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1 01 - Quantità di moto e sua conservazione wwweasymathsaltervistaorg Consideriamo due carrelli collegati da un filo e fra cui è posta una molla in tensione Le masse dei due carrelli sono e (consideriamo la massa della molla trascurabile) Supponiamo che gli attriti siano trascurabili Ad un certo istante tagliamo il filo che tiene uniti i due carrelli La molla si distende e comunica una forza ai due carrelli che cominceranno a muoversi con velocità opposte Misurando queste velocità si verifica che, come intuitivamente potevamo supporre, la velocità che acquista il corpo di massa doppia è esattamente la metà dell'altra Cioè : Supponiamo che sia e Possiamo allora verificare facilmente che il prodotto fra la massa e la velocità del primo corpo è uguale al prodotto fra la velocità e la massa del secondo corpo Cioè : e :

2 wwweasymathsaltervistaorg D'altra parte, prima che la molla scattasse, quando i carrelli erano uniti, le velocità erano nulle per cui si aveva : e : Ma le velocità sono grandezze vettoriali dotate di intensità, direzione e verso, per cui, se consideriamo positivo il verso di, avendo verso opposto, per i copi dopo che è scattata la molla dovremo scrivere e Di conseguenza avremo : e : Arriviamo quindi ad una importantissima constatazione : Ovvero : la somma dei prodotti di massa e velocità (considerata come vettore) prima e dopo lo scatto della molla è nulla Da queste considerazioni sembra proprio che il prodotto fra la massa e la velocità di un corpo in fisica giochi un ruolo importante! Per questo motivo si dà un nome ben preciso a questo prodotto Esso si chiama quantità di moto Intuitivamente, il significato fisico della quantità di moto è che non basta la velocità per specificare "quanto moto" possiede un corpo Gli effetti, per esempio, che producono due corpi dotati della medesima velocità, ma di massa diversa, in un urto sono diversi! Siamo allora pervenuti ad una nuova legge di natura In un sistema isolato (cioè un sistema di corpi isolato dall'esterno) considerato rispetto ad un

3 wwweasymathsaltervistaorg sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto totale (ovvero la somma delle quantità di moto, intese in senso vettoriale, dei singoli corpi che costituiscono il sistema) è costante nel tempo, ovvero si conserva Riferendoci all'esempio precedente, la quantità di moto totale dei due carrelli (che costituiscono un sistema con buona approssimazione isolato, in quanto gli attriti sono ridotti al massimo e la forza di gravità (il loro peso) è neutralizzata dal tavolo su cui i carrelli sono posti) rispetto al tavolo (che si può considerare essere un buon sistema di riferimento inerziale) prima dello scatto della molla è nulla perché le velocità sono nulle Dopo lo scatto della molla abbiamo due quantità di moto diverse da zero, ma con valori opposti, per cui la loro somma, la quantità di moto totale del sistema, è ancora zero Zero prima, zero dopo : la quantità di moto complessiva del sistema non è cambiata nel tempo, essa si è conservata! Dobbiamo però a questo punto precisare che la legge di conservazione della quantità di moto non è propriamente una nuova legge della dinamica, indipendente dalle altre, da aggiungere alle tre leggi di Newton Essa in effetti deriva matematicamente dalla 2' e 3' legge di Newton Infatti, considerando l' "istante" dello scatto della molla, per il 3' principio della dinamica, il corpo 1 esercita sul corpo 2 una forza uguale in intensità ma opposta in verso a quella esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 Supponiamo che tale forza sia F = 50 N D'altra parte, per il 2' principio della dinamica si ha F = m a da cui le accelerazioni che subiscono i due corpi risultano in intensità : e : Supponiamo che il tempo in cui il corpo 1 spinge sul corpo 2 sia uguale al tempo in cui 2 spinge contro 1 Supponiamo che tale tempo sia t = 0,4s Allora siamo in grado di calcolare la velocità finale dei due corpi al momento della cessazione dell'azione della molla Siccome si tratta di moti uniformemente

4 wwweasymathsaltervistaorg accelerati si ha quindi : e : Moltiplicando le masse per le velocità si ottiene infine : e : Da cui si vede che la quantità di moto si conserva Abbiamo quindi dimostrato che la legge di conservazione della quantità di moto non è un a "nuova" legge di natura, ma deriva direttamente dai principi di Newton 02 - Esempi di conservazione della quantità di moto Consideriamo i seguenti esempi : Urto fra due corpi con "unione" dei due dopo l'urto due Supponiamo che il corpo 1 proceda con velocità costante (senza attriti e rispetto ad un sistema di riferimento inerziale) Supponiamo che il corpo 2 sia fermo I corpi abbiano ciascuno una massa m = 80kg un Ad un certo istante, il corpo 1 urta il corpo 2 ed i due corpi si "uniscono" formando corpo unico di massa M = 160 kg E' evidente che il corpo che così si forma procederà con velocità v diversa da quella del corpo 1 prima dell'urto

5 wwweasymathsaltervistaorg Applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto Prima dell'urto la quantità di moto totale era : (il corpo 2 era fermo) del Dopo l'urto la quantità di moto totale deve essere la stessa Quindi, essendo la massa corpo che si forma pari a M = 160 kg, si deve avere : La velocità dopo l'urto risulta allora dimezzata, come era "logico" aspettarsi Fucile sparare, la esce a del moto Un fucile ha una massa molto grande rispetto alla massa di un proiettile Prima di quantità di moto totale (del fucile e del proiettile) è nulla Quando si spara, il proiettile grande velocità mentre il fucile rincula a bassa velocità in modo che la quantità di moto proiettile uguagli in intensità la quantità di moto del fucile (rendendo così la quantità di totale ancora nulla)

6 wwweasymathsaltervistaorg (trascuriamo la quantità di moto dei gas prodotti dall'esplosione) Bomba il Quando una bomba esplode, le schegge vengono scaraventate in tutte le direzioni Per principio di conservazione della quantità di moto, la somma di tutte le quantità di moto (naturalmente intese come vettori) delle schegge (e delle particelle dei gas sprigionati dall'esplosione) è nulla, se era nulla la quantità di moto della bomba prima di esplodere Motore a reazione di formato In opposto Il motore a reazione che spinge gli aerei ed i missili funziona proprio grazie al principio conservazione della quantità di moto Il gas che fuoriesce dal motore a reazione è da innumerevoli particelle di massa molto piccola ma dotate di velocità molto grande questo modo, come per il rinculo del fucile, il missile o l'aereo avanza nel verso a quello del gas

7 wwweasymathsaltervistaorg bisogno Si noti che il motore a reazione, per far sì che l'aereo o il missile si muova, non ha di aria, a differenza dei sistemi ad elica! 03 - Un simbolo per la quantità di moto La quantità di moto è una grandezza fisica che si indica comunemente con la lettera p per cui : p = m v E' una grandezza vettoriale (perché lo è la velocità) e si misura in : cioè : kg m / s, chilogrammo x metro / secondo 04 - Ripasso sulle grandezze scalari e vettoriali Le grandezze fisiche sono essenzialmente di due tipi : gli scalari ed i vettori Gli scalari sono delle grandezze che per essere caratterizzate hanno bisogno di un solo numero Per esempio, il volume di una stanza, la superficie di un pavimento, la lunghezza di un segmento, la massa di un corpo ecc ecc sono grandezze scalari Le grandezze scalari si sommano direttamente Per esempio, il volume complessivo di un appartamento è la somma dei volumi delle singole stanze Le grandezze vettoriali, invece, per essere definite hanno bisogno di intensità, direzione e verso Esempi di grandezze vettoriali sono la velocità, l'accelerazione, ecc ecc La quantità di moto è un vettore, perché è il prodotto di massa (che è uno scalare) per velocità (che è un vettore) I vettori si indicano con lettere in grassetto o con una freccia sulle lettere stesse :,

8 wwweasymathsaltervistaorg Per sommare i vettori si deve usare la regola del parallelogramma : Un vettore può essere anche scomposto nella somma di due vettori secondo due direzioni date Anche in questo caso si utilizza la regola del parallelogramma Per esempio, dato il vettore e le direzioni ed (le direzioni sono rette!!), si ottiene che il vettore dato si scompone nella somma dei vettori ed Naturalmente, si procede mandando le parallele alle due rette e costruendo un parallelogramma : 05 - Conservazione della quantità di moto su due direzioni Negli esempi precedenti circa la legge di conservazione della quantità di moto, ci siamo quasi sempre limitati al semplice caso di moti lungo una sola direzione (retta) Vediamo ora in particolare cosa avviene se le quantità di moto (che sono rappresentate da vettori) giacciono su direzioni diverse Consideriamo il caso di un urto con cambio di direzione, per esempio l'urto di una palla da biliardo contro un'altra, ferma, che avvenga non esattamente nel centro In questo caso la quantità di moto della prima palla sarà uguale alla somma vettoriale delle due quantità di moto che le palle assumono dopo l'urto, somma vettoriale che, come noto, si esegue con la regola del parallelogramma

9 wwweasymathsaltervistaorg Sia la quantità di moto della palla 1 prima dell'urto Siano e le quantità di moto della palla 1 e della palla 2 dopo l'urto La quantità di moto della palla 2 prima dell'urto, essendo ferma, è nulla Si ha allora : Possiamo allora scrivere : dove la somma va intesa in senso vettoriale (regola del parallelogramma) Possiamo dare al fenomeno dell'urto illustrato sopra una differente, ma equivalente, descrizione Immaginiamo di scomporre i due vettori dopo l'urto e nelle direzioni orizzontale e verticale nel seguente modo : Dalla figura si vede bene che le componenti e sono opposte e quindi si annullano a vicenda Rimangono in gioco le componenti e che, sommate, danno, la quantità di moto prima dell'urto 06 - Esempio di urto con un corpo fermo L'esempio che segue dimostra come la fisica, ed in particolare la legge di conservazione della quantità

10 wwweasymathsaltervistaorg di moto, sia così importante per la vita "pratica", anche se, in questo caso, si tratta di eventi "infausti" Consideriamo che un'auto urti un'altra auto la quale, per esempio, sia ferma Supponiamo che nell'urto le due auto si uniscano assieme in modo da formare un unico corpo Supponiamo anche che tutto avvenga lungo una unica direzione Il problema, in questi casi, potrebbe essere quello di trovare la velocità della macchina investitrice per verificare se essa procedeva entro i limiti di velocità Quando succede un incidente stradale, per accertare le responsabilità vengono fatti calcoli in cui la legge di conservazione della quantità di moto gioca un ruolo fondamentale Applicando detto principio possiamo scrivere : da cui possiamo trovare la velocità incognita : Si noti che la velocità v del corpo "unione" dei due va considerata all'istante dell'urto Successivamente essa tende rapidamente a zero a causa degli attriti con l'asfalto per cui, non essendo più il sistema isolato perché interagente con l'esterno (l'asfalto, appunto), la legge di conservazione cessa di essere soddisfatta 07 - Esempio di urto fra particelle La legge di conservazione della quantità di moto è una legge universale Essa vale per i corpi macroscopici così come per quelli microscopici

11 wwweasymathsaltervistaorg In questo esempio consideriamo un protone di massa che urta alla velocità un nucleo di elio In seguito all'urto, il protone rimbalza (tornando indietro sulla stessa direzione) con una velocità Sapendo che la velocità dopo l'urto del nucleo di elio è, si calcoli la massa del nucleo di elio Si consideri il nucleo di elio immobile prima dell'urto Soluzione Un protone di massa urta alla velocità un nucleo di elio In seguito all'urto, il protone rimbalza (tornando indietro sulla stessa direzione) con una velocità (il segno - significa appunto che questa velocità ha un verso contrario rispetto a positiva) Sapendo che la velocità dopo l'urto del nucleo di elio è nucleo di elio Si consideri il nucleo di elio immobile prima dell'urto che è presa, si calcoli la massa del Applicando la legge di conservazione della quantità di moto possiamo scrivere : dove è la massa del nucleo di elio che dobbiamo trovare Sottraendo ad entrambi i membri dell'equazione lo stesso termine Possiamo allora scrivere :, l'equazione non cambia Nel secondo membro dell'equazione possiamo raccogliere il fattore comune otteniamo : e quindi

12 wwweasymathsaltervistaorg Dividendo entrambi i membri dell'equazione per lo stesso termine Possiamo allora scrivere :, l'equazione non cambia Abbiamo così "isolato" l'incognita i valori noti abbiamo : dagli altri termini e possiamo infine calcolarla Sostituendo da cui, ricordando che " - per - dà + " : e quindi, notando che : Applicando le regole delle potenze, perveniamo quindi al valore finale : Si noti la "potenza" della legge di conservazione della quantità di moto Senza conoscere il tipo di interazione, ovvero le forze che intervengono nell'urto fra le due particelle, siamo stati in grado di calcolare la massa del nucleo dell'elio!!! 08 - Quando la quantità di moto non si conserva Impulso La legge di conservazione della quantità di moto vale per i sistemi isolati, cioè per i sistemi di corpi che non interagiscono con l'esterno Se su di un sistema agiscono delle forze esterne, esso cessa di essere isolato e la sua quantità di moto non si conserva più, cioè essa varia col tempo Consideriamo il caso molto semplice di un corpo su cui agisce una forza costante In questo caso,

13 wwweasymathsaltervistaorg come afferma il 2' principio della dinamica, la sua accelerazione risulta costante, cioè la sua velocità aumenta uniformemente Scriviamo ancora una volta la formula matematica che esprime il 2' principio della dinamica : e la esprimiamo in forma vettoriale perché la forza e l'accelerazione sono grandezze vettoriali Supponiamo allora che nel tempo il corpo passi dalla velocità alla velocità a causa dell'azione della forza Per calcolare l'accelerazione costante, che corrisponde alla variazione costante di velocità nell'unità di tempo, dividiamo la variazione complessiva di velocità per il tempo durante il quale la forza costante agisce Otteniamo perciò : da cui ricaviamo : ovvero :, A questo punto, moltiplicando ambo i membri per, si ottiene : Notiamo subito che e sono le quantità di moto del corpo al tempo finale ed al tempo iniziale (rispettivamente) Questa è una formula estremamente importante che esprime il fatto che la variazione della quantità di moto di un corpo sotto l'azione di una forza costante è uguale al prodotto della forza per il tempo durante il quale la forza agisce sul corpo

14 wwweasymathsaltervistaorg Il prodotto della forza per il tempo si chiama impulso Possiamo allora affermare che : la variazione della quantità di moto è uguale all'impulso Questo è un altro modo di esprimere il 2' principio della dinamica (in effetti è la forma originaria con cui Newton lo espresse, dato che ai suoi tempi si conosceva già la quantità di moto e la legge della sua conservazione) 09 - Esempio di applicazione dell'impulso Consideriamo l'urto di un motociclista contro un muro Spesso facciamo esempi così "drammatici" perché, capendo questi fenomeni dal punto di vista fisico, possiamo così renderci meglio conto "scientificamente" della necessità di una maggiore prudenza alla guida Supponendo che la massa del motociclista sia di 60 kg, la velocità con cui colpisce il muro 10 m/s (soli 36 km/h!!!) ed il tempo in cui dura l'urto 0,2 s, calcoliamo la forza che agisce sul motociclista in modo da fermarlo (forza esercitata dal muro) Applicando la formula dell'impulso si ha (supponendo che il fenomeno avvenga nella stessa direzione così da passare dai vettori agli scalari) : per cui, sostituendo i numeri si ottiene : (la velocità finale è ovviamente nulla ed il segno - è perché la forza è opposta alla velocità) Considerando che 1 N corrisponde al peso di circa 0,1 kg, la forza trovata corrisponde a circa 300 kg

15 wwweasymathsaltervistaorg Ci rendiamo allora conto di quanto grande sia questa forza anche se la velocità d'urto è così piccola!!! Se il tempo in cui dura l'urto fosse maggiore, per esempio 1 s, troveremmo una forza minore, esattamente pari a : per cui il danno in questo caso sarebbe minore Per ottenere danni minori per i passeggeri, le automobili vengono costruite in modo che un eventuale urto duri più tempo Questo avviene, per esempio, se il muso dell'auto è sufficientemente "tenero" in modo da contrarsi progressivamente durante l'urto