di Lenz (i lavori delle forze F * ed F d sono uguali ed opposti, perché il lavoro totale della forza agnetica su una carica è nullo). Nell equazione () il capo elettrootore coincide con E e l equazione può essere così interpretata: un capo Σγ () ()

120 agnetico variabile nel tepo crea un capo elettrico E non conservativo. Il capo E indotto da una variazione nel tepo di B agisce ovviaente su tutte le particelle cariche, anche se esterne al conduttore. Legge di Lenz. Il verso della corrente indotta può essere ricavato in odo puraente analitico, con la convenzione già citate, oppure applicando la legge di Lenz: l effetto della f.e.. indotta si oppone alla causa che la produce. Tensione elettrica t γ lungo una linea γ che va dal punto a al punto b: t γ E d ; (4) γ per i capi elettrostatici, che sono conservativi, la tensione elettrica coincide con la differenza di potenziale Va Vb ; per i capi indotti, non conservativi, la tensione lungo una linea chiusa è diverso da zero e coincide con la f.e.. indotta. Auto e utua induzione. Si definisce induttanza L (o coefficiente di autoinduzione) di un circuito filifore γ percorso da corrente è il rapporto L Φ (5) i dove Φ è il flusso del capo B creato da i attraverso una superficie con contorno γ. Se L è costante nel tepo, ogni variazione di i produce nel circuito una f.e.. L di dt. (6) L equazione (6) può essere assunta a definizione di L. Si definisce utua induttanza M o coefficiente di utua induzione di due circuiti filifori γ e γ il rapporto Φ, Φ, M (7) i i dove Φ, è il flusso agnetico, attraverso γ, prodotto da i (analogaente per Φ, ). Se M, i due circuiti sono accoppiati induttivaente. L uguaglianza Φ / i Φ / i è detta teorea o relazione di reciprocità.,, Energia del capo agnetico. Densità di energia del capo agnetico nel vuoto du B ub dv µ o B (8)

121 dove du B è l energia presente nel volue dv. Energia del capo agnetico generato da: un circuito avente induttanza costante L: due circuiti accoppiati: U L Li ; (9) U L i M i i L i. () Problea Nella spira scheatizzata in figura il conduttore ab, di lunghezza d, si uove con velocità costante v, in presenza di un capo B unifore ed ortogonale al piano della spira. Si calcoli la f.e.. indotta nella spira. v a b Suggeriento: Si applichi la legge di Faraday (Eq.) oppure l Eq., orientando la spira nel verso orario. Soluzione: Il flusso del vettore B attraverso la superficie racchiusa dalla spira nel generico istante t è per definizione Φ B ds. Orientata la spira in verso orario, il vettore ds risulta parallelo e concorde con B : B ds BdS con B costante rispetto a ds. Risulta quindi Φ B S, dove S S( t) è l area della superficie racchiusa dalla spira. Detta S o l area racchiusa all istante t, risulta: S( t) So d vt, quindi v t a b t > t

122 Φ( t) BS Bdvt o dφ Bdv. dt La f.e.. risulta positiva, quindi la corrente circola nel senso positivo prescelto (orario). Soluzione alternativa: v B d ; all integrale contribuisce solo il lato obile del circuito (sugli altri lati v ), dove il vettore v B ha odulo vb, è parallelo al lato obile ed orientato verso sinistra. Scegliendo sulla spira il verso orario, d risulta parallelo e concorde con v B, quindi: b vbd vb d vbd. a Coenti Il problea può anche essere risolto cercando pria il verso della corrente indotta con la legge di Lenz e calcolando poi il odulo della f.e.. (senza preoccuparsi dei segni). La legge di Lenz può essere applicata in diversi odi ed in particolare considerando:. Il flusso di B. Lo spostaento del lato obile diinuisce la superficie racchiusa dal circuito ed il odulo del flusso di B. La corrente indotta ha verso tale da opporsi a questa variazione. Il capo agnetico creato dalla corrente indotta è particolarente intenso nei punti vicini al circuito e, se la corrente ha verso orario, è concorde con B nei punti interni al circuito e tende quindi ad auentare il flusso (nei punti esterni il capo agnetico indotto ha verso opposto, a questi punti non danno contributo al flusso Φ ).. La forza applicata dal capo B al lato obile, che dever opporsi al suo spostaento verso l alto. b a Problea Considerando il circuito del Problea, si calcoli: a) la corrente i indotta nel circuito, supponendo che la sua resistenza R sia nota e costante; b) la forza F necessaria per antenere in oto unifore il lato obile della spira (trascurando la forza peso) ed il suo lavoro per unità di tepo; c) la potenza dissipata per effetto Joule nel circuito. Soluzione: Calcolata la f.e. indotta con uno dei due etodi utilizzati nel Problea, risulta: vbd a) i (verso orario); R R b) La forza F è uguale ed opposta alla forza esercitata dal capo B sul lato obile, che è diretta verso il basso ed ha odulo: 4

123 vb d F ibd R Il lavoro di F è positivo e la potenza è data da: ( vbd) Fv ; R c) La potenza dissipata per effetto Joule è: ( vbd) Ri. R Coento: si noti che tutta la potenza fornita al circuito viene dissipata per effetto Joule, in accordo con il principio di conservazione dell energia Problea Nel circuito del Problea viene inserito un generatore con f.e.. o di segno opposto alla f.e.. indotta. Si calcoli: a) la corrente indotta, supponendo costante la resistenza R del circuito; b) la forza F esercitata dal capo agnetico sul lato obile, la sua dipendenza da o ed il suo effetto sul oto del lato obile ab. Suggeriento. La f.e.. indotta è già stata calcolata, agisce in senso orario ed ha odulo vbd. Si orienti il circuito in verso antiorario, sicché la f.e.. o risulti positiva, negativa. Soluzione a) Dall equazione delle aglie o vbd Ri si deduce: o vbd i. R b) Scelto il verso antiorario, gli eleenti d del lato obile sono orientati verso destra, d B è verticale e diretto verso l alto. Detto z un versore verticale diretto verso l alto, l integrazione di df id B è iediata e fornisce: F ib z. F dipende da o attraverso i che è: nulla per o vbd ; negativa per o < vbd ; positiva per o > vbd. Ricordando che la velocità v del lato obile è diretta verso l alto, si deduce che: per, la forza o F è opposta a v e tende a frenare il oto della sbarra, in accordo con la legge di Lenz; per antenere in oto unifore il lato ab del circuito occorre esercitare una forza dall esterno. 5

124 " Auentando o, F diinuisce e si annulla per o vbd. Per o > vbd, F è concorde con v e favorisce il oto del lato obile. Coenti. Consideriao il bilancio energetico, dal punto di vista del lavoro fornito al circuito dall esterno, o eventualente fornito dal circuito sull esterno. Per! o si deve fornire lavoro eccanico dall esterno, che viene trasforato in energia elettrica (qui viene dissipato nel resistore, che potrebbe essere il filaento di una lapadina): il dispositivo è un generatore elettrico, cioè trasfora energia eccanica in energia elettrica; per # o il dispositivo può diventare un otore elettrico, cioè trasforare parte dell energia fornita dal generatore in energia eccanica: infatti la condizione # o >vbd può essere verificata per qualunque valore di # o (basta ad esepio diinuire v). Si noti infine questo fatto interessante: uno stesso dispositivo può essere utilizzato coe generatore elettrico o coe otore elettrico sepliceente cabiando i valori dei paraetri (che in questo caso sono # o, v, B, d). Problea 4 Si risolva il Problea supponendo che il capo agnetico vari nel tepo con legge $ $ B Bo cosω t e considerando nota la superficie S o racchiusa dal circuito nell istante t. Suggeriento: si proceda coe per il Problea, applicando la legge di Faraday nella fora (l Eq. non è più applicabile perché il capo B $ non è stazionario). Il calcolo di Φ richiede l integrazione di B $ ds $ ad un generico istante. In questo istante B non dipende dalla variabile di integrazione ds $ e può essere portato fuori dal segno di integrale. Soluzione: Con le convezioni del Problea, risulta: $ $ ( ) ( ) Φ B( t) ds B( t) ds B cosω t S dvt dφ( t) # Boω ( S o dvt) sin ωt Bovd cosω t. dt o o Problea 5 Una spira quadrata di lato a e resistenza R, su cui è inserito un condensatore con capacità C e con diensioni trascurabili rispetto ad a, si uove con velocità $ v costante in presenza di un capo $ B che è nullo nel seipiano x < ed unifore nel seipiano x > (vedi figura). Si calcoli e si rappresenti in diagraa: 6

125 & a) la funzione Φ( t) che rappresenta il flusso di B % attraverso la spira, orientando la superficie racchiusa dalla spira nel verso di % B ed assuendo coe origine di t l istante in cui il lato di destra della spira si trova in x ; b) la f.e.. indotta nella spira; c) la corrente i(t) nella spira. y % B x Soluzione: a) Φ( t ) ha l andaento di Fig.a, dove t o a / v, e nell intervallo tra e t o cresce con legge lineare: Φ avtb ; b) & ( t) è sepre nullo eccetto che nell intervallo tra e t o, in cui vale & abv ; c) [ exp ( t / RC) ] t t i( t) R per per t t io exp [ ( t to ) / RC o ] o dove i o i( t ). o Φ( t) t (a) & (t) t (b) i( t) t o t (c) 7

126 Problea 6 Si calcoli la f.e.. ' indotta in una spira quadrata di lato a che si allontana con velocità ( v costante da un conduttore rettilineo indefinito percorso da corrente i stazionaria, in funzione della distanza x (vedi Figura). y i ( v x x x a x Soluzione: Il capo B ( creato dal conduttore è ortogonale al piano racchiuso dalla spira ed entrante. Orientando ds ( nel verso di B ( (e la spira in verso orario) risulta: a x ( ( µ oi Φ B ds dy πx dx µ oia x a ln π x dφ dφ dx µ oiav a µ oiav ' dt dx dt a π x π x Poiché ' è positiva, la corrente circola nel verso orario prescelto. Soluzione alternativa: x a ( x ) a x Si applica l equazione (), orientando la spira in verso orario. I lati orizzontali non danno contributo all integrale di ( ( ( ) v B d, perché ( ( v B è verticale. Su ciascun lato verticale (B è costante rispetto alla variabile di integrazione e ( ( v B è concorde con ds ( sul lato di sinistra e discorde sul quello di destra. L integrazione è iediata e fornisce ' ( ( ( µ oiav v B ds va( B( x) B( x a) ), π x x a in accordo con il risultato ottenuto sopra.. Problea 7 8

127 *, Calcolare la f.e.. indotta nell spira del Problea 6 supponendo che la spira sia fera e che la corrente i nel conduttore rettilineo cresca linearente dal valore al valore i o nel tepo t o. Soluzione: Il calcolo del flusso è identico, a la variazione di flusso è prodotta dalla variazione della io corrrente i. Poiché i( t) t, risulta: to dφ µ oa x a di µ oaio x a ln ln dt π x dt πt o x Dato che * è negativo, la corrente indotta circola in senso antiorario. Non esiste una soluzione alternativa basata sull Eq., perch e il capo agnetico non è stazionario. Problea 8 Nel circuito in figura l asta AO può ruotare, intorno ad un asse passante per O, strisciando sulla guida circolare di raggio r AO, in presenza di un capo agnetico B unifore, perpendicolare al piano di figura ed entrante. L angolo ϕ varia con la legge ϕ ϕ o sinωt. a) Si calcoli la forza elettrootrice * indotta nel circuito; b) si dica per quale valore di ϕ la f.e.. * risulta assia e se ne calcoli il valore nuerico. [ r c (AO); ϕ o π / 6 ; ω rad / s ; B. T ]. C O B - ϕ r A 9

128 / Soluzione: a) Orientando il circuito in senso orario, il versore norale alla superficie racchiusa è concorde con il capo B. ed il flusso concatenato è BS, dove S è la superficie del settore circolare racchiuso dal circuito, con angolo al centro uguale a ϕ π / : Φ Br ϕ π. Ponendo ϕ ϕ o sinωt si ha: dφ Br ϕ oω cosωt. dt cos t ±. b) La f.e.. / risulta assia in valore assoluto per ω, ovvero per ϕ. Il suo valore assio è: /.V Problea 9 Un capo agnetico B unifore e stazionario è perpendicolare al piano che contiene una spira circolare etallica di area A e resistenza R. Nell istante t la spira viene essa in rotazione intorno ad un suo diaetro con velocità angolare costante ω. Si calcoli: a) la corrente indotta nella spira, trascurando l autoinduzione; b) la potenza elettrica P dissipata nella spira; E c) la potenza eccanica P da applicare alla spira per antenerla in rotazione. M Suggeriento. Orientando le spira in senso tale che nell istante t il suo versore norale sia parallelo e concorde con B, nel generico istante t l angolo fra n e B è θ ω t. Si calcoli il flusso Φ( t ) in questo istante e si applichi poi la legge di Faraday. Soluzione: a) Φ( t) B nds Bcosθ ds B cosθ ds BS cosω t, dφ AB ABω sin ω t ; i ω sin ωt. dt R

129 9 8 A B b) La potenza elettrica dissipata nella spira è: P E Ri ω sin ω t. R c) Detto 4µ i A n5 il oento agnetico della spira, il oento eccanico delle forze esercitate dal capo B4 sulla spira è τ 4 4 µ B4 i A n5 B4 ; 5n B4 è parallelo ad 4ω, con verso opposto (vedi figura) ed uguale a B sin θ ( ω5 ), dove ω 5 è il versore di 4ω. Per antenere la spira in oto unifore occorre esercitare un oento opposto 4τ iab sinθ( ω5 ) dove θ ω t ; la sua potenza è P M 4 τ ω4 iabω sinω t A B ω sin ω t R Ad ogni istante P M e P E, in accordo con il principio di conservazione dell energia. Problea Una spira rettangolare di rae (resistività ρ e densità δ ) di diensioni rettangolari, lati a e b, cade verticalente nello spazio copreso tra le espansioni polari di una calaita, che genera un capo B4 diretto coe in figura ed uscente. Quando è solo parzialente iersa nel capo (v. figura), la spira cade con oto unifore. Si calcoli la velocità v6, trascurando l attrito dell aria. 8 [ ρ.56 Ω ;δ Kg ; a ; b ; B.8T ] B : b a Soluzione: Orientata la spira in senso antiorario, il versore 7n norale alla superficie racchiusa è concorde con B 8. Detta S(t) la porzione di questa superficie iersa nel capo B 8, risulta: dφ d( B ns ˆ ( t)) 8 ds( t) B nˆ Bav, dt dt dt

130 > < i; /R dove R ρ, A dove a b ed A è la sezione del filo. Affinché la spira cada con velocità unifore la forza peso g δ > A g deve essere bilanciata dalla forza agnetica agente sul lato orizzontale, che ha odulo iab ed è effettivaente diretta verso l alto (i è positiva e circola nel senso antiorario scelto). Si ricava: ρδ g 5 v 7.7 / s. B a Soluzione alternativa: Si arriva allo stesso risultato uguagliando la potenza P J i R dissipata per effetto Joule alla potenza P g gv fornita dalla forza peso. Problea Si calcoli il coefficiente di utua induzione M fra i due circuiti filifori rappresentati in figura; dove AB e CD sono archi di circonferenza con centro in O e raggi r e r e la spira è circolare con centro in O e raggio a << r. D C A ϑ B O Suggerienti: M può essere calcolato coe rapporto Φ / i, dove Φ è il flusso attraverso il circuito del capo B? creato da una corrente i che fluisce nel circuito. È iportante nuerare opportunaente i due circuiti. Qui conviene scegliere la spira coe circuito perché l ipotesi a << r perette di supporre unifore al suo interno il capo B? creato dall altro circuito (effettuata la scelta, l uso dei pedici diventa superfluo e sarà evitato nella soluzione). Per dare un significato al segno di M è necessario scegliere un verso positivo di percorso su entrabi i circuiti. Soluzione:

131 B A D D D C B A B Si orientino i due circuiti in verso antiorario e si indichi con ẑ il versore norale al piano della figura ed uscente. È sufficiente calcolare il capo nel punto O. Un generico eleento di filo d genera il capo infinitesio i d r db B µ, 4 π r che è parallelo all asse z. I capi creati dai tratti DA e CB sono nulli, il capo creato da µ oi d µ oi dθ un generico eleento del tratto AB è, che si integra iediataente 4π r 4π r perché r non dipende dalla variabile di integrazione θ. Il capo creato da CD si calcola in odo analogo; risulta in definitiva: µ B iϑ zˆ 4 r r. π Con le convenzioni suggerite sopra, l area S D della spira va orientata coe ẑ : Φ B S B S B π o o a ; Φ µ a o θ M >. i 4 r r Problea Due conduttori filifori di lunghezza infinita, paralleli e distanti d, sono percorsi da correnti di odulo i e versi opposti. Una spira quadrata di lato a<d è posta tra i due conduttori, nel loro piano, con due lati paralleli ad essi ed equidistanti da essi. La corrente nei fili è portata a zero con legge lineare nell intervallo di tepo (, t ). Si calcolino: a) Il coefficiente di utua induzione fra la spira quadrata ed il circuito contenente i due fili rettilinei; b) la f.e.. indotta nella spira; c) la risultante delle forze agnetiche agenti sulla spira nell intervallo di tepo (, t ).

132 E F E Soluzione: a) Nei punti interni alla spira i capi agnetici creati dai conduttori rettilinei sono concordi ed uscenti. Nei punti con ascissa x il capo agnetico creato dal conduttore passante per x d / ha odulo µ i B n d π x Data la sietria del problea, i contributi Φ dei due fili al flusso nella spira sono uguali e concordi. Orientando la spira in senso antiorario, risulta: a Φ / ia µ a d / a / µ M ( B) / i µ dx ln i π ( d / x) π d / a / a / a o ln d a π d a b) La corrente varia nel tepo con legge: i( t) io iot / to, quindi: dφ µ oaio d a ln. dt π t d a o c) Le forze esercitate dal capo agnetico dei conduttori rettilinei sui lati della spira stanno sul piano (x, y) contente la spira. I lati opposti sono soggetti a forze opposte, per sietria. Le forze agnetiche hanno quindi risultatante nulla e oento risultante nullo. (Se fosse richiesto il calcolo delle quattro forze agenti sui quattro lati della spira, i lati orizzontali richiederebbero un integrazione, perché B E dipende da x). Problea Nel cavo coassiale rappresentato in figura i due cilindri cavi hanno spessore trascurabile e sono percorsi da correnti opposte. Si consideri un tratto di cavo di lunghezza G e se ne calcoli: a) energia (del capo agnetico); b) induttanza; c) capacità. Soluzione: a) Il capo è diverso da zero solo nell anello cilindrico copreso fra i due cavi, dove ha odulo: 4

133 I I I oi B µ. π r L energia di un tratto di lunghezza H vale (integrando per strati cilindrici): U B B µ i i dv o µ o π r dr µ r 4π γ o ( π) r r r ln, r b) Per il calcolo di L conviene considerare l espressione U B Li, che fornisce: U B µ o r L ln. i π r c) Si tratta di un condensatore cilindrico; il calcolo è giá stato effettuato e fornisce: C πεo I. r ln r Coenti. Nei cavi hanno interesse induttanza e capacità per unità di lunghezza. Si noti che il prodotto di queste due grandezze è uguale a: ε o µ o c. Problea 4 Due solenoidi, aventi la stessa lunghezza H e raggi r e r > r, sono uno interno all altro e coassiali. Si deterini l energia del capo agnetico quando si anda la stessa corrente i in entrabi, considerando separataente i casi con correnti concordi e discordi. Si ostri poi che la differenza fra le energie così calcolate è uguale a Mi, dove M è il coefficiente di utua induzione. (Si trascuri l effetto dei bordi, supponendo cioè capi unifori all interno e nulli all esterno). Suggeriento. Nello strato cilindrico copreso fra i due solenoidi, avente volue ( r ) π r I, è presente solo il capo J B del solenoide esterno. Nel solenoide interno sono presenti sia J B che J B, con la stessa direzione e versi rispettivaente concordi e discordi. Soluzione: Correnti nello stesso senso: 5

134 K K K K K K K U dove B µ oni, B µ oni. Correnti in senso opposto: ( B B ) µ o ( B B ) π r B µ π o ( r r ) B U π r ( r r ) µ o µ π. o Quindi B B U U π r µ onni π r. µ o Per il calcolo di M orientiao i due circuiti nello stesso verso e consideriao il capo B µ oni creato dal solenoide esterno. Il suo flusso attraverso una singola spira del solenoide interno è B L K π r. Moltiplicando per n (nuero totale di spire) si ottiene il flusso totale Φ attraverso il solenoide interno. Quindi: M Φ µ o i n n π r., 6

135 CAPITOLO 5 DIPOLI MAGNETICI E PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI MEZZI MATERIALI Dipoli agnetici Una spira filifore contenuta in un piano e percorsa da corrente i possiede un oento agnetico µ i S n, dove S è la superficie racchiusa dalla spira ed n il versore norale al piano, orientato con la regola della ano destra rispetto al verso di i. La spira può essere trattata coe un dipolo agnetico puntifore nel liite in cui le sue diensioni diventano trascurabili (per i dipoli agnetici puntifori valgono le considerazioni fatte nel Cap. per i dipoli elettrici puntifori: v. coenti,, a pag.). Per i dipoli puntifori valgono le seguenti relazioni: Capo B creato da un dipolo agnetico puntifore. B B r µ o µ cosθ ; 4π r () µ o µ sin θ. 4π r Dipolo agnetico puntifore in un capo esterno B : energia potenziale U U µ B () oento τ e risultante R delle forze applicate τ µ B, () R µ grad B, i x, y, z. (4) Proprietà agnetiche della ateria i Dato un ezzo ateriale si definisce agnetizzazione M il oento agnetico per unità di volue: µ i M, (5) V dove µ i è il oento agnetico della generica olecola presente nel volue V. Coento. ) Le interazioni fra dipoli elettrici puntifori e le interazioni fra dipoli agnetici puntifori i

136 sono descritte da equazioni foralente identiche (salvo ovvie trasposizioni di siboli, che risultano evidenti confrontando le equazioni -5 con le equazioni -5 del Cap. ). Questo suggerisce un etodo di risoluzione dei problei di interazione fra agneti basato sui concetti di poli agnetici e cariche (o asse) agnetiche. In particolare, un cilindro di sezione S uniforeente agnetizzato, con M diretto lungo l asse, possiede cariche agnetiche q e - q sulle due basi, con q MS. Per ottenere l equivalente agnetico di una carica elettrica basta supporre che la carica di segno opposto sia a distanza infinitaente grande, considerando un agnete infinitaente lungo. Il capo B creato dalla carica q è dato dalla legge di Coulob agnetostatica o q B r (6) µ 4π r Lo studente può forulare e risolvere l equivalente agnetico del Problea, Cap.. Per risolvere i problei di interazione fra agneti, esiste però un secondo etodo, basato sul concetto di correnti di agnetizzazione i. Un corpo uniforeente agnetizzato crea lo stesso capo B di una corrente (di agnetizzazione) i che scorre sulla sua superficie, ortogonaleente ad M, il cui oento agnetico coincide con il oento agnetico totale del corpo. Un generico segento d giacente sulla sua superficie è attraversato da una corrente di agnetizzazione di M d (7) Coenti. ) Dato un cilindro uniforeente agnetizzato in direzione dell asse, la corrente di agnetizzazione scorre sulla sua superficie laterale, è ortogonale ad M, ed ha intensità totale i M, dove è la lunghezza del cilindro. Il corpo crea lo stesso capo B di un solenoide cilindrico di fora identica, con corrente totale Ni uguale ad i M, e quindi con: n i M (7 ) (N è il nuero totale di spire, supposte circolari e contigue, n N /, i è la corrente in ogni spira). ) Le analogie discusse nei coenti e, ed in particolare la possibilità di calcolare il capo agnetico dei corpi uniforeente agnetizzati introducendo cariche agnetiche oppure correnti di agnetizzazione, spiega il fatto che oggetti olto diversi creino capi con linee di flusso identiche. Ad es. un cilindro polarizzato elettricaente e un condensatore con arature coincidenti con le sue due basi creano capi E con linee di flusso uguali tra loro, ed uguali alle linee di flusso dei capi B creati da un agnete cilindrico e da un solenoide. Capo agnetico delle correnti elettriche in presenza di ezzi ateriali. Alla corrente di conduzione occorre aggiungere la corrente di agnetizzazione i. È però possibile scrivere le leggi di Biot-Savart e di Apère senza fare coparire esplicitaente le correnti di agnetizzazione. Per conduttori filifori circondati da un ezzo oogeneo, isotropo e tale che la agnetizzazione risulti proporzionale al capo, basta sostituire la pereabilità agnetica del vuoto µ o con la pereabilità del ezzo µ µ r µ o, (8) dove µ r è la pereabilità relativa al vuoto. In particolare, conviene scrivere al legge di Apère nella fora γ H d iγ (9)

137 dove: B H. () µ µ r Scritta in questo odo, la legge risulta valida anche se il ezzo non è oogeneo, e risulta: ( ) M µ r H χh, () dove χ è detta suscettività agnetica. Se viene a ancare la proporzionalità fra capo e agnetizzazione ( ad es. nei agneti peranenti e nei ateriali che presentano isteresi), l equazione () va sostituita con H B / µ M () Coento. La definizione () di suscettività agnetica χ rope, aleno foralente, l analogia fra polarizzazione elettrica e agnetizzazione. La dissietria forale, che nasce dal ettere M in relazione con H anziché con B, è legata allo sviluppo storico del agnetiso; fino alla pria età del secolo scorso il vettore H era considerato il vettore agnetico fondaentale, e chiaato sepliceente capo agnetico; ora si preferisce la denoinazione capo agnetizzante, pensando appunto alla relazione (). o o Problea Due olecole, poste a distanza d, sono assiilabili a dipoli agnetici puntifori, con oenti agnetici µ identici e diretti lungo la loro congiungente. a) Si calcoli il lavoro L µ necessario per ruotare di 8 o una delle due olecole, in odo che i loro dipoli anziché paralleli risultino antiparalleli (cioè con oenti opposti). b) Si calcoli il lavoro L p richiesto per ripetere l operazione descritta in a), supponendo che le olecole possiedano dipoli elettrici di oento p, anziché dipoli agnetici. c) Si trovino i valori nuerici di L µ ed L p ponendo: d 5. n, µ µ B 9. 4 J / T, p pd. C (si tratta dei tipici valori delle distanze interolecolari e dei oenti olecolari agnetici ed elettrici: µ B è detto agnetone di Bohr e coincide praticaente con il oento agnetico di un elettrone isolato, p D prende il noe di Debye). Suggeriento. Si calcoli il capo B creato da un dipolo agnetico nel punto occupato dall altro, e si utilizzi poi l espressione () dell energia potenziale. Soluzione

138 a) Il dipolo posto nell origine crea in P un capo parallelo e concorde con l asse x, con odulo o B µ µ. 4π d L energia potenziale del secondo dipolo è µ B µ B ; rovesciando il verso del dipolo, l energia diventa µ B. Il lavoro richiesto è µ o µ Lµ µ B 4 4 π d b) Il calcolo è foralente identico e fornisce p Lp 4. 4πεo d c) 4 ( 9. ) (. 5 ) (. ) ( 5. ). L 7 µ 4 J. 8 J, 9 L 4 9 J. J. p Coenti. ) La configurazione parallela è energeticaente favorita: le olecole poste lungo una retta tendono ad allineare i loro dipoli lungo la retta e nello stesso verso. ) Non é però realistico supporre che le olecole siano fere: tutte le olecole dei ezzi ateriali possiedono un energia cinetica di agitazione terica (dovuta ai oti di traslazione e rotazione) che è dell ordine di k B T, dove k B è la costante di Boltzann, T la teperatura assoluta. A teperatura abiente, T è dell ordine di K e l energia edia di agitazione terica è dell ordine di 4 J. Confrontando quest energia con i lavori L µ ed L p, si coprende che l agitazione terica contrasta olto efficaceente l effetto allineante delle forze di interazione provenienti dai oenti di dipolo elettrico e agnetico delle olecole. Problea Si consideri una spira circolare di raggio r, costituita da un sottile filo di ateriale isolante, di sezione A. Nel volue occupato dal filo è distribuita una carica elettrica q con densità ρ q unifore. Quando si pone in rotazione la spira intorno al suo asse, si crea una corrente elettrica. a) Si calcoli l intensità di corrente i ed il oento di dipolo agnetico µ della spira; b) si ostri che µ risulta parallelo al oento L della quantità di oto della spira e che il rapporto µ / L dipende unicaente dal rapporto tra carica q e assa della spira; c) si calcoli il rapporto µ / L per un sfera rotante intorno ad un suo diaetro, supponendo costanti all interno della sfera le densità di carica ρ q e di assa ρ ; 4

139 d) si dica se il risultato trovato in c) può essere applicato ad una sfera conduttrice elettricaente carica. Suggeriento: Detta v ω r la velocità di un punto all interno del filo, l ipotesi che il filo sia olto sottile perette di supporre che tutti i punti di una sua generica sezione si uovano con la stessa velocità. Si valutino poi nell ordine la densità di corrente (si ricordi che nell espressione j nqv d riportata nel Cap., nq rappresenta la densità ρ q delle cariche in oto), la corrente, il oento di dipolo agnetico ed il oento della quantità di oto (o oento angolare). Soluzione: a) Seguendo i suggerienti, si ottiene: j ρ q v, i ja ρ q va dove A è l area della sezione del filo. Risulta poi µ i π r n ρq va π r n dove n è il versore norale al piano contenente la spira, orientato con la regola della ano destra rispetto al senso di rotazione. b) Anche il oento angolare L è parallelo all asse di rotazione. Ogni tratto di spira di lunghezza d ha assa d ρ A d, quantità di oto vd e dà al oento angolare un contributo dl v r d v rρ A d. Il odulo di L è quindi: L dl vρ A r d vρ A π r. Risulta in definitiva µ ρq q L ρ. Si noti che µ ha il verso di L se la carica è positiva, verso opposto se negativa. c) Il rapporto µ / L è ancora uguale a q/. Per capirlo basta suddividere idealente la sfera rotante in anelli infinitesii, con asse coincidente con l asse di rotazione: per ciascuno risulta dµ ( ρq ρ ) / dl. Integrando questa espressione, e tenendo presente che ρq / ρ è costante, si ottiene µ ( ρ / ρ ) L q ( q / ) L. d) Per la validità del calcolo precedente è essenziale che il rapporto ρ / ρ sia lo stesso in tutti i punti della sfera. In una sfera conduttrice la carica elettrica si porta in superficie entre la assa è distribuita nel volue: µ e L risultano ancora paralleli, a il rapporto µ / L è aggiore di q/ perché la distanza edia dall asse di rotazione è aggiore per q. Coenti: ) Si noti l equivalenza, per quanto riguarda gli effetti agnetici, fra una spira percorsa da corrente elettrica e la spira rotante qui considerata; ) i oti orbitale ed intrinseco (o di spin) degli elettroni nell atoo generano oenti di dipolo agnetico con µ / L uguale a e / e e / : questa differenza può essere giustificata anche sulla base di odelli non quantistici (si veda il quesito d). q 5

140 Problea Un fascio di elettroni viene lanciato fra le estreità polari di una calaita che genera un capo agnetico B forteente disunifore, che nell intorno dell origine di un sistea cartesiano ha coponenti: B bx; B by; B B bz, x y z o dove b è una costante. a) Si calcoli il oento τ delle forze agnetiche agenti su un elettrone nell istante in cui passa per l origine, supponendo che il suo oento di dipolo agnetico µ, di odulo µ B, fori un angolo θ con l asse z. b) Si calcoli l energia potenziale U in funzione di θ e si dica per quali valori di θ risulta inia oppure assia. c) Si calcoli la risultante R delle forze agnetiche in corrispondenza dei valori di θ deterinati in b). d) Si discutano breveente gli effetti sul oto dell elettrone delle forze calcolate in a) e c), considerando separataente i oti di rotazione e traslazione, e tenendo presente il principio di conservazione dell energia. Per il oto di traslazione si supponga che il fascio di elettroni sia diretto ortogonalente a z e costituito da elettroni con θ e θ π. Soluzione: a) Nell origine, il vettore B è uguale a Boz. Il oento τ µ B è ortogonale al piano individuato da µ e z ed ha odulo τ µ B sinθ B o b) U µ B µ B B o cos θ. Il inio e il assio di U cadono in θ e θ π ; entrabe le configurazioni sono di equilibrio (infatti τ ): stabile la pria, instabile l altra. c) La risultante delle forze applicate R è diretta lungo z ed ha valori opposti per elettroni con θ e θ π. ( ) Ry ( Bz) by ( ) ( ) R µ gradb ± µ z bx ; x x B ± µ ; R ± µ z bz bµ. z B B d) Il oto di traslazione è deterinato dalla risultante R delle forze applicate che è diretta lungo z e tende ad incurvare la traiettoria. Gli elettroni con θ e θ π subiscono deviazioni in versi opposti: il fascio si suddivide quindi in due fasci con direzioni diverse (il calcolo della deviazione subita dagli elettroni, qui non richiesto, perette di ricavare µ B ). Il oto di rotazione è olto coplesso perché gli 6

141 elettroni già possiedono oento angolare L (si veda il Problea ) e sono quindi già in rotazione. Per coprendere l effetto del oento τ conviene considerare pria il caso (ipotetico) L. Il oento τ induce una rotazione lungo la direzione ortogonale al piano individuato dai vettori µ e z ; più precisaente tende a diinuire θ. In θ il oento τ si annulla ed il dipolo agnetico ha un energia cinetica di rotazione uguale all energia potenziale perduta. La conservazione dell energia richiede che il oto continui: ne nasce un oto oscillatorio che è del tutto siile al oto di un pendolo. Per L la particella rotante si coporta invece coe un giroscopio: i vettori L e µ descrivono un cono intorno alla direzione di B, con θ costante (oto di precessione). Coenti: Nel oto di precessione appena descritto la coponente di µ lungo z riane invariata e la risultante R delle forze applicate ha una coponente lungo z copresa fra i due valori estrei ricavati in c). La deviazione subita dagli elettroni dipende dalla direzione di µ e più precisaente dall angolo θ : secondo la eccanica classica un generico fascio di elettroni in capo B non unifore si allarga a ventaglio. L esperienza diostra invece che il capo B genera due soli fasci; si tratta di un effetto quantistico: le coponenti µ z, L z di µ e L sono quantizzate. 7

142 CAPITOLO 6 EQUAZIONI DI MAXWELL E CORRENTE DI SPOSTAMENTO Equazioni Le equazioni possono essere scritte facendo coparire gli integrali dei vettori del capo elettroagnetico, oppure le loro derivate. Nel vuoto possono essere così scritte. Fora integrale γ d E d B ds dt, (a) Σγ γ Σ Σ d B d µ o i εo E ds dt, (b) Σ γ qσ E ds ε, (c) o B ds, (d) dove Σ γ è una superficie avente coe contorno la linea chiusa γ, q Σ è la carica interna alla superficie chiusa Σ. Fora differenziale B rote, t (a) E rotb µ o j ε o, t (b) dive ρ / ε, (c) o divb. (d) La grandezza εo Φ E / t, dove Φ E è l integrale che copare a secondo ebro dell Eq.b, è la corrente di spostaento i s ; la sua densità è j E s εo / t. In presenza di ezzi ateriali, nelle equazioni b e c occorre tenere conto delle cariche di polarizzazione e della correnti di agnetizzazione, ponendo: d rotb o j j ( o ) dt E P µ ε, (b) dove j rotm, ρ divp. P ε dive ρ ρ, (c) o P

143 Si è però soliti tenere conto indirettaente di queste cariche e correnti, scrivendo le equazioni di Maxwell nella fora: B rote, (4a) t D roth j, (4b) t divd ρ, (4c) dove: divb, (4d) D ε E P ε ε E (5) o r o B B H M µ µ µ. (6) o r o Problea Un conduttore filifore porta corrente i costante ad una sfera conduttrice. Si calcoli ad un generico istante t > : a) la carica q(t) sulla sfera, supponendo nulla la sua carica all istante t; b) la corrente di spostaento i s attraverso una generica superficie chiusa Σ posta intorno alla sfera; c) il capo B in un punto P posto coe è indicato in figura, pensando che per sietria le linee di flusso di B sono circonferenze il cui asse coincide con la retta passante per il conduttore filifore, e che lungo una di queste circonferenze B ha odulo costante. Suggeriento. Per la doanda c), si applichi la legge di Apère-Maxwell nella fora (b), scegliendo coe linea d integrazione γ la linea di flusso passante per P, coe Σ γ una superficie, con contorno γ, tale che sia possibile calcolare il flusso di E.

144 Soluzione t a) q( t) idt it. b) Per la legge di Gauss, il flusso Φ E ( t) attraverso Σ è uguale a q( t) / εo it / εo, quindi: dφ E ( t) d it is εo εo i. dt dt εo c) La carica q si distribuisce uniforeente sulla superficie della sfera conduttrice, e crea un capo E con sietria sferica. È quindi facile calcolare il flusso di E attraverso una superficie sferica con centro in O, passante per P, che è tagliata in due parti uguali da γ. Scelta la parte superiore coe Σ γ, e l orientaento di ds verso l esterno, il flusso di E è esattaente la età del flusso attraverso l intera sfera e vale quindi q( t) / ε it / ε. Attraverso Σ γ non passa corrente di conduzione e o o l Eq.(b) fornisce: d it µ oi B d µ oεo dt γ εo Avendo orientato Σ γ verso l esterno il verso di d è fissato dalla regola della ano destra. Il vettore B è parallelo a d, per sietria, e deve essere concorde perché l integrale di B d deve essere positivo ( µ o i / è positivo). Riane da calcolare il odulo di B ; poiché B d Bd, con B costante su γ, l integrale è uguale a B π r, quindi: µ oi µ oi B π r π r (il capo B in P è esattaente la età del capo creato da un conduttore rettilineo indefinito). Coenti. ) Se scegliao coe Σ γ la parte inferiore della sfera, lasciando invariato il senso di percorso su γ, dobbiao orientare ds verso l interno. Il flusso di Ë cabia segno, a al secondo ebro dell Eq.(b) copare anche la corrente di i del conduttore filifore, che ora taglia Σ γ. Il secondo ebro dell Eq.(b) si scrive quindi: d it µ oi µ o i ε o dt ε, e si ottiene per B il valore già trovato. ) La isura di B in un esperiento di questo tipo perette una verifica diretta dell equazione di Apère-Maxwell, cioè della necessità di scrivere il terine di corrente di spostaento. Siili isure non sono facili e sono state effettuate solo dopo che l equazione era stata verificata indirettaente, con gli esperienti di Hertz sulle onde agnetiche. o

145 Problea Si considerino: a) un conduttore cilindrico percorso da corrente con densità j costante, b) un lungo solenoide, con n spire per unità di lunghezza percorse da corrente i, c) un condensatore piano forato da due dischi etallici paralleli, nel vuoto e si calcoli in un generico punto P (vedi figura): a) il capo agnetico creato dal conduttore; b) il capo elettrico indotto nel solenoide quando i varia nel tepo con legge nota i(t); c) il capo agnetico creato in P dalla corrente di spostaento, generata nel condensatore da una variazione della densità σ di carica sulle sue arature. Soluzione: Per tutti i dispositivi, si considera la linea di flusso passante per P del capo, che per sietria è in tutti e tre i casi una circonferenza con centro sull asse di sietria. Inoltre il capo su questa linea di flusso è costante in odulo. I tre capi si calcolano ediante le tre leggi: γ γ H d j ds Σ d E d B ds dt d H d ε E ds o dt γ Σ gli integrali nel prio ebro sono uguali al odulo del capo cercato, oltiplicando per la lunghezza πr della circonferenza (γ ); quelli nel secondo ebro sono uguali al vettore che copare sotto il segno di integrale, oltiplicando per l area π r. Risulta quindi: a) H r j r db r b) E dt µ c) H r dd r dσ dt dt o n d i dt Σ 4

146 Coenti. Il problea evidenzia la stretta analogia forale fra leggi che regolano fenoeni fisici diversi. 5

147 CAPITOLO VII ONDE Equazione delle onde in una diensione (di d Alebert): f t f v, () x dove v è una costante. Soluzione generale: f ( x, t) f( x v t) f ( x v t). () Soluzioni aroniche (onde onocroatiche) f ( x, t) f ( kx t) o sin ω, onda progressiva () f ( x, t) f ( kx) ( t) o sin cos ω, onda stazionaria (4) dove ω / k v. (5) Le grandezze ω e k sono legate al periodo T ed alla lunghezza d onda λ dalle relazioni: ω π / T, k π / λ. (6,6 ) Dalle Eq. 5 e 6 si deduce v λ. (5 ) T Velocità di fase, ezzi dispersivi, velocità di gruppo La costante v ha le diensioni di una velocità (v. Eq. 5 ) ed è detta velocità di fase; per onde onocroatiche progressive rappresenta la velocità con cui traslano i punti di assio (creste) dell onda. Se la velocità di fase dipende dalla frequenza f ω / π, l Eq. 5 continua a valere, a ω non è più proporzionale a k. Si definisce relazione di dispersione la funzione ω( k) e velocità di gruppo la sua derivata: d vg ω. (7) dk Coento. Per coprendere il significato di v g consideriao un treno (o pacchetto) d onde di lunghezza e durata finite, in cui l apiezza dei assii successivi sta cabiando; il treno d onde può essere così rappresentato: ( o o ) f ( x, t) a( x, t) sin k x ω t, (8) e può essere ottenuto sovrapponendo onde onocroatiche le cui pulsazioni ω stanno in un intorno di ω o. La funzione a(x,t), per t prefissato, può essere visualizzata coe inviluppo del profilo dell onda ed è ben approssiata da una curva che passa per i punti di cresta dell onda. Se il ezzo è dispersivo, i punti di cresta ed il loro inviluppo traslano con velocità diverse, circa uguali rispettivaente alla velocità di fase v o ω o / k o ed alla velocità di gruppo v g ( dω / dk) calcolata per k k o. Nella trasissione dei segnali, l inforazione è contenuta nella funzione a(x,t), quindi v g può essere assunta coe la velocità di trasissione del segnale. Durante la propagazione il profilo dell onda si defora, e può odificarsi anche il suo inviluppo; in questo caso la situazione è più coplessa e non sono più sufficienti le velocità v e v g per descrivere copiutaente la propagazione del pacchetto d onde. In particolare i punti di inizio e fine del pacchetto possono viaggiare con velocità diverse, dando origine ad un suo allargaento o restringiento. È interessante il fatto che nessuna inforazione può essere inviata a velocità aggiore di c, entre non

148 esistono restrizioni di questo tipo per v; in ezzi forteente assorbenti anche v g può risultare aggiore di c a non rappresenta più la velocità di traslazione dell inviluppo, a causa della forte attenuazione dell onda. Energia dell onda Le onde trasportano sia energia che quantità di oto, ed interessa il calcolo del loro flusso attraverso superfici assegnate. L ipostazione del calcolo è la stessa, indipendenteente dalla natura della grandezza che fluisce. È opportuno richiaare i calcoli già fatti per lo studio della corrente elettrica, cioè del flusso di carica elettrica. Detta ρ la densità della carica in oto e v la sua velocità, la densità di corrente è j ρ v e la corrente attraverso una superficie da è i jv da. Ricordando che i dq / dt, si può scrivere: dq j v da dt, (9) dove dq è la carica che fluisce attraverso da nel tepo dt. Per l energia dell onda, l equivalente di j è l intensità dell onda I, che è uguale al prodotto uv, dove u è la densità di energia. Per calcolare il flusso di energia attraverso una generica superficie A conviene considerare il tubo di flusso di v intercettato da A. Le linee di flusso di v sono detti raggi, le superfici norali fronti d onda. Coenti. ) La corrente elettrica è generata dal oto di particelle cariche e la funzione ρ( r, t ) che rappresenta la densità di carica nel punto r all istante t è stata definita considerando il prodotto nq, dove n è il nuero di particelle nell unità di volue e q la loro carica. In altri terini, ρ( r, t ) è una densità edia, ediata su volui grandi su scala icroscopica. Per le onde è necessaria una procedura analoga: interessa il valor edio di u, ediato su un intera lunghezza d onda o su un intero periodo. Ricordiao che: a) l energia è sepre una funzione quadratica della perturbazione f; b) per onde onocroatiche la perturbazione in un punto assegnato varia nel tepo con legge f ( t) f sin( ω t), la densità istantanea con legge u( t) u sin t o e l intensità è T o ω. Il valor edio di u(t) è: u T u t dt ( ) u o () I u v. () ) L analogia fra j e I è particolarente evidente in eccanica quantistica. Infatti sia le particelle che le onde hanno sepre un duplice aspetto, corpuscolare ed ondulatorio: le particelle associate ad un onda di frequenza ν hanno un energia hν, dove h è la costante di Planck. Sono dette fotoni le particelle (o quanti di energia) associate all onda elettroagnetica, fononi quelle associate alle onde acustiche ed elastiche. Per definire u ed I, si potrebbe seguire la stessa procedura usata per definire ρ( r, t ), cioè oltiplicare il nuero di particelle nell unità di volue per la loro energia hν. Onde elettroagnetiche Velocità di fase: v nel vuoto v / ε oµ o c ; per ateriali non ferroagnetici v / εrε oµ o c / ε r, perché µ µ o. c Indice di rifrazione: n ( ε r ). () v ε µ ()

149 Vettori E e B : per onde che si propagano in ateriali isotropi, i vettori v, E e B sono utuaente ortogonali ed i loro oduli sono legati dalla relazione E v B. (4) Vettore di Poynting: S E H E B, (5) µ che può essere anche scritto: Intensità: è il valor edio del odulo di S S EB v µ (5 ) Se E(t) è una funzione aronica, E I E o EB v E. (6) µ µ /, dove E o è il valore di picco di E(t). Quantità di oto: ha densità edia u / v ; un fotone nel vuoto ha quindi quantità di oto hν /c. Flusso di energia: con riferiento alla figura, possiao scrivere du I v A dt I An dt, (7) dove A n Acosθ è la sezione norale del tubo di flusso che si ottiene considerando tutti i raggi che attraversano la superficie A. Potenza che attraversa una generica sezione del tubo di flusso: P du I A dt n. (8) Flussi di quantità di oto e forze: dividendo per v l Eq.7 si ottiene la quantità di oto du/v che fluisce attraverso A nel tepo dt. Un onda che incide su un corpo può trasferirgli la sua energia, riscaldando il corpo, e la sua quantità di oto, esercitando una forza F sul corpo. Ricordiao che dp F (9) dt

150 dove dp è la quantità di oto trasferita al corpo. Se l onda è copletaente assorbita, dp coincide con la quantità di oto trasportata dall onda nel tepo dt: I F v A v n. (9 ) Se l onda è riflessa, dp è la differenza dpi dpr fra le quantità di oto delle onde incidente e riflessa. Sorgenti di onde elettroagnetiche Le onde elettroagnetiche sono generate da cariche elettriche in oto accelerato. Le sorgenti di onde onocroatiche contengono sepre al loro interno particelle cariche che oscillano con oto aronico. Considerando le coordinate cartesiane x i (i,, ) della particella, ciascuna coponente oscilla con legge ( ) xi xoi sin ω t ϕ i. () I capi E e B dell onda sono funzioni lineari dell accelerazione: possiao quindi considerare separataente le tre coponenti cartesiane del oto (l onda è la soa delle onde generate da tre particelle che oscillano lungo i tre assi cartesiani). Una carica q che oscilla su una retta y con apiezza di oscillazione olto inore della lunghezza d onda λ, genera un onda i cui raggi sono le seirette uscenti dal centro O di oscillazione. L intensità in un punto P, posto a distanza r >> λ, è I ( ) o b qy r ω 4 sin, () θ dove b è una costante, y o è l apiezza di oscillazione. Il capo elettroagnetico così creato è detto di dipolo elettrico, perché è identico a quello di un dipolo elettrico oscillante, con oento p(t)qy(t) e valore assio qy o. Si noti che I è nulla nella direzione di oscillazione (cioè per θ e θ π ), assia in direzione ortogonale. Nel vuoto µ o b. ( ) π c 4

151 Il vettore E giace nel piano individuato da P e dalla direzione di oscillazione della carica, e varia nel tepo con legge aronica e con un ritardo di fase, dovuto alla velocità finita di propagazione dell onda. Polarizzazione Preessa: un punto ateriale con coponenti x a sinω t, () y b sin( ω t δ ) [ ( bcosδ ) sinω t ( b sinδ ) cosω t], descrive una traiettoria ellittica. Eliinando t (basta ricavare sinω t e cosω t, ponendo poi sin ω t cos ω t ) si ottiene l equazione dell ellisse. L ellisse collassa in un segento di retta se δ e δ π, diventa una circoferenza se ab e δ ± π /. Da notare il ruolo fondaentale della differenza di fase δ. L aggiunta di un eventuale costante di fase in entrabe le funzioni sinusoidali equivale sepliceente ad un cabiaento di origine dell asse dei tepi. In un onda elettroagnetica onocroatica che si propaga nel vuoto in direzione z, il vettore E è ortogonale a z; in un generico punto, la dipendenza da t delle sue coponenti x e y è data dalle Eq.(). Il vettore E descrive quindi un ellisse, che può diventare un segento di retta o una circonferenza. In tutti e tre i casi si dice che l onda è polarizzata, con polarizzazione rispettivaente ellittica, rettilinea (o lineare) e circolare. Nella polarizzazione lineare il piano individuato da E e dal raggio è detto piano di polarizzazione. I fenoeni di polarizzazione sono legati al fatto che il vettore E è trasversale rispetto ai raggi; nelle onde acustiche le olecole del gas si spostano lungo il raggio (l onda è cioè longitudinale): la direzione dello spostaento è fissata, il concetto stesso di polarizzazione perde significato. La radiazione eessa da un dipolo elettrico p oscillante in una direzione assegnata è polarizzata linearente, con piani di polarizzazione contenenti p. La luce eessa dalle sorgenti convenzionali (non laser) è costituita da treni d onda di durata liitata (tipicaente dell ordine di -8 s), ciascuno dei quali è associato ad un fotone. I singoli treni d onda possono avere uno stato di polarizzazione definito, a le loro polarizzazioni sono diverse e casuali: si dice che la luce naturale non è polarizzata. Negli esperienti di polarizzazione con luce naturale, occorre pria ottenere un fascio con polarizzazione definita. È particolarente seplice ottenere polarizzazione lineare, ed infatti il terine polarizzatore è usato coe sinonio di dispositivo che fornisce in uscita luce polarizzata linearente. La direzione del vettore E è detta direzione caratteristica, o polarizzante o più sepliceente asse del polarizzatore. I problei sulla polarizzazione riguardano i seguenti dispositivi (reali od ideali) e fenoeni:. Ricevitori sensibili solo a capi E con direzione assegnata, ad es. particelle costrette ad oscillare lungo una retta ed antenne a dipolo elettrico. Occorre considerare la coponente del capo E dell onda nella direzione assegnata; l energia sottratta all onda è funzione quadratica di questa coponente. Una laina polarizzante ideale contiene oscillatori di questo tipo, ed annulla copletaente la corrispondente 5

152 coponente del capo E dell onda, lasciando invariata la coponente ortogonale, la cui direzione definisce l asse della laina.. Riflessione: il raggio riflesso è parzialente polarizzato, perché le riflettanze R // e R, definite coe rapporto fra le intensità delle onde riflessa ed incidente, sono diverse per onde polarizzate parallelaente ed ortogonalente al piano di incidenza. Se l angolo di incidenza è tale che i raggi rifratto e riflesso forano un angolo di 9 o, R // : il raggio riflesso è totalente polarizzato.. Laine di ritardo introducono uno sfasaento fra l onda polarizzata in una direzione assegnata, detta asse della laina, e l onda polarizzata ortogonalente. Una laina di ateriale anisotropo ed uniassico, con asse nel piano della laina, agisce coe laina di ritardo perché i raggi ordinario e straordinario hanno al suo interno velocità diverse. Si noti che in tutti i casi occorre considerare separataente due coponenti del capo E, ortogonali tra loro. Si tenga ben presente che l intensità dell onda è funzione quadratica di E. Problea Si ostri che con la trasforazione p x v t ; q x v t l equazione di d Alebert f f v t x si trasfora nell equazione f / p q. Suggeriento. Basta applicare le forule di derivazione delle funzioni coposte; ad es. [ ( ) ( )] x f p x t q x t f p f q,,,. (.) p x q x Soluzione Ponendo p / x q / x nell Eq.(.) si ricava iediataente f / x ; derivando ulteriorente si ottiene: f f f f. x p p q q Le derivazioni rispetto a t sono analoghe, a ora p q v ; v. t t Quindi: f t f p v f p q v f q v. 6

153 Sostituendo nell equazione di d Alebert si ottiene iediataente f / p q. Coenti. ) L equazione trovata aette ovviaente coe soluzione una generica funzione della sola p (perché derivando anche rispetto a q si ottiene zero) o della sola q. Risulta quindi diostrato che f ( x, t) f ( x v t) f ( x v t) è soluzione dell equazione di d Alebert. Le funzioni f e f rappresentano onde che si propagano con velocità v lungo x, in versi opposti. Problea Si calcoli la velocità di fase v e la velocità di gruppo v g : a) dell onda elettroagnetica nel vuoto; b) delle onde elettroagnetiche nella ionosfera, sapendo che ω è legato a k dalla relazione ω ω p c k (.) dove ω p, detta frequenza di plasa, è una costante che dipende dalla densità degli elettroni; c) dell onda associata in eccanica quantistica ad una particella libera (cioè non soggetta a forze) che si uove con velocità u. c, sapendo che la frequenza f e la lunghezza d onda λ sono legate all energia cinetica U c della particella ed alla sua quantità di oto p dalle relazioni: U c hf ; p h / λ ; Suggeriento. Per calcolare v g nel quesito b), conviene differenziare l Eq.(.), ostrando che v v c. Nel quesito c) conviene ricavare pria la relazione fra U c e p. Soluzione g a) La velocità di fase è c, la relazione di dispersione ω c k, la velocità di gruppo dω vg c. dk b) v ω / k c ω / k > c. Differenziando l Eq.(.) si ottiene ω dω c k dk, da cui ω d ω c, e: k dk dω c c c vg < c. dk v c ω / k ω / ( ck) p c) Poiché la velocità v è olto inore di c, si possono usare per U c e p le espressioni non relativistiche: p U c u p p 7

154 Sostituendo U c con hf dispersione: quindi h h ω, p con h / λ k π π ω h k, π ω h p u v k k π ; d v ω h h p k k dk u g π. π, si ottiene la relazione di Coenti. a) L onda elettroagnetica nel vuoto è priva di dispersione, v g v. In effetti le uniche onde copletaente prive di dispersione sono quelle che si propagano nel vuoto, anche se la dispersione è trascurabile in olti altri casi (ad es. per le onde elastiche con lunghezza d onda olto aggiori delle distanze interolecolari). b) Si noti che v>c, entre v g <c; questo si verifica per olti altri tipi di onde e confera il fatto che nei ezzi dispersivi i segnali e le inforazioni non viaggiano a velocità v. c) Si noti che in eccanica quantistica l onda associata ad una particella ha velocità di fase diversa dalla velocità della particella (che coincide con v g, non con v). Problea Si calcolino la velocità di fase v e la velocità di gruppo delle onde che si propagano sulla superficie dell acqua degli oceani, sapendo che fra ω e k esiste la relazione T ω gk k, ρ dove g 9. 8 / s è l accelerazione di gravitá, T. 7 N / è la tensione superficiale, ρ Kg / è la densità. Si consideri solo i due casi liite in cui uno dei due terini a secondo ebro è trascurabile; più precisaente si considerino le due lunghezze d onda λ λ e λ λ o o /, dove λ o è la lunghezza d onda che rende uguali i due terini. Soluzione I due terini sono uguali per g k ρ o T ,. 7 π corrispondente ad una lunghezza d onda λ. 7. Per k o k o << k o, ovvero per lunghezze d onda olto aggiori di λ o, diventa doinante il terine gravitazionale, quindi:ω gk. Da cui: 8

155 ω gk v k k g k d ; v ω g g g dk k ( k v / ). Per λ λ, v 6. / s, v. 8 / s. o g Per k >>, ovvero per per lunghezze d onda olto inori di λ o, diventa doinante il k o terine di tensione superficiale, quindi ω T k. Da cui ρ ω T dω T v k ; vg k k ρ dk ρ Per λ λ o /, v / s, v. 7 g / s. T k ρ. Problea 4 La corda di una chitarra ha assa M, lunghezza L e viene tesa con una forza T. Ricordando che la velocità dell onda in una corda tesa è v T / ( ML), si calcolino: a) le frequenze f n su cui può oscillare; b) la lunghezza d onda del suono eesso nell aria dalla chitarra in corrispondenza della frequenza inia f. [ T N, L 5 c, 5 g, velocità del suono nell aria v 4 s / s ] Soluzione a) Le frequenze su cui la corda può oscillare corrispondono alle possibili onde stazionarie con nodi agli estrei della corda. Supponiao che all equilibrio la corda giaccia lungo il tratto (,L) dell asse x e che oscilli in direzione y. Iporre che l onda abbia dei nodi agli estrei equivale ad iporre alla funzione d onda y(x, t) le condizioni al contorno: y(, t) ; y( L, t). La pria condizione è autoaticaente soddisfatta se consideriao soluzioni dell equazione di d Alebert del tipo: y( x, t) y ( kx) o sin cos( ω t φ ) ; la seconda condizione iplica sin( kl ), ovvero: ω k L π f vk v π f π π π L dove,,,, v f T s L ML. 9

156 vs b) λ s 4.. f Problea 5 Con riferiento al Problea 4, si consideri la soluzione y( x, t) y ( kx) o sin sin( ω t) dove k π / L e si calcoli: a) la velocità u(x,t) con cui oscilla un generico punto della corda, nell istante t; b) l energia cinetica U c della corda nell istante t; c) il assio valore di U c (t). Suggeriento. Non si confonda la velocità u(x,t) dei punti della corda con la velocità v dell onda. Per rispondere al quesito b), si calcoli l energia cinetica du c del tratto dx di corda, di assa d ( M / L) dx, e la si integri. Soluzione a) y u( x, t) y ( kx) ( t) oω sin cos ω ; t b) M du u d ( y ( kx) ( t) ) L dx c oω sin cos ω L M U y ( t) ( kx) c oω cos ω dx L sin. L integrale è uguale a L/: lo si può diostrare in odi diversi, ad es. ponendo sin ( kx) [ cos ( kx) ] /. c) U c raggiunge il suo assio valore U c,ax negli istanti in cui cosω t ± ( in questi istanti y, cioè la corda è indeforata). Si ottiene: M U,ax y ω. 4 c o Coento. La corda possiede anche energia potenziale elastica, che auenta quando viene essa in oscillazione (perché la corda si allunga). Questo auento può essere considerato coe energia potenziale U p dell onda: l energia totale U t U c U p dell onda è costante, perché l energia totale si conserva, ed è uguale a U c,ax, perché negli istanti in cui U c è assia la corda è indeforata ed U p è nulla. Il problea fa capire che per calcolare l energia totale di un onda elastica è sufficiente calcolare la sua energia cinetica. Problea 6 Le onde acustiche in una canna d organo possono essere assiilate ad onde stazionarie, in cui le olecole dell aria oscillano lungo la canna.

157 a) Si calcolino le prie due frequenze proprie, supponendo che l estreità aperta corrisponda ad un antinodo, cioè ad un assio dell apiezza di oscillazione; b) si ripeta il calcolo supponendo di chiudere l estreità aperta, trasforando l antinodo in nodo. [lunghezza della canna L, velocità dell onda v / s ] Suggeriento. Si risponda pria al quesito b), che richiede calcoli del tutto analoghi a quelli del Problea 4, quesito a). Per il quesito b) si iponga la corretta condizione al contorno per l estreo aperto. Soluzione b) k L π ; k L π ; v f 5 s ; f f s L a) La presenza di un antinodo in xl iplica sin( kl ) ±, quindi: k L π ; k L π v f 5 s v ; f 75 s. 4L 4L Coenti. ) Si noti che cabiando le condizioni al contorno cabiano le lunghezze d onda e le frequenze proprie, che però riangono quantizzate, cioè possono assuere solo valori discreti. Questo si verifica per ogni onda che sia obbligata a rianere in uno spazio liitato. Questa seplice considerazione è stata di fondaentale iportanza per lo sviluppo della eccanica quantistica, suggerendo a de Broglie l ipotesi che ad ogni particella sia associata un onda la cui frequenza è proporzionale all energia della particella. La quantizzazione dell energia di particella confinate in spazi liitati (ad es. elettroni in un atoo), sperientalente ben verificata, riceveva così una spiegazione del tutto naturale. L onda associata ad una particella è detta onda di de Broglie. ) Quando si eccita un onda stazionaria nella canna d organo, si dice che questa entra in risonanza; la terinologia usata per gli struenti usicali è poi stata estesa a tutti i fenoeni oscillatori.. Problea 7 Durante la propagazione dell onda acustica nell aria, le olecole contenute nel volue eleentare dv oscillano con legge s( t) so sinω t, dove s è lo spostaento dalla loro posizione edia. Si calcoli: a) la assia velocità di spostaento delle olecole; b) la densità edia di energia dell onda, sapendo che questa coincide con la assia densità di energia cinetica (si veda il coento al Problea 5); c) l intensità dell onda, indicando con v la sua velocità di fase; d) il assio spostaento s o, supposta nota l intensità dell onda. Si effettui il calcolo nuerico per i due valori I in e I ax, che corrispondono alla inia e alla assia intensità ancora percepite coe suoni dall orecchio uano.

158 [frequenza f s ; densità dell aria ρ. kg / ; v 4 / s ; I W ; I W in / Soluzione a) La velocità è ax / ] ds( t) dt s ω cosω t, il suo valore assio è s o ω. b) La assa d contenuta nel volue dv è ρ dv, la sua assia energia cinetica è d( soω) ( ρ dv )( soω). La densità edia di energia u si ottiene dividendo per dv: u ρ s o ω. c) I uv ρ vs o ω. d) Lo spostaento assio è I s ; o ω ρ v per II in, s ; o per II ax, s 5. o Coenti. ) I in è detta soglia di udibilità, I ax soglia del dolore; entrabe dipendono dalla frequenza e dalla sensibilità individuale: i valori nuerici riportati devono quindi essere considerati indicativi. ) Si noti che uno spostaento delle olecole dell aria (e del tipano) dell ordine di -, inferiore alle diensioni atoiche, può ancora essere percepito coe suono. o Problea 8 L onda elettroagnetica eessa dal Sole arriva sulla Terra con un intensità edia I 8 s W /. Supponendo che età dell energia sia assorbita dall atosfera, si calcoli: a) la potenza in arrivo su un collettore solare di area A posto ortogonalente ai raggi solari. b) La potenza P o di eissione di una sorgente puntifore che, irradiando uniforeente in tutte le direzioni, genera un onda che a distanza r ha la stessa intensità della luce solare. [ A 5 ; r ]

159 Soluzione a) P du I A 79 W / 5 95 W. dt b) Per calcolare P o, basta calcolare l energia che attraversa nell unità di tepo la superficie sferica con centro nella sorgente e raggio r. Su questa superficie I è costante, v è parallelo a da, quindi: P I v da I da I o 4π r 79 W / 89 W. Coento. Si notino gli ordini di grandezza della potenza che si può ottenere sfruttando i raggi solari e la potenza che dovrebbe avere una lapada per illuinare a giorno un abiente. Problea 9 Alla distanza d T fra Terra e Sole l intensità della radiazione elettroagnetica eessa dal Sole ha intensità I T. Si calcoli: a) l intensità alla generica distanza d; b) la forza F esercitata su una particella sferica di raggio r, posta a distanza d T dal Sole, supposta perfettaente assorbente; c) il raggio r o che deve avere la sfera perché F sia uguale in odulo alla forza F G di attrazione gravitazionale, supponendo nota la densità ρ della particella. [ I 8 T W / ; ρ kg / ; assa del Sole M 99. kg ; costante gravitazionale G N / kg ; d T 59. ] Suggeriento. Per il quesito c) si ponga uguale ad il rapporto F/F G. Soluzione a) L intensità è proporzionale ad /d (si veda ad es. il Problea precedente, quesito b); quindi dt I I T ; d b) In prossiità della particella la sezione norale del tubo di flusso costituito dai raggi solari che intercettano la particella è π r, l ipulso trasferito da questi raggi alla particella nel tepo dt è dp ( I / c) π r dt, la forza F ha odulo dp I F dt c r T r I T π π dd c c) F G M GM 4π G r ρ ; d d.

160 F F G dt I T 4ρ cgm r r o o ; Coento. La presenza del vento solare fa sì che particelle piccole (ad es. le olecole di un gas) siano respinte dal Sole, non attratte. Questo spiega perché la coda delle coete tende ad allontanarsi dal Sole. Si noti che r o non dipende dalla distanza dal Sole Problea Si calcoli la forza F esercitata dai raggi solari su una superficie piana, perfettaente riflettente, di area A, la cui norale fora un angolo θ con i raggi solari, indicando con I l intensità dell onda. Soluzione Il tubo di flusso costituito dai raggi solari che intercettano la superficie ha sezione norale A n Acosθ. La quantità di oto trasportata da questi raggi nel tepo dt è dp ( I / c) A dt ; la quantità di oto trasferita alla superficie nel tepo dt è i n ( / ) ( ) dp dpi dpr I c An dt i r, dove i ed r sono i versori dei raggi incidenti e riflessi; i r è ortogonale alla superficie, ed ha odulo cosθ (per capirlo basta considerare le loro coponenti parallela e perpendicolare alla superficie). La forza F ha odulo: dp I F dt c A I c A n cosθ n cosθ. Coento. Si noti che si può cabiare la direzione della forza variando θ, esattaente coe per una vela investita dal vento. Il caso qui considerato, di superficie perfettaente riflettente, corrisponde al caso di utri perfettaente elastici delle olecole d aria sulla superficie della vela. Se si considera l aspetto corpuscolare dell onda, si coprende che non esiste una pressione esrcitata da un onda. Il doppio aspetto, 4

161 corpuscolare e ondulatorio, dell onda perette di calcolare la pressione con due etodi foralente diversi a equivalenti. Nella trattazione corpuscolare, si assiila l onda ad un insiee di particelle (fotoni) con velocità c, energia hf, quantità di oto hf/c. Problea Un onda elettroagnetica che si propaga in un ateriale lieveente conduttore si attenua perché cede parte della sua energia alle cariche di conduzione, ettendole in oscillazione. Si supponga che la velocità di deriva v d delle particelle di conduzione nel ezzo sia ad ogni istante proporzionale alla forza F E qe, dove E è il capo elettrico dell onda nello stesso istante, e si ponga v d µ qe. Si calcoli: a) l energia du ceduta dall onda alla carica nel tepo dt, che coincide con il lavoro della forza F E ; b) la forza F B esercitata sulla particella dal capo agnetico dell onda e la quantità di oto dp B acquistata dalla particella sotto l effetto di F B nel tepo dt; c) il rapporto du / dp B. Soluzione a) ( µ ) µ ( ) b) du F v dt qe qe dt qe dt. E d F q v B µ q E B ; dp F dt. B d Il odulo della quantità di oto è dpb µ q EB ; direzione e verso di dp B sono quelli del vettore E B : quindi dp B è parallelo e concorde con il vettore di Poynting. du µ q E E c) dp µ q EB B v, dove v è la velocità dell onda. Coenti. ) La particella acquista anche una quantità di oto dp E nella direzione di E, che però cabia segno ogni ezzo periodo e ha edia nulla ) Nel caso qui considerato, l onda è copletaente assorbita dal ezzo ateriale, a cui cede tutta la sua energia U e tutta la sua quantità di oto p. Si noti che si tratta di un caso liite, scelto per ricavare nel odo più seplice la relazione tra U e p, cioè per ostrare che nell onda elettroagnetica pu/v. Infatti l ipotesi che la velocità delle particelle v d sia in ogni istante proporzionale ad E non é ai rigorosaente verificata perché iplica che la forza d inerzia sia trascurabile (coe se la particella avesse assa nulla), e che la forza di attrito sia sepre uguale ed opposta ad F E. Se si tiene conto della assa delle particelle, e di eventuali forze elastiche, si trova per la particella un oto oscillatorio in cui la velocità non è in fase con il capo E. Al variare dello sfasaento si può passare da perfetto assorbiento a perfetta trasparenza, e possono intervenire altri fenoeni (riflessione, diffusione) che rendono più coplessi i bilanci di energia e quantità di oto. B B 5

162 Problea Due antenne a dipolo elettrico, assiilate a due sottili aste conduttrici identiche, di lunghezza L << λ, sono utilizzate coe generatore e ricevitore di onde elettroagnetiche. Si ostri che a parità di condizioni l energia del segnale in ricezione non cabia se si scabiano i ruoli delle due antenne. Si considerino i casi di: a) antenne coplanari (v. figura); b) antenne ortogonali alla loro linea di congiunzione e foranti un angolo θ fra loro. Suggeriento. Per l antenna trasittente, si consideri attentaente l Eq.(). Si noterà che tutte le grandezze che vi copaiono riangono invariate quando si scabiano I ruoli delle antenne, ad eccezione di θ ; per quella ricevente si tenga conto del fatto che è efficace la sola coponente di E nella direzione dell antenna e che l intensità è proporzionale al quadrato dell apiezza di questa coponente. Soluzione a) Se l antenna trasittente è a, l intensità dell onda in corrispondenza di a è proporzionale a sin θ, il capo E è ortogonale ad r ed oscilla con apiezza E o proporzionale a sinθ. La sua coponente efficace ha apiezza E o sinθ. L intensità di ricezione I R è quindi I R a sin θ sin θ, dove a è una costante che riane invariata quando si invertono i ruoli delle antenne. b) Il calcolo è del tutto analogo, l energia assorbita dall antenna ricevente è in ogni caso proporzionale a sin θ. Coenti. ) Il risultato qui ottenuto è un caso particolare di un teorea olto generale, detto di reciprocità, e può essere considerato coe un estensione al capo di radiazione della relazione già trovata per circuiti accoppiati induttivaente (cioè del fatto che la utua induttanza M riane la stessa quando si scabiano i ruoli dei circuiti). ) Il quesito b) fa capire che due stazioni possono trasettere sulla stessa banda di frequenze, sepliceente utilizzando antenne rispettivaente verticali ed orizzontali. In ricezione, la coutazione può essere effettuata ruotando di 9 o l antenna ricevente, od utilizzando un dispositivo con due antenne riceventi. 6

163 Problea Un fascio di luce attraversa tre laine polarizzatrici parallele, con assi paralleli, ed esce con intensità I o. Si calcoli l intensità di uscita I dopo che l asse della laina interedia è stato ruotato di un angolo θ nel piano della laina stessa. Soluzione La rotazione provoca una riduzione di un fattore cosθ del capo E dopo la seconda laina, perché è attiva la sua sola coponente parallela all asse, ed una riduzione dell intensità di un fattore cos θ, in accordo con la legge di Malus. La terza laina provoca un ulteriore riduzione dello stesso fattore cos θ, quindi I cos 4 θ. Coento. Il dispositivo agisce coe un attenuatore di fascio, che non altera il suo stato di polarizzazione. I o Problea 4 Un dispositivo è costituito da N laine polarizzatrici identiche e parallele, con assi ruotati di un angolo θ l uno rispetto all altro, in odo che l ultia laina ha l asse ruotato di un angolo Nθ rispetto alla pria. Di quanto si riduce l intensità di un fascio rispetto alla configurazione con assi paralleli? [Si ponga Nθ π / e si considerino i casi con N e con N ] Soluzione Il calcolo è del tutto analogo a quello del Problea : dopo la seconda laina l intensità è ridotta di un fattore cos θ. Dopo l ultia laina il fattore di riduzione è Per N, Per N, ( ) f cos θ. π θ, f 4 4 ; π θ, f. 78. N Coento. Per polarizzatori ideali ed N sufficienteente grande il dispositivo ruota il piano di polarizzazione della luce senza praticaente attenuarlo, cioè agisce coe un rotatore. Problea 5 7

164 Un fascio di luce non polarizzato incide su un atoo, ettendone in oscillazione gli elettroni. La luce diffusa dall atoo in una direzione che fora un angolo α con il fascio incidente è parzialente polarizzata. Il piano individuato dai raggi incidente e diffuso è detto piano di diffusione, α è detto angolo di diffusione. Si calcoli il rapporto fra le intensità I // e I in uscita da una laina polarizzatrice posta sul caino del raggio diffuso, con asse rispettivaente parallelo e perpendicolare al piano di diffusione. Suggeriento. Si considerino separataente le coponenti E // e E del capo E dell onda incidente, che hanno la stessa apiezza ed inducono oscillazioni con la stessa apiezza. Si calcolino le intensità delle onde diffuse ediante l Eq.(), pensando che tutte le grandezze che vi copaiono sono le stesse per I // e I, ad eccezione di θ. Si pensi infine che la laina polarizzatrice trasette la sola coponente parallela al suo asse, perettendo di isurare separataente I // e I. Soluzione Per polarizzazione parallela l angolo θ coincide con α, e I // a sin α, dove a è una costante; per polarizzazione perpendicolare θ π /, I a. (Può essere utile evidenziare gli angoli θ e α con due figure, riportando le direzioni dei raggi diretto e diffuso e della coponenti E // e E del capo E lungo i due raggi: questo facile copito è lasciato allo studente). Si ottiene quindi: I // / I sin α. Coenti. Per α π / la coponente I // è nulla: la luce diffusa è totalente polarizzata, con piano di polarizzazione ortogonale al piano di diffusione. In fotografia, si può sfruttare questo fatto per attenuare con un polarizzatore la luinosità dell atosfera. Si noti però che la luce diffusa dall atosfera non é ai totalente polarizzata a causa delle diffusioni ultiple: in direzione ortogonale ai raggi solari arriva anche la luce che ha subito due o più diffusioni da olecole diverse con angoli di diffusione diversi da π /. Problea 6 Un fascio di luce naturale di intensità I o incide su una laina di vetro con indice di rifrazione n. Si calcoli: a) l angolo di incidenza θ B sotto cui il raggio riflesso è totalente polarizzato (angolo di Brewster); b) il rapporto I // / I per il raggio che attraversa la laina dopo due rifrazioni, nota la riflettanza R 5. delle due superfici del vetro (in corrispondenza dell angolo di Brewster); c) il rapporto I // / I per un raggio che attraversa 8 laine identiche. Soluzione 8

165 a) L angolo di Brewster θ B soddisfa alla condizione θb θt π /, dove θ t è l angolo di rifrazione. Dalla legge della rifrazione si ricava sinθb sinθb n tanθb. sinθt sin ( π / θb ) b) Detta I o l intensità del raggio incidente, lo si scoponga idealente in due raggi polarizzati parallelaente e perpendicolarente al piano di incidenza, ciascuno con intensità I o /. Coponente parallela: sotto l angolo di Brewster R //, tutta l energia del raggio è rifratta (o trasessa), quindi: I // I o /. Coponente perpendicolare: il raggio riflesso dalla pria superficie ha intensità R I o R I o /, perchè l energia si conserva. Dopo la seconda superficie della laina il raggio rifratto è ulteriorente ridotto di un fattore R, e la sua intensità è /, quello rifratto ha intensità ( ) Si ha quindi: ( ) I I ( R ) 6 c) dopo le 8 laine I / I ( R ). I R I o /. / //. 75. // 74. Coento. Nel calcolo si sono trascurate le riflessioni ultiple all interno delle singole laine e fra laine consecutive; la correzione è counque piccola. Con olte laine si può ottenere luce polarizzata anche in trasissione, con il vantaggio che il raggio trasesso è parallelo a quello incidente. Problea 7 Un fascio di luce si propaga lungo l asse z di una terna cartesiana, all interno di un cristallo uniassico con asse ottico parallelo all asse y. Nel punto z le coponenti x e y del capo E dell onda variano nel tepo con leggi E x a sinω t, E y b sinω t, dove a e b sono due costanti. a) Si dica quanto valgono i vettori d onda ordinario k o e straordinario k e del ezzo, espriendoli in funzione del vettore d onda k del vuoto ed egli indici di rifrazione n o e n e. b) Si dica coe variano nel tepo le coponenti E x e E y del capo E nel punto z. c) Si calcoli la differenza di fase δ fra le onde ordinaria e straordinaria in z d. Soluzione a) Dalle relazioni v ω / k e v c / n, valide in generale, si deduce: 9

166 k ω ; k c b) E x a ( t koz) E y bsin( ω t kez). c) δ ( ω ) ( ω ) o ω ω nok ; ke nek. v c / n o o sin ω ; t k d t k d ( k k ) d ( n n ) k d. o e e o e o Coenti. Il problea fa capire che una laina di ateriale uniassico di spessore d agisce coe laina di δ n n k d π n n d / λ. Il prodotto nd è detto caino ritardo ed introduce uno sfasaento ( ) ( ) e o e o ottico, (n e -n o )d è la differenza dei caiini ottici. La laina è detta quarto d onda se δ ± π /, e la differenza dei caini ottici è detta ezz onda se δ π. Problea 8 a) Si consideri una laina quarto d onda in cui i raggi ordinario e straordinario sono polarizzati nelle direzioni x e y di un sistea cartesiano. Si dica quale è lo stato di polarizzazione della luce trasessa se il raggio incidente è polarizzato linearente lungo la bisettrice degli assi (x,y) che giace nel I e III quadrante. b) Si risolva l analogo problea per una laina a ezz onda. (Si supponga che tutta l energia dell onda sia trasessa, ignorando così le riflessioni alle due superfici della laina). Soluzione All entrata delle laine le coponenti E x ed E y di E hanno la stessa apiezza E o e sono in fase, all uscita sono sfasate; con una scelta opportuna dell origine dei tepi, possiao porre: E x Eo sinω t, E E sin( ω t δ ), dove δ è lo sfasaento. a) δ ± π / ; E ± E cosω t. y o La polarizzazione è circolare ed i due segni corrispondono a rotazioni opposte del vettore E. Per ostrare che la polarizzazione è circolare basta quadrare e soare ebro a ebro le due equazioni. Si ottiene: E E E x y o Interpretando E x ed E y coe le coordinate cartesiane del punto che rappresenta il vettore E, la relazione ostra che questo punto sta su una circonferenza di raggio E o. Per individuare il senso di rotazione, si considerino gli istanti t e un istante t iediataente successivo. Per t, E x ; il vettore E è diretto lungo y ed i due segni corrispondono a versi opposti. y o

167 Per t positivo e olto piccolo, E y è riasto invariato (a eno di infinitesii del secondo ordine rispetto a t), E x è positivo. Il vettore E è ruotato, con rotazione oraria per E y E o, antioraria per E y -E o. b) E E sin( ω t π ) E sinω t E. y o o x La polarizzazione è ancora lineare ed il vettore E è diretto lungo la bisettrice degli assi coordinati che giace nel II e IV quadrante, la cui equazione è y -x. Il piano di polarizzazione è ruotato di 9 o. Coento. La polarizzazione circolare è di grande interesse sia concettuale che applicativo. Qui ci liitiao ad osservare che un fascio di luce polarizzato circolarente possiede oento angolare L con odulo L U / ω, la stessa direzione del fascio, e versi opposti in corrispondenza di rotazioni opposte. Un fotone ha energia hω / π ; il suo oento angolare coincide quindi con la costante universale h / π, indipendenteente dalla frequenza dell onda.

168 CAPITOLO VIII INTERFERENZA E DIFFRAZIONE Preessa. ) a sin( ω t φ ) a sin( ω t φ ) a sin( ω t φ) dove, () a a a a a cos δ, δ φ φ. ( ) L equazione può essere ricavata analiticaente (basta utilizzare l identità sin α β sin α cos β cosα sin β, uguagliare separataente i coefficienti di sinω t e di cosω t, quindi ( ) eliinare φ sfruttando l identità sin φ cos φ ), oppure geoetricaente, rappresentando le funzioni sinusoidali ediante vettori piani (fasori). N Nδ ) a ( t n ) sin ω δ a sin ω t, () dove n a a sin ( Nδ / ). ( ) sin ( δ / ) Interferenza Si osservano fenoeni di interferenza quando due o più onde arrivano su uno stesso ricevitore con una differenza di fase che riane costante nel tepo, a che dipende dalla posizione del ricevitore (). Il ricevitore deve essere sensibile all intensità dell onda risultante, cioè fornire un segnale che dipende solo dal quadrato dell apiezza. Ad es. un onda acustica viene percepita dal nostro orecchio coe un segnale continuo se la sua frequenza è superiore a s -, ed inferiore a s -. In questo intervallo di frequenze l orecchio è sensibile all intensità dell onda. Spostando il ricevitore si percepiscono assii e inii di intensità che, nei problei proposti, possono essere calcolati ediante le Eq.,. In ottica i fenoeni di interferenza possono essere osservati sepliceente raccogliendo la luce su uno schero. Ogni punto dello schero dovrà essere considerato coe un ricevitore: si eviti l errore di soare onde in arrivo in punti diversi. L apiezza a che copare nelle Eq., è il capo elettrico, che viene trattato coe uno scalare: questo () Il caso in cui la differenza di fase vari nel tepo, con ricevitore fisso, richiede calcoli foralente identici: anziché di assii e inii di interferenza si preferisce però parlare di battienti.

169 iplica ovviaente che i capi associati alle diverse onde siano (o possano essere considerati in pratica) paralleli fra loro. Calcolo della differenza di fase Una differenza di caino d coporta una differenza di tepo t ed una differenza di fase φ, legate dalle relazioni: d t φ () λ T π dove T è il periodo e λ è la lunghezza d onda del ezzo. Per la luce si è soliti indicare con λ la lunghezza d onda nel vuoto: in un ezzo con indice di rifrazione n la lunghezza d onda è λ /n, e d / λ va sostituito con n d / λ ; n d è detto differenza di caino ottico. Per valutare la differenza di fase fra due onde in arrivo sul ricevitore, occorre anche tenere conto delle eventuali differenze di fase tra le sorgenti e, per i raggi riflessi, fra raggio incidente e riflesso: nella riflessione vetrosa si ha effettivaente una differenza di fase (uguale a π ) se e solo se i raggi incidente e riflesso stanno nel ezzo con indice di rifrazione inore. Fenoeni di diffrazione di Fraunhofer (raggi, sia incidenti che rifratti, paralleli tra loro) Fenditura rettangolare, con raggi incidenti ortogonali alla fenditura: sin φ / I I (4) φ / π dove φ d sin θ è la differenza di fase fra i raggi provenienti dai bordi della λ fenditura, d la sua larghezza, θ l angolo fra il fascio di raggi paralleli considerati e la norale alla fenditura. Il prio zero di intensità cade sotto l angolo θ R (angolo di risoluzione) dato dalla relazione d sinθ λ (5) Fenditura circolare: θ R e dato dalla relazione: Dsin θr. λ (6) dove D è il diaetro della fenditura. R Criterio di Rayleigh, due figure di diffrazione sono separate se le direzioni dei raggi forano un angolo superiore a θ R. Problea Sul nostro orecchio arrivano due onde acustiche con apiezza a o ed a, frequenze f o e f f o f, con f << f o. Se f < s -, l orecchio percepisce assii e inii di intensità (battienti). Si calcoli l intervallo di tepo t fra assii successivi.

170 [ f 68 s ; f 5. s ] o Suggeriento. Si utilizzino le Eq. ed, ricordando che ω π f ed interpretando δ coe un differenza di fase variabile nel tepo. Soluzione Con un opportuna scelta dell origine dei tepi il segnale risultante può essere così scritto: [ ] ao sinωot a sin ωot δ( t) dove ωo π f o, δ( t) π f t. L apiezza risultante soddisfa all Eq. ; il suo quadrato è quindi: ( ) ao a aoa cos π f t. L intensità è proporzionale al quadrato dell apiezza ed è quindi assia negli istanti in cos π f t. Si ha un assio per t ; il assio successivo cade nell istante t per cui π f t π. Risulta: t / f s. cui ( ) Coenti. ) L inverso di t è la frequenza di battiento, e coincide con f (differenza di frequenza delle due onde). Se f è aggiore di s -, l orecchio non percepisce assii e inii di intensità a un suono continuo, non puro (che può risultare sgradevole: si parla di dissonanza). ) Il fenoeno dei battienti segnala un eventuale piccola differenza di frequenza fra un segnale capione ed il suono eesso da uno struento usicale, e può essere utilizzato per accordare lo struento. Per gli struenti a corda si può utilizzare sia la pria aronica che una delle aroniche successive. Problea Due sorgenti sonore identiche ed in fase, di frequenza f, sono poste nei punti x e x d, il ricevitore è posto in x D, con D>d. Si dica: a) per quali valori di d si hanno asii di intensità; b) quale è l intervallo di tepo fra assii successivi se la seconda sorgente si uove lungo x con velocità v, sicché risulti d vt. [f 68 s -, velocità del suono v s 4 /s, v /s] Soluzione a) Per l Eq., si hanno assii quando la differenza di fase è un ultiplo intero di π, e quindi, per l Eq., quando d λ,, ±, ± (.) dove λ v T v / s s f. 5.

171 b) Si continuano ad avere assii quando d soddisfa all Eq.(.). Si hanno due assii successivi per d e d λ, corrispondenti agli istanti t e t v s λ /. 5 / s. Coenti. ) Si noti l analogia con il Problea : l onda eessa dalla sorgente in oto arriva sul ricevitore con frequenza diversa da f (effetto Doppler-Fizeau); la frequenza auenta se sorgente e ricevitore si avvicinano, diinuisce nel caso opposto. La luce proveniente da Galassie lontane è spostata verso il rosso: f diinuisce, le Galassie si allontanano. ) Per le onde acustiche la variazione di frequenza non dipende solo dalla velocità relativa della sorgente rispetto al ricevitore, a dalla velocità di sorgente e ricevitore rispetto al ezzo in cui l onda si propaga (cioè l aria). Per le onde elettroagnetiche nel vuoto interviene invece la sola velocità relativa sorgentericevitore, in accordo con la teoria della relatività. Problea Si consideri il dispositivo interferenziale rappresentato in figura, supponendo la sorgente S puntifore e onocroatica, e la distanza D così grande che i raggi in arrivo nel generico punto P dello schero possano essere considerati paralleli. a) Si calcolino i valori di y corrispondenti ai assii di ordine zero ed uno. b) Si consideri una seconda sorgente S identica, posta sull asse y : è possibile che questa sorgente, da sola, generi una figura di interferenza i cui assii coincidano con quelli calcolati in a)? c) Detta I(y) l intensità che si ottiene con la pria sorgente, I (y) quella con la seconda sorgente, quale è l intensità quando sono presenti entrabe le sorgenti? [ λ. 5 µ ; distanza fra le fenditure d µ ; D 4 c] 4

172 Soluzione a) Le fenditure si coportano coe sorgenti coerenti ed in fase; la differenza di caino fra i raggi in arrivo in P è d sinθ si ottiene il assio di ordine zero se d sin θo, θo ; yo ; il assio di ordine uno se λ d sinθ λ ; θ sin. 5 rad ; y D tanθ c. d b) Le fenditure si coportano coe sorgenti coerenti a sfasate, con differenza di fase π ' ' ' ' δ ( d d), dove d e d sono le distanze di S dalle due fenditure. Se δ π λ (o un ultiplo intero di π ), le sorgenti si coportano coe se fossero in fase: i assii di interferenza cadono esattaente nelle stesse posizioni considerati in a. Questo si verifica per y' c (i calcoli sono identici a quelli già effettuati in a). c) L intensità risultante è la soa delle due intensità. Coenti. ) Nel punto di ezzo fra y' ed y' c, cioè per y' 5. c, i assii di S cadono in corrispondenza dei inii di S; se sono presenti entrabe le sorgenti, lo schero appare uniforeente illuinato. ) Una sorgente luinosa estesa può sepre essere scoposta idealente in sorgenti puntifori: si coprende quindi che con una sorgente estesa lo schero possa apparire uniforeente illuinato. Nel caso qui considerato, una sorgente reale può essere supposta praticaente puntifore se le sue diensioni sono piccole rispetto al valore y.5 considerato nel coento. Problea 4 Su un ricevitore arrivano tre onde di uguale apiezza a ed intensità I, e sfasaenti tali che la perturbazione risultante può essere così rappresentata: y a [ t ( t ) ( t ) sinω sin ω δ sin ω δ ]. Detta I l intensità risultante, ed utilizzando il etodo dei fasori, si calcoli: a) il inio valore di δ per cui I I ; b) il inio valore di δ per cui I ; c) I per δ π e δ π ; d) si rappresenti infine l andaento qualitativo di I in funzione di δ. 5

173 Soluzione a) Si ottiene a a ed I I per δ π / : la poligonale dei fasori è infatti un quadrato. b) La poligonale dei fasori è un triangolo equilatero, δ π /. c) Per δ π due fasori sono opposti e si elidono a vicenda; a è quindi uguale all apiezza a del terzo, I I. Per δ π i fasori sono allineati (coe per δ ): risulta a a ed I 9I. d) Il diagraa è periodico, con periodo δ π. 6

174 CAPITOLO IX TERMODINAMICA Definizioni Capacità terica C' dq. () dt Calore specifico c dq dt. () dq Calore terico olare C () n dt Dove è la assa, n è il nuero di oli. Teperatura Scala delle teperature del gas ideale p T 76. K li (4) ptr ptr (V cost; p tr è la pressione al punto triplo dell acqua); scala Celsius T C T 75. K. (5) Prio principio du dq dl (6) dq è il calore fornito al sistea e dl è il lavoro fornito dal sistea: la relazione può essere assunta coe definizione della funzione di stato U che rappresenta l energia interna del sistea. Rendiento di un otore terico per il ciclo di Carnot reversibile η T T ( T > T ) η lavoro effettuato ; (7) calore assorbito /,. Coefficiente di prestazione (o di efficienza) della acchina frigorifera: Q K ; (8) L dove Q è il calore estratto alla cella frigorifera. Entropia S per trasforazioni reversibili. S f f dq Si (9) T i

175 Entropia e secondo principio L entropia dell universo (sistea abiente) riane invariata se tutte le trasforazioni sono reversibili, auenta in caso contrario. Gas ideali Equazione di stato pv nrt. () R è la costante universale dei gas. Velocità olecolare quadratica edia k BT RT vq M () dove k B R / N A (costante di Boltzann), è la assa della olecola, M N A è la assa olare e N A è il nuero di Avogadro (nuero di olecole in una ole). Energia interna U n f RT () (f è il nuero dei gradi di libertà: per i gas onoatoici, 5 o 7 per quelli biatoici). Capacità teriche olari A volue costante C fr / ; a pressione costante C C R. () V Equazione dell adiabatica reversibile: pv γ costan te ; γ C / C. (4) P p V V Problea Si deterini: a) l energia interna di n oli di idrogeno a teperatura T e le sue capacità teriche olari C V e C P ; b) l energia edia E di una singola olecola e la sua velocità quadratica edia (si supponga che la olecola possiede gradi di libertà traslazionali e due rotazionali); c) la velocità quadratica edia dell elio He (assa olare 4 g ole - ) e dell argon Ar (assa olare 4 g ole - ). [T K, n] Soluzione

176 5 a) U nrt 6 J ; du 5 CV R. 77 J / K ; n dt CP CV R 9. 8 J / K. 5 b) E k B T U / N A. 5 J ; per il calcolo della velocità edia, occorre considerare la sola energia traslazionale, ponendo v k T B, dove è la assa di una singola olecola. La assa olare dell idrogeneo e g ole -, si ottiene: k BT RT vq M 8. J ole K K 94 / s.. kg ole c) I calcoli sono del tutto analoghi e si trova v 67 / s per He; q v q 4 / s per Ar. Coento. Il calcolo effettuato in b) giustifica il fatto che l idrogeno, che è l eleento più abbondante nell universo, sia praticaente assente nell atosfera terrestre: la sua velocità quadratica edia è aggiore delle velocità quadratiche edie di tutte le altre olecole, ed è quindi quella che più si avvicina alla velocità di fuga dei corpi dal nostro pianeta (che è di. k/s). Le olecole di idrogeneo presenti negli strati superiori dell atosfera che raggiungono la velocità di fuga possono sfugire all attrazione terrestre. Le stesse considerazioni valgono per i gas rari: nell universo l elio è il più abbondante, nell atosfera è praticaente assente; al contrario, l argon è relativaente abbondante (~%). Problea Si calcoli l auento di teperatura dell acqua di uno stagno di profondità h in una giornata di Sole di durata t, indicando con S il valor edio del vettore di Poynting, con θ il valore edio efficace dell inclinazione dei raggi solari rispetto alla verticale durante la giornata, e supponendo che solo una frazione η dell energia incidente sulla superficie dello stagno sia assorbita dall acqua. [h ; S 8 W / s ; θ 6 ; t ore; η.] Soluzione Detta A l area dello stagno, l energia incidente è W S cosθ A t, la capacità terica dell acqua è C' c cρ V cρ Ah. L auento di teperatura è

177 W S A t T η cos θ. η. C' c ρ A h Ricordando che c cal / g K 486 J / kg K, ρ kg /, si ottiene: 4 8 J s s. T. 4 K. 486 J kg K kg Problea In un recipiente adiabatico con volue V è contenuto azoto con densità ρ. Detti M la assa olare ed f il nuero di gradi di libertà di ogni olecola, si calcoli il t epo t richiesto per auentare la teperatura di T con una stufa elettrica di potenza P. [V 6 ; ρ. kg / ; M 8g / ole; f 5; T 5K; P kw ] Soluzione Vale la relazione Pt C' T, dove Pt è l energia fornita alla stufa, C nc V la capacità terica del gas, n ρ V / M assa/ assa olare è il nuero di oli, C V 5R/ è la capacità terica olare a volue costante. Risulta: ncv T ρ V 5 R T t P M P. kg J ole K 5 K 8 g ole W 44 s 7. in Coento. Il calcolo fornisce l ordine di grandezza del tepo che ipiega una stufa elettrica a riscaldare l aria di una stanza. Si noti però che si continua ad avere sensazione di freddo fino a che non si riscaldano anche le pareti e gli oggetti contenuti nella stanza, perché alla sensazione di caldo o freddo contribuisce in odo deterinante l energia elettroagnetica eessa dagli oggetti solidi contenuti nell abiente (che auenta approssiativaente con legge T 4, dove T è la teperatura assoluta). Questo fatto spiega anche la sensazione di freddo che si prova in prossiità di larghe vetrate. Problea 4 Una ole di un gas ideale biatoinco (γ CP / CV 4. ) si espande adiabaticaente e reversibilente fino a diezzare la pressione. Si calcoli: a) la teperatura finale T f, nota quella iniziale T i ; b) le energie interne iniziale e finale, supponendo che le olecole possiedano 5 gradi di libertà; 4

178 c) il lavoro L effettuato dal gas sull esterno, supponendo nota la sua pressione iniziale p i. [T i 8 K; p i 5 Pa] Soluzione a) Utilizzando l equazione di stato pv nrt per eliinare V dall equazione γ ( γ )/ γ pv cos t dell adiabatica reversibile si ottiene T p cos t., da cui ( ) pi Tf Ti γ / γ K K p f b) Dalla relazione U 5nRT / si ottiene: U i 58. kj ; U f kj. c) Il lavoro può essere calcolato direttaente, utilizzando le equazioni Si ottiene V f γ γ L pdv ; pv p V. V Vi f γ γ γ γ V f L pv i i V dv pv i i [ V ] γ Vi Vi [ ] ( ) γ γ γ pv i i Vf Vi p fv f pv i i. γ γ L equazione di stato fornisce V RT / p. ; V RT / p. 8 i i i i i f f f quindi Eint 4. k J. È però più seplice utilizzare il prio principio della terodinaica Eint Q L (L copare col segno perché è il lavoro effettuato dal gas sull esterno). La trasforazione è adiabatica, quindi: L U U 4. kj. f i Coenti. ) Nelle correnti ascensoniali dell atosfera la trasforazione di una generica assa d aria può essere considerata in pria approssiazione adiabatica e reversibile: l aria si raffredda. Alla quota di 7 k la pressione è circa diezzata e la teperatura edia è di circa 4 K inferiore alla teperatura edia al livello del are. Nel calcolo qui effettuato la diinuizione è di 5 K: si pensi però che in condizioni di equilibrio terico la teperatura sarebbe unifore, e che sono sepre presenti olti eccanisi che tendono a portare un sistea all equilibrio terico. ) Le espansioni adiabatiche vengono utilizzate in criogenia per raffreddare i corpi. ; Problea 5 Una assa di acqua a teperatura T To T viene versata in una uguale assa d acqua a teperatura T To T. Si calcoli la variazione di entropia del sistea supponendo che il calore specifico c dell acqua sia indipendente da T. 5

179 Soluzione La teperatura finale è T o, la variazione di entropia è la soa delle variazioni che si ottengono portando reversibilente una assa di acqua da T a T o ed un uguale assa da T a T o. Ricordando che dq cdt, si ha: S f T T o o dq dq To To Si c T ln ln T T T T T T T o o c ln c ln >. T T T ( T) o Coenti. ) La trasforazione è adiabatica ed irreversibile, S f > S i : l auento di entropia che si ottiene rappresenta l entropia di escolaento. ) I problei in cui e richiesto il calcolo della variazione di entropia nel passaggio di calore da un corpo caldo ad uno freddo si risolvono in odo analogo: si calcola pria la teperatura finale, quindi la variazione di etropia di ciascun corpo. Problea 6 Un recipiente è diviso da una parete obile in due parti uguali, ciascuna con volue V. a) Si calcoli la variazione di entropia di una ole di un gas ideale, inizialente contenuto in una delle due parti, quando si solleva la parte obile (si supponga che il processo sia adiabatico); b) si effettui l analogo calcolo, supponendo che inizialente ciascuna delle due parti del recipiente contenga una ole di gas, e che i gas siano diversi. Soluzione a) Gli stati iniziale e finale del gas hanno la stessa energia interna, per il prio principio della terodinaica, ed hanno quindi la stessa teperatura. Possiao quindi calcolare la variazione di entropia considerando la trasforazione isotera che collega i due stati, ponendo dq dl (in quanto du ); e dq dl ds T T T pdv RT T V dv R dv ; V V S S R dv f i R ln 9. R 5. J / K V V b) La variazione di entropia del prio gas è identica a quella calcolata in a), cioè non dipende dalla presenza o eno di un altro gas nel secondo recipiente. La variazione di entropia del secondo gas è identica, quindi S R ln. Coento. Il calcolo effettuato in b) fornisce il caso tipico di entropia di escolaento. Si noti che se i due gas fossero identici non si avrebbe nessuna variazione di entropia: infatti lo spostaento delle olecole di uno stesso gas da un recipiente all altro (con pressioni e teperature identiche) è un processo reversibile, entre la diffusione di un gas in un altro gas è un processo irreversibile. 6

180 Problea 7 Sottraendo con una popa a vuoto i gas di vaporizzazione dell elio liquido, se ne abbassa la teperatura. Detta i la assa iniziale dell elio a teperatura T i, si calcoli la assa finale f di liquido quando la sua teperatura ha raggiunto il valore T f. Si indichi con K il valore di vaporizzazione, con c la capacità terica in fase liquida e si supponga che il processo sia adiabatico. [ K Jg ; c 4 Jg K ; i kg ; T i 4.5 K; T f.5 K] Soluzione Il calore dq K d ceduto dal liquido durante la vaporizzazione di una assa d è uguale al calore dq c dt necessario per variare di dt la teperatura della assa di elio ancora presente in fase liquida (si noti che dq, d, dt sono tutti negativi). Dall eguaglianza K d c dt si deduce d c K dt che integrata fra gli stati iniziale e finale fornisce [ ( )] exp ck T T kg exp( 74. ). 84 kg. f i f i Coento. Per raggiungere teperature olto basse si utilizzano di solito processi adiabatici che coportano un abbassaento di teperatura: espansione adiabatica di un gas, vaporizzazione adiabatica di un liquido, sagnetizzazione adiabatica di una sostanza paraagnetica,.. Il problea fa riferiento ad una delle trasforazioni più utilizzate intorno ad una teperatura di 4 K (se si vuole calcolare correttaente T su un intervallo più apio di teperature occorre tenere conto del fatto che c e K dipendono dalla teperatura). A teperature inferiori al grado Kelvin è olto utilizzata la sagnetizzazione adiabatica. Problea 8 Si calcoli l entropia S f di n oli di un solido onoatoico a teperatura T f supponendo note le corrisponedenti grandezze S i e T i, e supponendo che la sua capacità terica olare C sia: a) costante ed uguale a R; b) uguale ad at, dove a è una costante. Soluzione 7

181 f Tf dq nc dt a) S f Si n R ( Tf Ti ) T ln /. T f na b) S f Si na T dt ( T f T i ) i T Ti Ti Coenti. ) Il calore olare dei solidi è pressoché costante a teperature sufficienteente elevate e tende a zero per T che tende a zero. Si noti che l espressione trovata in b) perette di porre S i per T i, e fornisce na S ( T ) T, entre il calcolo a) perde significato quando si pone T i. ) Il risultato b) è in accordo con il terzo principio della terodinaica, che può essere così forulato: la variazione di entropia di un corpo per una trasforazione reversibile tende a zero per T che tende a zero. Una delle conseguenze più iportanti del terzo principio è la seguente: nessun sistea può essere portato allo zero assoluto con un nuero finito di operazioni (questa afferazione può essere assunta coe forulazione alternativa del principio stesso). Per coprendere la relazione fra i due enunciati si considerino gli andaenti di S in una sostanza paraagnetica per due diversi valori del capo B, e si pensi che per abbassare la teperatura si operano le trasforazioni rappresentate in figura (si veda il coento al Problea precedente).. Problea 9 In n oli di un gas ideale onoatoico lieveente conduttore si anda corrente per un tepo t ediante due elettrodi collegati ad un generatore di f.e... Detta T i la teperatura iniziale, si calcolino le variazioni di teperatura, energia interna ed entropia in un processo adiabatico, supponendo costante: a) il volue V del gas; b) la pressione p del gas. Soluzione Il lavoro L e fornito sotto fora di energia elettrica ha in entrabi i casi odulo 8

182 L e I t. a) La variazione di energia interna è U It ; la variazione di teperatura è U It T, ncv n R / perchè i gas ideali onoatoici hanno un energia interna U nc V T. Per il calcolo di S occorre considerare una trasforazione reversibile fra gli stessi stati estrei. Si ottiene T f f dq nc dt T V f S ncv T ln. T T i Ti b) Il lavoro coplessivo fornito al gas nel tepo dt è: dl Idt pdv e coincide con la variazione di energia interna du ncv dt. Differenziando l equazione di stato pvnrt, con p costante, si ottiene pdv nrdt ; uguagliando du a dl si ottiene poi: nc dt Idt nrdt, V ( ) n CV R dt IdT. Ricordando che C V R C p, ed integrando, si ottiene It T. nc p (Si arriva più breveente allo stesso risultato pensando che agli effetti pratici è coe se si fornisse al gas una quantità di calore Q It e ricordando la definizione di C p ). CV U ncv T It It, C 5 T f f dq nc pdt Tf S nc p T ln. T T i Ti Coenti: L energia fornita al gas per effetto Joule gioca in questo problea lo stesso ruolo di un calore fornito, a deve essere considerata coe un lavaro : il calore è infatti per definizione lo scabio di energia derivante da una differenza di teperature. Problea Un otore terico lavora in ciclo di Carnot, scabiando calore con l abiente esterno, a tepratura T, e con un terostato con capacità terica C e teperatura iniziale T > T. Calcolare il lavoro totale L che si può ottenere, supponendo che tutte le trasforazioni siano reversibili e che l abbassaento di teperatura del terostato durante un singolo ciclo sia trascurabile agli effetti del calcolo del rendiento del ciclo. [ T T 6 K, C 8 J / K ] p i i 9

183 Soluzione Durante il funzionaento del otore la teperatura T del terostato si abbassa: non si ottiene più lavoro quando T ha raggiunto la teperatura abiente T. Le ipotesi del problea consentono di considerare coe quantità infinitesie sia la variazione dt di teperatura durante un singolo ciclo che il calore dq C dt ceduto dal terostato, e di supporre che il rendiento dl/dq del ciclo sia uguale a ( T T) /. Si ha quindi: T dl T dq T T C dt T T C ( dt ) ( dt dt perché la teperatura del terostato si sta abbassando). Il lavoro totale si ottiene integrando quest espressione fra le teperature iniziale e finale del terostato: T T T 8 8 L CdT C T T T J J T ln ( ) ( ln ) 9. T T

184 ESPERIENZE DI LABORATORIO ) Confronto di resistenze con il etodo del ponte di Wheatstone. Le resistenze R x e R o da confrontare sono inserite nel circuito rappresentato in figura, dove c è un cursore obile. R e R sono le resistenze dei tratti bc e cd di un unico conduttore filifore oogeneo e di sezione costante, sicché il rapporto R /R è uguale al rapporto / tra le loro lunghezze. Spostando il cursore si può fare sì che risulti: Rx R. () Ro R Condizione necessaria e sufficiente affinché si realizzi questa uguaglianza è che i punti b e d siano allo stesso potenziale. La condizione V b V d equivale infatti alle due condizioni V ab V ad e V bc V dc. Queste equivalgono a loro volta a Rxi' Roi'', () Ri' Ri'', e quindi alla (). Per verificare la condizione V a V b basta controllare che in un aperoetro olto sensibile (ovvero un galvanoetro balistico od un illiaperoetro) inserito fra a e b non passi corrente. L aperoetro è usato coe struento di zero ed ha la stessa funzione di un voltetro olto sensibile. R( t) Supposto noto R o e isurate le lunghezze e, l equazione () fornisce per la resistenza incognita R x :

185 R x R o. () Calcolo dell errore. In ogni isura, in particolare nelle isure indirette, la stia dell errore è sepre olto delicata. Ci liitiao qui a calcolare l errore R x causato dagli errori di isura di e, trascurando tutte le altre cause di errore (deviazione di R o dal valore noinale; effetto della possibile differenza di teperaura fra le resistenze R e R, causata dal diverso valore delle correnti i e i ; effetto della resistenza dei fili di collegaento, che è tanto aggiore quanto inore è R x ;.). Gli errori e sono evidenteente uguali perché derivano da un unica isura, che consiste nel valutare la posizione del cursore c che annulla la corrente nell aperoetro. Valutato, si ha: Rx (4) Rx È evidente che l errore della isura è grande se una delle due lunghezze e è olto piccola; poiché è fissato, un auento di una di queste grandezze coporta una diinuzione dell altra. Per ridurre l errore conviene far sì che sia circa uguale a e, per l equazione (), che R x sia circa uguale a R o. Per poter realizzare questa condizione sono disponibili più resistenze capione, ed una resistenza variabile. Variazione della resistenza con la teperatura. La variazione di resistenza con la teperatura perette di utilizzare il ponte coe teroetro. La resistenza incognita è quella di un filo di platino che a C ha una resistenza di Ω, disponibile in coercio con la sigla Pt. Nell intorno di questa teperatura la sua resistenza è R( t) Ro α t (5) dove t è la sua teperatura in gradi Celsius, R o Ω, α. 9 Ω/ C. Misurata R(t) con il etodo del ponte, si ricava t dall equazione (5). Per isurare t con una precisione dell ordine del grado centigrado con gli struenti in dotazione sono richieste particolari cautele, cercando una copensazione fra le diverse cause di errore (ad es. per quanto riguarda le resistenze dei fili di collegaento). Per questo otivo, è anche disponibile un apparecchiatura già copensata, contenente al suo interno tutti gli struenti necessari alla isura (a cui vanno collegati i tre fili uscenti dal cilindretto contenente la resistenza di platino, rispettando i colori delle boccole), su sui si legge la grandezza α t R( t) R o. È così possibile valutare il tepo necessario al raggiungiento dell equilibrio terico fra il cilindretto ed il corpo di cui si vuole isurare la teperatura, e controllare le isure effettuate con il ponte.

186 ) Studio della risonanza in un circuito LCR. Nel circuito rappresentato in figura la carica q sulle arature del condensatore soddisfa all equazione L d q R dq dt dt C q t cosω, () la cui soluzione q(t) può essere scritta coe soa della soluzione generale dell oogenea associata e di una soluzione particolare dell equazione copleta. La pria, tendente a zero per t, descrive il regie transitorio, che nell esperiento si estingue in pratica in un tepo brevissio (inferiore al secondo) e pertanto non viene presa in considerazione. Riane solo la soluzione particolare, la cui derivata dq/dt è la corrente nel circuito, che può essere così scritta: i( t) i cos( ω t φ ) () dove: i Z ( ω ), tan ( ) ( ω) φ ω X, (, ) R con Z( ω) R X ( ω), X ( ω) ωl. (4, 4 ) ω C Z(ω) è l ipedenza del circuito, X(ω) la sua reattanza. Variando ω con prefissato, l apiezza i presenta un assio in corrispondenza di ω o, (5) LC Se R è sufficiente piccolo il assio è olto accennato, ed una piccola sollecitazione può eccitare una corrente intensa: si dice che il circuito è in risonanza. I fenoeni di

187 risonanza si verificano in tutti i sistei fisici capaci di oscillare, quando vengono sottoposti ad una sollecitazione periodica con periodo uguale o circa uguale alla frequenza propria di oscillazione del sistea. Questi fenoeni sono di grande interesse sia concettuale che pratico, ed il loro studio può essere effettuato siulando il sistea ediante un circuito elettrico equivalente. Ad es., l equazione () è del tutto equivalente, dal punto di vista analitico, all equazione: d x dx γ κx F cos ω t (6) dt dt che descrive le oscillazioni forzate di una particella di assa soggetta ad una forza elastica κ x e ad una resistenza viscosa proporzionale alla velocità. Studio della curva di risonanza. Conviene considerare l andaento del rapporto i / al variare di ω, cioè della funzione:, X ( ω) ωl. (7) Z( ω) R X ( ω) ω C È iediato verificare che questa funzione: si annulla per ω e ω ; è assia, ed uguale a /R, per ω ω o ; infatti a questa frequenza la reattanza X(ω) è nulla e l ipedenza Z(ω) raggiunge il suo inio valore; ha una larghezza che dipende unicaente dal rapporto R/L. A isura della larghezza possiao considerare l intervallo ω ω, dove ω e ω sono i valori di ω per cui il odulo della reattanza diventa uguale alla resistenza: ω L ω C ±R. (8) /Z(ω) /R /R ω ω o ω ω

188 La (8) può essere scritta nella fora Lω ± Rω / C ed aette le soluzioni: R ω ± ± R L L LC Interessano le due soluzioni positive: R ω R L L LC (8 ) R ω R L L LC. e la loro differenza ω ω R / L (9) Il rapporto ωo / ( ω ω) ωo L / R è detto fattore di erito dell oscillatore. Coenti. A isura della larghezza della curva di risonanza si può assuere l intervallo fra i valori ω ' e ω ' di ω che diezzano la sua altezza assia (larghezza a età altezza), e che soddisfano all equazione X ( ω ) R : si trovano ancora le equazioni 8 e 9, con R sostituito da R. ω È iediato verificare che l intervallo ω curva che rappresenta i Misure consigliate / / Z ( ω ). (8 ) coincide invece con la larghezza a età altezza della a) Si verifichi l andaento qualitativo della curva i ( ω ) a prefissato, variando ω ed osservando sul onitor dell oscilloscopio l apiezza della funzione sinusoidale i( t). L oscilloscopio deve essere collegato ai capi del resistore: si isura così V ( t ) R Ri ( t ). b) Si riporti in diagraa l andaento della curva i ( ω ) ad prefissato, infittendo i punti in corrispondenza del suo assio; si controlli che in questo punto le funzioni sinudoidali V ( R t ) ed ( t ) siano in fase, in accordo con la ( ). c) Si isuri L supposto noto R, ediante la relazione (9), che fornisce: R L () ω ω La differenza ω ω può essere ricavata coe larghezza a età altezza dalla curva i ( ω ). d) Si calcoli l errore relativo L / L dalla relazione: L R ( ω ω) R ω ω L R ω ω R ω ω e) Si isuri C e si valuti l errore C, utilizzando la relazione (5). Soluzione dell equazione (). ()

189 La soluzione particolare ha la fora q( t) q sin( ω t φ ). Con un cabiaento di origine sull asse dei tepi si può scrivere q( t) q sinω t, ( t) cos( ω t φ ) ; la () fornisce poi: Lω q t R q t C q t t t sinω ω cosω sinω cosφ cosω sinφ sin ω Uguagliando separateente i coefficienti di sinω t e di cosω t si ottiene: L C q ω sinφ () Rω q cosφ Si ottiene l incognita q quadrando e soando le due equazioni, e l incognita tanφ uguagliando i rapporti fra i due ebri; derivando q(t) si ricava poi i(t). L equazione oogenea associata si integra con il etodo standard per le equazioni differenziali a coefficienti costanti. La soluzione generale può essere scritta nella fora: R q( t) exp ( ) L t a cos ω' t b sin ω ' t () dove ω' ω R o, ( ) L a e b sono le due costanti arbitrarie. Per i(t) valgono relazioni foralente identiche. Per ω', la funzione b sinω ' t è identicaente nulla e va sostituita con bt. Se ω' è reale la () rappresenta un oscillazione sorzata. Si noti la stretta relazione fra la costante di sorzaento R/L dell oscillazione libera e la larghezza della curva di risonanza dell oscillazione forzata.

190 ) Misure della lunghezza d onda con il reticolo di diffrazione Si invia sul reticolo un onda piana in condizioni di Fraunhofer e si analizza la luce diffratta in terini di onde piane (cioè raggi paralleli). La luce incidente è quella di un laser ed è già approssiativaente piana. Per la luce in uscita, si utilizza una lente convergente ed un vetrino posto nel piano focale posteriore della lente, ontati su un gonioetro. L asse ottico della lente deve passare per l asse di rotazione del gonioetro. Se il raggio incidente è ortogonale al reticolo, la figura di diffrazione presenta dei assii olto accentuati (assii principali) in corrispondenza di angoli θ che soddisfano alla condizione: a sinθ λ,, ±, ±,...; () dove a è la costante del reticolo. Se il reticolo è costituito da striscie alternativaente trasparenti ed assorbenti, a è la distanza fra i centri delle striscie trasparenti, che possono essere assiilate a fenditure. Nota a e isurato θ, si ricava λ.. L errore è λ a cosθ λ θ θ. () θ Osservazioni. ) L Eq.() è valida solo per incidenza norale: si osservi l effetto di una rotazione del reticolo intorno ad un asse verticale. Si noterà che la direzione del assio di ordine zero riane invariata, che gli altri raggi si allontanano (coe se diinuisse la costante del reticolo) e che la figura di diffrazione non è più sietrica. ) Qualunque struttura periodica può dar luogo a assii di diffrazione. Con due reticoli di diffrazione vicini, ruotati di 9 o l uno rispetto all altro, si realizza una struttura periodica bidiensionale: si osservino le posizoni dei assii, proiettandoli su un foglio o sul uro. La figura di diffrazione che si ottiene dà un idea della figura di diffrazione, ovviaente più coplessa, fornita da un reticolo tridiensionale (ad es. diffrazione dei raggi X da parte di un cristallo). La condizione di assio, cioè l equivalente dell Eq.(), è la legge di Bragg. 4) Polarizzazione della luce Schea dell apparecchiatura Il fascio di luce che esce dal laser (L) attraversa una pria laina polarizzatrice (polarizzatore P), il portacapioni (P c ), una seconda laina polarizzatrice (analizzatore A) ed è rivelato da un fotodiodo (F). In assenza di fotodiodo il fascio laser può essere inviato su un capione posto sulla piattafora girevole. 7

191 Esperienti qualitativi a) Polarizzazione per riflessione. La riflettanza, definita coe rapporto fra le intensità delle onde riflessa ed incidente, dipende dallo stato di polarizzazione dell onda incidente, oltre che dall angolo di incidenza. Siano R // e R le riflettanze per onde con piani di polarizzazione rispettivaente paralleli (onda p o TM) ed ortogonali (onda s o TE) al piano di incidenza. Si verifichi che per incidenza obliqua R // < R, e che esiste un particolare angolo, detto di Brewster, per cui R //. Le osservazioni possono essere fatte sia utilizzando il polaroid coe polarizzatore, ponendolo sul caino del fascio incidente, che coe analizzatore, inserendolo sul caino del fascio riflesso. In ogni caso conviene raccogliere il fascio riflesso su un foglio bianco. b) Polarizzazione per diffusione. I fenoeni sono del tutto analoghi e possono essere osservati in odo analogo. Conviene guardare direttaente il fascio laser, variando l angolo visuale. La luce diffusa è più intensa quando attraversa un liquido: si utilizzi la soluzione di zucchero in acqua. L analogia fra riflessione e diffusione non é casuale ed è particolarente evidente se i raggi incidente e riflesso sono nel vuoto. In questo caso il raggio riflesso è generato unicaente dagli elettroni del vetro, essi in oscillazione dall onda presente nel vetro stesso (cioè dal raggio rifratto). Nella diffusione, il raggio diffuso è generato dagli elettroni del ezzo, essi in oscillazione dal fascio diretto. I raggi rifratto e riflesso corrispondono quindi ai raggi diretto e diffuso. In entrabi i casi si ottiene luce totalente polarizzata quando i due raggi sono ortogonali. Si noti che anche nella riflessione sulla superficie di separazione fra due ezzi ateriali si ha riflessione totale quando i raggi riflesso e rifratto sono ortogonali, benché vi siano elettroni oscillanti anche lungo il fascio incidente. c) Legge di Malus. Ponendo sul caino di un fascio di luce due polarizzatori con assi paralleli e ruotando poi l asse dell analizzatore di un angolo θ, l intensità trasessa si riduce. Con polarizzatori ideali il fattore di riduzione è cos θ, e per θ 9 (polarizzatori incrociati) si ha spegniento copleto del fascio: questo è il iglior test per controllare la qualità delle laine polarizzatrici. Si consiglia di raccogliere il fascio trasesso su un foglio. d) Proprietà ottiche dei ezzi ateriali. 8

192 Si può facilente controllare se una laina altera lo stato di polarizzazione della luce che la attraversa ponendola tra polarizzatori incrociati. Ecco alcuni esperienti seplici ed interessanti: ) una laina di ateriale isotropo non altera lo stato di polarizzazione della luce. Il vetro ed il plexiglas sono di nora isotropi a diventano anisotropi se soggetti a deforazioni. Si possono così evidenziare eventuali tensioni interne di una lastra di vetro e le deforazioni di una lastra di plexiglas sottoposte a sforzi. ) Una laina di ateriale anisotropo trasfora luce polarizzata linearente in luce polarizzata ellitticaente: counque si ruoti l analizzatore non si ha spegniento. Solo in due particolari direzioni della laina la luce esce con polarizzazione invariata; per ateriali uniassici questo si verifica quando il piano di polarizzazione è parallelo oppure ortogonale all asse ottico. ) Un liquido otticaente attivo ruota il piano di polarizzazione della luce che lo attraversa: ruotando l analizzatore di un certo angolo α, il fascio in uscita si spegne; α coincide con l angolo di rotazione del piano di polarizzazione, a eno di ultipli di π. Si osservi che l acqua zuccherata è otticaente attiva. Esperienti quatitativi a) Angolo di Brewster ed indice di rifrazione di una laina Si isuri l angolo di Brewster θ B, con le seguenti operazioni: ) Si dispongono laser e piattafora girevole in odo che il fascio laser e l asse di rotazione della piattafora si incontrino pressoché ortogonalente. ) Si ponga la laina al centro della piattafora girevole e si faccia in odo che il raggio riflesso sia pressoché coincidente con quello incidente: la laina sarà pressochè ortogonale al fascio incidente. ) Si ponga il polarizzatore sul fascio incidente con asse pressoché orizzontale e si ruoti la laina fino a che il raggio riflesso (raccolto su un foglio bianco) abbia intensità inia. 4) Si ritocchino le direzioni del polarizzatore e della laina fino ad annullare l intensità del raggio riflesso. L angolo totale di rotazione della laina sarà θ B. Si ricavi poi l indice di rifrazione n, che è uguale a tanθ B. b) Verifica della legge di Malus Si isuri col fotodiodo l intensità del fascio in uscita dai due polaroid, variando la direzione dell asse dell analizzatore, e si riportino in diagraa i valori ottenuti. Se la curva ottenuta non è proporzionale a cos θ, si cerchino le possibili cause di errore. 9

193 APPENDICI A-SIMMETRIE DEI CAMPI ELETTROMAGNETICI A- SIMMETRIE Gli argoenti di sietria sono di fondaentale iportanza per lo studio delle proprietà fisiche dei corpi. Si dice che un oggetto (o una distribuzione di cariche, o di correnti, o un capo..) è sietrico rispetto ad una certa operazione (rotazione intorno ad un asse, traslazione in una direzione prefissata, riflessione rispetto ad un piano,..) se, effettuata questa operazione, l oggetto appare lo stesso di pria. Gli argoenti di sietria si basano sul seguente postulato, che è stato così forulato da P. Curie: l effetto possiede tutte le sietrie della causa che lo produce. Il postulato appare evidente di per sè ed è conferato dall esperienza (assuendo quindi il valore di legge: è la legge di Curie), a la sua applicazione non sepre risulta ovvia. Una pria difficoltà, che ci liitiao a segnalare senza ulteriori approfondienti, nasce dal fatto che non sepre è possibile separare l effetto dalla causa, o eglio che questa separazione può risultare arbitraria. Ad esepio, quando studiao le distribuzioni di corrente in un antenna trasittente ed in una ricevente, è naturale considerare la pria coe causa, l altra coe effetto. In realtà, in natura esistono oggetti che interagiscono, non oggetti che agiscono su altri. In questa appendice si considerano le cariche e le correnti coe causa, i capi creati E e B coe effetto. Una seconda difficoltà è legata al fatto che per descrivere le proprietà dei corpi, o più in generale i fenoeni fisici, si fa uso di grandezze (scalari, vettori,..) le cui proprietà di sietria non sono sepre evidenti. Consideriao ad es. un filo rettilineo indefinito che porta una carica q ed è percorso da una corrente i, e valutiao i capi E e B creati in un generico punto P. Il piano π, individuato dal filo e dal punto P, è un piano di sietria per la distribuzione di cariche e correnti (questa distribuzione appare cioè identica alla sua iagine speculare, ottenuta con uno specchio coincidente con π ). La presenza di questo eleento di sietria fornisce inforazioni ben precise sulle coponenti E //, E, B//, B (dove / / e si riferiscono al piano π ); però, paradossalente, questi vettori non hanno la stessa direzione. Questo deriva dal fatto che E è un vettore polare (o più breveente un vettore), entre B è uno pseudovettore, o vettore assiale (se non è strettaente necessario, l aggettivo assiale viene oesso in quasi tutti i testi di Fisica ed anche in questi esercizi). Le definizioni di vettori polari ed assiali e le loro proprietà di sietria verrano discusse nel paragrafo A4. Per risolvere i problei qui proposti sono sufficienti queste seplici regole: su un piano di sietria π a) il vettore E giace nel piano π ; b) lo pseudovettore B è perpendicolare a π. Nel dispositivo rappresentato in Figura A il vettore E può avere, oltre alla coponente diretta lungo il raggio r, una coponente parallela al filo (che è nulla se la distribuzione di cariche è sietrica anche rispetto al piano che contiene P ed è ortogonale al filo). La direzione di B è invece perfettaente definita. Si noti coe la figura che si ottiene rappresentando lo pseudovettore B coe un vettore non risulti sietrica (una

194 riflessione speculare cabia B in - B ), in apparente contraddizione con la legge di Curie. In presenza di piani di sietria può essere conveniente, per avere una visione intuitiva delle sietrie dei capi, rappresentare gli pseudovettori coe grandezze dotate di odulo e direzione a non di verso. Per sietrie di rotazione e traslazione gli pseudovettori si coportano coe i vettori, gli argoenti di sietria appaiono in entrabi i casi del tutto evidenti. Figura A A- CARICHE E CORRENTI CON SIMMETRIA C v. Hanno notevole interesse le distribuzioni di cariche e correnti che possiedono tutte le sietrie del filo di Figura A. Si tratta del gruppo di sietrie che viene indicato con il sibolo C v e che contiene coe eleenti tutti i piani passanti per un asse z assegnato e tutte le rotazioni attorno a questo asse. Si è soliti scegliere l asse di rotazione in direzione verticale: di qui il pedice v; il sibolo indica che il gruppo contiene infiniti eleenti di sietria. Dalla legge di Curie e dalle regole a e b si deduce che: a) Le linee di flusso di E giacciono su piani passanti per l asse e sono invarianti per rotazioni intorno all asse; b) Le linee di flusso di B sono circonferenze γ con asse z, ed il odulo di B è costante lungo γ. Capi agnetici stazionari Coinciao a considerare i capi B creati da correnti stazionarie in un conduttore cilindrico, in un cavo coassiale ed in conduttore a fora di toroide. Vale la proprietà b, e la circuitazione di B lungo una sua linea di flusso, cioè lungo una circonferenza γ di raggio r, è: γ B ds Bds B ds B π r, () γ γ e per la legge di Apère è uguale a µ γ o i, dove i γ è la corrente che attraversa una generica superficie avente coe contorno γ. Quindi:

195 oi B µ γ () π r Se la linea γ è nel conduttore stesso od in un eventuale ateriale isolante posto intorno ai conduttori, la pereabilità µ o del vuoto va sostituita con la pereabilità µ µ r µ o del ezzo. Ovviaente il ezzo ateriale deve avere fora tale da conservare tutte le sietrie del gruppo C v (in pratica, µ r deve essere costante lungo una generica linea di flusso γ ). Nelle figure A, A sono riportati gli andaenti delle correnti ed i versi dei capi per un conduttore cilindrico cavo e per un toroide a sezione rettangolare, in un generico piano passante per l asse. Figura A Figura A Si noti che B è nullo all interno del cilindro ed all esterno del toroide. Se nel toroide rappresentato in Figura A il lato a è olto inore di r o, il odulo di B all interno del toroide è praticaente costante, e diventa rigorosaente costante nel liite r o. Le distribuzioni toroidali di corrente qui considerate possono essere bene approssiate con avvolgienti toroidali: si anda corrente in un conduttore filifore avvolto intorno ad un supporto toroidale, con spire ravvicinate. Conviene scrivere l equazione () nella fora o N i B µ () π r dove N è il nuero di spire. Per a << r o, il raggio r all interno del toroide è praticaente costante, π r è la lunghezza totale del toroide ed N / π r è il nuero di spire nell unità di lunghezza, che viene di solito indicato con la lettera n. L equazione () assue la fora: B µ on i (4)

196 Per r o si ottiene il solenoide rettilineo indefinito. Il considerare un avvolgiento solenoidale coe caso liite di un avvolgiento toroidale giustifica il fatto che B sia nullo all esterno ed unifore all interno del solenoide, indipendenteente dalla fora delle sue spire. Capi elettroagnetici non stazionari. Il caso più seplice ed interessante è quello di una particella carica in oto su una retta. Esistono tutti gli eleenti di sietria del gruppo C v e l asse di sietria è la retta stessa. La particella crea sia un capo elettrico che un capo agnetico e per i vettori E e B valgono le proprietà a e b. Le stesse proprietà a, b valgono per dipoli elettrici il cui oento di p oscilla antenendosi parallelo ad un asse z, e per le antenne a dipolo elettrico. A- ALTRI GRUPPI DI SIMMETRIA. Consideriao alcuni casi di particolare interesse. Sietria sferica. Si consideri una distribuzione di cariche con densità ρ che dipende solo dalla distanza r da un punto O, detto polo. In un generico punto P il vettore E sta sulla retta OP, cioè è diretto radialente: infatti qualsiasi piano passante per OP è un piano di sietria, e per la proprietà a il vettore E deve giacere sulla retta OP. Il fatto che ogni retta passante per O sia un asse di sietria iplica poi che il odulo di E sia lo stesso in ogni punto di una superficie sferica con centro O. Applicando la legge di Gauss alla superficie Σ si ottiene: qσ E r, 4π εrεo dove q Σ è la carica libera interna a Σ ed ε r la pereabilità relativa dell eventuale dielettrico in cui è iersa la superficie Σ. Supponiao ora che ogni carica si uova con velocità v diretta radialente, con odulo che dipende solo da r. La densità di carica ρ( r ) ed il vettore densità di corrente j ρ v hanno sietria sferica, e qualsiasi piano passante per O è ancora un piano di sietria. Il vettore E continua ad essere diretto radialente (per la proprietà a), lo pseudovettore B è identicaente nullo (per la proprietà b). Il vettore di Poynting µ o E B è identicaente nullo: le distribuzioni di cariche e di correnti non irradiano energia. Distribuzioni di correnti con sietria sferica possono essere presenti all interno di un atoo, è non generano onde elettroagnetiche. Spire circolari. La struttura dei capi creati da una spira circolare e da un solenoide costituito da spire circolari è siile a quella descritta nel paragrafo A, a con uno scabio di ruoli fra i vettori E e B. Più precisaente detta z l asse di sietria delle spire: a) le linee di flusso di B giacciono su un piano passante per z e sono invarianti per rotazioni intorno all asse z; 4

197 b) se le correnti variano nel tepo, esiste anche un capo E le cui linee di flusso sono circonferenze γ con asse z, ed il odulo di E è costante lungo γ. Per dedurre queste proprietà non è sufficiente considerare le sietrie della distribuzione di correnti che crea il capo: occorre anche tener conto della struttura delle equazioni di Maxwell. Più precisaente, una riflessione rispetto ad un generico piano π passante per z lascia invariata la fora delle spire a cabia il verso della corrente ed il loro oento di dipolo agnetico (quindi π non è un piano di sietria). Ora, un cabiaento di segno di cariche e correnti nelle equazioni di Maxwell iplica un cabiaento di segno dei vettori E e B : basta rileggere le proprietà a4 e b4 per capire che un cabiaento di segno delle coponenti tangenziali di questi due vettori ne scabi i ruoli. Confrontando le proprietà a, b con le a, b si coprende perché la struttura delle linee di flusso dell onda elettroagnetica generata a grandi distanze da antenne a dipolo elettrico ed a dipolo agnetico sono olto siili fra loro, a con uno scabio tra E e B. A4- VETTORI POLARI ED ASSIALI. La tipica grandezza vettoriale è il vettore r OP che individua il punto P in un sistea di coordinate con origine in O. Si definisce vettore polare, o più sepliceente vettore, una grandezza che, coe r, è individuata da un odulo, una direzione ed un verso. In una trasforazione di coordinate le coponenti di un vettore si trasforano coe le coponenti x, y, z di r. Esistono grandezze per cui è intrinsecaente definito il odulo e la direzione, non il verso. Attribuendo a queste grandezze anche un verso, ediante un opportuna convenzione (di nora si usa la regola della ano destra), si ottiene foralente un vettore, che viene detto assiale (o pseudovettore). Gli operatori che generano pseudovettori sono tipicaente il prodotto esterno ed il rotore. Si considerino ad es. le seguenti relazioni: τ r F (); F qv B (); τ µ B (), dove F è una forza, τ il oento di una forza, µ il oento di dipolo agnetico. In queste relazioni esiste sepre uno pseudovettore ( τ in (), B in ()) o tre pseudovettori (in ()). L operatore rotorerot v v è foralente un prodotto esterno e l operatore si coporta coe un vettore. È facile verificare che le coponenti di uno pseudovettore si trasforano coe le coponenti x, y, z di r nelle rotazioni di coordinate, a non in quelle trasforazioni di coordinate in cui sono presenti una oppure tre piani di riflessione speculare passanti per uno stesso punto. Si tratta di trasfoazioni che fanno passare da una terna destra ad una sinistra e che cabiano la regola della ano destra in quella della ano sinistra: nelle considerazioni di sietria occorre tenere conto di questo fatto. In pratica, nella riflessione rispetto ad un pianoπ : 5

198 a4) coponenti tangenziali di un vettore riangono invariate, quella norale cabia segno coe ostra chiaraente la figura A4 dove v' è l iagine speculare di v ; b4) le coponenti tangenziali di uno pseudovettore cabiano segno, quella norale riane invariata. Figura A4 È olto facile verificare le proprietà b4 considerando le equazioni (), (), (). Ad esepio: se nella () r ed F sono tangenziali, τ è norale e nessuno dei tre vettori cabia segno; se r è norale ed F tangenziale, solo il prio vettore cabia segno, quindi τ (che è tangenziale) cabia segno. Per quanto riguarda il vettore E e lo pseudovettore B, le conseguenze più iportanti delle proprietà a4 e b4 sono riassunte nelle regole a e b citate sopra. Infatti in due punti sietrici rispetto al piano le coponenti norali dei vettori E e E' hanno segni opposti, per la a4; iaginiao ora di avvicinare i due punti, fino ad ottenere un unico punto sul piano: in questo punto i vettori E e E' coincidono (entrabi rappresentano il capo elettrico nel punto considerato), e questo iplica che la loro coponente norale sia nulla. Analogaente, la b iplica l annullarsi delle coponenti tangenziali di B in un generico punto del piano di sietria. 6